Giáo trình giải tích 2

Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN Phép tính vi phân hàm số nhiều biến sổ là sự m ở rộng một cách tự nhiên và cần thiết cùa phép tính vi phân hàm số một biến số.. Đe học tốt chưong nàỵ ngoài việ

TS VŨ GIA TÊ (Chủ biên)

GIÁO TRÌNH

NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

MỤC LỤC

Lời nói đ ầ u 3

CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM số NHĨÈU BIÉN SÓ 11

1.1 Các khái niệm ch u n g 11

1.1.1 K hông gian n ch iều 11

1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến s ố 14

1.1.3 Miền xác định của hàm nhiều biến s ố 14

1.1.4 Ý nghĩa hình học của hàm hai biến s ố 16

1.1.5 Giới hạn của hàm số nhiều biến s ố 19

1.1.6 Sự liên tục của hàm số nhiều biến s ố 22

1.2 Đạo hàm và vi p h â n 24

1.2.1 Đạo hàm riêng 24

1.2.2 Vi phân toàn p h ầ n 26

1.2.3 Đạo hàm riêng cấp c a o 31

1.2.4 Vi phân cấp cao 33

1.2.5 Đạo hàm riêng của hàm số h ợ p 34

1.2.6 Vi phân của hàm h ợ p 37

1.2.7 Đạo hàm của hàm số ẩ n 38

1.2.8 Đạo hàm theo hướng G rađiên 44

1.3 C ông thức T aylor 48

1.4 Cực trị của hàm nhiều b iế n 49

1.4.1 Cực t r ị 49

1.4.2 Cưc tri có điều kiên 53

1.4.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhấi cua hàm số

trong miền đónsi 60

Tóm tắt nội d u n g 63

Bài tập 68

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN B Ộ I 74

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số 74

2.1.1 Tích phân-xác định phụ thuộc tham s ố 74

2.1.2 Tích phân suy rộnạ phụ thuộc tham s ố 80

2.2 Tích phân bội hai (Tích phân k é p ) 86

2.2.1 Bài toán mở đ ầ u 86

2.2.2 Định nghĩa tích phân k é p 88

2.2.3 Điều kiện kha tíc h 89

2.2.4 Tính chất của tích phân k é p 89

2.3 Tính tích phân k é p 90

2.3.1 Công thức tính tích phân kép trong tọa độ Đ ề -c á c 90

2.3.2 Công thức tính tích phân kép trong tọa độ c ự c 99

2.4 Tích phân bội ba (Tích phân 3 l ó p ) 106

2.4.1 Bài toán m ở đầu: rinh khối lượng vật t h ể 106

2.4.2 Định nghĩa tích phân bội b a 107

2.5 Tính tích phân bội b a 108

2.5.1 Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ Đ e -c á c 108

2.5.2 Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ t r ụ 114

2.5.3 Công ihức tỉnh tích phân bội ba trong tọa độ c ầ u 117

2.6 Một vài ứng dụng co học của tích phân b ộ i 121

2.6.1 Tính khối lư ợ n g 121

2.6.2, Xác định trọnẹ t â m 122

2.6.3 Mô men quán tín h 123

Tóm tắt nội dimọ, 131

Bài tập 138

CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN M Ặ T 142

3.1 Tích phân đưÒTig loại m ộ t 142

3.1.1 Định nghĩa tích phân đường loại m ộ t 142

3.1.2 Công thức tính tích phân đường loại m ộ t 144

3.2 Tích phân đưòng loại h a i 150

3.2.1 Bài toán mở đầu: Tính công của lực biến đ ổ i 150

3.2.2 Định nghĩa tích phân đường loại h a i 151

3.2.3 Công thức tính tích phân đường loại h a i 153

3.3 C ông thức Grin (G reen) 156

3.4 Định lý bốn mệnh đề tương đưoTig 162

3.5 Tích phân mặt loại m ộ t 170

3.5.1 Định nghĩa tích phân mặt loại m ộ t 170

3.5.2 Công thức tính tích phân mặt loại m ộ t 171

3.6 Tích phân mặt loại h a i 176

3.6.1 Mặt định hướng 176

3.6.2 Định nghĩa tích phân mặt loại h a i 178

3.6.3 Công thức tính tích phân mặt loại h a i 181

3.7 C ông thức S to k e s 185

3.8 C ông thức Gauss - O strogradski 190

Tóm tắ t nội d u n g 196

B ài tậ p 201

CHƯƠNG 4 LÝ T H I YÉT I R IỈÒ N C 207

4.1 Các đặc trưng của truòng vô h ư ó n g 207

4.1.1 Mặt m ứ c > 207

4.1.2 Građiên (Gradient) 208

4.2 Các đặc trưng của trưòng véc to' 209

4.2 ] Đường d ò n g 209

4.2.2 Thông ỉu’ợri£ của trirờne \'éc t ơ 210

4.2.3 Đive (Divergence độ phân k ỷ ) 210

4.2.4 Hoàn l ư u 211

4.2.5 Rôta (Rotation véc tơ xoáy) 212

4.3 Một số trường đặc biệt 213

4.3.1 Trường t h ế 213

4.3.2 Trường ố n g 216

4.3.3 Trường điều hoà 219

4.3.4 Toán tử H am inton 222

4.4 Hệ tọa độ cong trực g ia o 223

4.4.1 Định nghĩa hệ tọa độ cong trực g ia o 223

4.4.2 Liên hệ giữa tọa độ Đề-các và hệ tọa độ cong trực g ia o 224

4.4.3 Các đặc trưng CLÌa tnrờng trong hệ tọa độ cong trực g i a o 225

Tóm tắt nội d u n g 230

B ải tậ p 232

CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 235

5.1, PhưoTig trình vi phân cấp 1 236

5 1 1 C’ác kh ái n i ệ m c a b a n 2 37

5 1 2 C ác P T V P cấp iTiột thưcrníí o ặ p 239

5.2 Khái quát về phưoìig trình vi phân cấp h a i 252

5.2.1 Các khái niệm cơ ban 252

5.2.2 Các p r v p cấp hai aiain cấp đ ư ợ c 253

5.3 P h u o n g trình vi phân tuyến tính cấp h a i 256

5.3.1 Tính chai nghiệm cua PTVP tuNốn tính thuần n h ấ t 258

5.3.2 Tính chấl nghiệm cua PTVP tu\'ến tính khône thuần nhất 263

5.4 P hương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng s ố 267

5.4.1 Các dạna nghiệm cua phương trinh vi phân tuyến tính thuần n h ấ t 267

5.4.2 Phươna pháp tìm nahiệm riêna cua PTVP tuyên tính khônti thuân n h â i 269

5.5 Hệ p hưong trình vi phân cấp một 280

5.5.1 Các khái niệm cơ ban 280

5.5.2 Phương pháp tích p h â n 281

5.6 Hệ p hưong trình vi phân tuyến tính cấp niột có hệ số hang s ố 286

5.6.1 Dịnh nghía 286

5.6.2 PhưcTng pháp tìm níihiệm 286

Tóm tắt nội d u n g 292

Bài tậ p 299

• Đáp sổ và g ợ i ý 305

H ướng dẫn tra cứ u 321

Tài liệu tham k h ả o 326

Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến sổ là sự m ở rộng một cách tự nhiên và cần thiết cùa phép tính vi phân hàm số một biến số Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T cùa một chất lỏng biến đổi theo

độ sâu z và thời gian t theo công thức T = ếz, nhiệt lượng tỏa ra trên

dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dâỵ cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức ợ = 0 ,2 4 /? /“/ , v.v Vỉ vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mane tinh tống quái vừa mang tính thực tiễn Đe học tốt chưong nàỵ ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm m ột biến số rmười học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem [2])

1.1 CÁC K H Á I N IỆM CHUNG

1.1.1 K hông gian n chiều

1 Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) được gọi là 3 tọa độ Đe-các: X là hoành

độ, y là tung độ và z là cao độ

Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực ( X | , X 2 , , X „ ) được gọi là một điểm n chiềụ Kí hiệu M (X |,X , nghĩa là điểm n

c h i ề u M c ó c á c t ọ a d ộ .Y | \ 2 - V „ , T ậ p c a c ( ỉ i c n i M ( - V | V , A' , , ) d ư ợ c

gọi là không gian ơ c lii (Euclicie) n cliiều va kí hiệu là ÍR

2 Cho MCVị.A, v„) e ỈR", N( 1'| r ) e IR" Nẹười ta gọi

k h o ả n g c á c h g i ữ a M và N đ ư ợ c kí hi ệu b(VÌ d( VI N ) \ à linh t ho o côníỉ

th ứ c:í/(A f, N ) - ự( V| - ,V| Ý + + (^v,, - r„ )■’ =

V / 1Tương tự nhu ir(ìn2 R ỈR“ ÍR' la Iihậii dưọc bãt dăno thức lam

T ậ p E g ọ i là ni(y IICU n i ọ i đ i è n i c u a nó d ề u là đ i ế m I r o r m , g ọ i là

đóng nếu nó chứa iìiọi dièm bỉèn cua IIÓ ỉ ập các diênì bicn cua H kí

hiệu ÕE Tập rí o!'viriiz (hao dóne cua 1 ) cUrọ'c kí hiệu là E và có

£ = £ U ỡ £ ( h ì n h l i a )

5 Tập E gọi !à bị chặn hav eiứi nội nếu như 3R > 0 : E c CỈ/^(0).

6 Tập E gọi là lièn thôni4 nếu mồi cặp diêm M | Mt trong E đều được nối với nhau bời một đườnR cong lièn lục nào đỏ nằm trọn troníĩ

Chicơng ỉ P hép íính vi phân Ììctni sỏ Iilìiéu biên S('i 13

E Tập liên thôno E gọi là dưn liên ncu nó bị íĩiói hạiì bơi một mặt kín (một dường cong kín trong fR“;một mặl cone kín trongÍR’ ) (hình l.la ), Tập liên thông E aọi là đa liên nếu nó bị gii.vi hạn bới từ hai mặt kín trơ ỉên rời nhau từng đôi một (hình 1 ỉ b)

7 M ột tập mỏ' và liên thôns D được gọi là rnicn liên thông D Tương ứng ta cũng có miền đơn liên, miền đa liên, iniẻn đóng tùy theo tập đơn liên, tập đa liên, tập dóna

A, B là các tập giới nội: ỈR ' là tập không giới nội (cả mặt phẳng Oxy).

A là miền đơn liên; ÍR' là miền không giới nội,

1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến số

Cho D c IR" Ta oọi inh xạ: /': D ^ I R

1.1.3 Miền xác định của hàm nhiều biến số

Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà không nói gì về miền xác định D của nó thì phai hiểu rằng miền xác định D của hàm

số là tập hợp các điêm M sai') cho biêu thức f(M) có nghĩa

Miền xác định của hàm số thường là miền liên thông Sau đây là một số ví dụ về miên xác định cúa hàm số 2 biến số, 3 biến số

Ví d ụ 1.2: Tìm miền xác định của các hàm sô sau và mô tả hìnhhoc các miền đó:

\ - - yp' > ồ hay x" + \'“ < 1 Đó là hình tròn đóng tâm o bán kính

Chương Ị Phép tính vi phán hàm sỏ nhiều hiên sô 15

bàng 1 (hình 1.2a) Hình tròn đóng nàv có thc mô tả bởi hệ bất phương

- 1 < .V < 1

- y j \ - x~ < V < n / T - X"

trình:

Hình ỉ 2

b Miền xác định là tập các điếm (.V, v ) e ỈR“ thoả mãn: A' + v > 0

hav V > -X Đó là nửa mặt phăng có biên là đường V - - X (hình 1.2b)

Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình:

-oo < J < +00 -X < V < +CO

-1.1.4 Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số

Cho hàm 2 biến z = f(x.v) với { x y ) e D Tập các điểm { x , y , z ) E [R^ với z = f(x.y) được gọi là đồ thị của hàm số đã cho Như

vậy đồ thị của hàm 2 biến thường là một mặt corm trong không gian 3 chiều Oxyz Đồ thị của hàm sổ mô tả một cách trực quan hàm số thể hiện được ý nghĩa hình học của hàm số Dưới đây ta xét các mặt cong đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và ứng dụng

Chương I P hép tính V! phân hàm sổ nhiều hiến sổ

Đây là hàm hai biên cho dưới dạng không tưÒTio; minh (dạng ãn) Hàm số là đa trị (miền xác định cua hàm ấn là hình ellipse) Chăng hạn, coi z là b iế n ph ụ thuộc vào X và y thì miền xác định là e llip s e có

Phương trình chính tắc của paraboloid elliplic có dạng (hình 1.4)

Chưoĩig 7 P hép tính vi phàn hàm số nhiều biển so

+

1.1.5 Giói hạn c ủ a hàm số nhiều biến số

Khái niệm 2,iái hạn của hàm số nhiều biến số cũng được đưa về khái niệm giới hạn của hàrn một biến số ơ đây mộl biến số đóng vai trò

là khoáng cách d(M() M) giũ'a hai điểm M() và M trong không gian ÍR".

Để đcm eian trong cách viết chúno la xét trone không gian 2 chiều !R^

1 Nói rằna dãy điềm M„(Xn- V|i) dần đến điêm Mo(xo, Yo), kí hiệu

lim v„ = Vo

(1.8)

2 Cho hàm z = / ( x , v) xác định ở lân cận Mo(xo, yo) có thể trừ tại

Mq Ta nói rằne hàm / ( M ) có giới hạn là / khi M(x,y) dần đến Mo(xo, yo) n ế u mọi dãy điểm y„) thuộc lân cận Mo(xq, yo) dần

đến M() ta đều có: lim / ( x „ ) = /

Người ta thường kí hiệu lim f { M ) = /

Chủ ỷ: Sử dụng ngôn ngừ "s, ỏ'" ta có định nghĩa như sau: Hàm

( V í > 0 ) (3Ỏ’ > 0 ) : ũ < d { M ( ^ M ) < S ^ \ f { M ) - l \ < s ) (1.10)

Chú ý:

a Trong định nghĩa trên, khi M phải hiểu là các tọa độ của

M đồng thời dần đến các tọa độ của A/() Vì vậy người ta còn có tên

gọi là giới hạn bội của hàm nhiều biến

20 Giáo trình Giái tích 2

b Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn, hoặc quá trình M ->co; các tính chất của hàm có siới hạn; các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đều tương tự như hàm số một biến số

3 Giới hạn lặp: Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M()(X() Yo),

có thể trừ tại M()

Ta cố định giá trị V ^ Vo khi đó / ’(.\-.y)là hàm một biến sổ X

Giả sử tồn tại giới hạn đơn lim / (x, v) = ?(.)')

N eu tồn tại lim g ( > ’) = / thì ta nói rang / là giới hạn lặp của hàm

.V^Vo

số th e o thứ tự X —> X q , V > ’o và kí hiệu lim lim / ' ( x , > ' ) = / ( 1 1 1 )

v ->y„ v^.vo '■

Sau đây ta đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại giới hạn lặp

Đ ịn h lý 1.1 : Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận Mo(X(), yo) có

thể trừ tại M q , thỏa mãn các điều kiện:

a Tồn tại giới hạn bội lim / ’(x,>') = / (hữu hạn hoặc vô

(^.>-)->(,v„

cùng)

b Tồn tại giới hạn đơn lim / ( x > ’) = g ( v )

Khi đó tồn lại giứi hạn lặp lim lim / = /

Chuơng I P hép tính vi p h á n hàm số nhiều biến sô 21

Từ định lý 1.1 suy ra không có giới hạn bội.

c lim lim f ( x , y ) = lim lim X sin — = lim 0 = 0

1 H àm sổ f(M) xác định trên miền D và M,, e D 'ĩ a nói rằng

hàm số f(M) liên tục tại Mq nếu lim / ( M ) = / ( M q )

2 Hàm số f(M) xác định trên miền D Nói rằng hàm số liên tục

trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M e D

3 Hàm số f(M) liên tục trên miền đóne D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi điểm N e õ D theo nghĩa:

ịịm f i M ) = f { N ) , M e D

Chương ỉ P hép tính vi phán hờm số nhiều hiến số 23

4 Ta đặt = /{x,j 4 /U‘, v„ + A> ) - /'(.Y,) V(,).gọi đó là sốgia toàn phần của hàm sổ tại (xo.Vo) Vậy hàm số f(x.y) liên tục tại (X(), >'o) nếu như Vo) -> 0 khi ổx -> 0 và Ạv ^ 0

Tương tự như hàm số một biến số chúne ta cũnẹ có các phép tính: tổng, tích, thương, họp các hàm số liên tục

Ví d ụ 1.5: Xét sự liên tục cua các hàm sổ sau:

b Hàm số liên tục trên ÍR' (xem ví dụ ! 3.a)

c Hàm số liên tục trên [R“ vi nó là họp cua hai hàm số liên tục

trên IR và trên IR^: cos u và u - X' - e " ' + XV.

B Tính ch ấí

Hoàn toàn tương tự như hàm inột biến số ta có các tính chất quan trọng sau đây:

Đ ịn h lý 1.2: (W eie rstrass) Nếu f{x,y) liên tục trong miền đóng

D giới nội thì nó đạt giá trịlớn nhất và giá trị bé nhất trong miền D

tức là: 3M | e D , 3 M 2 &D để có bất đẳng thức kép;

/ ( A f , ) < f { M ) < f ( M j \ VM € D'

Định lý 1.3: (Bolzano - Cauchy) Nếu f(x.v) liên tục trong miền

liên thông và với bất kỳ Mị e D, M 2 e D thì nó dạt mọi eiá trị trung

Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và V(,) e D.

Thay y = Yo vào hàm số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số

u = f(x, yo) Nếu hàm số này có đạo hàm tại X() thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x, y) đối với X tại Mo(xo, Ỵo) và kí hiệu như sau:

< ( ^ 0 ’>’0)^ Ì r ( ^ 0 ’.Vo), - - , /;(X ọV o) ^(Xo,>^o)

Đ ặ t Ậ/(X(,,Vo) = /( X o + Ax,>^o)“ / ( ^ 0’ Vo)^'à gọi đó là số gia

riêng củ a h àm f(x, y ) th eo biến X tại (X(), yo), v ậ y ta có:

Chương 1 P hép tính vi phân hàm sỏ nhiêu hiên sô 25

trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào (X(), yo), còn a , yổ dần

đến 0 khi M ^ M q tức là khi Ax -> 0, Ạy —> 0 thì nói rằng hàm số

f(x, y) khả vi tại Mo, còn biểu thức A ầx + B A ỵ được gợi là vi phân

toàn phần của hàm số tại M() và kí hiệu là df(\() yo), hay du(Xo, Yo)

2 Hàm số u = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả

vi tại mọi điểm của miền D

B Điều kiện cần của hàm số khả vi

Đ ịn h lý 1.4: N ếu f(x, y) khả vi tại (xo, yo) thì liên tục tại đó

T ừ công thức (1.13) suy ra A/(x,),7o ) -> 0 khi A x - > 0 , Ạ y - ^ 0 Vậy hàm số liên tục tại (xo, Yo)

Chương 1 Phép tính vi phân hàm sổ nhiều hiến số 27

Đ ịnh lý 1.5 : Neu f(x, v) khả vi tại (X(|, yn) thì hàm số có các đạohàm riêng tại (Xo, yo) và A = V,)) B -

Ta xét tỉ sô = - Khi Ax = Av 0 thì lỉ sô này dân đên

vô cùng, như vậy mâu thuẫn Chứng tỏ hàm số không khá vi tại (0 ,0 )

T ừ định lý 1.5 và ví dụ 1.7 ta thấy rằng sự tồn tại các đạo hàm riêng chỉ là điều kiện cần của hàm khả vi chứ không phải là điều kiện

đủ, tính chất nàv khác hẳn hàm một biến số

c Điều kiện đit CIKÍ hàm vổ kha vi

Đ ịn h lý 1.6: Neu hàm số u = f(x y) có các đạo hàm riêng

f ỷ { x \ y ) ỉiên tục tại Mn(xo.yo) thì f(x y ) k h ả vi tại Mo(xo- }'())•

Chứng minh:

Ta có Ạ/(.V(J V'|J) = /(,T„ + A.T >0 -h Ạv) - /(X(, v„ )

'/ ( x o + :\v, Vo + Ạv) - / ( a-(,,.Vo + Av)

’/(-^0'3o + 'V ')-/(A o ,.r o )]

Áp dụníỉ còim ihức số gia hữu hạn (cỏne ihức L.acranơe) cho hàm

m ột b iên số f(x >(, + Ay) tại lân cận X,) và r(\(), V) O' lân cận > 0 la sỗ

nhận được:

/( X o + 4- A v ) - v'o + Ạv) - y;'(.V(; + í^|Av V(, + ^ y ) ^ x

/ ( x o , Vo + Ạ>’) - / ( x „ , Vo) = ,/;'(.Vo,yo + ớ2Ạv)Ạv

trong đó 0 < ớ| < K 0 < Ớ2 < '

C ũ n g t h e o gi a ih i ế t /,'(.r,_v)< >’) liồn tụ c tại (X(, V||) nên:

+ ớ,Av v,ị + Av) - >0 ) + ư(Av.Ạv’)

/v'('^0'.V0 = /,'X-^o-.Vo) + /^'(Av Av)

trong đó a ^ 0 // - > 0 khi A.Y 0, Ạ ị ’ - > 0.

Từ đó ta nhận duợc:

Ạ/^í-^o-y,)) = + /'(.V„.,v„ ) A r + azVr + ( ỉ.\y

Đ iề u đ ó chứn!^ to hàm số khả vi tại (Xf), Vo).

Nếu ta xét các hàm số f(x y) = \ và íi(x y) = V irone IR“ thì rõ ràng: df(x, y) dx 1 Ax, dg(x y) = dy = 1 ,Ay

Chưcmg I P hép lính vi phân hàm so nhièu so 29

Vậy vi phân toàn phần của hàin số l'(x y) tụi (Xị) }(,) có thể viết dưới dạnu;

4 / ' ( x q , V()) = ,/v('>^'o-> ’() r (.V(, V',ị ) d v

D Ỷ nghĩa củ a vi ph ân toàn phần

Cho hàm số f(x, y) khả vi tại (X(), yo) tức là:

(^'o' > 0) = d f (Xg V()) + + Pầy

Vì rằng a ầ x + (3ầy I - a + 1/? ^ 0 khi Ay — > 0 Ạy -> 0 .

Suv ra df(Xo, yo) khác số gia loàn phần Af(X(, V(|) một vô cùng bé

có bậc cao hơn vô cùng bé p = + Ạ)’' khi /i',' —> 0, Av -» 0 Vậyvới Ax , Ạy khá bé ta sẽ nhận được:

Công thức (1.15) thường được sư dụng dố tínl; cần đúng giá trị của hàm sổ

Chú ý: Tính chấl, kha vi c:ua ĩõng, tích thưoTig hai hàm nhiềi-1 hiến

h oàn toàn g i ố n g như tính chấl khấi vi cúa các phép ííiih lu-ơng ứ n g ch o

hàm m ột biến sổ

Ví dụ 1.8: Thực hiện phép lính vi phân các hàin số:

a Cho f(x,y) = X cos xy tính á f biết Ax = 0.01, Ay = 0,02

b Cho f(x,y) ^ { x - y ) e ' - Tính dr(x,y)

Giải:

Chương 1 Phép tính vi phân hàm số nhiêu hiển số 31

Chứng tỏ sai số tuyệt đối của thề tích khôriR quá 0,3;rcm^ và sai

1.2,3 Đ ạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng cấp hai của một hàm số là đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một của nó Vậy hàm hai biến f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây:

Giai: / ; = e"-2v44r ^ ^.v-2v 4z_ r<3) "

Nhận xét: Trong ví dụ trên có f ỹ \

-Đ ịn h lý 1.7 (S ch w arz ): Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng hỗn họp

f x v f v x Mo(X(), >'()) thì các dạo h àm hỗn hợp b ằ n g nhau

tại Mo

Định lý Schvvars cho la điều kiện đủ đè đạo hàm riêng theo các biến không phụ thuộc vào thứ tự lấy theo các biên, Định lý 1.7 cũng

đư ợ c m ở rộng c h o trường hcrp đ ạo hàm riêng cấp c a o hơn v à h àm với

s ố b iến n h iề u hơn hai.

C hứng minh: T a lấy t, s đủ bé và lập các hàm sổ sau đây trong lân

C hương 1 P hép tinh vi phán hàm sô nhiêu hiên sỏ 33

Hoàn loàn tương tự ta cũne có;

Cho t s —> 0 do tính liên tục ta nhận du’ợc:

Vo) = /wÚo-Vo)

Chú ý; Định lý trên cũna mở rộng cho các đạo hàm cấp cao htriì

và hàm nhiều biến hon

1.2.4 Vi phân cấp cao

số của X, y nên có thể xét vi phân của nó Nếu à f { x , y ) khả vi thì vi phân của nó được gọi là vi phân cấp hai của hàm sổ, được kí hiệu là

á ^ f { x , y ) - d í d / í x y)) và nói rằng f(x y ) khả vi đến cấp 2 tại (x, y).

Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu:

cụ thể \h u = f { ẹ { M ) ) , M &D, ( p { M ) d ỈR'” gợi là hàm số hợp Để

c h o đơn giản , sau đây ta xét n = 2, m = 2.

Đ ịnh lý 1.8: Cho u = f(x,y) v ớ i X = x(s, t); y = y(s, t) thoả mãn:

a Các biến trung gian x(s, t), y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b)

b fi(x, y) khả vi tại điểm {p,cj) = (x (a ,ổ ), v { a , h ) )

Khi đó hàm hợp u = u(s, t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b) tính theo công thức:

õu — - 1 -:—õu õx õu õy

Chương ỉ P hép tỉnh vi phân hàm số nhiều hiến số 37

Giái:

N hận xét; hàrn số u = — đối xứng với X V , z Do đó ta chỉ cần

r tính ù ' 2, sau đó thay X bởi y và z

Chú ỷ: Cũng như hàm một biến số vi phân cấp cao của hàm

nhiều biến không có tính bất biến dạng

1.2.7 Đ ạo hàm của hàm số ẩn

A H àm ẩn m ột biến

Cho một hệ thức giữa hai biến X, y dạng;

trong đó F(x, y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa

(xq, yo) và F(xo, yo) = 0 Giả sử rằng Vx e (xq - (ỹ, Xq + ổ ) 3 y { x ) sao cho ( x , y ) e D và F(x, y) = 0 Hàm số V = y(x) gọi là hàm ấn của X xác

dy F'

Chương Ị P hép tính vi phân hàm sô nhiêu hiên sỏ Ì9_

Chủ ỷ: Để nhận được công thức (1.24) chúng ta chi việc lấy vi

phân 2 vế của (1.23) Trong đó có y = y(x) và áp dụng tính bất biến của dạng vi phân cấp 1

Thật vậy dF(x, y) = 0 hay F'^dx + ĩ Ị d y = 0 hay + F ; j / = 0 Từ

đó suy ra (1.24)

Ví dụ 1.13:

T ính v '(l) biết p h ư ơ n g trình hàm ẩn: XV - e' sin V = 7T

Giải:

Lấy đạo hàm toàn phần (hav ta có thể lấy vi phân) và coi y là hàm

của X, hai v ế cùa phương trình đã cho có:

y + xy' - sin V - e '‘ cos V v' = 0

Thay X = 1 vào phương t r ì n h hàm ấn nhận được:

jF(l)->T = sin v(l) Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình

này, nhận được nghiệm v(l) = ^

Tương tự n h ư định lý 1.9 ta không chứng minh định lý này.

C ũng như trong trường hợp hàm ẩn một biến, để lính các đạo hàrn riêng cũng n h ư vi phân của hàm ẩn ta lẩy vi phân toàn phần hai vế của

phương Irình hàm ẩn, sau đó đi tìm — , — , d z

Chương / Phép tính vi phân hàm sô nhiêu hiên sô 41_

Trong trường hợp đặc biệt ta có thể giải từ hệ trên ra 2 ẩn số w, V

phụ thuộc vào 2 biến còn lại;

u = u { x , y )

42 Giáo trĩnh Giai tích 2

Hệ hàm (1.27) được gọi là hệ các hàm ân xác định lừ hệ các phương trình hàm (1.26)

Tuy nhiên việc giải được ra (1.27) thưò’n s rất khó khăn, dưới đâv

ta sẽ đưa ra điều kiện tồn tại các hàm ấn và côníỉ thức tính các đạo hàm riêng của chúng

Trước hết, ta có ma trận iacobi cúa hệ 2 hàm F ,d o i vó'i 2 biến

X , y và định thức Jacobi của hệ 2 hàm Fị /^2 đối với 2 biến -Y v(xem công thức (1.20)’)

F](x,_y,w, v), F 2 ( x, V, v ) t h o ả mãn các điều kiện:

1 F|(x,jv,w,v), F^ { x y , u , v ) liên tục trong h ì n h cầu mở Q^^-(M())của không gian 4 chiều và: