Tài liệu toán học chương 6 giải gần đúng PT vi phân

Chương 6: Giải gần phương trình vi phân CHƯƠNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Sau học xong chương 3, yêu cầu sinh viên: Hiểu vai trò tầm quan trọng tốn giải gần phương trình vi phân Nắm phương pháp tìm nghiệm gần phương trình vi phân Biết cách áp dụng phương pháp vào việc giải toán thực tế Biết cách đánh giá sai số phương pháp 6.1 MỞ ĐẦU Nhiều tốn khoa học kỹ thuật dẫn việc tìm nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn số điều kiện Những phương trình vi phân mơ tả hệ học, lý học, hóa học, sinh học nói chung phức tạp, khơng hy vọng tìm lời giải Trong chương ta nghiên cứu toán đơn giản phương trình vi phân tốn Cauchy phương trình vi phân cấp sau: Hãy tìm hàm y=y(x) thỏa mãn: y'(x) = f(x,y) x∈ [a,b], x0 = a (6.1) y(x0) =y0 (6.1b) Điều kiện (6.1b) gọi điều kiện ban đầu hay điều kiện Cauchy Tương tự, toán Cauchy phương trình vi phân cấp n mơ tả sau: Hãy tìm hàm y=y(x) thỏa mãn: y(n) = f(x,y,y',y(2), ,y(n-1)) (6.2) y(x0) =α0, y'(x0) =α1, y(2)(x0) = α2, , y(n-1)(x0)=αn-1 f() hàm biết n+1 đối số x,y,y',y(2), ,y(n-1); x0, b, α0, α1 , αn-1 số cho trước (6.1) mở rộng cho hệ thống phương trình vi phân cấp với toán Cauchy chư sau: y1' = f1(x,y1, y2, , yn) y2' = f2(x,y1, y2, , yn) (6.3) yn' = fn(x,y1, y2, , yn) 99 Chương 6: Giải gần phương trình vi phân y1(x0) =α1, y2(x0) = α2, , yn(x0)=αn x ∈[a,b], x0 = a Nếu đặt α = [α1, α2, , αn]T y = [y1, y2, , yn]T y = [y'1, y'2, , y'n]T f = [f1, f2, , fn]T Bài tốn (6.3) viết gọn dạng vectơ sau: y = f (x, y), x∈ [a,b], x0 = a y (x0) = α Ghi Phương trình vi phân cấp n đưa hệ phương trình vi phân cấp phép biến đổi y1 =y, y2 =y' , ., yi =y(i-1 , ., yn = y(n-1) Nói chung có hai nhóm phương pháp để giải phương trình vi phân thường: Phương pháp tìm nghiệm xác: cách dựa vào cách tính tích phân trực tiếp, xác định dạng tổng quát nghiệm dựa vào điều kiện ban đầu để xác định nghiệm riêng cần tìm Phương pháp tìm nghiệm gần xuất phát từ điều kiện ban đầu Phương pháp áp dụng cho lớp phương trình vi phân rộng nhiều so với phương pháp trực tiếp, dùng nhiều thực tế Trong phần ta tập trung vào nhóm phương pháp thứ hai 6.2 PHƯƠNG PHÁP EULER Trở lại toán y'(x) = f(x,y) x∈ [a,b], x0 = a (6.4) y(x0) =y0 Cách giải gần (6.4) tìm giá trị gần yi giá trị y(xi) điểm xi, i = 0,1,2, n, a = x0 < x1 < < xn = b xi = x0 + ih, i=0,1, ,n-1 h= b−a n Ta biết y0 =α0, ta xác định y1 x1, y2 x2, nói chung từ giá trị gần yi xi ta tính yi+1 xi+1 Phương pháp Euler vài phương pháp trình bày dựa vào giả thiết sau (cho dù giả thiết nói chung khơng thể kiểm tra được) Giả thiết tốn (6.4) có nghiệm y = y(x), x∈ [a,b], a = x0, nghiệm y(x) đủ trơn, nghĩa có đạo hàm đến cấp đủ cao (6.5) 100 Chương 6: Giải gần phương trình vi phân Ta khai triển Taylo nghiệm y(x) (6.4) xi y(x) = y(xi) + x − xi ( x − xi ) y'(xi) + y''(ci) , ci ∈ (xi,x) 1! 2! (6.5) Thay x = xi+1 = xi + h, y'(xi) = f(xi,y(xi)) vào đẳng thức ta có y(xi+1) = y(xi) + h f(xi,y(xi)) + h2 y''(ci), ci ∈ (xi,xi+1) (6.6) Bỏ qua số hạng cuối bên phải, đồng thời thay giá trị y(xi+1), y(xi), f(x,y(xi)) giá trị xấp xỉ yi+1, yi, f(x,yi) vào (6.6) ta có yi+1 = yi + h f(xi,yi) (6.7) Với giá trị y0 = y(x0) = α0 ban đầu (như y0 giá trị y(x0)), ta tính tiếp giá trị yi , i =1,2, , n Công thức (6.7) gọi công thức Euler Công thức cho ta cách tính yi+1 biết yi mà khơng phải giải phương trình Vì phương pháp Euler phương pháp Sai số địa phương phương pháp Euler h2 Ri(h) = y(xi)- yi = y''(ci-1) = O(h2) 2! (6.8) Người ta chứng minh rằng: sai số phương pháp Euler điểm xi | yi - y(xi) | ≤ Mh (6.9) M số không phụ thuộc h Điều chứng tỏ h → yi → y(xi) điểm xi cố định Tuy nhiên việc xác định giá trị M phức tạp Vì thực hành người ta thường làm sau: Quá trình tính chia làm nhiều bước, khoảng cách điểm xi xi+1 bước sau nửa b−a khoảng cách bước trước, tức hk+1 =hk/2 Nếu gọi lần với h= ta gọi lần n thứ với n+1 điểm chia lần thứ k+1 có n.2k+1 +1 điểm chia Trong số điểm chia có n.2k +1 điểm chia trùng với lần thứ k Các điểm trùng 0,2,4, , n.2k+1 Tại điểm chia ta có lần thứ k giá trị xấp xỉ yi yi(k), lần thứ k+1 giá trị xấp xỉ giá trị y vị trí lại y2i(k+1) Ta xét đại lượng sau maxdiff = max | y2i (k+1) - y i (k) |, i=0,1,2, ,n.2k i Và dừng q trình tính toán maxdiff nhỏ giá trị ε nhỏ cho trước Ta mơ tả thuật tốn Euler để cài đặt máy tính theo bước sau: a.Thuật toán cho lần chia khoảng Nhập a, b , y0 n Đặt h = b−a , x0 = a n Với i =1,2, , n tính 101 Chương 6: Giải gần phương trình vi phân yi = yi-1 + hf(xi-1,yi-1) xi = xi-1 + h b.Thuật toán cho nhiều lần chia khoảng Nhập a, b , y0 , kmax ε>0 - Bước 0: Đặt h0 = b−a , x 0( ) = a , y 0( ) = y0 n ( 0) Tính y i( ) = y i(−01) + hf( x i(−01) , y i(−01) ), x i( ) = x i − + h0 , i = 1,2, ,n - Bước 1: Đặt h1 = h0 , x 0(1) = a , y 0(1) = y0 y i(1) = y i(−11) + hf( xi(−11) , y i(−11) ), x i(1) = x i(−11) + h1 , i = 1,2, ,n.2 Tính d1 = max | y2i (1) - y i (0) |, i=0,1,2, ,n i Nếu d1