Tài liệu học tập độ đo và tích phân

Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm MỤC LỤC Lời mở đầu BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC NHĨM CHƯƠNG 1: ĐỘ ĐO DƯƠNG – HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.1 Tập hợp đo được: 1.2 Ánh xạ đo được: 1.3 Tập có độ đo khơng tính chất “hầu khắp nơi”: B BÀI TẬP GIÁO TRÌNH: 10 C BÀI TẬP TÌM HIỂU THÊM: 33 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐO DƯƠNG TỔNG QUÁT 39 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 39 2.1 Tích phân hàm đo dương: 39 2.2 Hàm khả tích Lebesgue: 40 B BÀI TẬP GIÁO TRÌNH: 42 C BÀI TẬP TÌM HIỂU THÊM: 62 CHƯƠNG 3: ĐỘ ĐO DƯƠNG TRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm Lời mở đầu Độ đo khái niệm tổng quát từ độ dài đường thẳng, diện tích miền phẳng thể tích vật thể Tích phân đời để đáp ứng nhu cầu tính độ dài cung đường cong, diện tích thể tích hình Mơn học Lý thuyết độ đo tích phân mơn bắt buộc chung ngành Tốn Vì q trình học tập, nghiên cứu môn này, giảng dạy hướng dẫn thầy TS.Lê Minh Triết giảng viên trường Đại học Sài Gịn, dựa theo giáo trình Lý thuyết độ đo tích phân thầy Dương Minh Đức, chúng tơi biên soạn lại tiếp thu tìm hiểu Nội dung chúng tơi viết tóm tắt lại phần lý thuyết học, trình bày lại giải thầy Lê Minh Triết hướng dẫn trình học Ngồi chúng tơi có bổ sung thêm vài kiến thức lý thuyết số tập tương tự, liên quan mà chúng tơi tìm hiểu thông qua nguồn tài liệu Tuy học tập nghiêm túc tránh khỏi sai sót q trình ghi chép giải tập tương tự Vì mong góp ý, nhận xét thầy bạn để tài liệu học tập nhóm hồn thiện hơn, hữu ích việc học ôn tập môn Lý thuyết độ đo tích phân Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Nhóm – Tốn Giải tích 19.1 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC NHĨM STT Họ Tên Huỳnh Thị Sâm Công việc giao Đánh giá + Lý thuyết: Tìm hiểu độ đo + Hoàn thành tiến độ phức đầy đủ hóa khơng + Tìm hiểu thêm “Tập có độ gian đo được; Hàm khả tích đo khơng tính chất hầu khắp Lebesgue nơi” + Bài tập 2.20, 2.23, 2.25, 3.8, 3.9, + Làm thêm tập tìm hiểu 3.10 thêm 1, 3, 4, 5, + Làm thêm tập 2.26 Huỳnh Thị Thanh Trúc + Lý thuyết: Tìm hiểu tập hợp + Hồn thành tiến độ đo được; Tích phân hàm đo + Làm thêm tập 2.2, 2.5, 2.9, dương 2.10, 2.11, 2.12 + Bài tập 2.3, 2.7, 2.8, 2.13, 2.14, + Làm thêm tập tìm hiểu 3.2, 3.3, 3.4 thêm + Tổng hợp trình bày Phạm Thị Diễm Xuân + Lý thuyết: Tìm hiểu ánh xạ đo + Hoàn thành tiến độ được; Độ đo dương cho xác suất + Làm thêm tập 2.17, 2.18, + Bài tập 2.16, 2.21, 2.24, 3.5, 3.6, 2.22 3.7 + Làm thêm tập tìm hiểu thêm Võ Thành Hiếu + Bài tập 3.11, 3.12, 3.13 + Làm thêm tập 3.15, 3.16, 3.19, 3.21, 3.24, 3.25 Tài liệu học tập môn Độ đo tích phân Nhóm CHƯƠNG 1: ĐỘ ĐO DƯƠNG – HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.1 Tập hợp đo được: Định nghĩa 1.1.1: Cho M họ tập tập khác rỗng X Ta nói M  _ đại số X M có tính chất sau: X M i ii X \ A  M A  M  iii  An  M  An   M n 1 Ví dụ 1.1.1: Cho X tập khác rỗng Khi   X  (tập tập X ) , X  _ đại số Định nghĩa 1.1.2: Nếu có  _ đại số M tập hợp X , ta nói X không gian đo phần tử M gọi tập đo m Ví dụ 1.1.2: Cho  , M  không gian đo Cho A1 , A2 , , Am  M Đặt A   An Chứng n 1 minh A tập M - đo  Giải  , M  không gian đo Suy M  _ đại số   Suy ra:  An  M   An   M n 1 A1 , A2 , , Am  M Đặt B1  A1 , B2  A2 , , Bm  Am , Bm 1   , Bm     Suy ra: B1 , B2 , , Bm , Bm 1 , Bm  ,  M Suy ra:  Bn  M n 1 m  m Mà  Bn   An Nên  An  M n 1 n 1 n 1 m Vậy A   An tập M - đo  n 1 Ví dụ 1.1.3: Cho  , M  không gian đo Cho A, B  M Chứng minh A  B tập M - đo   A  M  \ A  M Giải Ta có:      \ A   \ B  M  B  M  \ B  M Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm Mà   \ A     \ B    \  A  B    \  A  B   M   \  \  A  B    M Mà  \  \  A  B   A  B Nên A  B  M Vậy A  B tập M - đo  Định nghĩa 1.1.3: Cho X không gian đo với  _ đại số M cho  ánh xạ từ M vào  0,   Ta nói  độ đo dương M  có tính chất sau: i    Nếu  An  dãy phần tử rời M    An      An   n1  n1 ii Có B M cho   B    Ta gọi  , M,   không gian đo Ví dụ 1.1.4: Cho  tập hợp Lebesgue đo khác trống  n Đặt N   A  M : A   v  A     A  A  N Chứng minh v độ đo dương không gian đo  , N  Giải i Gọi  An  dãy phần tử rời N Suy  An  dãy phần tử rời M       Ta có: v   An      An      An    v  An  n 1  n1   n 1  n 1 ii Vì  độ đo dương   n , M  Nên tồn B  M :   B    Đặt B   B cho B   Suy B   N     Ta có: v B   B    B    Vậy v độ đo dương không gian đo  , N  Định nghĩa 1.1.4: Cho X không gian đo với  - đại số cho hàm  : M  C Ta nói  độ đo phức M  thỏa mãn tính chất sau:      j 1    Aj      Aj , Aj  M , j  1, 2,3, Ai  A j  , i  j  j 1 Tài liệu học tập môn Độ đo tích phân Nhóm Định nghĩa 1.1.5: Cho X không gian đo với  - đại số M cho hàm  độ đo (dương phức) M Ta nói  X , M,   không gian đo (measure space) Chú thích 1.1.1:  (i) Với độ đo phức, chuỗi    A  hội tụ với dãy  A  rời trên, hội tụ j j j 1 tuyệt đối (ii) Nếu  độ đo dương A, B  M A  B   A    B  (iii)   Cũng vậy, A j  M , j  1, 2, A1  A2  A3  ,    Aj   lim   An  n   j 1  (iv)   Tương tự , A j  M , j  1, 2, A1  A2  A3  ,    Aj   lim   An  n   j 1  (v)    Nếu  độ đo dương A j  M , j  1, 2, 3,    Aj      Aj   j 1  j 1 Định nghĩa 1.1.6: Cho ( X , M ,  ) không gian đo Đặt: M*   E  X : A, B  M cho A  E  B   B \ A  0} Ta đặt  *  E     A Định lí 1.1.1:  X , M * ,  *  không gian đo Chứng minh: Trước hết ta kiểm tra lại  * xác định tốt với E  M* Giả sử A  E  B, A1  E  B1   B \ A    B1 \ A1  , với A, B, A1 , B1  M Chú ý rằng: A \ A1  E \ A1  B1 \ A1 , Do ta có:   A \ A1   ,   A    A  A1     A \ A1     A  A1  Lý luận tương tự,   A1     A1  A Vậy   A    A1  Tiếp theo, kiểm tra M * thỏa tính chất  - đại số (i) X  M * , X  M M  M * , (ii) Giả sử A  E  B , X \ B  X \ E  X \ A Vậy E  M* dẫn đến X \ E  M * ,  X \ A \  X \ B    X \ A  B  B \ A ,    X \ A \  X \ B      B \ A  (iii)    i 1 i 1 i 1 Giả sử Ai  E i  Bi , E   Ei , A   Ai , B   Bi , A  E  B Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân   i 1 i 1 Nhóm Và B \ A    BI \ A     Bi \ Ai    Vì hội đếm tập có độ đo tập có độ đo 0,    B \ A       Bi \ Ai     i 1   Suy ra:   B \ A  , E   Ei  M * , Ei  M * với i  1, 2,3 i 1 Cuối cùng, tập Ei  M * rời đơi bước (iii), tập Ai rời đôi giống   Do đó:  *  E     A      Ai     *  Ei  i 1 i 1 Vậy chứng tỏ  * cộng đếm M * Định nghĩa 1.1.7:  X , M * ,  *  gọi đầy đủ hóa  X , M,   Nếu M *  M ta gọi  độ đo đầy đủ 1.2 Ánh xạ đo được: Định nghĩa 1.2.1: Cho  X , M  không gian đo được,  A1 ; A2 ; ; Am  họ hữu hạn m M 1; 2 ; ; m  họ hữu hạn  f ( x)   k Ak  x  x   k 1  1 Trong A  x       0 xA x X \A Ta nói f ánh xạ đơn (simple function)  X , M  Ví dụ 1.2.1: Chứng minh rằng: a) A B  A B Ta có: A B  x   x  A x  B  A  x   B  x Do đó, AB  A B b) AC  1 A Nếu  AC  x  A Do đó, A  x  Nếu  AC  x  A Do đó, A  x  Vậy AC  1 A Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm Định nghĩa 1.2.2: Cho  X , M  không gian đo f ánh xạ từ X vào ;  Ta nói f ánh xạ thực đo  X , M  f 1 a,    M với số thực a Định nghĩa 1.2.3: Cho  X , M  không gian đo u v ánh xạ từ X vào  , f  u iv Ta nói f ánh xạ phức đo  X , M u v ánh xạ đo  X , M  1.3 Tập có độ đo khơng tính chất “hầu khắp nơi”: Giả sử ( X , M,  ) không gian độ đo với M  - đại số Ta nói tính chất P ( x ) thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) A tồn B  M cho  B  P ( x ) thỏa mãn với x  A \ B Đôi để rõ độ đo  (trong trường hợp xét nhiều độ đo) ta viết “  - h.k.n’’ thay cho “h.k.n” Ví dụ 1.3.1: 1) Hàm f : A   hữu hạn h.k.n A f ( x )   với x  A ngoại trừ tập B  A mà B  B0  B0  2) Dãy  f n n hàm xác định A hội tụ h.k.n A hàm f có tập B  A cho  B  f n ( x)  f ( x) n   với x  A \ B 3) Hai hàm f , g xác định A hội tụ h.k.n A  x  A : f ( x)  g ( x)  B với  B  Hai hàm h.k.n A gọi tương đương A thường ký hiệu f  g Chý ý quan hệ  quan hệ tương đương lớp hàm xác định A Định lí 1.3.1: Nếu  độ đo đủ hàm số g tương đương với hàm f đo A đo A Chứng minh: Từ định nghĩa hàm tương đương ta suy hai tập hợp A f  a  A  g  a  sai khác tập có độ đo (do  đủ) nên A f  a   M A  g  a   M Trong giải tích cổ điển, khái niệm tương đương hàm số khơng có vai trị quan trọng, ta xét hàm số liên tục, mà hàm số tính tương đương trùng với tính đồng Chính xác hơn, hai hàm số liên tục đoạn mà tương đương (với độ đo Lebesgue) chúng đồng Thật vậy, f ( x0 )  g ( x0 ) điểm x0 tính liên tục f g , tồn Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm lân cận x0 f ( x )  g ( x ) Vì độ đo lân cận dương nên điều mâu thuẫn với giả thiết tương đương f g Đối với hàm đo tùy ý, nói chung tính tương đương khơng kéo theo đồng Ví dụ, hàm số nhận giá trị điểm hữu tỷ nhận giá trị điểm vô tỷ tương đương với hàm không Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm B BÀI TẬP GIÁO TRÌNH: Bài 2.2: trang 36 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân Cho  họ tập tập hợp X khác rỗng Tìm  _ đại số nhỏ M X cho   M Giải Đặt M   A   : A  N  N laø  _ đại số chứa  Hay M  N ,  N  _ đại số chứa  Ta cần chứng minh M  _ đại số X : + X  N  N  _ đại số chứa  Suy X  N  N  _ đại số chứa  Hay X  M + Lấy A tùy ý thuộc M Khi A  N  N  _ đại số chứa  Suy ra: X \ A  N (do N  _ đại số )  N  _ đại số chứa  Nên X \ A N  N  _ đại số chứa  Hay X \ A  M  + Lấy họ  An  n 1  M Khi  An     An   N  N  _ đại số chứa   Suy ra:  An  N  N  _ đại số chứa  n 1  Nên  An  N  N  _ đại số chứa  n 1  Hay  An  M n 1 Vậy M  _ đại số X Ta cần chứng minh M  _ đại số nhỏ X : Xét M'  _ đại số chứa  Suy M  M' M = N ; N  _ đại số chứa  Vậy M  _ đại số nhỏ chứa  10 Tài liệu học tập môn Độ đo tích phân Nhóm Xét dãy phân hoạch Dn đoạn  a; b với Dn  Gọi tổng Darboux ứng với phân hoạch Dn Gọi  i phân hoạch thứ i phân hoạch Dn  a; b n ti  inf f  x  S n   ti  i xi i 1 n Đặt f n  x    ti  i  x  Ta có f  x  liên tục h.k.n  a; b , với n đủ lớn Dn   i i 1 đủ nhỏ để: Với   bất kì, f  x   f n  x   f  x   ti   Suy f n  x   f  x  h.k.n  a; b Do theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có Sn   fn  x  d    a ;b   f  x d   a ;b  b Mặt khác S n   f  x  dx a b Vậy   a ;b  f  x  d    f  x  dx a Bài 3.12: trang 50 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân Cho A tập đo không gian đo  X , M,   ,  A, N,  không gian đo thu hẹp A  X , M,   , f hàm khả tích  A, N,  Đặt  f  x  h  x   0 x A x X \ A Chứng minh h khả tích  X , M,    hd    fd X A Giải Trường hợp 1: f không âm  A, N,  Ta có f khả tích  A, N,  nên f đo  A, N,   A f d   fd   (1) A Với  A, N,  không gian đo thu hẹp  X , M,   53 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm  f  x  , Do tập 2.17, N   A  E : E  M ,   D     D  Ta có: h  x    0, x  A  f  A  x  x X \ A Do (1) suy f đo  X , M,   Thật vậy, a   , f 1   a;     x  A : f  x      x  A : a  f  x     f 1   a;   A  E  f 1   a;   M  f đo  X , M,    f  A  x  đo  X , M,   Ta có từ (1) suy tồn dãy hàm đơn sm  tăng, không âm, hội tụ điểm f  A, N,  Theo tập 2.25, ta có  s1  x   s2  x    f  x  , x  X i) lim sm  x   f  x  , x  X ii) m 0  s1  x   A   s1  x   A   f  x   A , x  X  sn  x   A  x   f  x   A  x   h  x  , x  X lim n  n Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu tăng cho sn  A n 1  hd   lim  s  n  X n X n A d   lim  sn d  n  A n n Ta có  sd   ck  A  Bk    ck   A  Bk    ck   X  A  Bk    s  A d    sd  A Vậy k 1 k 1 k 1  hd   lim  s d   f d X n  n A A Trường hợp 2: f hàm đo  A, N,  Đặt f  f   f  , f   max  f ;0  , f   max  f ;0  Áp dụng trường hợp cho f  , f  ta suy điều phải chứng minh Bài 3.13: trang 50 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân 54 X A Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm Cho f hàm đo g hàm khả tích khơng gian đo  X , M,   Giả sử f  g Chứng minh f hàm khả tích X Giải Trường hợp 1: f  Do f đo  X , M  nên theo tập 2.25, tồn dãy hàm đơn sm  X cho:  s1  x   s2  x    f  x  , x  X i) lim sm  x   f  x  , x  X ii) m Do f  f  g nên sm  x   sm  x   g , x  X , m   Mặt khác, sm hàm đơn m  * Suy sm đo  X , M  , m  * (Theo tập 2.18) Do đó, áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta được:  fd   lim  s X m  X m d   lim  gd    gd    (1) m  X X Mà f đo  X , M  (2) Từ (1) (2) suy f khả tích  X , M,   (Định nghĩa 3.2.1) Trường hợp 2: f hàm đo Đặt f  f   f  với f   max  f ;0 , f   max  f ;0 Ta có f  f   f    f  g Do f  g  f   f   g mà f   0, f       f  g Vì f đo nên f  , f  đo Áp dụng kết trường hợp 1, ta được: f X Khi đó:  f d    f  f X X   d   f X   d   f d   X Vậy f khả tích  X , M,   Trường hợp 3: f hàm phức Đặt f  f1  if với f1 , f hàm thực 55  d   ,  f  d    X Tài liệu học tập môn Độ đo tích phân Ta có f  Nhóm  f1  g f12  f 22  g    f  g Do f đo nên f1 , f đo Theo kết trường hợp 2, ta có:  X f1 d  ,  f d      f d    X X f12  f 22 d     f1  f  d    f1 d    f d    X X X X Vậy f khả tích  X , M,   Bài 3.15: trang 51 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân Cho  X , M,   không gian đo  ft t0,1 họ hàm đo X, f hàm X giả sử có g L1  X ,   cho x  X , t   0,1 i ft  x   g  x  ii f  x   lim ft  x  x  X t 0 Lúc f đo  fd   lim  f d  X t 0 t X lim  ft  f d   t 0 X Giải Giả sử hàm f thỏa điều kiện đề Lấy tn  dãy  0,1 cho lim tn  t0 n  Đặt ftn  x   f  x, tn  với ý ftn  g h.k.n với n f tn  f t h.k.n Áp dụng tập 3.13, ta có f tn khả tích Hơn theo định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue, ft hàm khả tích lim  ft d    fd  n  X Từ suy điều phải chứng minh Bài 3.16: trang 51 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân Cho  X , M,   không gian đo h hàm thực X   a, b  Đặt hx  t   h  x, t  hx  t   h  x, t    x , t   X   a, b  Giả sử 56 X Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm i ht khả tích X với t  a, b  ii hx khả vi  a, b  với x X iii Có hàm số g khả tích X cho h   x, t   X   a , b   x, t   g  x  t dh h  x, t   x  t  với  x, t  X   a, b  t dt Đặt u  s    h  x, s  d   s    h s d  X s   a, b  X Chứng minh u khả vi  a, b  u   s    X h  x, s  d   x  s s   a, b  Giải Cho h h  x, t0   điểm x mà đạo hàm riêng không tồn Khi lim  x, t  tồn với hầu hết t t0 t t x Do áp dụng tập 3.15, h  x, t  khả tích t u  t   u  t0  h  x , t   h  x , t0   d   x t  t0 t  t0 X  X h h t t0    x, t  d   x   x, t  d   x   t t X Điều chứng tỏ u khả vi t0 u   t    X h  x, t  d   x  Suy điều phải chứng minh t Bài 3.19: trang 52 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân Cho  X , M,   không gian đo  fm dãy hàm khả tích X, f hàm khả tích X giả sử lim  f m  f d   m  X    f  hàm g khả tích X cho Chứng minh có dãy f mk m f mk  x   g  x  x  X , k   f  x   lim f mk  x    h.k n X k  Giải 57 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm    f  cho  Do lim  f m  f d   , ta có dãy f mk m  X m f mk  f m d   X , k   2k  Đặt F1  f m1 , Fk  f mk  f mk 1 , k  g   Fk k 1  Ta có   k 1 X Fk d    F1 d    Fk d  k 2 X X    f m1 d     f mk  f mk 1 d  k 2 X X    f m1 d     k 1 k 2 X   f m1 d    X Áp dụng tập 3.18, ta có chuỗi hàm  f  x    Fk  x   lim f mk  x  hội tụ h.k.n X, f khả tích X x  k 1 k Mặt khác, f mk  x   k  Fj  x    Fj  x  j 1 j 1    F j  x   g  x  x  X , k   j 1 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có f khả tích lim  f mk  f d   k  X Cũng lim  f m  f d   , ta suy f  f h.k.n X m  X Bài 3.21: trang 53 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân (Định lý Egoroff) Cho  X , M,   không gian đo với độ đo dương cho Cho dãy hàm đo hội tụ điểm hàm f X Cho số thực dương Chứng minh có tập đo A cho hội tụ f A Giải Giả sử dãy hàm  f m  hội tụ điểm f X  1  Đặt S  n, k     x  X : f i  x   f  x    k in  58 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm Cho x  X , k   ,  f m  hội tụ điểm f X, ta có n   , cho x  S  n, k  Do với  k   , ta có X   S  n, k  n 1 Vì S 1, k   S  2, k   S  3, k   Áp dụng tập 2.13, ta có   X   lim   S  n, k   n  Vậy với   k  , ta có nk   cho   X \ S  n, k      X     S  n, k      k 1 k 1  2k Đặt A   S  nk , k  Ta có X \ A    X \ S  nk , k   ,   k 1 k 1    X \ A      X \ S  nk , k     2k  Với k   , ta có với x  A  x  S  nk , k   f i  x   f  x   Suy  fm  , i  nk k hội tụ f A Bài 3.24: trang 54 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân Cho  X , M,   không gian đo f hàm khả tích X Cho số thực dương  Chứng minh có số thực dương  cho  E  M với   E    f d   E Giải Do f  nên ta cần chứng minh cho trường hợp f  Khi tồn dãy hàm đơn  f n n không âm, đơn điệu tăng lim f n  f M n  Khơng tính tổng qt, ta chọn  f n n cho f n  n với n  Ta có lim  f n d   n  M  f d  Do với   , tồn n   f  f    để n0 M M Với E  M , ta có  f   f  f   f n0 E Chọn    2n0 E n0  E Khi  E   n0  E    f  f   f n0 M  n0  E Do đó, f E 59      n0  E   Tài liệu học tập môn Độ đo tích phân Nhóm Bài 3.25: trang 54 – Giáo trình lý thuyết độ đo tích phân Chứng minh định lý 3.2.4:  L1  X ,   ,  không gian Banach Giải Lấy f n  x  dãy Cauchy  L1  X ,   ,  , tức f n  f m  Như ta ln tìm n1 đủ lớn cho f n  f m  1 với n, m  n1 Tiếp tục, ta tìm n2  n1 cho f n  f m  với 2 n, m  n2 Do ta chọn dãy n1  n2   nk  với k ta có: n, m  nk , fn  fm  k k  Như f nk 1  f nk s Áp dụng bổ đề Fatou cho dãy hàm không âm g s  x   f n1  x    f nk 1  f nk  L1  X ,   k 1 Với x cố định g s  x  không giảm theo s nên tồn lim g s  x  n  Do  lim g  x  d   lim  g  x d   lim X s  s s  s s gs s  X k s Mặt khác g s  f n1   f nk 1  f nk  f n1    f n1  1 k 1 Nên lim g s   Do gs d    s  k 1  lim X s  Điều chứng tỏ lim g s   h.k.n, hay tồn lim g s hữu hạn h.k.n X s   s    Suy f n1  x    f nk 1  x   f nk  x  hội tụ tuyệt đối h.k.n k 1 Như s   tồn giới hạn hữu hạn h.k.n hàm   f ns1  x   f n1  x    f nk 1  x   f nk  x   k 1 Ta gọi giới hạn f  x  , f ns1  f  x  h.k.n Vì f ns1  x   lim g s  x   L1  X ,   s  Theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có  f  x  d   lim  s  X 60 X f ns1  x  Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Tức  f  x  d   lim  X s  Nhóm f ns1  x  Áp dụng bổ đề Fatou ta có X f  f nk   lim f ns1  x   f nk  x  d   lim  f ns1  x   f nk  x  d  X s  n X s  lim f ns1  f nk  lim s  s  lim  s   s  t  k t k f nt 1  f nk  s  lim  f nt 1  f nk s  t k  1  t t t k Suy lim f  f nk  Cuối  f n  dãy Cauchy nên với n, nk đủ lớn ta có f nk  f n   k  Khi chọn k để vừa có nk  n0 f  f nk   có với n  n0 : f  f nk  f  f nk  f nk  f n      2 Chứng tỏ dãy f n  x  hội tụ tới f  x  Từ suy điểu phải chứng minh 61 Tài liệu học tập môn Độ đo tích phân Nhóm C BÀI TẬP TÌM HIỂU THÊM: Bài 1: Cho f hàm thực mở rộng đo tập D đo Nếu f khả tích D tập hợp D : f  0 tập  hữu hạn Giải   Với n   , tập hợp Dn   x  D : f ( x )  1  n Ta có:  x  D : f ( x)  0   x  D : f ( x)  0   Dn n N   Dn    f d   f d   n D D Với n   , ta có: n Do đó,   Dn    với n   Vì vậy,  x  D : f ( x)  0 tập  hữu hạn Bài 2: Cho X, M,   không gian đo f hàm thực đo không âm không gian đo X, M,   Giả sử  f d  với E  M Chứng minh f  E Giải   Với n   , En   x  X : f ( x)  1  n Vì f  ta có: E =  x  X : f ( x)  0   x  X : f ( x)  0   En (*) nN Ta chứng minh   E   Trên tập En , ta có: f  suy  En n f d    E n  n suy   En   n  fd  (giả thiết) En suy   En   với n   62 Tài liệu học tập môn Độ đo tích phân Nhóm Do đó,    E      En   suy   E   từ (*) suy f  n N Bài 3: Cho X, M,   không gian đo f đo hữu hạn (hầu khắp nơi) tập X (  X   ) Cho An  x  X : f ( x)  n với n   Chứng minh lim   An     n Giải *Chứng minh  An n dãy giảm Ta chứng minh An1  An với n   Lấy x  An1 suy f ( x)  n  với n   Suy f ( x)  n với n     Suy x  An Do đó, An1  An với n   suy   An      An   n1  *Chứng minh lim   An   n Đặt C   x  X : f ( x)    Lấy x   An suy x  An với n   n1  Suy f ( x)  n với n   suy f ( x)   suy x  C suy  An  C n1   Mà C tập không đáng kể suy    An   suy   An    n1  Vậy lim   An   n Bài 4: Cho A, M,   khơng gian đo được, f khả tích A f khả tích A Chứng minh: f khả tích A f khả tích A Giải Do f khả tích A nên  f d   mà theo định lý 3.2.2 A suy   A f d   Vậy f khả tích A A 63 f d   f d A Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm Chứng minh: f khả tích A f khả tích A Vì f khả tích A nên  f d   f d   suy A Suy f   f d, A A  f d   A  f  d   f d   Vậy f khả tích A A A    Bài 5: Cho D, M,   không gian đo lim  x  D : f n  x  f  x   f n  f n D Giải Với   với n    Đặt En  x  D : f n ( x)  f  x     F  x  D : n  f n ( x)  f  x   Ta có: Với n   , lấy x  En suy f n ( x)  f  x    suy f n ( x)  f  x   suy x  Fn Do đó, En  Fn   En     Fn  với n   mà lim   Fn   nên lim   En   n  Vậy f n  f D 64 n Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm CHƯƠNG 3: ĐỘ ĐO DƯƠNG TRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Định nghĩa 3.1: Cho , , P không gian đo với độ đo dương P Nếu P   , ta nói:  , , P không gian xác suất,    P độ đo xác suất hay xác suất  , A biến cố A   , P(A) xác suất biến cố A A   Định nghĩa 3.2: Cho , , P không gian xác suất X ánh xạ đo từ  vào ,  Ta có X biến số ngẫu nhiên xác định , , P   Định nghĩa 3.3: Cho , , P không gian xác suất X biến ngẫu nhiên  Ta ký hiệu: FX    P  x   : X  x       Ta gọi FX hàm phân phối X Ví dụ 3.1: Nếu t  s FX t   FX  s  Giải FX t   P  x   : X  x   t  t   FX  s   P  x   : X  x   s s   Chứng minh: x   : X  x   t    x   : X  x   s t , s   Lấy y   x   : X  x  t  t   Ta cần chứng minh y   x   : X  x   s s   Thật vậy, y   x   : X  x  t  t   suy X  y   t với y   Mà t  s suy X  y   s với y   suy y   x   : X  x  s s   Do đó,  x   : X  x  t    x   : X  x   s t , s   65 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Suy P x   : Nhóm X  x  t   P  x   : X  x  s t , s   Suy FX t   FX  s  t , s   Định nghĩa 3.4: Cho , , P không gian xác xuất X biến ngẫu nhiên  Giả sử X khả tích , , P  Ta ký hiệu: E X   XdP  Ta gọi E X kỳ vọng biến ngẫu nhiên X p Ví dụ 3.2: Giả sử X biến ngẫu nhiên, p  Chứng minh E X   t p P  X  t   t   Giải p Ta có: E X   suy  p X dP   suy  t p dP   X t  Vậy   p X dP  t    X t  t p dP  t p P  X  t   t    X t  66 p X dP  t    X t   Do đó,   Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm TÀI LIỆU THAM KHẢO Dương Minh Đức Lí thuyết Độ đo tích phân NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh 2006 Đậu Thế Cấp Độ đo tích phân NXB Giáo dục 2006 Thái Thuần Quang Bài giảng Độ đo tích phân Lương Đăng Kỳ Bài giảng Độ đo tích phân 67 ... để tài liệu học tập nhóm hồn thiện hơn, hữu ích việc học ơn tập mơn Lý thuyết độ đo tích phân Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Nhóm – Tốn Giải tích 19.1 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm. .. 3. 11, 3. 12, 3. 13 + Làm thêm tập 3. 15, 3. 16, 3. 19, 3. 21, 3. 24, 3. 25 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm CHƯƠNG 1: ĐỘ ĐO DƯƠNG – HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.1 Tập hợp đo được: Định... 38 Tài liệu học tập mơn Độ đo tích phân Nhóm CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐO DƯƠNG TỔNG QT A TĨM TẮT LÝ THUYẾT: 2.1 Tích phân hàm đo dương: Định nghĩa 2.1.1: Cho không gian đo  X , M   độ đo