Giáo trình giải tích 2

TS. VŨ GIA TÊ (Chủ biên) GIÁO TRÌNH Giải tích ĩ NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG [...]... sau: a » = r\v /y;(1 .2) n;,(Kl) b u = x-' { x >0 ) Ii[.{x.y) Ii[.{x.y) c ỉ / = x ~2 arc tg , v,z), ;/' (x,_v,z), I i í { x y , z ) Á Giải: a u'^{x,ỵ) = 3x“ V => Ii\.(x.y) = x- => 2) = 6 1) = 1 Giáo trình Gioi tích 2 26 b u[^ = yx^' \ c w', = x ' Inx ( x ,y ,z ) = 2xzarctg— ú {x,y,z) = x ^ z - - - ù ( x , z) = x'arctg - - x^z 7 — ỉ-y = 7 (arctg - - - r ^ ) i; z 7 u “ 4- T 2 1 .2. 2 Vi phân toàn phần... R: 2 2 2 X +_v + z = R H ình 1.3 Hình 1.4 c P araholoíd elliptic Phương trình chính tắc của paraboloid elliplic có dạng (hình 1.4) (1.3) a b Miền xác định của hàm số trên là trình có dạng: = ứ “z Khi a = b tức là phương (1-3)’ Mặt cong có phương trình (1.3)’ được gọi là paraboloid tròn xoay Giảo trình Giai tích 2 8 D M ặt trụ bậc 2 1 Mặt trụ elliptic (hình 1.5) có phương trinh chính tắc: X 2 V 2 (1.4)... 1 trình: - y j \ - x~ < V < n / T - X" Hình ỉ 2 b Miền xác định là tập các điếm (.V v ) e ỈR“ thoả mãn: A + v > 0 , ' hav V > -X Đó là nửa mặt phăng có biên là đường V - -X (hình 1.2b) Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình: -oo < J < +00 -X < V < +C O Giáo trình Giái tích 2 16 c Miền xác định là tập các điêm < 9 Đó là hình cầu mở tâm (.V V z) e R ’ thoả mãn o bán kính bàng 3 (hình 120 )... 7ĩ^ 7Ĩ \ V 4, / V2 ^ 0,01- 0. 02 - 4 2 \ ' 4 y , 2 1 \ 1 1 0.0 4 j TV‘ f ' y{x, y) = -e'-'’ + 2yx{x - y)e^-' ' d /(x ,y) = ị[l + (X - v )]d x + [2xy{x - V - 1] dj’| ’) Ví dụ 1.9: a Tính gần đúng arctg ? ^ 0 ,9 7 b Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4cm Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn Ah = Ar = 0,1 cm Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên Giải: X a Ta biêu... õt Giáo trình Giai tích 2 36 Công thức (1 .20 ) có thể viết dưới dạng ma trận hàng; õu õu (1 .20 )’ ds ’ õt trong đó được gọi là ma trận Jacobi của ds X, y đối với t, s; õt còn định thức của ma trận này được gọi là định thức Jacobi cua đối với t, s hay lacobian của X, õx y đối với t, X, s và ký hiệu: õx D(x,y) ( 1 21 ) D ịs ,t) õs õt Ví dụ 1.11: Tính các đạo hàm riêng u = e V 1 ny, i x = st, y =s -t 2 Giải; ... sau đây: Đ ịn h lý 1 .2: (W eierstrass) Nếu f{x,y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trịlớn nhất và giá trị bé nhất trong miền D tức là: 3M | e D, 3 M 2 &D để có bất đẳng thức kép; /(A f,) < f { M ) < f ( M j \ VM € D' 24 _Giáo trình Giải tich 2 Định lý 1.3: (Bolzano - Cauchy) Nếu f(x.v) liên tục trong miền liên thông và với bất kỳ Mị e D, M 2 e D thì nó dạt mọi... (.v.y)^Ỉ0.0)ự ^2^ ^,: = 0 Ví du 1.4: Tìm các giới hạn lặp ( x y ) -> (0,0) của các hàm số sau: rí \ /(x v )= ^ " X , X rí \ X - y + X ^ +y ^ b /(x ,v ) = — + v ^ c / ( x, v) = x s i n - x + y y Giải: XV 0 a lim lim / (x,}^) = lim !im —r-— r- = lim =0 y“>o,v-^o V">0.V-^0X H y V lim lim f ị x , y ) = lim lim vA A ->vA.V '-»0 0 ^ vfì v~>0 v’-^vr X 0 XV -f y 0 x -> 0 X ' 22 Giáo trình Giai tích 2 Tuy nhiên... chấl, kha vi c:ua ĩõng, tích thưoTig hai hàm nhiềi -1 hiến hoàn toàn g i ố n g như tính chấl khấi vi cúa các phép ííiih lu-ơng ứng cho hàm một biến sổ Ví dụ 1.8: Thực hiện phép lính vi phân các hàin số: a Cho f(x,y) = X cos xy tính á f b Cho f(x,y) ^ { x - y ) e ' - biết Ax = 0.01, Ay = 0, 02 Tính dr(x,y) Giải: a /,'(x,_v)=^cosx)^-ATSÌnA:v, /■' 7t / 4 ; 9 1 ' 4y Giáo trình Giai tích 2 30 / fý{x,y) = - x... các tọa độ của M đồng thời dần đến các tọa độ của A/() Vì vậy người ta còn có tên gọi là giới hạn bội của hàm nhiều biến Giáo trình Giái tích 2 20 b Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn, hoặc quá trình M ->co; các tính chất của hàm có siới hạn; các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đều tương tự như hàm số một biến số 3 Giới hạn lặp: Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M()(X() Yo), có thể... nhiêu hiển số 2 31 J i —y ,/,(A-.V) = - ^ ^ - T -X " V" + X X = — V +x V y /(X() + A x , Vq + Ạ>’) ~ f l/T /g - + - 0 0 5 + - 0 0 3 - — + 0,04 = 0,785 + 0.04 = 0, 825 b Ta có: = Tĩr^h, V = In rh , V - n r ' '^ Ị^ Á p dụ n g c ô n g thức ( 1.15) ta có: V{r + ầ r ,h + ầ h ) Sí /rr~h + 2/ ĩrhầr + Tĩ r Ah « ;tA \ 2 0 + 2; r.4 .20 .0,l + /ĩA -.0 , 1 ~ 7r337.6cm'' Chứng tỏ sai số tuyệt đối của thề tích khôriR . kép) 86 2. 2.1. Bài toán mở đầu 86 2. 2 .2. Định nghĩa tích phân kép 88 2. 2.3. Điều kiện kha tích 89 2. 2.4. Tính chất của tích phân kép 89 2. 3. Tính tích phân kép 90 2. 3.1. Công thức tính tích phân. 68 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI 74 2. 1. Tích phân phụ thuộc tham số 74 2. 1.1. Tích phân-xác định phụ thuộc tham số 74 2. 1 .2. Tích phân suy rộnạ phụ thuộc tham số 80 2. 2. Tích phân bội hai (Tích phân. 22 1 .2. Đạo hàm và vi phân 24 1 .2. 1. Đạo hàm riêng 24 1 .2. 2. Vi phân toàn phần 26 1 .2. 3. Đạo hàm riêng cấp cao 31 1 .2. 4. Vi phân cấp cao 33 1 .2. 5. Đạo hàm riêng của hàm số h ợ p . 34 1 .2. 6.