Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giảng viên T S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn Bộ Môn TOÁN Môn học Toán cao cấp 1 CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG[.]
Bộ Mơn: TỐN Mơn học: Tốn cao cấp CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ mơn : Tốn Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn CHƯƠNG 3:HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các nội dung chính: Các khái niệm 1.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính 1.2 Nghiệm điều kiện tồn nghiệm Cách giải hệ phương trình tuyến tính 2.1 Phương pháp khử dần ẩn 2.2 Phương pháp Cramer Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Dạng tổng quát 3.2 Điều kiện tồn nghiệm không tầm thường Một số dạng tập CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 CÁC DẠNG BIỂU DIỄN a Dạng tổng qt Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 (1) … 𝑎𝑚 𝑥1 + 𝑎𝑚 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 • 𝑎𝑖𝑗 ( 𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛) : hệ số ẩn 𝑥𝑗 phương trình thứ 𝑖 • 𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 𝑚): hệ số tự Nhận xét: Từ hệ phương trình 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 … 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Rút ma trận tương ứng: Kí hiệu: 𝐴= 𝐴= 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚 𝑎12 𝑎22 … 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 𝑎𝑚 … 𝑎𝑚𝑛 𝑎12 𝑎22 … 𝑎1𝑛 𝑏1 … 𝑎2𝑛 𝑏2 𝑎𝑚 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 : ma trận hệ số hệ (1) : ma trận hệ số mở rộng hệ (1) b Dạng ma trận Kí hiệu ma trận 𝑋= 𝑥 𝑥2 ; ⋮ 𝑥𝑛 𝐵= 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑚 Khi đó, hệ phương trình (1) tương đương với phương trình ma trận: 𝐴𝑋 = 𝐵 c Dạng véc tơ Kí hiệu 𝐴𝑗 véctơ cột thứ 𝑗 ma trận A Hệ (1) viết dạng véc tơ 𝐴1 𝑥1 + 𝐴2 𝑥2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥𝑛 = 𝐵 1.2 NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM Một véctơ n chiều 𝑋 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) gọi nghiệm hệ ta thay ẩn 𝑥𝑗 số 𝛼𝑗 (𝑗 = 1, 𝑛) vào tất phương trình hệ ta đẳng thức Hai hệ phương trình có ẩn số gọi tương đương nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại, hai hệ phương trình vô nghiệm Định lý (Cronecker - Capelly) Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm r A = r(A) Nhận xét: r A = r A = n = số ẩn: Hệ phương trình có nghiệm r A = r A < n : Hệ phương trình có vơ số nghiệm r A ≠ r(A): Hệ phương trình vơ nghiệm 2 CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẦN ẨN a Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình Đổi chỗ hai phương trình Nhân hai vế phương trình với số khác không Nhân hai vế phương trình với số bất kỳ, cộng vào hai vế tương ứng phương trình khác Nhận xét: Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình tương ứng ba phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận hệ số mở rộng 𝐴 b Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 −1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎𝑛 −1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 −1 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 ( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛) Giải: Từ phương trình thứ n, tính 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 𝑎 𝑛𝑛 Thế vào phương trình thứ 𝑛 − 1, tính 𝑥𝑛−1 Tiếp tục q trình đó, hệ phương trình có nghiệm nhất: 𝑥 = 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 𝑦 − 3𝑧 = −7 2𝑧 = c Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑟 ( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑟) Nhận xét: 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 𝑟 < 𝑛 nên hệ có vơ số nghiệm Gọi 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑟 ẩn sở ( 𝑟 ẩn sở phải ứng với 𝑟 cột tạo thành định thức cấp 𝑟 khác không), ẩn cịn lại ẩn ngồi sở hay ẩn tự Cách giải hệ hình thang: Chuyển ẩn tự sang vế phải ta có hệ phương trình dạng tam giác ẩn sở Cho ẩn tự nhận giá trị tùy ý Tìm ẩn sở qua ẩn tự Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −3 d Giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt phương pháp khử dần ẩn Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình dạng tam giác hình thang Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (Bài 3.1 ý 2) 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −3 𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥4 = −7𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = −3 2.2 PHƯƠNG PHÁP CRAMER Định nghĩa: Hệ cramer hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình, n ẩn số với định thức ma trận hệ số khác (det (A)≠ 0) Nhận xét: Hệ Cramer có nghiệm Định lý: Hệ Cramer có nghiệm 𝐷𝑗 𝑥𝑗 = , ∀𝑗 = 1, 𝑛 𝐷 Trong đó, 𝐷 = det (𝐴), 𝐴 ma trận hệ số hệ phương trình, 𝐷𝑗 định thức cấp n, lấy từ định thức D cách thay cột thứ j cột hệ số tự Giải hệ Crame cách tìm ma trận nghịch đảo: Giả sử hệ phương trình sau hệ Crame: 𝐴𝑋 = 𝐵 𝑋𝐴 = 𝐵 Trong 𝐴 ≠ 0, tồn 𝐴−1 Khi 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 𝑋𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐵𝐴−1 Nhận xét 2: Sử dụng tính chất nghiệm hệ Crame để biện luận hệ Crame Ví dụ 4: Tìm a để hệ có nghiệm nhất: 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2𝑥 + 5𝑦 + 𝑎𝑧 = HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 3.1 DẠNG TỔNG QT Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = … 𝑎𝑚 𝑥1 + 𝑎𝑚 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = Nhận xét 𝑟 𝐴 = 𝑟(𝐴) nên hệ có nghiệm Nghiệm 𝑋 = (0, 0, … , 0) gọi nghiệm tầm thường 3.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM KHÔNG TẦM THƯỜNG Định lý 1: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường hạng ma trận hệ số nhỏ số ẩn Hệ 1: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn có nghiệm khơng tầm thường Hệ 2: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn có nghiệm khơng tầm thường định thức ma trận hệ số không ... ẩn Hệ 1: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn có nghiệm khơng tầm thường Hệ 2: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn có nghiệm khơng tầm thường định thức ma trận hệ. ..CHƯƠNG 3:HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các nội dung chính: Các khái niệm 1.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính 1.2 Nghiệm điều kiện tồn nghiệm Cách giải hệ phương trình tuyến. .. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẦN ẨN a Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình Đổi chỗ hai phương trình Nhân hai vế phương trình với số khác không Nhân hai vế phương trình