Giáo trình : Giải tích 2

Giáo trình : Giải tích 2

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH IIHuỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH HuếNgày 26 tháng 9 năm 2006 1Mục lụcChương 1 Tích phân 31.1. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Điều kiện khả tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Tính chất của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Cách tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz. . . . . . . . . . . . 61.2.2. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3. Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Ứng dụng của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. Tính diện tích hình phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3. Tính thể tích vật thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Thực hành tính toán trên Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.1. Xấp xỉ diện tích hình thang cong. . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Tính tích phân xác địnhbaf(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3. Ứng dụng tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Chương 2. Dãy hàm và Chuỗi hàm 192.1. Dãy hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1. Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. Tính chất của dãy hàm hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . 20 22.2. Chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1. Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2. Tính chất của chuỗi hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.3. Chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 242.3. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1. Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1. Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm . . . . . . . 292.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Chương 3. Không gian Rn323.1. Không gian vectơ Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.3. Độ dài vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Hàm khoảng cách và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1. Hàm khoảng cách trong Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2. Sự hội tụ của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Tôpô trên Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2. Tập liên thông - Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.1. Vec-tơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.2. Các phép toán trên vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 1TÍCH PHÂN1.1. Tích phân xác định1.1.1. Định nghĩaGiả sử [a, b] là một đoạn hữu hạn trong R. Ta chia đoạn này thành các đoạncon bởi các điểm chia a = x0< x1< ··· < xn= b. Lúc đó tập hợpP = {x0, x1,··· , xn}được gọi là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta dùng ký hiệu P[a, b] để chỉ tập hợptất cả các phân hoạch của đoạn [a, b].Một phân hoạch Q ∈ P[a, b], với Q = {y0, y1,··· , yk}, được gọi là thô hơn phânhoạch P (hay P là mịn hơn Q) nếu Q ⊂ P, tức là với mọi j, tồn tại i sao cho yj= xi.Độ mịn của phân hoạch P thường được đặc trưng bởi giá trịδ(P ) = max{xi− xi−1| 1 ≤ i ≤ n}.Dễ thấy rằng δ(P ) ≤ δ(Q) nếu P mịn hơn Q.Giả sử f là một hàm bị chặn trên [a, b]. Với mỗi phân hoạch P = {x0, x1,··· , xn}của đoạn [a, b] ta đặtMi:= sup{f(x) | x ∈ [xi−1, xi]}, mi:= inf{f(x) | x ∈ [xi−1, xi]}; 1 ≤ i ≤ n.Lúc đó, các tổngS∗(f; P ) :=ni=1Mi(xi− xi−1), S∗(f; P ) :=ni=1mi(xi− xi−1)lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên [a, b] tươngứng với phân hoạch P . 4Ta gọi tích phân trên và tích phân dưới của hàm f trên đoạn [a, b] lần lượt làcác giá trị sau+[a,b]f(x)dx := infP ∈PS∗(f; P ),−[a,b]f(x)dx := supP ∈PS∗(f; P ).Mệnh đề sau cho ta một đánh giá về các đại lượng nàyMệnh đề 1.1. Nếu hàm f bị chặn dưới bởi m và bị chặn trên bởi M trên đoạn[a, b], thìm(b − a) ≤−[a,b]f(x)dx ≤+[a,b]f(x)dx ≤ M(b − a).Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sauBổ đề 1.1. Giả sử P, Q ∈ P[a, b] sao cho Q ⊂ P . Lúc đóS∗(f; Q) ≤ S∗(f; P ) ≤ S∗(f; P ) ≤ S∗(f; Q).Bổ đề 1.2. Với mọi P, Q ∈ P[a, b], ta luôn có S∗(f; P ) ≤ S∗(f; Q).Ta nói hàm f là khả tích Riemann trên đoạn [a, b] nếu+[a,b]f(x)dx =−[a,b]f(x)dx.Lúc đó, ta ký hiệu giá trị chung này bởibaf(x)dxvà gọi là tích phân của hàm f trên đoạn [a, b].Trong trường hợp a = b dễ thấyaaf(x)dx = 0. Ngoài ra, nếu b < a ta địnhnghĩabaf(x)dx := −abf(x)dx. (1.1)Ví dụ 1.1.+ Hàm hằng f(x) = c khả tích Riemann trên mọi đoạn vàbacdx = c(b − a).+ Hàm Dirichletf(x) :=1 nếu x ∈ Q,0 nếu x ∈ R \ Qkhông khả tích trên mọi đoạn [a; b] với a < b. 51.1.2. Điều kiện khả tích.Định lý 1.2. Hàm bị chặn f trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi, với mọi  > 0,tồn tại một phân hoạch P ∈ P[a, b] sao choS∗(f; P ) − S∗(f; P ) < .Hệ quả 1.1. Mọi hàm liên tục trên [a, b] đều khả tích.Hệ quả 1.2. Mọi hàm bị chặn, liên tục trên [a, b], ngoại trừ một số hữu hạn điểm,đều khả tích.Hệ quả 1.3. Mọi hàm xác định và đơn điệu trên [a, b] đều khả tích.Định lý 1.3. Một hàm f bị chặn trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khilimδ(P )→0(S∗(f; P ) − S∗(f; P )) = 0.Giả sử P = {x0, x1,··· , xn} là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta chọn tập cácđiểm T = {t1, t2,··· , tn} với ti∈ [xi−1, xi] và lập tổngS(f; P,T ) =ni=1f(ti)(xi− xi−1).Hệ quả 1.4. Hàm f khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi giới hạn sau tồn tại khôngphụ thuộc vào T :limδ(P )→0S(f; P,T ).1.1.3. Tính chất của tích phân xác định.Định lý 1.4. Nếu f, g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] và λ là một số thực thìcác hàm f ± g, λ.f cũng khả tích và ta cóa)ba(f(x) ± g(x))dx =baf(x)dx ±bag(x)dx;b)baλf(x)dx = λbaf(x)dx.Định lý 1.5. Cho hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và c ∈ (a, b). Lúc đó f khả tíchtrên [a, b] khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai đoạn [a, c], [c, b], hơn nữa,baf(x)dx =caf(x)dx +bcf(x)dx. (1.2)Thật ra, bằng cách sử dụng (1.1), công thức (1.2) vẫn còn đúng với các vị tríkhác của a, b, c. 6Định lý 1.6. Giả sử f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó,a) Nếu f ≥ 0 thìbaf(x)dx ≥ 0.b) Nếu f ≥ g thìbaf(x)dx ≥bag(x)dx.Hệ quả 1.5. Giả sử f khả tích trên [a, b] sao cho m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b].Lúc đóm(b − a) ≤baf(x)dx ≤ M(b − a).Hệ quả 1.6 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b]. Lúcđó tồn tại c ∈ (a, b) sao chobaf(x)dx = f(c)(b − a).Định lý 1.7. Nếu f khả tích trên [a, b] thì |f| cũng khả tích. Lúc đóbaf(x)dx≤ba|f(x)|dx.1.2. Cách tính tích phân xác định.1.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz.Cho hàm f bị chặn, khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b], f khảtích trên [a, t]. Ta định nghĩa hàmΦ(t) :=taf(x)dx, t ∈ [a, b].Định lý sau cho ta thấy các tính chất quan trọng của hàm Φ.Định lý 1.8.a) Hàm Φ liên tục trên [a, b].b) Nếu f liên tục tại x0∈ [a, b] thì Φ khả vi tại điểm đó vàΦ(x0) = f(x0),ở đây, nếu x0trùng với a hoặc b thì đạo hàm của Φ được hiểu là đạo hàm một phía.Ta định nghĩa nguyên hàm của một hàm f trên khoảng [a, b] là một hàm F khảvi và có đạo hàm đúng bằng f trên khoảng đó. Dễ thấy rằng nếu f có một nguyênhàm là F trên một khoảng thì nó sẽ có vô số nguyên hàm trên khoảng đó; hơn nữa,tất cả các nguyên hàm của f đều có dạng F (x) + C, với C là hằng số tuỳ ý.Từ Định lý 1.8 ta nhận được các hệ quả sau 7Hệ quả 1.7. Mọi hàm liên tục trên một khoảng (đóng hoặc mở) đều có nguyên hàmtrên khoảng đó.Hệ quả 1.8 (Công thức Newton-Leibnitz). Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và Flà một nguyên hàm bất kỳ của f thìbaf(x)dx = F (x)ba:= F (b)− F (a).Công thức Newton-Leibnitz có một tiện lợi là cho chúng ta một cách tính chínhxác giá trị tích phân xác định của một hàm không cần thông qua phép tính giới hạnnếu đoán nhận được nguyên hàm của nó. Để minh hoạ cho điều đó ta xét ví dụ sauVí dụ 1.2.10x2dx =13;basin(x)dx = cos(a) − cos(b);e11xdx = 1.1.2.2. Phương pháp đổi biến số.Định lý 1.9. Giả sử hàm x = ϕ(t) thoả mãna) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β],b) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [α, β].Khi đó, nếu f liên tục trên [a, b] thìbaf(x)dx =βαf[ϕ(t)]ϕ(t)dt.Ví dụ 1.3.π20cosn(x)dx =0π2cosn(π2− t)(−1)dt =π20sinn(t)dt.Đặc biệt,π20cos2(x)dx =π20sin2(x)dx =12π20dx =π4.20√4 − x2dx =π204 − 4 sin2(t)2 cos(t)dt = 4π20cos2(t)dt = π.Định lý 1.10. Cho hàm f liên tục trên [a, b] và phép đổi biến t = ϕ(x) thoả mãn:a) ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], 8b) Tồn tại hàm g liên tục trên ϕ([a, b]) sao cho f(x) = g(ϕ(x)).ϕ(x) với mọix ∈ [a, b].Lúc đóbaf(x)dx =ϕ(b)ϕ(a)g(t)dt.Ví dụ 1.4. Với phép đổi biến t = sin(x), x ∈ [0,π2] ta đượcπ20cos(x)1 + sin2(x)dx =10dt1 + t2= arctan(t)10=π4.1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần.Định lý 1.11. Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thìbaf(x)g(x)dx = f(b)g(b)− f(a)g(a)−baf(x)g(x)dx.Ví dụ 1.5.e1ln(x)dx = x ln(x)e1−e1x1xdx = 1.1.3. Tích phân suy rộng.1.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn.Giả sử f là hàm xác định trên khoảng [a,∞) và khả tích trên mọi khoảng hữuhạn [a, b] với b > a. Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng[a,∞) là giới hạn sau∞af(x)dx := limb→+∞baf(x)dx. (1.3)Ta nói tích phân suy rộng∞af(x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.3) tồn tại hữu hạn,phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu∞a|f(x)|dx hội tụ.Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tíchphân suy rộngb−∞f(x)dx := lima→−∞baf(x)dx.∞−∞f(x)dx :=0−∞f(x)dx +∞0f(x)dx. 9Nếu F là hàm có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → ∞ thì ta ký hiệu giớihạn này bởi F (∞). VậyF (∞) := limx→∞F (x).Từ định nghĩa, ta thấy nếuFlà một nguyên hàm củaftrên khoảng[a,∞)thì∞af(x)dx = F (∞) − F (a) = F (x)∞a.Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại.Ví dụ 1.6.∞11xdx = ln(x)∞1= ∞; (1.4)Với α = −1, ta có∞1xαdx =xα+1α + 1∞1=∞ nếu α > −1−1α+1nếu α < −1.(1.5)∞011 + x2dx = arctan(x)∞0=π2.∞0cos(x)dx = sin(x)∞0( không hội tụ).Sau đây là một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộngĐịnh lý 1.12 (Tiêu chuẩn Cauchy). Tích phân (1.3) hội tụ khi và chỉ khi∀ > 0,∃M > a,∀b ≥ M;∀c ≥ M :cbf(x)dx< .Hệ quả 1.9. Nếu tích phân∞af(x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Hơn nữa∞af(x)dx≤∞a|f(x)|dx.Định lý 1.13. Cho f và g là các hàm có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng[a,∞). Lúc đó, các hàm f ± g, λf (λ ∈ R) cũng có tích phân suy rộng hội tụ trênkhoảng đó. Hơn nữa,∞a(f(x) ± g(x))dx =∞af(x)dx ±∞ag(x)dx,∞aλf(x)dx = λ∞af(x)dx. [...]... hàm f. 2 2 .2. Chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. 2.1. Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. 2 .2. Tính chất của chuỗi hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. 2.3. Chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. 2.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 24 2. 3. Chuỗi... các hàm sau 1 + 3x 2 x 2 (1 + 2x 2 ) ; sin(2x) 1 + 2 cos 2 x ; sin 4 x; 1 sin 6 x ; 1 cos x ; 1 √ e x − 1 ; 1 1 + √ 1 − x . 1.16. Tính đạo hàm của các hàm số F (x) :=  sin(x)+cos(x) 0 arctan(e s + s 2 + sin(s))ds; x ∈ R. G(x) :=  ln(x 2 +1) 1 sin(3 arctan(t) − cos(t) + 5e t )dt; x ∈ R. 40 Cú pháp: [> crossprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2) ; Ví d : Với u, v như trên: [> crossprod(u,v); [2, 5,−4] 3.4.3.... cùng cỡ. Cú pháp: [> evalm(A ± B ± C ); Ví d : [> A:=matrix([[1,x],[x,a],[0,1]]);B:=matrix([[x,a 2] ,[x, 2] ,[a,b]]); A :=   1 x x a 0 1   B :=   x a 2 x 2 a b   [> evalm(A-B);   1 − x x− a 2 0 a − 2 −a 1− b   b) Nhân hai hoặc nhiều ma trận có cỡ phù hợp. Cú pháp: [> multiply(A, B, C ); c) Tích trong của ma trận và vec-tơ. Cho u ∈ R m , A ∈ R m×n , v ∈ R n . Cú pháp: [> innerprod(u,... lệnh [> f:=x− > limit(f n (x), n=infinity); [> s:=x− > sum(u n (x), n=1 infinity); Ví d : [> f:=x− > limit((1+x/n)∧n, n=infinity); f := x → lim n→∞  1 + x n  n Đó chính là hàm e x , thật vậy, [> taylor(f(x), x); 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + 1 24 x 4 + 1 120 x 5 + O(x 6 ) [> s:=x− > sum((-1)∧n*x∧ (2* n+1)/( (2* n+1)!), n=0 infinity); s := x → ∞  n=0 (−1) n x (2n+1) (2n + 1)! Đây... . . 26 2. 3.1. Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. 3 .2. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. 3.3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. 4. Thực hành tính tốn trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. 4.1. Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm . . . . . . . 29 2. 4 .2. Khai... tính diện tích của F. Cụ thể, ta thực hiện hai lệnh: [> g(x ):= diff(f(x), x); [> 2* Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x) 2) , x=a b); Chẳng hạn, mặt cầu đơn vị là mặt tròn xoay được tạo ra bởi hàm f(x) = √ 1 − x 2 . Ta viết [> f:=x->sqrt(1-x 2 ): [> g(x ):= diff(f(x),x ): > 2* Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x) 2) ,x=-1 1); 4π 1.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f(x) Ta đã biết một hàm, nếu khả tích, sẽ có... [0, 1] ∩ Q, 0; nếu x ∈ [0, 1] \ Q. 1.3. Cho hàm f xác định bởi f(x) :=  |x 2 − 1|; nếu x ∈ [−3,−1] ∪ [1, 2] , 1; nếu x ∈ (−1, 1). Hàm f có khả tích trên đoạn [−3, 2] hay khơng? 1.4. Cho hàm f xác định bởi f(x) :=  |x|; nếu x ∈ [ 2, −1] ∪ [1, 2] , 0; nếu x ∈ (−1, 1). Hàm f có khả tích trên đoạn [ 2, 2] hay khơng? 24 Hệ quả 2. 4. Nếu (2. 4) hội tụ tại x = R thì chuỗi hội tụ đều trên [0, R] và do đó, hàm... trên [0, 2 ]. Hơn nữa, ta có a k = 1 π  2 0 f(x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, ··· , b k = 1 π  2 0 f(x) sin(kx)dx, k = 1, 2, 3··· . Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau Bổ đề 2. 1. Với mọi số tự nhiên p, q ta có  2 0 sin(px) cos(qx)dx = 0;  2 0 cos(px) cos(qx)dx =  0, khi p = q, π, khi p = q. 2. 3 .2. Chuỗi Fourier. Giả sử f là một hàm khả tích trên đoạn [0, 2 ] và tuần hồn với chu kỳ 2 . Lúc... trận A. Cú pháp: [> det(A); Ví d : [> A:=matrix([[1,x],[x,a]] ): [> det(A); a − x 2 27 Định lý 2. 16. a) Nếu các chuỗi số  a k và  b k hội tụ tuyệt đối thì chuỗi (2. 6) hội tụ tuyệt đối và đều trên mọi đoạn. b) Nếu các dãy số {a k } và {b k } đơn điệu giảm và dần về khơng thì chuỗi (2. 6) hội tụ tại mọi điểm x = 2kπ. Định lý 2. 17. Giả sử chuỗi (2. 6) hội tụ đều trên đoạn [0, 2 ]. Lúc đó, hàm... y 2 ≤ x, x.y, y. 3.1.3. Độ dài vectơ Với mỗi vectơ x ∈ R n , ta gọi độ dài (hay chuẩn) của x là số thực x được định nghĩa bởi: x :=  x, x =  x 2 1 + x 2 2 + ··· + x 2 n . Định lý 3 .2. Với mọi x, y ∈ R n và λ ∈ R ta có a) x ≥ 0; b) x = 0 ⇔ x = 0; c) λx = |λ|.x; d) x + y ≤ x + y. Định lý 3.3 (Pythagore). Cho x, y ∈ R n . Lúc đó, x⊥y ⇐⇒ x + y 2 = x 2 + y 2 = x − y 2 . Định . 1.3. 20 cosn(x)dx =0π2cosn( 2 t)(−1)dt = 20 sinn(t)dt.Đặc biệt, 20 cos2(x)dx = 20 sin2(x)dx = 12 20 dx =π4. 20 √4 − x2dx = 20 4 − 4 sin2(t )2 cos(t)dt = 4 20 cos2(t)dt. 22 2 .2. 3. Chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 .2. 4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 24 2.3.