ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN NHIỀU CHIỀU BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI THUỘC LỚP C

4. ĐỘ ĐO TRÊN MẶT

4.3. ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN NHIỀU CHIỀU BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI THUỘC LỚP C

C1

ChoU,V ⊂ m là hai tập mởvà mộtvi phôi từg : U → V tức là một song ánh

g : U → V sao chog ∈ C1U,V, vàg−1 ∈ C1V,U.

Vài ký hiệu: Cho a  a1,  ,am ∈ m vàr  0. Ta ký hiệu

Pa,r  a1 −r,a1 r  am−r,am r. Ta ký hiệu detDgx  JgxlàJacobiancủag tạix, ∀x ∈ U.

Khi đó, ta có

Định lý 4.3.1. ChoU,V ⊂ m là hai tập mởvà một vi phôitừ g : U → V. Cho b ∈ Uvà r0 sao choJgx ≠ 0,∀x ∈ Pa, 2r0. Khiđó,∀  0,∃r  0sao cho

TPka,1−r ⊂ gPa,r ⊂ TPka,1r,

∀x ∈ Pb,r0và∀r ∈ 0,r, trongđó T  Dga vàk  T−1 ∘g. Hơn nữa,r chỉphụ thuộc vàovà Dgvà Dg−1.

f ∈ ℒV,. Khiđó hàmx  fgx|Jgx|cũng thuộc ℒU,và có

Vfd  Ufgy|Jgy|d.

Định lý 4.3.3. ChoA,B ⊂ m là hai tậpđóng,U,V ⊂ m là hai tập mởsao cho

AU  BV  0. Chog : A → Bliên tục sao chogAU ⊂ BVvà

g|U : U → V là mộtvi phôi. Chof ∈ ℒB,. Khiđó hàmx  fgx|J gx|cũng thuộc ℒA,và có

Bfd  Vfd  Ufgy|Jgy|d  Afgy|J gy|d, trongđó,

J gy  Jgy, y ∈ U,

0, y ∈ AU.

4.4. CÁC PHÉPĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN THÔNG DỤNG4.4.1.PHÉPĐỔI BIẾN QUA TỌA ĐỘCỰC TRONG2