Khám phá sức mạnh của Toán 8 với bộ sách Chân Trời Sáng Tạo Đến với chúng tôi, bạn sẽ được tìm hiểu và áp dụng kiến thức toán học vào thực tế qua những bài tập thú vị và ứng dụng, giúp rèn luyện kỹ năng toán học bổ ích cho tương lai của bạn.Bước vào thế giới phép tính phức tạp cùng bộ sách Chân Trời Sáng Tạo Toán 8 Với cách tiếp cận độc đáo, từng bước giải quyết chi tiết và lời giải thuyết phục, bạn sẽ phát triển khả năng tư duy logic, sáng tạo và sẵn sàng vượt qua mọi thử thách toán học
ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN ĐA THỨC NHIỀU BIẾN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I/ Đơn nhiều biến Khái niệm Đơn thức nhiều biến biểu thức đại số gồm số, biến tích số biến Đơn thức thu gọn Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Trong đơn thức thu gọn có hai phần: phần hệ số phần biến Ta coi số đơn thức thu gọn có phần hệ số Trong đơn thức thu gọn, biến viết lần Đơn thức đồng dạng Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Các số khác coi đơn thức đồng dạng Cộng trừ đơn thức đồng dạng Để cộng (trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến II/ Đa nhiều biến Định nghĩa Đa thức nhiều biến (hay đa thức) tổng đơn thức Mỗi đơn thức coi đa thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức Đa thức thu gọn Thu gọn đa thức nhiều biến làm cho đa thức khơng hai đơn thức đồng dạng Giá trị đa thức Để tính giá trị đa thức giá trị cho trước biến, ta thay giá trị cho trước vào biểu thức xác định đa thức thực phép tính B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Nhận biết đơn thức nhiều biến, đa thức nhiều biến Ví dụ Trong biểu thức sau, biểu thức đơn thức? a) 12x 2y ; b) x (y 1) ; c) 2x ; d) 18 ; e) 2x Bài giải 12x 2y ; 18 đơn thức Ví dụ Biểu thức đơn thức? a) x y ; b) x y xy ; c) 2x 2y ; d) ; 4xy Bài giải x y ; x y xy ; x (y 1) ; đơn thức 4xy Ví dụ Cho biết phần hệ số, phần biến đơn thức sau a) 2x 2y ; b) xy Bài giải a) 2x 2y : Hệ số 2, phần biến x y 1 b) xy : Hệ số , phần biến xy 2 Ví dụ Biểu thức đa thức biểu thức sau? e) x (y 1) a) x 2y 3xy ; b) x 2x ; y d) x (x y ) c) 2018 ; Bài giải x 2y 3xy ; 2018 ; x (x y ) đa thức Ví dụ Biểu thức khơng phải đa thức biểu thức sau? a) x ; x b) xy 2x ; c) x ; d) x2 1 xy Bài giải x 2 x2 1 ; đa thức x xy Dạng 2: Nhận biết đơn thức đồng dạng Ví dụ Xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng 3 5 xy; x 2z ; xyz ; xy; 7xyz ; x 2z ; 3xy 6 Bài giải Nhóm đơn thức đồng dạng : Nhóm : xy; xy; 3xy Nhóm 2: xyz ; 7xyz Nhóm 3: x 2z ; x 2z Ví dụ Trong đơn thức sau, đơn thức đồng dạng với đơn thức 3x 2yz ? a) 3xyz ; b) 2 x yz ; c) yzx ; d) 4x 2y Bài giải 2 x yz đồng dạng với đơn thức 3x 2yz Câu b Dạng 3: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng Ví dụ Tính tổng, hiệu biểu thức sau a) 3xy xy ; b) 2x 2y 3x 2y x 2y ; d) 2x 2y c) 3x 2yz 4x 2yz ; 1 2 x y x 2y 3 Bài giải a) 1 10 3xy xy xy xy 3 b) 2x 2y 3x 2y x 2y x 2y 6x 2y c) 3x 2yz 4x 2yz x 2yz x 2yz 2x 2y d) 1 2 1 x y x 2y x 2y x 2y 3 3 3 Ví dụ Tính giá trị biểu thức P 2011x 2y 12x 2y 2015x 2y x 1 ; y Bài giải P 2011x 2y 12x 2y 2015x 2y 2011 12 2015 x 2y 8x 2y Thay x = -1; y = vào 8x 2y ta : 8x 2y 1 8.1.2 16 Dạng 4: Tìm đơn thức thỏa mãn đẳng thức Dùng quy tắc chuyển vế giống với số Nếu M B A M A B Nếu M B A M A B Nếu B M A M B A Ví dụ Xác định đơn thức M để a) 2x 4y M 3x 4y ; b) 2x 3y M 4x 3y Bài giải 4 a) 2x y M 3x y b) 2x 3y M 4x 3y M 3x 4y 2x 4y M 2x 3y 4x 3y M 5x y M 2x y M 3 x 4y M x 3y 3 Dạng 5: Tính giá trị đa thức Thay giá trị biến vào đa thức thực phép tính Ví dụ Tính giá trị đa thức sau: a) 4x 2y xy x 2 , y ; b) x 2y x x , y 2 Bài giải a) 4x 2y xy x 2 , y y x 2 , Thay 2 4x 2y xy vào ta : 1 1 2 2 16 1 2 b) x 2y x x , y 2 Thay x , y 2 vào x 2y x ta : 2 2 72 78 8 3 39 2 Dạng 6: Thu gọn đa thức Bước 1: Nhóm hạng tử đồng dạng với nhau; Bước 2: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng nhóm Ví dụ Thu gọn đa thức sau 2 xy xy xy ; 2 a) A x 2y 2xy 2x 2y 5xy ; b) B 2xy c) C x y z x y z x y z ; d) D xy 2z 2xy 2z xyz 3xy 2z xy 2z Bài giải a) A x 2y 2xy 2x 2y 5xy x 2y 2x 2y 2xy 5xy 1 x y 2 xy x y 3xy b) 3 2 xy xy xy xy xy 2xy xy 2 2 xy 2 xy 2xy xy 2 B 2xy c) C x y2 z x2 y2 z x y2 z x x y2 y2 y2 z2 z z 2x y z 2 d) D xy 2z 2xy 2z xyz 3xy 2z xy 2z xy 2z 2xy 2z 3xy 2z xy 2z xyz xy z xyz Ví dụ Thu gọn đa thức sau : b) B 4xy a) A 2x 2yz xy x 2yz 4xy ; x y xy x 2y ; 2 c) C x y z x y z x y z ; d) D 2x 2yz 4xy 2z 5x 2yz xy 2z xyz e) E 2x 2y 3x 7x 6x x 2y Bài giải a) b) x y xy x 2y 2 1 4xy xy x y x 2y 2 3xy 2x y B 4xy A 2x yz xy x yz 4xy 2x 2yz x 2yz xy 4xy x yz 5xy c) C x y2 z x y2 z x y2 z x x x y y y z z z x y z 2 d) e) D 2x 2yz 4xy 2z 5x 2yz xy 2z xyz 2x 2yz 5x 2yz 4xy 2z xy 2z xyz 3x yz 5xy z xyz 2 E 2x y 3x 7x 6x x 2y 3 2x 2y x 2y 3x 6x 7x x y 9x 7x C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Trong biểu thức sau, biểu thức đơn thức? 3 10x a) xy ; 3xy 2z ; ; 1 x 2y ; 2 3y b) xy 2xy ; ; x y x yz ; 2018 ; 3 z Bài giải 3 a) Đơn thức : 3xy 2z ; ; 1 x 2y 2 b) Đơn thức : x 2yz ; 2018 Bài Biểu thức đa thức biểu thức sau? a) 2x 2y xy ; b) ; x y c) x (x 2y ) ; Bài giải Đa thức x (x 2y ) ; 2x 2y xy Bài Xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng d) x 1 x 1 8x 2yz ; 3xy 2z ; x 2yz ; 5x 2y 2z ; xy 2z ; x 2y 2z 3 Bài giải Nhóm đơn thức đồng dạng : Nhóm 1: 8x 2yz ; x 2yz Nhóm : 3xy 2z ; xy 2z Nhóm : 5x 2y 2z ; x 2y 2z Bài Thu gọn đơn thức sau: a) 2x 2y 3xy ; b) 2xy x 2y 10xyz ; d) 2xy x 2y 6x ; e) c) 10y (2xy )3 (x )2 2 x y z xyz ; f) 4a 2x (2bxy )2 x 2y với a , b số Bài giải a) 2x 2y 3xy 2.3 x 2x yy 6x 3y b) 2xy x 2y 10xyz .10 xx 2x yy 3y 16x 4y 5 c) 10y (2xy )3 (x )2 10y 8x 3y x 10 8.1 x x y y 80x 5y d) 2xy x 2y 6x .6 x x x y y 16x 4y e) 4 3 2 x y z xyz x 2x y 2y z 2z x 3y 3z 3 3 4 f) 4a 2x (2bxy )2 x 2y 4a 2x 4b 2x 2y x 2y 4 a b2 x x x y y 2 5 4a b x y với a , b số Bài Thu gọn đa thức sau a) A 2xy 2 xy xy xy ; 2 b) B xy 2z 2xy 2z xyz 3xy 2z xy 2z c) C 4x 2y x 2x 6x x 2y d) D xy 2xy xy 3xy ; e) E 2x 3y z 4x 2y 3z ; f) F 3xy 2z xy 2z xyz 2xy 2z 3xyz Bài giải a) A 2xy 3 2 xy xy xy xy xy 2xy xy 2xy xy ; 2 2 b) B xy 2z 2xy 2z xyz 3xy 2z xy 2z xy 2z 2xy 2z 3xy 2z xy 2z xyz xy 2z xyz c) C 4x 2y x 2x 6x x 2y 4x 2y x 2y x 6x 2x 3x 2y 7x 2x d) D 3 1 xy 2xy xy 3xy xy xy 2xy 3xy xy xy ; 2 4 e) E 2x 3y z 4x 2y 3z 2x 4x 3y 2y z 3z 2x y 2z f) F 3xy 2z xy 2z xyz 2xy 2z 3xyz 3xy 2z xy 2z 2xy 2z xyz 3xyz 6xy 2z 4xyz Bài Tính giá trị đa thức sau : a) A 6xy 7xy 8x 2y ; x = ; y = b) B x 2x 2y x xy xy x ; x =0 ; y = c) C 7x 2y 4x 3y 2z 4x ; x = ; y = Bài giải a) A 6xy 7xy 8x 2y ; x = ; y = Thay x = ; y = 2 vào A 6xy 7xy 8x 2y ta : 3 1 1 1 35 6.2 7.2 2 2 2 b) B x 2x 2y x xy xy ; x = Thay x = ; y = ; y = vào B x 2x 2y x xy xy x ta : 1 1 64 4 4 c) C 7x 2y 4x 3y 2z 4x ; x = ; y = 1; z = Thay x = ; y = vào C 7x 2y 4x 3y 2z 4x ta : 7.22.1 4.26 3.12.4 4.26 40 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong biểu thức sau, biểu thức đơn thức? a) 3x ; b) ; 5x c) 2xy ; d) ; e) 3x (y 2) ; 4xy e) x y xy Bài Biểu thức đơn thức? a) x 2y ; b) x (y 1) ; c) x y ; d) Bài Cho biết phần hệ số, phần biến đơn thức sau 10 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho hình vng ABCD , cạnh AB , BC , CD , DA lấy M , N , P , Q cho AM BN CP DQ Chứng minh MNPQ hình vng Lời giải Bốn tam giác AQM , BNM , CPN , DQP QM MN NP PQ Tứ giác QMNP hình thoi CNP Có MBN NCP nên BMN BMN 90 BNM CNP MNP 90 Mặt khác, BNM Vậy hình thoi QMNP có góc vng nên tứ giác MNPQ hình vng cắt CD Bài Cho hình vng ABCD Lấy điểm M cạnh DC Tia phân giác MAD I Kẻ IH vng góc với AM H Tia IH cắt BC K Chứng minh: 45 b) IAK a) ABK AHK Lời giải a) Dễ dàng chứng minh ADI AHI ABK AHK AD AH Suy DAH ; HAK HAB Ta có IAH 2 HAB 90 IAH HAK IAK 45 Mà DAH Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành, hai hình vng ABEF ADGH Chứng minh: a) AC FH b) AC FH c) CEG tam giác vuông cân 297 Lời giải a) Dễ dàng chứng minh AFH BAC (c.g.c) FH AC , b) Gọi giao điểm AC FH I Do AFH BAC BAC 90 AC FH ta có IAF AFH IAF c) Chứng minh GCD CEB (c.g.c) GC CE Ta có CBE BEC ECB CBA 90 BEC 180 ECB CBA BEC 90 , mà BEC GCD ECB CBA GCD 90 ECB Mặt khác, ABCD hình GCE GCD CBA 180 (2) ECB bình hành nên (1) CBA 180 DCB hay 90 CEG vuông cân Từ (1) (2) GCE Bài Cho hình vng ABCD Gọi E , F trung điểm AB , AD Chứng minh: a) DE CF b) DE CF Lời giải a) Có AED CFD (c.g.c) DE DF (góc tương ứng), ta có: Do ADE DCF CDF EDC DCF 90 ADE EDC DE CF - HẾT - Tam giác & Tứ giác A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 298 1/ Định lý Pythagore & định lý Pythagore đảo - Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng ABC vuông A BC A B A C - Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng 900 ABC có BC AB AC BAC 2/ Tứ giác - Tứ giác có cạnh, đường chéo, đỉnh góc - Tứ giác lồi: Tứ giác lồi tứ giác ln nằm phía đường thẳng chứa cạnh tứ giác - Tổng góc tứ giác: Tổng góc tứ giác 360 Sơ đồ nhận biết loại tứ giác 299 B.CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài Tìm góc x,y,z t chưa biết hình bên Bài Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm Tính độ dài AC, BC Bài Tính chiều cao tường hình bên biết chiều dài thang 4m chân thang cách tường 1m (làm tròn kết đến hàng phần mười) Bài Bạn Hà muốn đóng nẹp chéo AC để khung hình chữ nhật ABCD vững Tính độ dài AC biết AD = 48 cm, CD = 36cm 300 Bài Tìm x hình vẽ sau : Bài Hình ảnh bên thiết kế ngơi nhà hình tam giác cân xu khắp giới phân khúc nhà nhỏ Đây thiết kế động, thi cơng lắp dựng nhanh có chi phí rẻ Trước ngơi nhà có lắp kính chống vỡ có dạng tam giác cân Biết cạnh đáy, cạnh bên miếng kính có độ dài 8m 10m Tính chiều cao kính tam giác cân (làm trịn kết đến hàng phần mười) ? 301 Bài Hai xuồng máy xuất phát từ bến A thẳng theo hai hướng tạo với góc 900 (hình minh họa) Chiếc xuồng máy thứ 12km dừng lại bến C, cịn xuồng máy thứ hai với vận tốc 18km/h đến B chuyển hướng thẳng bến C với vận tốc không đổi a/ Hỏi sau phút từ lúc xuồng máy thứ hai chuyển hướng đến bến C gặp xuồng máy thứ ? b/ Tính diện tích tam giác ABC tạo thành hình vẽ Bài Cho tam giác có AB = 7cm, AC = 25cm, BC = 24cm có phải tam giác vng khơng ? Bạn Linh giải tốn sau : Ta có : AB AC 72 252 49 625 674 BC 242 576 Do 674 576 nên AB AC BC Vậy tam giác ABC tam giác vuông Bạn Nhật cho Bạn Linh giải sai tam giác ABC vng Theo em , sai ? Giải thích ? Bài Khi nói đến ti vi 21 inch, ta hiểu đường chéo hình ti vi dài 21 inch (inch : đơn vị đo chiều dài sử dụng nước Anh số nước khác, inch 2,54cm) Hỏi ti vi (hình bên) thuộc loại tivi inch (làm trịn kết đến hàng đơn vị ) ? 302 Bài 10 Cho hình vẽ bên Tính chiều dài cần cẩu AB Bài 11 Khoảng cách từ hai bến tàu A B tới đảo C 17km 10km (hình ảnh họa) Tính khoảng cách AB hai bến tàu biết hồn đảo cách đất liền 8km Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB , E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC , F giao điểm MK AC a) Các tứ giác AEMF , AMBH , AMCK hìn h gì? Vì sao? b) Chứng minh H đối xứng với K qua A 303 c) Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEMF hình vng? Lời giải a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật Các tứ giác AMBH , AMCK hình thoi b) Theo a) suy HA BC , AK MC H , A , K thẳng hàng Lại có AH AM AK H , K đối xứng với qua A c) Để hình chữ nhật AEMF hình vng cần thêm điều kiện AE EM AB AC Vậy tam giác ABC vuông cân A Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có BC AB , Aˆ 60 Gọi E , F theo thứ tự trung điểm BC , AD Vẽ I đối xứng với A qua B a) Tứ giác ABEF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác AIEF hình thang cân c) Chứng minh BICD hình chữ nhật d) Tính góc AED Lời giải a) Vì AB EF BF AF BC Tứ giác ABEF hình thoi IAD 60 BIE Do đó, IE AF suy b) Dễ thấy EF AI , IB BE ; IBE AIEF hình thang cân c) BEDF hình thoi Suy BD đường phân giác ADI Có BI AB DC AB DC hay BI DC Vậy tứ giác BICD hình bình hành có cặp cạnh đối song song Thấy BD vừa đường trung tuyến, phân giác ADI 90 Tứ giác BICD hình chữ Suy BD BI hay DBI nhật hình bình hành có góc vng d) Vì BICD hình chữ nhật nên E trung điểm DI Ta có DAI cân A , mà AE đường trung tuyến nên đồng thời đường cao Suy AE DI , 304 AED 90 Bài 13 Cho hình thang cân ABCD ( AB CD , AB CD ) , đường cao AH , BK a) Tứ giác ABKH hình gì? Vì sao? b) Chứng minh DH CK c) Gọi E điểm đối xứng với D qua H Các điểm D E đối xứng với qua đường nào? d) Tứ giác ABCE hình gì? Lời giải a) Tứ giác ABKH hình chữ nhật b) ADH BKC (ch - gn) Nên suy DH KC c) D E đối xứng với qua đường thẳng AH d) Dễ thấy HE EK EK KC AB EC Do đó, ABCE hình bình hành Bài 14 Cho tam giác ABC vuông B Gọi BC Kẻ Ex song song với BC cắt AB M E, F trung điểm AC , a) Chứng minh tứ giác BMEF hình chữ nhật b) Gọi K đối xứng với B qua E Tứ giác BAKC hình gì? Vì sao? c) Gọi G đối xứng với E qua F Tứ giác BGCE hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện để tứ giác BGCE hình vng? 305 Lời giải a) Tứ giác BMEF hình chữ nhật có góc vng EF đường trung bình tam giác ABC EF BC BFE 90 BMEF hình chữ nhật b) Tứ giác BAKC có hai đường chéo cắt trung điểm đường Lại có ABC 90 nên BAKC hình chữ nhật c) Tứ giác BGCE hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường BE EC (trung tuyến ứng với cạnh huyền) d) Tam giác ABC vuông cân Bài 15 Cho tam giác ABC vng A có AB AC Gọi M trung điểm BC , kẻ MD vng góc với AB D , ME vng góc với AC E a) Chứng minh AM DE b) Chứng minh tứ giác DMCE hình bình hành c) Gọi AH đường cao tam giác ABC ( H BC ) Chứng minh tứ giác DHME hình thang cân A đối xứng với H qua DE Lời giải a) Dễ thấy ADME hình chữ nhật, suy đpcm b) Dễ thấy MD EC , MD EC AC đpcm 306 c) ME DH AD AB ; HM DE nên DHME hình thang cân A , H đối xứng với qua DE Bài 16 Cho hình thang vng ABCD có Aˆ Dˆ 90 AB AD CD , kẻ BH vng góc với CD a) Chứng minh tứ giác ABHD hình vng b) Gọi M trung điểm BH Chứng minh A đối xứng với C qua M c) Kẻ DI vuông góc với AC AH cắt DI , DM P DPBQ hình thoi Q Chứng minh tứ giác Lời giải a) ABHD hình vng hình chữ nhật có hai cạnh kề b) Có AB HC AB HC DH DC nên tứ giác ABCH hình bình hành M trung điểm AC Vậy A đối xứng với C qua M c) Có APD APB (c.g.c) nên PD PB ; DHQ BHQ (c.g.c) nên DQ QB (vì QDH MCD ) Vậy (cùng phụ với góc DAC ) ADP QDH Lại có ADP MCD ADP HDQ (g.c.g) DP DQ Tứ giác DPBQ hình thoi có bốn cạnh Bài 17 Cho hình vng ABCD E điểm cạnh DC , F điểm tia đối tia BC cho BF DE 307 a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng Lời giải DAE Dễ thấy a) ADE ABF AE AF ; FAB EAB 90 FAB EAB 90 Do đó, AEF DAE tam giác vng cân A b) Chứng minh AI CI EF Do I nằm đường trung trực AC Mà BD đường trung trực AC (tính chất hình vng ABCD ) nên I BD c) Vì AEF tam giác vng cân nên AI EF Hơn AI IK AI EF IE IF nên AI IK IE IF Vậy tứ giác AEKF hình vng Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB , E điểm đối xứng M qua D a) Chứng minh E đối xứng với M qua đường thẳng AB b) Các tứ giác AEMC , AEBM hình gì? Vì sao? c) Tam giác vng ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEBM hình vng? Lời giải a) Vì MD AC nên MD AB E đối xứng với M qua đường thẳng AB 308 b) Có AB EM cắt trung điểm D đường nên tứ giác AEBM hình bình hành AE BM MC Vậy tứ giác AEMC hình bình hành có AE BM hay AE MC AE MC c) Hình bình hành AEBM có hai đường chéo vng góc với nên hình thoi Để hình thoi AEBM hình vng cần điều kiện AB EM Vì tứ giác AEMC hình bình hành nên EM AC Vậy AB EM suy AB AC Lúc tam giác ABC cân A Vậy để tứ giác AEBM hình vng tam giác vng ABC cần thêm điều kiện AB AC hay tam giác ABC vuông cân A Bài 19 Cho hình bình hành MNPQ có MN MQ Mˆ 120 Gọi trung điểm MN , PQ A điểm đối xứng Q qua M a) Tứ giác MIKQ I, K là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác AMI c) Chứng minh tứ giác AMPN hình chữ nhật Lời giải a) Vì MQ IK NP MIKQ MN MI IN PK KQ Tứ giác hình thoi 60 nên b) Tam giác AMI có AM MI nên cân A IMA AMI tam giác c) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AMPN hình bình hành Vì tam giác AMI tam giác nên AI IM IN Vậy tam giác MAN có AI đường trung tuyến AI MN nên tam giác MAN tam giác vuông A (trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) Vậy hình bình hành AMPN có góc vng nên tứ giác AMPN hình chữ nhật 309 Bài 20 Cho tứ giác ABCD , E trung điểm cạnh AB Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC F Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD G Qua G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD H a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện để tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải a) Có EH BD FG EF AC HG nên tứ giác EFGH hình bình hành có cặp đối song song với b) Để tứ giác EFGH hình chữ nhật EH HG hay BD AC EH BD HG AC Vậy điều kiện để tứ giác EFGH hình chữ nhật tứ giác ABCD phải có hai đường chéo vng góc Bài 21 Cho tam giác ABC vuông A Gọi E , G , F trung điểm AB , BC , AC Từ E kẻ đường thẳng song song với BF , đường thẳng cắt GF I a) Tứ giác AEGF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác BEIF hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AGCI hình thoi d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AGCI hình vng Lời giải a) Tứ giác AEGF hình chữ nhật có góc vng b) Có GF AE hay FI BE Vậy tứ giác BEFI hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song c) Tứ giác AGCI hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường 90 ) vng góc với ( GFA d) Để tứ giác AGCI hình vng AGC 90 Vậy tam giác ABC thành tam giác vuông cân A 310 311