độ đo và tích phân – thái thuần quang

thái thuần quang Bài giảng ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Mục lục Chương 1. Độ đo 1 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Độ đo trên R k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Độ đo trên không gian R k , (k > 1) . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26 1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Tích phân Lebesgue 33 2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Tích phân các hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Tính chất cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4 Tính chất khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Các kết quả về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46 2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54 2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chỉ mục 60 Chương 1 Độ đo 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Độ đo trên R k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1. Đại số tập hợp Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước. Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó. 1.1.1 Đại số Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng). Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều kiện a) A, B ∈ C =⇒ A ∪B ∈ C, b) A ∈ C =⇒ A c = X \A ∈ C. 1.1. Đại số tập hợp 2 Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện đủ. Với A, B ∈ C, theo b) ta có A c , B c ∈ C. Khi đó theo a) A c ∪ B c ∈ C và theo b) A ∩B = (A c ∪B c ) c ∈ C. Bằng quy nạp ta chứng minh được C đóng kín đối với phép giao hữu hạn. Vì A \B = A ∩B c nên A \B ∈ C. Do đó A∆B = (A \B) ∪(B \ A) ∈ C. Do C = ∅ nên có A ∈ C như vậy ∅ = A \ A ∈ C và X = ∅ c ∈ C. Vậy C là một đại số.  Ví dụ 1.1.1.1. 1) P(X) = {A : A ⊂ X} là một đại số. 2) Nếu A ⊂ X thì C = {X, A, A c , ∅} là một đại số. Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớp M = ∅. Khi đó tồn tại một đại số duy nhất C(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các đại số bao hàm M. C(M) gọi là đại số sinh bởi M. Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàm M đó là P(X). Gọi C(M) là giao của tất cả các đại số trên X bao hàm M. Dễ thấy C(M) là một đại số. C(M) nhỏ nhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm M, và nó là duy nhất vì nếu có một đại số C  (M) cũng có tính chất như C(M) thì ta sẽ có C(M) ⊂ C  (M) và C  (M) ⊂ C(M). Vì vậy C  (M) = C(M).  1.1.2 σ-đại số Một σ-đại số (hay σ-trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập hợp. Một σ-đại số hiển nhiên là một đại số. Định lý 1.1.2.1. Một lớp C là một σ-đại số và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn hai điều kiện a) A i ∈ C (i ∈ N) =⇒  ∞ i=1 A i ∈ C, b) A ∈ C =⇒ A c ∈ C. Chứng minh. Giả sử C = ∅ thỏa mãn a) và b). Khi đó tồn tại A ∈ C nên A c ∈ C. Xét A 1 = A c , A i = A (i ≥ 2). Khi đó X = ∞  i=1 A i ∈ C. Do đó ∅ = X \ X ∈ C. Nếu A i ∈ C thì A c i ∈ C, nên theo a)  ∞  i=1 A i  c = ∞  i=1 A c i ∈ C. Dễ dàng chứng minh điều ngược lại.  Tương tự như đối với một đại số ta có 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 3 Định lý 1.1.2.2. Cho trước một lớp M = ∅. Khi đó tồn tại một σ-đại số duy nhất F(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các σ-đại số bao hàm M. F(M) gọi là σ-đại số sinh bởi M. 1.1.3 σ-đại số Borel Một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric X gọi là σ-đại số Borel của không gian X. Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợp Borel. Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ những tập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp trên các tập đó. Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng F σ nếu H là hợp của một số đếm được các tập đóng. Tập G trong không gian metric X được gọi là tập dạng G δ nếu G là giao của một số đếm được các tập mở. Các tập dạng F σ , G δ đều là các tập Borel. Tập các số hữu tỷ trên đường thẳng là tập dạng F σ . Tập các số vô tỷ là tập dạng G δ . Định lý 1.1.3.1. Một σ-đại số Borel trong một không gian metric X cũng là một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm các tập đóng. Chứng minh. Gọi M, N tương ứng là lớp các tập mở và lớp các tập đóng trong X. Mỗi tập đóng là tập Borel nên N ⊂ F(M), do đó F(N) ⊂ F(M). Ngược lại, mỗi tập mở là phần bù của một tập đóng nên M ⊂ F(N), do đó F(M) ⊂ F(N). Vậy F(M) = F(N).  Vì mỗi một tập mở trên đường thẳng là hợp không quá đếm được những khoảng mở nên một σ-đại số trên R là σ-đại số nhỏ nhất chứa lớp các khoảng mở. 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 1.2.1 Hàm tập hợp Cho M ⊂ P(X). Một hàm f : M → R được gọi là một hàm tập hợp. Hàm tập f được gọi là cộng tính nếu A 1 , . . . , A n ∈ M, A i ∩ A j = ∅ (i = j), n  i=1 A i ∈ M =⇒ f  n  i=1 A i  = n  i=1 f(A i ). Hàm tập f được gọi là σ-cộng tính nếu {A i } i∈N ⊂ M, A i ∩ A j = ∅ (i = j), ∞  i=1 A i ∈ M =⇒ f  ∞  i=1 A i  = ∞  i=1 f(A i ). 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 4 Nếu f là σ-cộng tính và f(∅) = 0 thì f cũng cộng tính. 1.2.2 Độ đo Định nghĩa 1.2.2.1. Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C → R được gọi là một độ đo trên C nếu a) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C; b) µ(∅) = 0; c) µ là σ-cộng tính. Hiển nhiên µ cũng là cộng tính. Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo. Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < +∞. Độ đo µ được gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại dãy {X n } n∈N ⊂ C sao cho X = ∞  n=1 X n và µ(X n ) < +∞ với mọi n ∈ N. Ví dụ 1.2.2.1. 1) µ : C → R cho bởi µ(A) = 0 với mọi A ∈ C là một độ đo trên C. Ta gọi độ đo này là tầm thường. Từ nay về sau để cho gọn ta sẽ viết µA thay cho µ(A). 2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X) → R cho bởi µA =  n nếu A có n phần tử +∞ nếu A có vô hạn phần tử thì µ là một độ đo. Ta gọi độ đo này là độ đo đếm. 3) Cho X là tập hợp khác rỗng. Cố định a ∈ X và định nghĩa δ a : P(X) → [0, +∞] bởi δ a (A) = 1 nếu a ∈ A và δ a (A) = 0 nếu a /∈ A. Khi đó δ a là một độ đo và gọi là độ đo Dirac tại điểm a ∈ X. Định lý 1.2.2.2. Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì a) A, B ∈ C, A ⊂ B =⇒ µA ≤ µB. Nếu thêm điều kiện µA < +∞ thì µ(B \ A) = µB − µA. b) {A i } i∈N ⊂ C, A ∈ C, A ⊂ ∞  i=1 A i ⇒ µA ≤ ∞  i=1 µA i . c) {A i } i∈N ⊂ C, A i ∩ A j = ∅ (i = j), A ∈ C, ∞  i=1 A i ⊂ A ⇒ ∞  i=1 µA i ≤ µA. Chứng minh. a) Vì B = A ∪ (B \ A) và A ∩ (B \ A) = ∅ nên µB = µA + µ(B \ A). Vì µ(B \ A) ≥ 0 nên µA ≤ µB. 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 5 Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu được µ(B \ A) = µB − µA. b) Vì A ⊂ ∞  i=1 A i nên A = A∩  ∞  i=1 A i  = ∞  i=1 (A∩A i ), A = ∞  i=1 B i với B i = A∩A i . Đặt B  1 = B 1 , B  2 = B 2 \ B 1 , . . . , B  n = B n \ n−1  i=1 B i . Khi đó B  i ∈ C và đôi một rời nhau thỏa mãn ∞  i=1 B i = ∞  i=1 B  i . Như vậy A = ∞  i=1 B  i nên µA = ∞  i=1 µB  i . Ta có µB  i ≤ µB i = µ(A ∩ A i ) ≤ µA i . Vậy µA ≤ ∞  i=1 µA i . c) Vì ∞  i=1 A i ⊂ A nên n  i=1 A i ⊂ A với mọi n ∈ N. Vì A, n  i=1 A i ∈ C nên µ  n  i=1 A i  ≤ µA với mọi n ∈ N. Cho n → ∞ ta được µ  ∞  i=1 A i  ≤ µA.  Hệ quả 1.2.2.3. Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn thì mọi A ∈ C đều có thể phân tích thành hợp của một số đếm được tập hợp có độ đo hữu hạn. Thật vậy, vì µ là σ-hữu hạn nên X = ∞  i=1 X n , X n ∈ C, µX n < +∞; A = A ∩  ∞  i=1 X n  = ∞  i=1 (A ∩ X n ). Và ta lại có µ(A ∩X n ) ≤ µX n < +∞. Định lý 1.2.2.4. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó a) µA i = 0, ∞  i=1 A i ∈ C =⇒ µ  ∞  i=1 A i  = 0. b) A ∈ C, µB = 0 =⇒ µ(A ∪B) = µ(A \B) = µA. Chứng minh. a) Đặt A = ∞  i=1 A i . Khi đó 0 ≤ µA ≤ ∞  i=1 µA i = 0. Vậy µA = 0. 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 6 b) Vì A ⊂ A ∪ B nên µ(A ∪ B) ≤ µA + µB = µA ≤ µ(A ∪ B). Do vậy µ(A ∪ B) = µA. Mặt khác, vì 0 ≤ µ(A ∩B) ≤ µB nên µ(A ∩ B) = 0. Từ đó µ(A \ B) = µ(A \ A ∩ B) = µA − µ(A ∩B) = µA.  Định lý 1.2.2.5. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó a) A i ∈ C, A 1 ⊂ A 2 ⊂ . . . , ∞  i=1 A i ∈ C =⇒ µ  ∞  i=1 A i  = lim i→∞ µA i . b) A i ∈ C, A 1 ⊃ A 2 ⊃ . . . , µA 1 < +∞, ∞  i=1 A i ∈ C =⇒ µ  ∞  i=1 A i  = lim i→∞ µA i . Chứng minh. a) Đặt B 1 = A 1 , B 2 = A 2 \ A 1 , . . . , B n = A n \ A n−1 , . . . Lúc đó các B i ∈ C, rời nhau và ∞  i=1 B i = ∞  i=1 A i . Từ đó µ  ∞  i=1 A i  = ∞  i=1 µB i = lim n→∞ n  i=1 µB i = lim n→∞ µ  n  i=1 B i  = lim n→∞ µA n . b) Theo công thức de Morgan A 1 \ ∞  i=1 A i = ∞  i=1 (A 1 \ A i ). Áp dụng phần a) cho các tập A  i = A 1 \ A i ∈ C ta được µ  ∞  i=1 A  i  = lim i→∞ µA  i . Do µA 1 < +∞ nên µA i < +∞ và µ   ∞ i=1 A i  < +∞. Ta có µA 1 − µ  ∞  i=1 A i  = µ  A 1 \ ∞  i=1 A i  = µ  ∞  i=1 A  i  = lim i→∞ µA  i = µA 1 − lim i→∞ µA i . Như vậy µ  ∞  i=1 A i  = lim i→∞ µA i .  [...]... R đều đo được Tóm lại, độ đo Lebesgue là độ đo đủ, σ-hữu hạn và bất kỳ một tập đo được nào cũng là một tập Borel thêm hay bớt đi một tập có độ đo không Kết quả sau là một đặc trưng của một tập có độ đo không trên R Đây là hệ quả của (1.8) 1.4 Độ đo trên Rk 18 Định lý 1.4.1.4 Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 có thể tìm được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng mở {∆k }k phủ N và có... một quan hệ tương đương và nếu A ∼ B thì µA = µB = µ(A ∩ B) 1.5 Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X Chứng minh rằng với mọi A, B ⊂ X ta có |µ∗ A − µ∗ B| ≤ µ∗ (A∆B) 31 1.5 Hàm số đo được 1.6 Cho đại số C = {∅, X} và độ đo µ xác định trên C như sau: µ(∅) = 0 và µ(X) = 1 Hãy tìm độ đo ngoài µ∗ và σ-đại số các tập µ∗ -đo được 1.7 Cho m là một độ đo hữu hạn trên đại số C, µ∗ là độ đo ngoài cảm sinh bởi m... quả tương tự như với đô đotrên R 1) C k là một đại số n 2) Nếu với mỗi P ∈ C k có dạng P = ∆i , trong đó ∆i là những gian ròi nhau, i=1 ta đặt n |∆i | m(P ) = i=1 Khi đó hàm tập m là một độ đo trên C k 1.4 Độ đo trên Rk 20 3) Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo µk trên một σ-đại số Lk ⊃ F(C k ) ⊃ C k Độ đo µk này gọi là độ đo Lebesgue trên Rk , và các tập thuộc Lk gọi là tập đo được theo Lebesgue... m Như vậy σ-đại số L các tập µ∗ -đo được không khác σ-đại số F(C) nhiều lắm và có thể hu được từ F(C) bằng cách thêm vào hay bớt đi một tập có độ đo ngoài bằng 0 vào các phần tử của F(C) 1.4 Độ đo trên Rk Dựa vào định lý thác triển độ đo, trong phần này ta sẽ xây dựng độ đo Lebesgue trên không gian Euclide k-chiều 1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R Ta gọi một gian trên đường thẳng R là một tập hợp có một... An ∈ C và A1 ⊃ A2 ⊃ Vậy lim µ(B \ An ) = lim µAn = 0 n→∞ n→∞ n Nhưng do An ⊂ B và µAn = µBi < +∞ nên ta có µ(B \ An ) = µB − µAn Từ i=1 đó ∞ n µB = lim µAn = lim n→∞ n→∞ µBi = i=1 µBn n=1 8 1.3 Thác triển độ đo 1.3 Thác triển độ đo Ta sẽ mở rộng một độ đo µ trên một đại số C thành một độ đo trên một σ-đại số chứa C 1.3.1 Độ đo ngoài Định nghĩa 1.3.1.1 Hàm tập µ∗ : P(X) → R được gọi là độ đo ngoài... } n có độ đo bằng 0, tức là f ∼ g trên A Như vậy, nếu bỏ qua một tập có độ đo 0 (tức là không phân biệt hai hàm tương đương) thì giới hạn của một dãy hàm đo được hội tụ có thể xem là duy nhất Kết quả dưới đây cho ta mối quan hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và sự hội tụ h.k.n Ta giả thiết µ là độ đo đủ Định lý 1.5.4.2 Nếu một dãy hàm số {fn }n∈N đo được trên A hội tụ h.k.n về một µ hàm f thì f đo được... B thì µ∗ A ≤ µ∗ B Định lý 1.3.1.2 (Carathéodory) Cho µ∗ là độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X sao cho µ∗ E = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X Khi đó L là một σ-đại số và hàm tập µ = µ∗ L (1.1) là một độ đo trên L Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ Tập A thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là tập µ∗ -đo được Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng điều kiện (1.1)... ta sẽ có các Ai ∈ L đôi một rời nhau và ∞ ∞ An = n=1 ∞ ∞ An ∈ L nên Theo trên i=1 An n=1 An ∈ L n=1 Vậy L là một σ-đại số và µ là độ đo trên L 11 1.3 Thác triển độ đo 1.3.2 Định lý thác triển Định lý 1.3.2.1 Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X) Với mỗi A ⊂ X ta đặt ∞ ∞ µ∗ A = inf mAi : {Ai }i∈N ⊂ C, i=1 Ai ⊃ A (1.5) i=1 thì µ∗ là một độ đo ngoài trên X và µ∗ A = mA với mọi A ∈ C, đồng thời... dều tồn tại tập không đo được theo Lebesgue Điều này không có nghĩa là khái niệm đo được Lebesgue là chưa đủ rộng bởi vì người ta cũng chứng minh được rằng trong mỗi không gian Rk không thể xây dựng một độ đo σ-hữu hạn sao cho Rk a) Độ đo xác định trên mọi tập con của Rk ; b) Đọ đo bất biến qua phép dời; c) Độ đo cả mỗi gian trùng với thể tích của gian đó Ví dụ 1.4.2.1 (Tập không đo được trong R) Để... σ-đại số các tập con của X và A ∈ F Một hàm số f xác định trên X được gọi là đo được trên tập A đối với σ-đại số F nếu (∀a ∈ R), {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F (1.9) Khi trên σ-đại số F có một độ đo µ ta bảo f đo được đối với độ đo µ hay µ -đo được Nếu X = Rk , F = Lk thì ta nói f đo được theo nghĩa Lebesgue hay (L) -đo được Nếu X = Rk , F = B k (σ-đại số Borel trên Rk ) ta nói f đo được theo nghĩa Borel hay . . . 43 2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46 2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . triển độ đo 8 1.3. Thác triển độ đo Ta sẽ mở rộng một độ đo µ trên một đại số C thành một độ đo trên một σ-đại số chứa C. 1.3.1 Độ đo ngoài Định nghĩa 1.3.1.1. Hàm tập µ ∗ : P(X) → R được gọi là độ. F(C) bằng cách thêm vào hay bớt đi một tập có độ đo ngoài bằng 0 vào các phần tử của F(C). 1.4. Độ đo trên R k Dựa vào định lý thác triển độ đo, trong phần này ta sẽ xây dựng độ đo Lebesgue trên