Chương 3 hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các khái niệm hệ PTTT Các phương pháp giải hệ PTTT Khảo sát hệ PTTT Một số mơ hình tuyến tính kinh tế Bài CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khái niệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát Ma trận hệ số ma trận mở rộng Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Hệ tương đương phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi sơ cấp Hai loại hệ pt tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang) Khái niệm hệ phương trình tuyến tính K/N: Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số x1,x ,…,x n có dạng:  a11x1 + a12 x + + a1n x n = b1   a 21x1 + a 22 x + + a 2n x n = b2    am1x1 + am2 x hệ + + amn x n = bm Trong đó: aij hệ số ẩn x j phương trình thứ i; bi hệ số tự phương trình thứ i Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính phương trình, ẩn số:  2x1 + 3x   -x1 + 2x 3x + x  - 4x + x4 = + 5x - 2x = -3 + 2x + 3x = 2 Ma trận hệ số ma trận mở rộng ĐN: Xét hệ phương trình tuyến tính:  a11x1 + a12 x + + a1n x n  a x + a x + + a x  21 22 2n n   am1x1 + am2 x + + amn x n = b1 = b2 = bm Ta gọi bảng số ký hiệu xác định sau  a11 a12 a11 a12 a1n  a  a a a 21 a 22 21 22 2n   A= A =    a   a a m1 m2 mn   m n  am1 am2 a1n b1   a 2n b2    amn bm m×(n+1) tương ứng ma trận hệ số ma trận mở rộng hệ phương trình cho Ma trận hệ số ma trận mở rộng Ví dụ 1: Xét hệ phương trình  2x + 3y - 4z = -2  =  -x + 2y 3x - y + 2z =  Ma trận hệ số ma trận mở rộng hệ là:  -4   -4 -2   -1  A =  -1  A =      -1   -1      Ví dụ 2: Viết hệ phương trình có ma trận mở rộng là:  -2 -1 A =  -1     -1    Hệ phương trình là: -2x + y + 3z = -1   2x - y + 2z =  3x + 2y - z =  Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn, biểu diễn dạng: a Dạng khai triển:  a x + a x + + a x = b 11 12 1n n  a x + a x + + a x = b  21 22 2n n   am1x1 + am2 x + + amn xn = bm b Dạng ma trận: AX = B Trong A ma trận hệ số; X ma trận cột ẩn; B ma trận cột số hạng tự c Dạng vectơ: x1A1c + x A c2 + + x n A cn = B NX: Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ cột ma trận A Khi nghiệm hệ hệ số biểu diễn tuyến tính Nghiệm hệ phương trình tuyến tính ĐN: Nghiệm hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số x1,x ,…,x n gồm n số thực có thứ tự α1,α2 ,…,αn cho gán x1 = α1,x = α2 ,…,x n = αn thỏa mãn tất phương trình hệ Ký hiệu: Có cách viết nghiệm hệ: Cách 1: ( x1 = α1,x = α2 ,…,x n = αn ) Cách 2: ( α1,α2 ,…,αn ) Cách 3:  x1 = α1 x = α  2    x n = αn Hệ tương đương phép biến đổi tương đương ĐN1: Hai hệ phương trình tuyến tính với ẩn số gọi tương đương chúng có tập nghiệm ĐN2: Một phép biến đổi biến hệ phương trình thành hệ khác tương đương với gọi phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi sơ cấp ĐN: Các phép biến đổi sau hệ phương trình tuyến tính gọi phép biến đổi sơ cấp: Phép 1: Đổi chỗ hai phương trình hệ; Phép 2: Nhân hai vế phương trình hệ với số ≠ Phép 3: Biến đổi phương trình hệ cách “cộng vào vế bội hai vế tương ứng phương trình khác” Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản a HỆ TAM GIÁC ĐN Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác n ẩn số x1, x2, ,xn hệ phương trình có dạng:  a11x1 + a12 x + + a1n xn = b1  a22 x + + a2n xn = b2     ann xn = bn aii ≠ với i = 1, 2, , n Đặc điểm hệ tam giác: • Số phương trình số ẩn; • Từ xuống ẩn dần; • Phương trình cuối có ẩn Cách giải: Thế từ phương trình lên trên, ta tìm nghiệm NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm Ví dụ 2: Giả sử thị trường gồm mặt hàng: hàng hóa 1, với hàm cung hàm cầu sau: Hàng hóa 1: Qs1 = -10 + 2p1; Qd1 = 100 - 5p1 + 3p - p3 ; Hàng hóa 2: Qs2 = -20 + 5p2 ; Qd2 = 120 + 2p1 - 8p - 2p ; Hàng hóa 3: Qs3 = 13p3 ; Qd3 = 300 -10p1 - 5p - p3 ; Hãy xác định giá cân lượng cân mặt hàng Giá cân xác định từ hệ phương trình:  -10 + 2p1 = 100 - 5p1 + 3p - p3  7p1 - 3p2 + p3 = 110    -20 + 5p = 120 + 2p 8p 2p   2p1 - 13p2 - 2p3 = -140 2  13p = 300 -10p1 - 5p - p3 10p1 + 5p2 + 14p3 = 300   p1  p2 p  = 495 / 23 = 320 / 23 = 25 / 23  Q1   Lượng cân Q2 Q  = 760 / 23 = 1140 / 23 = 325 / 23 II Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ (Đọc thêm) ❑ Mơ hình cân kinh tế vĩ mô dạng đơn giản Y thu nhập quốc dân E tổng chi tiêu kế hoạch Trạng thái cân biểu diễn dạng phương trình Y=E Trong kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch toàn kinh tế bao gồm thành phần sau: C: Tiêu dùng hộ gia đình; G: Chi tiêu phủ; I: Chi tiêu cho đầu tư nhà sản xuất Phương trình cân trường hợp kinh tế đóng là: Y=C+G+I Giả sử I = I0, G = G0, C = aY + b (0 < a < 1, b > 0) Ta có hệ pt:  Y = C +I0 + G0  aY + b C =  Y - C = I0 + G0   b -aY + C = II Mơ hình cân kinh tế vĩ mô (Đọc thêm) Giải hệ với ẩn Y, C ta mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân kinh tế b + a (I0 + G0 ) b +I0 + G0 Y= ; C= 1- a 1- a Chú ý: Ta cần nhìn nhận kết giải mơ hình tổng qt hàm số biến lại để phục vụ cho việc tính tốn, phân tích tham số có mặt kết Nếu giả sử C = 200 + 0,75Y; I0 = 300; G0 = 400 (tính triệu USD) ta tính mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân là: 200 + 300 + 400 = 3600 1- 0,75 200 + 0,75 ( 300 + 400 ) C= = 2900 1- 0,75 Y= II Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ (Đọc thêm) ❑ Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ tính đến thuế thu nhập: Nếu tính thuế thu nhập hàm tiêu dùng C = aYd + b Trong Yd thu nhập sau thuế: (T tổng thuế thu nhập) Yd = Y - T Gọi tỷ lệ thuế thu nhập t, ta có: T= t.Y , vậy: Yd = Y - tY = (1- t ) Y, C = a (1- t ) Y + b Khi mơ hình thu nhập quốc dân cân là: Y - C= I0 + G0   Y = C +I0 + G0   C = a(1- t)Y + b -a(1- t)Y + C = b Giải hệ ta thu nhập tiêu dùng cân là: b + a (1- t ) (I0 + G0 ) b +I0 + G0 Y= ; C= 1- a (1- t ) 1- a (1- t ) III Mơ hình IS-LM (Đọc thêm) Mơ hình IS – LM sử dụng để phân tích trạng thái cân kinh tế hai thị trường: hàng hoá tiền tệ • Các ký hiệu: ✓ Tổng cung: Y tổng thu nhập kinh tế; ✓Tổng cầu: E tổng chi tiêu kinh tế Các thành phần tổng cầu: C tiêu dùng hộ gia đình; G chi tiêu phủ, I chi tiêu cho đầu tư sản xuất; X xuất khẩu, M nhập  E = C + I + G + X – M ✓ L lượng cầu tiền, M0 lượng cung tiền, (các biến tính đơn vị tiền tệ) r lãi suất (tính %) • Các giả thiết mơ hình: ✓ C = C(Y) = a + bY (đây dạng tuyến tính hàm tiêu dùng, đó: mức tiêu dùng tự định a thoả mãn a > 0; xu hướng tiêu dùng cận biên b thoả mãn < b < ) ✓ I = I(r) = c – dr dạng tuyến tính hàm đầu tư; c, d > ✓ G = G0 (chi tiêu phủ theo kế hoạch cố định) III Mơ hình IS-LM (Đọc thêm) ✓ NX = X – M = (nền kinh tế đóng cán cân thương mại cân bằng); ✓ Lượng cung tiền M0 cố định ✓ Lượng cầu tiền có quan hệ chiều với thu nhập ngược chiều với lãi suất: L = αY- βr; α, β > ❑ Phương trình IS biểu diễn điều kiện cân thị trường hàng hoá, dịch vụ: E = C + I + G + X – M  Y = a + bY + c – dr + G0  (1-b)Y + dr = a + c + G0 ❑ Phương trình LM biểu diễn điều kiện cân thị trường tiền tệ: αY- βr = M0 Mơ hình IS – LM quy hệ phương trình hai ẩn Y r gồm phương trình IS phương trình LM (1- b)Y + dr = a + c + G0  αY - βr = M0 III Mơ hình IS-LM (Đọc thêm) Giải hệ phương trình ta xác định mức thu nhập cân lãi suất cân bằng: βM0 + d ( a + c + G0 ) α ( a + c + G0 ) - (1- b ) M0 Y= ; r= αd + β(1- b) αd + β(1- b) VD:(Đề KTQD năm 2008): Ta có hệ phương trình:  Y = C +I C = C + aY  I = I0 - br L = L + mY - nr (1- a)Y + br = C0 +I0  Y = C0 + aY +I0 - br     - mY + nr = L - M0 M0 = L M0 = L + mY - nr Giải hệ ta thu nhập lãi suất cân IV Mơ hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Xét kinh tế bao gồm n ngành sản xuất (1, 2,…, n), với giả thiết sau: Mỗi ngành sản xuất loại sản phẩm hàng hóa nhất; Các sản phẩm đầu vào sản xuất ngành sử dụng theo tỷ lệ cố định Tổng cầu sản phẩm ngành bao gồm: ➢ Cầu trung gian: Từ phía nhà SX sử dụng loại sản phẩm cho q trình sản xuất; ➢ Cầu cuối cùng: Từ phía người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng xuất Ký hiệu: xi tổng cầu (dạng giá trị ) hàng hóa ngành i; i =1,2, ,n xik giá trị hàng hóa ngành i mà ngành k cần SD cho việc SX (cầu trung gian) bi giá trị hàng hóa ngành i cần cho tiêu dùng & xuất (cầu cuối cùng) IV Mơ hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Ta có n phương trình: xi = xi1 + xi2 + + xin + bi ; i = 1,2, ,n xi1 xi2 xin xi = x1 + x + + xn + bi ; i = 1,2, ,n x1 x2 xn Đặt: xik aik = ; i,k = 1,2, ,n xk Ta có hệ phương trình:  x1 = a11x1 x = a x  21    x n = an1x1 + a12 x + + a1n x n + a 22 x + + a 2n x n + b + + + + an2 x + + ann x n + b1 + bn IV Mơ hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Nếu cho ma trận:  a11 a12 a a22 21  A=    an1 an2  b1  b  B= 2      bn  a1n  a2n     ann  Ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận hệ số chi phí trực tiếp  x1  x  Đặt: X =        xn  Ma trận tổng cầu Ma trận cầu cuối Các xi ; i =1,2, ,n; tìm từ hệ phương trình: (1- a11 ) x1   -a21x1    -an1x1 - a12 x - - a1n xn = b1 + (1- a22 ) x - - a2n xn = b2 - - - = - an2 x - + (1- ann ) xn = bn IV Mơ hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Hệ viết dạng ma trận: (E – A)X = B Từ phương trình trên, suy ma trận tổng cầu là: X = (E – A)-1B Chú ý: (Về ma trận hệ số kỹ thuật A) ❖ Ý nghĩa phần tử aik : Để sản xuất đơn vị giá trị hàng hóa ngành k ngành k phải mua ngành i số đơn vị giá trị hàng hóa aik ; ≤ aik < 1, i,k = 1, 2, ,n ❖ Tổng tất phần tử cột k chi phí mà ngành k phải trả cho việc mua hàng hóa ngành (kể ngành k) để làm đơn vị giá trị hàng hóa < a1k + a2k + + ank < IV Mơ hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Ví dụ1: Giả sử kinh tế có ngành sản xuất (ngành 1, 2) Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:  0,1 0,2  A =  0,3 0,4   Giải thích ý nghĩa số 0,3 ma trận A; Cho biết tỷ phần giá trị gia tăng (giá trị hoạt động sản xuất) ngành tổng giá trị sản phẩm ngành đó; Cho biết lượng cầu cuối hàng hóa ngành 1, là: 17, 52 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu ngành IV Mơ hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Giải Ý nghĩa số 0,3 ma trận A: Để ngành sản xuât đơn vị giá trị hàng hóa ( đồng hay 1$ ) ngành phải mua ngành số đơn vị giá trị hàng hóa 0,3 ( đồng hay $) Tỷ phần giá trị gia tăng ngành tổng giá trị sản phẩm ngành là: – (0,2 + 0,4) = 0,4 Gọi x1, x2 tổng cầu ngành ngành x1, x2 tìm từ hệ phương trình:  0,9x1 - 0,2x = 17  -0,3x1 + 0,6x = 52 Giải hệ ta được: x1 = 103 173  42,92; x =  108,13 2,4 1,6 IV Mô hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Ví dụ 2: Giả sử kinh tế có ngành sản xuất (ngành 1, 2, 3) Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:  0,2 0,3 0,2  A =  0,4 0,1 0,2     0,1 0,3 0,2    Giải thích ý nghĩa số 0,4 ma trận A; Cho biết tỷ phần giá trị gia tăng (giá trị hoạt động sản xuất) ngành tổng giá trị sản phẩm ngành đó; Cho biết lượng cầu cuối hàng hóa ngành 1, 2, là: 10, 5, triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu ngành Xác định tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào ngành IV Mơ hình Input – Output Leontief (Đọc thêm) Ý nghĩa số 0,4 ma trận A: Để ngành sản xuât đơn vị giá trị hàng hóa ( đồng hay 1$ ) ngành phải mua ngành số đơn vị giá trị hàng hóa 0,4 (đồng hay $) Tỷ phần giá trị gia tăng ngành tổng giá trị sản phẩm ngành là: – (0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,4 Gọi x1, x2, x3 tổng cầu ngành 1, ngành ngành x1, x2, x3 tìm từ hệ phương trình:  0,8x1 - 0,3x - 0,2x = 10  -0,4x1 + 0,9x - 0,2x = -0,1x - 0,3x + 0,8x =  Giải hệ ta x1  24,54; x  20,68; x  18,36 Gọi c1, c2, c3 tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào ngành 1, ngành ngành ci, i = 1,2,3 tìm từ cơng thức: ci = xi ( tổng cột i), i = 1,2, ... VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khái niệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát Ma trận hệ số ma trận mở rộng Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Hệ tương... am2 x hệ + + amn x n = bm Trong đó: aij hệ số ẩn x j phương trình thứ i; bi hệ số tự phương trình thứ i Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính phương trình, ẩn số:  2x1 + 3x   -x1 + 2x 3x +... biến đổi sau hệ phương trình tuyến tính gọi phép biến đổi sơ cấp: Phép 1: Đổi chỗ hai phương trình hệ; Phép 2: Nhân hai vế phương trình hệ với số ≠ Phép 3: Biến đổi phương trình hệ cách “cộng