Định nghĩa 1.5.4.1. Một dãy hàm {fn}n∈N đo được trên A ∈ A được gọi là hội tụ theo độ đo về hàm đo được f trên Anếu
∀ε >0, lim
n→∞µ{x∈A: |fn(x)−f(x)| ≥ε}= 0.
Ký hiệufn µ
→f.
Với giả thiết µlà độ đo đủ ta có các nhận xét: 1) Nếufn µ →f trên A vàf ∼g thì fn µ →g trên A. Thật vậy, đặtB ={x∈A: f(x)6=g(x)}ta có {x∈A: |fn(x)−g(x)| ≥ε}={x∈A\B : |fn(x)−f(x)| ≥ε} ∪B ⊂ {x∈A: |fn(x)−f(x)| ≥ε} ∪B, nhưngµB= 0 nên 0≤µ(A[|fn−g| ≥ε])≤µ(A[|fn−f| ≥ε])→0 khi∈n→ ∞. Vậyfn→µ g. 2) Nếufn µ →f và fn µ
→gtrên A thìf ∼g.Thật vậy, vớiε >0tùy ý ta có
A[|f−g| ≥ε]⊂A[|fn−f| ≥ ε
2]∪A[|fn−g| ≥
ε
2] vì nếux không thuộc tập hợp ở vế phải thì
|fn(x)−f(x)|< ε
2 và |fn(x)−g(x)|<
ε
1.5. Hàm số đo được 28 lúc đó|f(x)−g(x)|< εtức làx cũng không thuộc tập hợp ở vế trái. Vậy
µ(A[|fn−g| ≥ε])≤µ(A[|fn−f| ≥ ε
2]) +µ(A[|fn−g| ≥
ε
2]). Vì độ đo của hai tập ở vế phải dần về0 khi n→ ∞ nên
µ(A[|fn−g| ≥ε]) = 0. Nói riêng, µ(A[|fn−g| ≥ 1 n]) = 0với mọin∈N,do đó tập hợp {x∈A: f(x)6=g(x)}={x∈A: |f(x)−g(x)|>0} = ∞ [ n=1 {x∈A: |f(x)−g(x)| ≥ 1 n} có độ đo bằng0,tức là f ∼g trên A.
Như vậy, nếu bỏ qua một tập có độ đo 0(tức là không phân biệt hai hàm tương đương) thì giới hạn của một dãy hàm đo được hội tụ có thể xem là duy nhất.
Kết quả dưới đây cho ta mối quan hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và sự hội tụ h.k.n. Ta giả thiếtµlà độ đo đủ.
Định lý 1.5.4.2. Nếu một dãy hàm số{fn}n∈Nđo được trênAhội tụ h.k.n về một hàmf thì f đo được trên A,và nếuµA <+∞ thìfn→µ f.
Chứng minh. ĐặtB ={x∈A: fn(x)9f(x)}.Lúc đóµB = 0.
Doµ đủ nên f đo được trênB. Còn trênA\B thìfn→ f nên f đo được trên
A\B. Vậyf đo được trênA=B∪A\B.
Bây giờ ta chứng minhfn→µ f trênA nếu µA <+∞.
Vớiε >0tùy ý ta đặt Ai={x∈A: |fi(x)−(x)| ≥ε}; Cp = ∞ [ i=p Ai; C= ∞ \ p=1 Cp.
Khi đóCp ⊃Cp+1 với mọi p.Ta cóµCp <+∞ với mọip nên µC= lim
p→∞µCp.
Nếu x ∈ C thì x ∈ Cp với mọi p ∈ N.Do vậy với mỗi p ∈ N tồn tại i≥ p để
x∈Ai,suy ra |fi(x)−f(x)| ≥ε. Vậy fi(x)9f(x) nên x∈B.Suy ra C ⊂B. Mà
µB0nên µC = 0.Do đó lim
p→∞µCp = 0.
Vì Ap ⊂Cp với mọi p nên µAp ≤µCp và do đó lim
p→∞µAp = 0, nghĩa làfn →µ f
1.5. Hàm số đo được 29 Nhận xét.
a) Ở đây không những lim
p→∞µAp = 0 mà lim p→∞µ ∞ [ i=p Ai= 0
b) Điều kiện µA <+∞không thể bỏ qua. Chẳng hạn, lấy A=Rvൠlà độ đo Lebesgue trênR.Xét
fn(x) =
(
1 nếun≤x≤n+ 1 0 tại các điểm khác.
Khi đófn(x)→0 tại mọix∈Rnhưng với mọin∈N
µ{x∈R: |fn(x)−0| ≥ 1
2}= 190 nghĩa làfn
µ
90.
c) Sự hội tụ theo độ đo của một dãy hàm nói chung không kéo theo sự hội tụ h.k.n của dãy đó. Thật vậy, với mỗik∈Nta xác định khàm sốfik,(i= 1,2, . . . , k) trên[0,1]như sau:
fik(x) = ( i nếu i−k1 ≤x < ki 0 tại các điểm khác. Lúc đó dãy hàm ϕ1 =f11, ϕ2=f12, ϕ3 =f22, ϕ4 =f13, ϕ5=f23, ϕ6 =f33, . . .
hội tụ theo độ đo về hàm0 nhưng không hội tụ về0 tại bất kỳ điểm nào của [0,1].
Tuy nhiên ta có
Định lý 1.5.4.3. Nếu dãy hàm đo được {fn}n∈N hội tụ theo độ đo về hàm f thì có dãy con{fnk} của dãy {fn}n∈Nhội tu h.k.n về f
Chứng minh. Chọn dãy số dương εk sao cho
∞
X
k=1
εk <+∞.Khi đó lim
k→∞εk = 0.Do
fn→µ f trênA nên với mỗik∈N tồn tạink∈Nsao cho với mọin≥nk ta có
µ{x∈A: |fn(x)−f(x)| ≥εk}< εk.
Có thể chọn sao chon1< n2 < . . . < nk< . . . vànk→ ∞ khi k→ ∞.Ta có
µ{x∈A: |fnk(x)−f(x)| ≥εk}< εk. Đặt B = ∞ [ k=1 µ{x∈A: |fnk(x)−f(x)| ≥εk}; B= ∞ \ i=1 Bi.
1.5. Hàm số đo được 30 Lúc đóµB ≤µBi≤ ∞ X k=i εk.Do vậy lim i→∞µBi≤ lim i→∞ ∞ X k=i εk= 0,nên µB= 0.
Bây giờ, nếu x ∈ A\B thì có i ∈ N để x /∈ Bi, tức là với mọi k ≥ i ta có
|fnk(x)−f(x)|< ε.Doεk →0nên fnk(x)→f(x).VìµB = 0nên fnk hội tụ h.k.n
về f trênA.
Hai định lý được trình bày (không chứng minh) dưới đây nêu lên những tính chất sâu sắc của các hàm số đo được.
Định lý 1.5.4.4. (Egorov) Cho một dãy hàm số{fn}n∈N đo được, hữu hạn h.k.n và hội tụ h.k.n trên một tập hợpA vớiµA <+∞.Khi đó với mỗiε >0tồn tại một tập hợp đo đượcB ⊂A sao choµ(A\B)< εvà dãy{fn}n∈N hội tụ đều trên B.
Định lý 1.5.4.5. (Lusin) Cho tập hợp A ⊂ Rk có µA < ∞.Một hàm số f xác định và hữu hạn trên A là đo được khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng F ⊂A sao cho µ(A\F)< ε vàf liên tục trên F.
Bài tập
.
.. 1.1. Chứng minh rằng một lớpC các tập con củaX là một đại số khi và chỉ khi
C 6=∅và
a)A∈ C, B∈ C ⇒A∩B∈ C.
b) A∈ C ⇒Ac=X\A∈ C. .
.. 1.2. Chứng minh rằng họ tất cả các tập A⊂X sao choA hoặc Ac hữu hạn tạo thành một đại số trênX. Họ tất cả các tập A ⊂X sao choA hoặcAc không quá đếm được tạo thành mộtσ-đại số trênX.
.
.. 1.3. Choµ là một độ đo trên đại sốC vàA, B ∈ C.Chứng minh rằng
µ(A∪B) +µ(A∩B) =µA+µB. .
.. 1.4. Cho µ là một độ đo trên đại số C. Nếu A, B ∈ C thì ta viết A ∼ B nếu
µ(A∆B) = 0.Chứng minh rằng “∼" là một quan hệ tương đương và nếuA∼B thì
µA=µB =µ(A∩B). .
.. 1.5. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X. Chứng minh rằng với mọi A, B ⊂X ta có
1.5. Hàm số đo được 31
.
.. 1.6. Cho đại số C = {∅, X} và độ đo µ xác định trên C như sau: µ(∅) = 0 và
µ(X) = 1.Hãy tìm độ đo ngoàiµ∗ vàσ-đại số các tậpµ∗-đo được.
.
.. 1.7. Cho m là một độ đo hữu hạn trên đại sốC, µ∗ là độ đo ngoài cảm sinh bởi
m. Chứng minhA ⊂X là µ∗-đo được khi và chỉ khi với mỗi ε >0, tồn tại C ∈ C
sao cho µ∗(A∆B)< ε. .
.. 1.8. Cho m là một độ đo trên đại số C, µ là một mở rộng tiêu chuẩn của m lên
σ-đại sốL các tậpµ∗-đo được. Chứng minh
µ∗E= inf{µA: A⊃E, A∈ L}.
Từ đó suy ra rằng tồn tạiG∈ Lsao cho G⊃E vàµ∗E =µG. .
.. 1.9. Trên Rk với độ đo Lebesgue, hãy chứng minh ba mệnh đề sau tương đương: a)E làL-đo được.
b) Tồn tại tập K loạiGδ, K ⊃E sao choµ∗(K\E) = 0.
c) Tồn tại tập H loại Fσ, H ⊂E sao cho µ∗(E\H) = 0. .
.. 1.10. Cho A⊂[0,1]có độ đo lớn hơn 12.Chứng minh rằng A phải chứa một tập con có độ đo dương và đối xứng qua điểm giữa của đoạn[0,1].
.
.. 1.11. Chứng minh rằng tập hợpA⊂Rcó độ đo 0khi và chỉ khi có thể tìm được một dãy những khoảng mở(∆n)n∈N sao cho mỗi x∈Ađều thuộc về vô số khoảng ∆n và ∞ X n=1 |∆n|<+∞. .
.. 1.12. Cho n tậpA1, . . . , An trên [0,1] sao cho µA1+· · ·+µAn > n−1. Chứng minh µ n \ i=1 Ai>0. .
.. 1.13. Cho A là một tập con đo được của[a, b].Xét hàm số f : [a, b]→R mà
f(x) =µ(A∩[a, x]) với x∈[a, b].
Chứng minhf liên tục trên [a, b]. .
.. 1.14. Cho A là tập con đo được của R với µA = p > 0. Chứng minh rằng nếu 0< q < p thì tồn tại một tập con đo được củaA có độ đo bằngq.
.
.. 1.15. Cho (X,A) là một không gian đo được,A ∈ A, f :A→ Rlà một hàm đo được và plà một số nguyên dương. Chứng minh rằng hàm số sau đo được trênA.
h(x) = |f(x)|p nếu f(x) hữu hạn β− nếu f(x) =−∞ β+ nếu f(x) = +∞
1.5. Hàm số đo được 32 trong đóβ−, β+ tuỳ ý thuộcR.
.
.. 1.16. Chứng minh rằng nếu hàm số [f(x)]3 là hàm số đo được trên E thì f(x) cũng đo được trên E.
.
.. 1.17. Chứng minh rằng nếu hàm số[f(x)]2 là hàm số đo được trênE thì không thể suy ra f(x) đo được trên E.
.
.. 1.18. Giả sử f :Rn → R là hàm liên tục, còng1, . . . , gn :R→ R là những hàm đo được. Chứng minh rằng hàmh(x) =f(g1(x), . . . , gn(x)) là hàm đo được.
.
.. 1.19. Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) đo được trên doạn bất kỳ [α, β], với
a < α, β, b,thì f(x) đo được trên toàn[a, b]. .
.. 1.20. Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) là hàm số đo được trên E thì hàm số sau đo được trênE.
[f(x)]ba= a với mọi x mà f(x)< a f(x) với mọi x mà a≤f(x)≤b b với mọi x mà f(x)> b, trong đóa < b.
Chương 2
Tích phân Lebesgue
2.1. Tích phân Lebesgue . . . . 33 2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . 37 2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . 43 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . 50
2.1. Tích phân Lebesgue
Trong chương này ta xét không gian độ đo (X,A, µ).