4. ĐỘ ĐO TRÊN MẶT
5.1.TÍCH PHÂN LẶP
Ta xétn,Mn,nlà một không gianđo, vớin làđộ đo Lebesgue trênn. Chom, n ∈ ℕ, vàx ∈ m,y ∈ n. ChoE ⊂ mn mn, tađặt
Ex y : x,y ∈ E, Ey x : x,y ∈ E.
Định lý 5.1.1. Chom, n ∈ ℕ, vàx ∈ m,y ∈ n. ChoE ∈ Mmn. Khiđó tồn tại
A ∈ Mm và B ∈ Mn sao chomA 0, nB 0,Ex ∈ Mn ∀x ∈ mA vàEy ∈ Mm ∀y ∈ n B.
Tức làEx y : x,y ∈ Elà tập Lebesgueđođược trongn, a.e.x ∈ m và
Ey x : x,y ∈ Elà tập Lebesgueđođược trongm, a.e.y ∈ n. Chof : mn → . Tađặt
fxy fyx fx,y, x,y ∈ mn.
Định lý 5.1.2. Chof : mn → là hàm Lebesgueđo được trênmn. Khiđó tồn tạiA ∈ Mm vàB ∈ Mn sao chomA 0,nB 0,fx là hàm Lebesgueđođược trênn,∀x ∈ mAvà fy là hàm Lebesgueđođược trênm,∀y ∈ nB.
Tức làfx là hàm Lebesgueđođược trênn, a.e.x ∈ m vàfy là hàm Lebesgueđo được trênm, a.e.y ∈ n.
Định lý 5.1.3. ChoQ là tập Lebesgueđođược trongmn. Tađặt
fx,y Qx,y, ∀x,y ∈ mn,
x nfxdn, ∀x ∈ m,
y mfydm,∀y ∈ n.
Khiđó tồn tạiA ∈ Mm vàB ∈ Mn sao chomA 0,nB 0 và
(i) mA là một hàm Lebesgue đođược trênm và nB là một hàm Lebesgue đođược trênn.
(ii) mnQ mdm ndn.
Chú ý (ii) nghĩa là
mnQ m nQx,ydn dm n mQx,ydm dn.
Định lý 5.1.4(Định lý Fubini). Chof : mn → 0,là hàm Lebesgueđođược trên mn. Khiđó
mnfdmn m nfxdn dm n mfydm dn.
m n|f|xdn dm . Khiđó f ∈ ℒmn,mn.
Định lý 5.1.6. (Định lý Fubini). Chof ∈ ℒmn,mn. Khiđó (i) fx ∈ ℒn,n a.e.x ∈ m, (ii) fy ∈ ℒm,m a.e.y ∈ n, (iii) mnfdmn m nfxdn dm n mfydm dn. 5.2. TÍCH CHẬP Định lý 5.2.1. Chof,g ∈ ℒn,n. Tađặt xy x,y fx−ygy, x,y ∈ n. Khi đó (i) x ∈ ℒn,n, a.e.x ∈ n. (ii) Đặthx n xy fx−ygy dn ∈ ℒn,n, a.e.x ∈ n và n|h|dn ≤ n|f|dnn|g|dn.
Định nghĩa 5.2.1. Hàmhtrênđây gọi là tích chập của fvà gvà ký hiệu làh f∗g.
Định lý 5.2.2. Chof,g ∈ ℒn,n. Giảsử f ∈ C1n và‖Dfx‖bịchận trênn. Khi đó
(i) f∗gkhả vi trênn.
(ii) f∗g ∈ C1nnếuDf liên tục đều trênn.
Định lý 5.2.3. Chof ∈ ℒn,nvà g ∈ Ccn, g ≥ 0sao cho ngdn 1.Đặt
gx −ngx , x ∈ n, 0. Khi đó (i) ngdn 1. (ii) →0 lim n|f−f∗g|dn 0.
BÀI TẬP
BÀI TẬP.1. Nhắc lại Bổ đềFatou (Định lý 2.1.3 )
Bổ đềFatou. ChoX,M,là một không gianđo,E ∈ Mvà fm (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
là dãy hàmđođược từX và0,. Khiđó ta có
E
m→
lim inf fmd ≤ lim infEfmd. ∗
ChoE ∈ M, vớiE 0và Ec 0. Xét dãy hàmfmnhưsau
fm E, nếu m lẻ,
1−E, nếu m chẳn. Nghiệm lại rằng bấtđẳng thức (*) là ngặt.
BÀI TẬP.2. Chofm : X → 0,, là dãy hàmđođược trênXvà giảsửrằng (i) f1x ≥ f2x ≥. . .≥ 0 ∀x ∈ X,
(ii)
m→lim fmx fx∀x ∈ X.
Giả sửf ∈ ℒX,Chứng minh rằng
m→lim Xfmd Xfd. Cho phản ví dụ đểcho thấy giảthiết "f ∈ ℒX," không thể bỏqua.
BÀI TẬP.3. Chofm : X → 0,, là dãy hàmđođược trênX. Chứng minh rằng tập
A x ∈ X : fmxhội tụlà đođược.
BÀI TẬP.4*. ChoXlà tập khôngđếm được. Tađặt M A ⊂ X :A hoặc Ac là quá lắmđếm được Ta định nghĩaA 0nếuAlà quá lắmđếm được,
1nếuAc là quá lắmđếmđược. Chứng minh rằng Mlà một -đại sốvà là một độ đo trênM.
sử rằng
x∈X
sup |fmx−fx| → 0khi m → . Chứng minh rằng
m→lim Xfmd Xfd. Cho phản ví dụ đểcho thấy giảthiết "X " không thểbỏ qua.
BÀI TẬP.6. ChoEk, k 1, 2. . . , là tậpđo được trênX. Ta đặt
E x ∈ X : xthuộc vô sốcác tậpEk, A m1 ∩ km Ek. Chứng minh rằng E A.
BÀI TẬP.7. Cholà độ đo dương trênX, f : X → 0,đođược và .0 c Xfd . Cho 0. Chứng minh rằng
∀ 0,∃ 0 : E E|f|d .
BÀI TẬP.8. Giả sửf ∈ ℒX,Chứng minh rằng
m→lim Xmln 1 mf d
, 0 1,
c, 1, 0, 1 .
BÀI TẬP.9. Giả sửfm ⊂ ℒX,sao cho
m→ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
lim X|fm−f|d 0và fmx → gxa,e.
x ∈ X, khim → . Chứng minh rằng f ga,e.x ∈ X.
BÀI TẬP.10. ChoX,M,là một không gianđo. Với
f ∈ LX, f : X → ℂđođược sao cho có M ∈ sao cho|fx| ≤ M a,e.x ∈ X,
tađặt ‖f‖ infM 0 : |fx| ≤ M a,e.x ∈ X Giả sử‖f‖ 0, và tađặtm X|f|md, m 1, 2, 3,...Chứng minh rằng m→ lim m1 m ‖f‖.