CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 2 GIẢI TÍCH Giảng viên T S Trịnh Thị Hường Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn NỘI DUNG CHÍNH 1 Hàm số thực nhiều biến 2 Đạo h[.]
HỌC PHẦN TỐN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 2: GIẢI TÍCH Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ mơn : Tốn Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn NỘI DUNG CHÍNH Hàm số thực nhiều biến Đạo hàm riêng ứng dụng vào toán cực trị a Cực trị tự b Cực trị có điều kiện Khái niệm hàm số Cho tập 𝑋 ⊂ ℝ2 Một quy luật 𝑓, đặt tương ứng cặp 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 với số thực 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ gọi hàm hai biến độc lập 𝑥 𝑦 Kí hiệu: 𝑓: 𝑋 → ℝ 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Ví dụ: a 𝑧 = 𝑥 + 3𝑥𝑦 − 𝑦 , b 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑦 − + − 𝑥 − 𝑦 Đạo hàm riêng ứng dụng vào toán cực trị Định nghĩa 1: Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định lân cận điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) Đạo hàm riêng cấp theo 𝑥 điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) có kí hiệu xác định sau: 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓 𝑥0 +∆𝑥,𝑦0 −𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) lim ∆𝑥 ∆𝑥→0 - Tương tự có đạo hàm riêng cấp theo 𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓𝑦′ 𝑥0 , 𝑦0 Nhận xét: Trong thực hành muốn tính ĐHR cấp theo 𝑥 coi 𝑦 số đạo hàm hàm biến Tương tự, tính đạo hàm riêng theo 𝑦 coi 𝑥 số Ví dụ: Tính đạo hàm cấp riêng cấp hàm số: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥𝑦 − 3𝑦 + 2𝑥 − 3𝑦 + Định nghĩa 2: Đạo hàm riêng cấp ′′ = (𝑓 ′ )′ ′′ = (𝑓 ′ )′ 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 ′′ = (𝑓 ′ )′ ′′ = (𝑓 ′ )′ 𝑓𝑥𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 Nhận xét: Trong chương trình học ′′ ′′ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 Ví dụ: Tính đạo hàm riêng đến cấp hai hàm sau: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 − 2𝑥𝑦 + Ứng dụng ĐHR tìm cực trị hàm hai biến: a Cực trị tự Định nghĩa: Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) tồn lân cận M cho 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) (tương ứng 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)) Kí hiệu: 𝑓𝐶Đ ; 𝑓𝐶𝑇 Điều kiện cần cực trị Định lý:Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) có ĐHR 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 = ൝ ′ 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 = Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức gọi điểm dừng (hay điểm tới hạn) hàm số Điều kiện đủ cực trị: Định lý:Giả sử điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) điểm dừng hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) hàm số có ĐHR cấp hai: ′′ 𝑥 , 𝑦 ′′ 𝑥 , 𝑦 ′′ 𝑥 , 𝑦 𝐴 = 𝑓𝑥𝑥 ; 𝐵 = 𝑓 ; 𝐶 = 𝑓 0 𝑥𝑦 0 𝑦𝑦 0 - Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 > M khơng cực trị - Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 < M cực trị, đó: Nếu 𝐴 > M cực tiểu, Nếu 𝐴 < M cực đại - Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 = chưa kết luận tính cực trị M b Cực trị có điều kiện Bài tốn: Tìm cực trị hàm 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện 𝑔 𝑥, 𝑦 = Phương pháp giải: Phương pháp nhân tử lagrang Xét tốn tìm cực trị hàm hai biến có ràng buộc: 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ቊ 𝑔 𝑥, 𝑦 = Lập hàm lagrang: 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦) Điều kiện cần cực trị Nếu hàm số đạt cực trị 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) tồn 𝜆0 cho ba (𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 ) thỏa mãn: 𝐿′𝜆 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 = ൞𝐿′𝑥 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 = 𝐿′𝑦 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 = Khi 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 gọi điểm dừng hàm Lagrang Điều kiện đủ cực trị Giả sử 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 điểm dừng hàm Lagrang Đặt 𝐻 = 𝑔𝑥′ 𝑔𝑦′ 𝑔𝑥′ 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 𝑔𝑦′ 𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′𝑦𝑦 𝑥0 ,𝑦0 ,𝜆0 Khi đó: +) Nếu 𝐻 > 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) điểm cực đại tốn cho +) Nếu 𝐻 < 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) điểm cực tiểu tốn cho Ví dụ: Tìm cực trị hàm 𝑎 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥 + 𝑦 = b 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 với điều kiện 𝑥 + 𝑦 = ... )