Giáo trình: Học phần độ đo và tích phân I

Giáo trình: Học phần độ đo và tích phân I

HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO $1. ĐẠI SỐ. σ- ĐẠI SỐ 1. Đại số a) Định nghĩa 1. Cho tập hợp φ≠X . Một họ N các tập con của X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều kiện sau: (i) X ∈ N ; (ii) A ∈ N ⇒ CXA = X \ A ∈ N ; (iii) A1, A2, . , An ∈ N ⇒ UnkkA1= ∈ N . b) Các tính chất Cho N là đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó N có các tính chất sau đây: 1. φ ∈ N ; 2. A1, A2, . , An ∈ N ⇒ InkkA1= ∈ N ; 3. A, B ∈ N ⇒ A \ B ∈ N. Chứng minh. 1. được suy từ (i), (ii) 2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: IUnknkkkCAAC11)(= == 3. được suy từ (ii), tính chất 2 vừa chứng minh và công thức A \ B = A ∩CXB Nhận xét Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép kín" đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu các tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán này trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N). c) Các ví dụ 1. Cho XA ⊂. Đặt N = { }ACAXX,,,φ. Khi đó N là một đại số các tập con của X. 2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 }, C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }. Đặt N = { φ, X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đại số các tập con của X? 3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn điều kiện : Nếu A, B ∈ N thì X \ A ∈ N và A ∩B ∈ N. Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X. 2. σ- đại số a) Định nghĩa 2. Cho tập hợp φ≠X . Một họ M các tập con của X được gọi là một σ- đại số các tập con của X, nếu M thoả mãn ba điều kiện sau: (i) X ∈ M ; (ii) A ∈ M ⇒ CXA = X \ A ∈ M ; (iii) A1, A2, . , An , . ∈ M ⇒ U∞=1kkA ∈ M . b) Các tính chất Cho M là một σ- đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó M có các tính chất sau đây: 1. M là một đại số các tập con của X; 2. φ ∈ M ; 3. A1, A2, . , An ∈ M ⇒ InkkA1= ∈ M ; 4. A, B ∈ M ⇒ A \ B ∈ M ; 5. A1, A2, . , An , . ∈ M ⇒ I∞=1kkA ∈ M . Chứng minh. - Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt An+1 = An+2 = . = φ. - Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh. - Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: IU∞=∞==11)(k kkkCAAC Nhận xét σ- đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép kín" đối với các phép toán : hợp đếm được, giao đếm được của các tập hợp, hiệu hai tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử của M ). c) Các ví dụ 1. Cho tập hợp φ≠X . Họ tất cả các tập con của tập hợp X là một σ- đại số các tập con của tập hợp X. 2. Cho M là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn hai điều kiện : a) A ∈ M ⇒ X \ A ∈ M ; b) A1, A, . , An , . ∈ M ⇒ I∞=1kkA ∈ M . Chứng minh rằng M là một σ- đại số các tập con của X. 3. Cho M là một σ- đại số các tập con của tập hợp X và Z ∈ M. Đặt MZ là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z. Chứng minh MZ là một σ- đại số các tập con của tập hợp Z. $2. ĐỘ ĐO 1. Tập hợp số thực không âm mở rộng Cho tập hợp số thực không âm ),0[ +∞. Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử là +∞ , tập hợp mới thu được là ],0[ +∞. Ta gọi đây là tập số thực không âm mở rộng với các quy ước về phép toán như sau. a < +∞ với mọi a ∈ ),0[ +∞; a + (+∞) = (+∞) + a = +∞ với mọi a ∈ ],0[ +∞; a . (+∞) = (+∞) . a = +∞ với mọi a ∈ ],0( +∞; 0 . (+∞) = (+∞) . 0 = 0 Lưu ý. Đẳng thức a + c = b + c kéo theo a = b khi và chỉ khi +∞≠c. 2. Các khái niệm Cho M là một σ- đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞. Định nghĩa 1. μ được gọi là ánh xạ cộng tính hữu hạn, nếu có một họ hữu hạn các tập hợp đôi một rời nhau A1, A2, . , An ∈ M thì ∑===nkknkkAA11)()(μμU Định nghĩa 2. μ được gọi là ánh xạ σ- cộng tính nếu có một họ đếm được các tập hợp đôi một rời nhau A1, A2, . , An , . ∈ M thì ∑∞+=∞+==11)()(kkkkAAμμU Định nghĩa 3. μ được gọi là một độ đo trên M, nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: 1. μ(φ) = 0; 2. μ là σ- cộng tính. Định nghĩa 4. Cặp (X, M), trong đó M là σ- đại số các tập con của tập hợp X, được gọi là không gian đo được. Mỗi tập hợp A ∈ M được gọi là một tập đo được. Định nghĩa 5. Bộ ba (X, M, μ), trong đó M là σ- đại số các tập con của tập hợp X, μ là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo. Nếu A ∈ M thì số μ(A) được gọi là độ đo của tập hợp A. Định nghĩa 5. Độ đo μ được gọi là độ đo hữu hạn nếu μ(X) < +∞. Độ đo μ được gọi là độ đo σ- hữu hạn, nếu X = U∞=1kkX, Xk ∈ M và μ(Xk) < +∞ với mọi k. Nhận xét. Độ đo hữu hạn thì σ- hữu hạn. 3. Các ví dụ a) Cho M là một σ- đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞ xác định bởi μ(A) = 0 với mọi A ∈ M . Khi đó μ là một độ đo hữu hạn. b) Cho M là một σ- đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞ xác định bởi μ(φ) = 0 , μ(A) = +∞ với mọi A ∈ M và φ≠A. Khi đó μ là một độ đo không σ- hữu hạn. c) Cho M là một σ- đại số các tập con của tập hợp X và x0 ∈ X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞ xác định bởi : - Nếu A ∈ M và x0 ∈ A thì μ(A) = 1 ; - Nếu A ∈ M và x0 ∉ A thì μ(A) = 0 . Chứng minh rằng μ là một độ đo hữu hạn. Nhận xét. Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một σ- đại số các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ đo tương ứng với các tính chất khác nhau. 4. Các tính chất của độ đo Cho (X, M, μ) là một không gian độ đo. Khi đó ta có các tính chất sau đây. 1. μ là cộng tính hữu hạn. 2. Nếu A, B ∈ M và A ⊂ B thì μ(A) ≤ μ(B) . Ngoài ra, nếu μ(A) < +∞ thì μ(B \ A) = μ(B) -μ(A). 3. Nếu A1, A2, . , An , . ∈ M thì ∑∞+=∞+=≤11)()(kkkkAAμμU 4. Nếu A, B ∈ M , A ⊂ B và μ(B) = 0 thì μ(A) = 0. 5. Nếu A, B ∈ M và μ(B) = 0 thì μ(A ∪ B) = μ(A \ B) = μ(A). 6. Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp có độ đo không là tập hợp có độ đo không: μ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, . , n ⇒ 0)(1==UnkkAμ 7. Hợp của một họ đếm được các tập hợp có độ đo không là tập hợp có độ đo không: μ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, . ⇒ 0)(1=∞+=UkkAμ 8. Nếu μ là độ đo σ- hữu hạn thì i) X = U∞=1kkY, trong đó các tập hợp Yk đôi một rời nhau, Yk ∈ M và μ(Yk) < +∞ với mọi k; ii) A = U∞=1kkA, trong đó các tập hợp Ak đôi một rời nhau, Ak ∈ M và μ(Ak) < +∞ với mọi A ∈ M và mọi k. 9. Nếu { An } , n ∈ N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được, nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ . ⊂ An ⊂ . , thì U∞+=+∞→=1)()(limnnnnAAμμ 10. Nếu { An } , n ∈ N, là dãy đơn điệu giảm các tập hợp đo được, nghĩa là A1 ⊃ A2 ⊃ . ⊃ An ⊃ . , và μ(A1) < +∞ thì )(lim)(1nnnnAAμμ+∞→∞+==I 5. Độ đo đủ Để ý rằng tập con của một tập đo được chưa chắc là tập hợp đo được, nghĩa là nếu A ∈ M , B ⊂ A thì có thể B ∉ M . Định nghĩa 6. Độ đo μ được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập có độ đo không đều là tập đo được. Nhận xét. Nếu μ là độ đo không đủ thì ta có thể thác triển μ thành một độ đo đủ nhờ định lý dưới đây. Định lý. Giả sử (X, M, μ) là một không gian độ đo. Gọi M' là họ tất cả các tập hợp A có dạng A = B ∪ C (1) trong đó B ∈ M, C ⊂ D, D ∈ M, μ(D) = 0. Với mỗi tập hợp A có dạng (1), đặt μ' là ánh xạ sao cho μ'(A) = μ(B) (2) Khi đó: i) (X, M', μ') là một không gian độ đo; ii) μ' là độ đo đủ. Định nghĩa 7. M' được gọi là bổ sung Lebesgue của σ- đại số M và μ' được gọi là thác triển Lebesgue của độ đo μ. 6. Thác triển ánh xạ σ- cộng tính thành độ đo Định lý (Hahn). Cho N là một đại số các tập con của tập hợp X và m : N → ],0[ +∞ là một ánh xạ σ- cộng tính. Khi đó tồn tại một σ- đại số M chứa N và một độ đo đủ μ : M → ],0[ +∞ sao cho μ(A) = m(A) với mọi A ∈ N . Ngoài ra, nếu m là σ- hữu hạn thì μ xác định một cách duy nhất. Định nghĩa 8. Độ đo μ được gọi là thác triển của m từ đại số N lên σ- đại số M. $3. ĐỘ ĐO LEBERGUE TRÊN ℜ 1. Khoảng trong ℜ Định nghĩa 1. Các tập hợp sau đây được gọi là các khoảng trong ℜ: (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (- ∞, a), (-∞, a], (a, +∞), [a, +∞) (-∞, +∞). Để ý rằng giao của hai khoảng bất kỳ trong ℜ cũng là khoảng trong ℜ hoặc là tập hợp rỗng. Định nghĩa 2. Nếu Ι là khoảng trong ℜ có hai đầu mút là a, b (-∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞) thì ta gọi số Ι = b - a là độ dài của Ι. 2. Đại số các tập con của ℜ Xét họ N các tập hợp P là hợp của hữu hạn các khoảng trong ℜ không giao nhau: N = { }UnijiijiIIIPP1)(,/=≠=∩=ℜ⊂φ(1) Trên N xét ánh xạ m : N → ],0[ +∞ xác định bởi ∑==niiIPm1)( nếu P có biểu diễn như trong (1). Định lý 1. N là một đại số các tập con của ℜ. Chứng minh. Ta kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa đại số. (i) Ta có ℜ = (-∞, +∞) ( hợp của một khoảng) nên hiển nhiên ℜ∈ N . (ii) Giả sử P ∈ N thì P là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau. Khi đó dễ thấy ℜ \ P cũng là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau. Vậy ℜ \ P ∈ N. (iii) Giả sử P, Q ∈ N, ta cần chứng minh P ∪ Q ∈ N. Trước hết ta chứng minh P∩Q ∈ N. Thật vậy, vì P, Q đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau nên ta có biểu diễn: IU)'(,,'1iiIIIPiinii≠===φ IU)'(,,'1jjJJJQjjkjj≠===φ Khi đó IUUIUUUIIIUkjnijijkjniikjjkjjJIJIJPJPQP111111)(])[()()(=========== Thế mà IijjiLJI= ( i = 1, 2, . , n ; j = 1, 2, . , k) là các khoảng không giao nhau đôi một nên P∩Q ∈ N. Bây giờ ta chứng minh P ∪ Q ∈ N khi P, Q ∈ N . Thậy vậy, ta có P, Q ∈ N nên theo (ii) ℜ \ P ∈ N , ℜ \ Q ∈ N. Khi đó, theo phần vừa chứng minh, (ℜ \ P) ∩ (ℜ \ Q) ∈ N , hay ℜ \ (P ∪ Q) ∈ N, lại theo (ii) suy ra P ∪ Q ∈ N . Vậy, N là đại số các tập con của ℜ, định lý được chứng minh. Định lý 2. Ánh xạ m ánh xạ σ- cộng tính. Chứng minh. Giả sử Q = U∞=1kkP, trong đó các tập hợp Pk đôi một rời nhau, Q, Pk ∈ N (Q và Pk đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau). Ta cần chứng minh ∑∞+==1)()(kkPmQm Không mất tính tổng quát ta có thể xem Q và mỗi Pk chỉ là một khoảng trong ℜ. Trước hết ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng hữu hạn. Khi đó các Pk cũng là khoảng hữu hạn. Giả sử Q là khoảng hữu hạn có hai đầu mút là a, b , còn Pk có hai đầu mút là ak, bk . - Với mỗi n = 1, 2, . , luôn tồn tại hữu hạn các khoảng Ιi ( i = 1, 2, . , ni ) sao cho UUUiniinkkIPQ11)()(=== trong đó các Pk , Ιi rời nhau. Khi đó ∑∑∑===≥+=nkkniinkkPIPQi111 Cho n → + ∞, ta được ∑∞+=≥1kkPQ (2) - Cho ε > 0 tuỳ ý sao cho 2ab−<ε. Đặt ),(22kkkkkbaQεε+−= (k = 1, 2, . ) [ ]εε−+= baQ ,' Ta có Pk ⊂ Qk nên UU∞+=∞+=⊂=⊂11'k kkkQPQQ Mặt khác, Q' là tập compact nên mỗi phủ mở của Q' đều có một phủ con hữu hạn , khi ấy tồn tại hữu hạn các tập nkkkQQQ , .,,21 sao cho UnikiQQ1'=⊂ Suy ra ∑=≤nikiQQ1' hay ∑∑∑∑∞+=∞+=∞+==−+−=+−≤≤+−≤−−1211221221)()()(2kkkkkkknikkkkikiiababababεεεε Thế nhưng ∑∞+=−121kkε lại là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = ε, công bội q = 1/2 nên hội tụ và có tổng là 2ε. Vậy εε2)(21+−≤−−∑∞+=kkkabab hay ε41+≤∑∞+=kkPQ Cho ε → 0, ta có ∑∞+=≤1kkPQ (3) Từ (2) , (3) suy ra ∑∞+==1kkPQ hay ∑∞+==1)()(kkPmQm Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng vô hạn. Khi đó +∞=Q. Rõ ràng ta luôn có thể biểu diễn Q ở dạng +∞=⊂⊂=∞+=+∞→U121lim .,,nnnnIIIIQ trong đó các Ιn đều là khoảng hữu hạn. Chẳng hạn, U∞+=+=+∞=1),(),(nnaaaQ Vì QIn⊂ và Q = U∞=1kkP, các Pk rời nhau nên UIIIU∞+=∞+====11)()(kknkknnnPIPIQII trong đó các tập hợp IknPI hữu hạn và rời nhau theo chỉ số k = 1, 2, . Theo phần vừa chứng minh ∑∑∞+=∞+=≤=11 kkkknnPPIII [...]... 1 () ( ) m kki i A AB μμ = = ∑ I 111 () ( ) nnm kk kk i kki A AB αμ αμ === ⇒= ∑∑∑ I Tương tự 111 () ( ) mmn ii ii k iik B BA βμ βμ === = ∑∑∑ I Xét một cặp (,)k i , có hai khả năng: + ki AB=∅ I , khi đó ()0() k ki iki AB BAB αμ μ == II + ki AB≠∅ I , lấy 0 k i xAB∈ I thì 00 () ,() kiki Sx Sx α βαβ ==⇒= ()() k kiiki A BAB αμ βμ ⇒= II . Vậy 11 11 () () mn mn k ki iki ik ik AB AB αμ... I ⊂ ¡ thì f khả tích Lebesgue trên I và ta có () () () II L fd R f x dx μ = ∫∫ . $4. M I LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN LEBESGUE v i TÍCH PHÂN RIEMANN và TÍCH PHÂN SUY RỘNG i u kiện khả tích Riemann Định lý 1 (Lebesgue). Hàm bị chặn f trên [,]ab là khả tích Riemann khi và chỉ khi tập hợp các i m gián đo n của nó có độ đo khơng. N i một cách khác, f khả tích Riemann trên [,]ab khi và. .. giữa tích phân Lebesgue và tích phân suy rộng a) Tích phân suy rộng lo i một Định lý 3 Cho tích phân suy rộng () a f xdx +∞ ∫ . Giả sử 0f ≥ và f khả tích Riemann trên m i đo n hữu hạn [,] [, ).ab a⊂+∞ Khi đó tích phân suy rộng () a f xdx +∞ ∫ h i tụ khi và chỉ khi f khả tích Lebesgue trên [, )a +∞ và [, ) () ( ) aa f xdx L fd μ +∞ +∞ = ∫∫ b) Tích phân suy rộng lo i hai Định... khả tích, suy ra fg khả tích , vậy .fg khả tích trên A . $3. CHUYỂN GI I HẠN QUA DẤU TÍCH PHÂN Vấn đề đặt ra là v i i u kiện nào ta có đẳng thức: lim lim nn nn A A f dfd μ μ →+∞ →+∞ = ∫∫ Ta đã biết, đ i v i tích phân xác định theo Riemann thì i u kiện cần là dãy hàm { } n f h i tụ đều về hàm số f trên đo n lấy tích phân [ ] ,ab . Đây là một i u kiện rất ngặt nghèo. Tr i l i, ... l i, đ i v i tích phân Lebesgue thì i u kiện l i khá rộng r i. Trong mục này ta xét hai trường hợp cho phép chuyển gi i hạn qua dấu tích phân v i i u kiện dãy hàm h i tụ đơn i u, hoặc h i tụ bị chặn. tương đương v i hàm số ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ = 01 )1,0( )( 1 xkhi xkhi xg x trên [0, 1), vì f(x) = g(x) v i m i x ∈ [0, 1) \ B, trong đó B = {0} là tập con của [0, 1), đo được và có độ đo khơng.... = . Khi đó do 0, ( ) 0ffg≥−+ ≥ nên theo phần vừa chứng minh và theo định lý 4 [ ( )] [ ( )] () EEE EE ffgd fd fgd fd f g d μ μμ μμ −+ = +−+ = =−+ ∫∫∫ ∫∫ Mặt khác, theo định lý 4, ta có Ta cần chứng minh 11 () () nm k kii ki A B αμ βμ == = ∑∑ . Ta có 11 ()( ) mm k kkiki ii A AAA B AB == == =II UUI , trong đó '' ()( )(),' ki ki k ii AB AB A BB ii φ = =≠ II I II Do... chỉ khi f liên tục hầu khắp n i trên [,]ab . 2. M i liên hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann Định lý 2 , AA fd fd μ μ ++ ∫ ∫ Xét hiệu AA fd fd μ μ ++ − ∫∫ . Định nghĩa 3. Nếu hiệu AA fd fd μ μ ++ − ∫∫ có nghĩa (tức là khơng có dạng ∞−∞ ), thì ta g i nó là tích phân của hàm đo được f trên A đ i v i độ đo μ : AA A fd fd fd μ μμ ++ =− ∫∫ ∫ (5) Định nghĩa 4. Nếu tích phân. .. 0 1 )( n axf +≥ nên f(x) > a. Suy ra x ∈ D. Bây giờ ta lấy x ∈ C thì x ∈ A và axf ≥)( nên v i m i n ta có n axf 1 )( −> . Suy ra n Dx ∈ v i m i n, do đó I +∞ = ∈ 1n n Dx Ngược l i, lấy I +∞ = ∈ 1n n Dx thì n Dx ∈ v i m i n, do đó x ∈ A và n axf 1 )( −> v i m i n. Lấy gi i hạn hai vế của bất đẳng thức cu i lim lim lim lim lim lim nn n n AA nn n n AA nn nn A A gd fd hay g d... Giả sử (i) n fg≤ trên A ; (ii) g khả tích trên A ; (iii) dãy hàm {} , n fn ∗ ∈ ¥ , h i tụ về hàm f hầu khắp n i, hoặc theo độ đo, trên A . Khi đó lim n n A A f dfd μ μ →+∞ = ∫ ∫ Chứng minh. - Giả sử dãy hàm {} , n fn ∗ ∈ ¥ , h i tụ về hàm f hầu khắp n i trên A . Khi đó tồn t i tập hợp ,,()0BAB B μ ⊂∈ =M sao cho { } n f h i tụ về f trên \A B . () ( ) n fx fx ε − < v i. .. kì. 2. Tích phân của hàm đo được bất kì a) Trường hợp hàm số đo được không âm Cho :[0,]fA→+∞ là hàm đo được. Khi đó tồn t i dãy đơn i u tăng các hàm đơn giản đo được 0 n f ≥ h i tụ về f trên A . Định nghĩa 2. Tích phân của hàm f trên A đ i v i độ đo μ là số (hữu hạn hoặc vô hạn) lim n n AA fd f d μ μ →+∞ = ∫∫ (4) Theo tính chất 2 của tích phân của hàm đơn giản thì tích phân (4) được . nhau nên ta có biểu diễn: IU)'(,,'1iiIIIPiinii≠===φ IU)'(,,'1jjJJJQjjkjj≠===φ Khi đó IUUIUUUIIIUkjnijijkjniikjjkjjJIJIJPJPQP111111)(])[()()(===========. trong ℜ không giao nhau: N = { }UnijiijiIIIPP1)(,/=≠=∩=ℜ⊂φ(1) Trên N xét ánh xạ m : N → ],0[ +∞ xác định b i ∑==niiIPm1)( nếu P có biểu diễn như trong