Giáo trình giải tích 2

Giáo trình giải tích 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

KHOA TOÁN - TIN HỌC

Hướng dẫn sinh viên đọc giáo trình

Đây là giáo trình Giải tích 2 dành cho sinh viên ngành Toán hay ngành Toán Tin.Nội dung đề cập đến một số khái niệm cơ bản nhất về dãy và chuỗi hàm, không gian

Rn, tính liên tục, đạo hàm và tích phân Riemann của hàm nhiều biến thực Để đọcđược giáo trình này sinh viên cần có kiến thức căn bản của Giải tích 1 (phép tính vitích phân hàm thực một biến thực) và Đại số tuyến tính (e.g ánh xạ tuyến tính, matrận, ) Giáo trình được trình bày theo lối tuyến tính, vậy người đọc lần đầu nên đọclần lượt từng phần theo thứ tự

Để đọc một cách tích cực, sau các khái niệm và định lý sinh viên nên đọc kỹ các vídụ, làm một số bài tập nêu liền đó Ngoài ra học toán phải làm bài tập Một số bàitập căn bản nhất của mỗi chương được nêu ở phần cuối của giáo trình

Về nguyên tắc nên đọc mọi phần của giáo trình Tuy vậy, có thể nêu ở đây một sốđiểm cần lưu ý ở từng chương:

I Dãy hàm - Chuỗi hàm Có thể bỏ qua tính hội tụ đều của chuỗi Fourier (mục 4.5)

II Không gian Rn Tiết5 là phần đọc thêm nên có thể bỏ qua

III Hàm liên tục trênRn Có thể không đọc mục 3.4

IV Đạo hàm Phần này sử dụng một số kiến thức về ma trận biểu diễn ánh xạ tuyếntính

V Tích phân Riemann Có thể bỏ qua các chứng minh: Tiêu chuẩn Darboux (mục1.3) và Công thức đổi biến (mục 3.3)

Để việc tự học có kết quả tốt sinh viên nên tham khảo thêm một số tài liệu khác cónội dung liên quan (đặc biệt là phần hướng dẫn giải các bài tập) Khó có thể nêu hếttài liệu nên tham khảo, ở đây chỉ đề nghị các tài liệu sau (bằng tiếng Việt):

[1] Jean-Marier Monier, Giải tích 2, NXB Giáo dục

[2] Y.Y Liasko, A.C Bôiatruc, IA G Gai, G.P Gôlôvac, Giải tích toán học - Các ví dụ và các bài toán, Tập II , NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp

Ngoài ra, sinh viên nên tìm hiểu và sử dụng một số phần mềm máy tính hỗ trợ choviệc học và làm toán như Maple, Mathematica,

Chúc các bạn thành công!

Tạ Lê Lợi Mục lục

Chương I Dãy hàm - Chuỗi hàm

1 Dãy hàm 1

2 Chuỗi hàm 3

3 Chuỗi lũy thừa 5

4 Chuỗi lượng giác 9

Chương II Không gian Rn 1 Không gian Euclid Rn 19

2 Topo trong Rn 21

3 Tập compact 22

4 Tập liên thông 23

5 Tổng quát hoá 24

Chương III Hàm liên tục trên Rn 1 Giới hạn hàm 27

2 Tính liên tục 30

3 Sự hội tụ đều 34

4 Định lý Stone-Weierstrass 36

Chương IV Đạo hàm 1 Đạo hàm 41

2 Các qui tắc cơ bản - Định lý phần gia 45

3 Đạo hàm cấp cao - Công thức Taylor 49

4 Định lý hàm ngược - Định lý hàm ẩn 54

Chương V Tích phân Riemann 1 Tích phân Riemann 59

2 Lớp hàm khả tích Riemann 62

3 Các công thức tính tích phân 65

Bài tập 73

I Dãy hàm - Chuỗi hàm

Chương này ta sẽ xét đến dãy hàm và chuỗi hàm Ngoài sự hội tụ điểm, một kháiniệm quan trọng là tính hội tụ đều, nó bảo toàn một số tính chất giải tích của dãyhàm khi qua giới hạn Đặc biệt sẽ nêu các kết quả cơ bản nhất của việc khai triểnmột hàm thành chuỗi lũy thừa (khai triển Taylor) hay chuỗi lượng giác (khai triểnFourier)

1 DÃY HÀM

1.1 Định nghĩa Mộtdãy hàm trênX là một họ các hàm f n : X → R (n ∈ N) Kýhiệu (f n)n∈N

Với x ∈ X, (f n (x)) n∈N là dãy số Tập D = {x ∈ X :dãy số (f n (x)) n∈N hội tụ }

gọi làmiền hội tụ của dãy(f n)

Khi đó, ta có D  x → f(x) = lim n→∞ f n (x) xác định một hàm và ta nói (f n) hội tụ

(điểm hayđơn giản) về hàmf trênD

Mệnh đề Nếu (f n) và (g n) hội tụ đều về f và g trên D, thì (f n + g n) và (cf n)

hội tụ đều về f + g vàcf trên D.

1.3 Tiêu chuẩn Cauchy Dãy hàm (f n) hội tụ đều trên D khi và chỉ khi

Gỉa sử ngược lại (f n)thỏa tiêu chuẩn Cauchy trênD Khi đó với mỗi x ∈ D, dãy số

(f n (x))là dãy Cauchy, nên hội tụ vềf (x) ∈ R

Hơn nữa, từ tiêu chuẩn trên, khi chom → ∞, rồi
→ 0, ta cósup

x∈D |f n (x)−f(x)| → 0,khi n → ∞ Vậy (f n) hội tụ đều về f trênD
1.4 Mệnh đề

(1) Gỉa sử(f n) là dãy hàm liên tục và hội tụ đều vềf trên D Khi đóf là hàm liên tục trênD Đặc biệt, khi đó có thể chuyển thứ tự lim

lim

n→∞ f n  (x) =n→∞lim f n (x)

Chứng minh: (1) Chox0 ∈ D Với
>0

Do sự hội tụ đều, tồn tại N sao cho: |f N (x) − f(x)| <
/3, ∀x ∈ D.

Dof N liên tục tạix0, tồn tạiδ >0, sao cho: |f N (x) −f N (x0)| <
/3, ∀x, |x −x0| < δ.

Vậy khi|x − x0| < δ,

|f(x)−f(x0)| ≤ |f(x)−f N (x)|+|f N (x)−f N (x0)|+|f N (x0)−f(x0)| <
/3+
/3+
/3 =

I.2 Chuỗi hàm. 3Vậyf liên tục tạix0, i.e x→xlim

trong đó f k là hàm xác định trênX

Xét chuỗi tương đương với xét dãy hàm tổng riêng thứn:S n = f0+ · · · + f n

Miền hội tụ của chuỗi: D = {x ∈ X :dãy hàm (S n (x)) n∈N hội tụ}

Chuỗi là hội tụ đều về S (x) = 1 − x1 trên miền D r = {x : |x| ≤ r}, với 0 < r < 1.Thật vậy, ta cóS n (x) = 1 − x 1 − x n+1 nên

Tuy nhiên chuỗi không hội tụ đều trên D, vì sup

f k hội tụ đều trên [a, b] Khi đó

(1) Nếuf k liên tục trên[a, b]với mọi k ∈ N, thì chuỗi trên xác định một hàm liên tục trên [a, b] Đặc biệt khi đó có thể chuyển lim vào dấu

k=0

f k



(x) = ∞ k=0

f 

k (x)

2.4 Một số dấu hiệu hội tụ đều cho chuỗi hàm

Weierstrass M-test: Nếu |f k (x)| ≤ a k , ∀x ∈ D và ∞

ϕ k là chuỗi hàm có dãy tổng

riêng bị chặn trên D, thì ∞

k=0

f k ϕ k hội tụ đều trên D.

Abel: Nếu(f n) là dãy đơn điệu bị chặn và ∞

k=0

ϕ khội tụ đều trênD, thì ∞

k=0

f k ϕ khội tụ Chứng minh: Nếu |f k (x)| ≤ a k, thì m

f k hội tụ đều

Hai tiêu chuẩn sau chứng minh như phần chuỗi số (Bài tập)

I.3 Chuỗi lũy thừa. 5

3 CHUỖI LŨY THỪA

Phần này chúng ta nghiên cứu chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm dạng ∞

k=0

a k x k, hay tổngquát hơn chuỗi lũy thừa tâm tại x0, ∞

k=0

a k (x − x0)k.Nhận xét Khi thay biến z = x − x0 ta đưa chuỗi lũy thừa tâm tại x0 về dạngchuỗi lũy thừa

3.1 Định lý Abel Cho chuỗiS (x) = ∞

k=0

a k (x − x0)k Khi đó tồn tại R, 0 ≤ R ≤ +∞, sao cho, nếu R >0 , thì

(1) S (x)hội tụ trên khi |x − x0| < R, phân kỳ khi |x − x0| > R.

(2) S hội tụ đều trên D r = {x : |x − x0| ≤ r}, với mọi 0 < r < R.

Số R gọi làbán kính hội tụ củaS và được tính bởicông thức Cauchy-Hadamard

k

Theo M-test S (z) hội tụ đều trên đĩa

D r Từ đây cũng suy ra S (z)hội tụ khi |z| < R

Khi |z| > R Chọn ρ : R < ρ < |z| Theo định nghĩa lim sup, tồn tại vô số chỉ số k:

k=0

x k

k! có bán kính hội tụ là∞

c) Định lý Abel không cho kết luận về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi khi|x−x0| = R.Chẳng hạn các chuỗi ∞

hội tụ khi |x| = 1khác nhau.

k phân kỳ khi x= 1, nhng hội tụ khix = −1 theo tiêu chuẩn Leibniz

3.2 Mệnh đề Gỉa sử chuỗi lũy thừa ∞

k=0

a k (x − x0)k có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó S (x) = ∞

k=0

a k (x − x0 )k xác định hàm khả vi mọi cấp trên (x0− R, x0+ R)và

ta có thể lấy đạo hàm và tích phân vào dấu tổng:

k=0

(−1) k x k+1

k+ 1 = ln(1 + x), |x| < 1.b) Ta có khai triển

1

1 + x2 = 1 − (−x1 2) = 1 − x2+ x4− x6+ · · · = ∞

k=0 (−1) k x 2k , |x| < 1

Tích phân từng từ ta có

arctan x = x − x33 +x55 − x77 + · · · = ∞

k=0

(−1) k 2k + 1 x 2k+1 , |x| < 1

Bài tập: Áp dụng dấu hiệu Abel cho sự hội tụ đều của chuỗi với f k (x) = x k và

ϕ k (x) = a k chứng minh Định lý Abel sau đây:

I.3 Chuỗi lũy thừa. 7

c) Dễ thấy các chuỗi cuối ở hai ví dụ trên thỏa định lý Abel, suy ra ta có côngthức tính gần đúng

Bài tập: Chứng minh sai số R n ở hai công thức trên là O( 1

T f (x) = ∞

k=0

a k (x − x0)k , trong đó a k= f (k) (x0)

k!

Bài toán là khi nào thìT f (x) = f(x)?

Có 3 khả năng xảy ra:

(1)T f (x)không hội tụ Ví dụ chuỗi Taylor hàm f (x) = ∞

k=0

sin 2k x

k! (2)T f (x)hội tụ nhưngT f (x) = f(x) Ví dụ hàmf (x) = e − x21 , khi x = 0, f(0) = 0,là hàm khả vi vô hạn và f (k) (0) = 0, ∀k VậyT f (x) ≡ 0 = f(x)

(3) T f (x) = f(x), |x − x0| < R Khi đó ta nói f là hàm giải tích trên D = {x :





≤ (n + 1)! CR n+1

Vế phải tiến về 0, khi n → ∞, nên ta có f (x) = T f(x)
3.4 Chuỗi Taylor của một số hàm Từ khai triển Taylor và bán kính hội tụ củachuỗi lũy thừa ta có

(−1) n (2n)! x 2n + · · · sin x = x −3!1x3 +5!1x5+ · · · + (2n + 1)! (−1) n x 2n+1 + · · ·

1

1 − x = 1 + x + x+· · · + x n + · · · , |x| < 1 ln(1 + x) = x −12x2 + 13x3+ · · · + (−1) n+1

Ví dụ Công thức sau cho tính xấp xỉ ln 2 với tốc độ nhanh hơn công thức ở ví dụmục 4.3 Từ biểu diễn ln(1 + x)suy ra

I.4 Chuỗi lượng giác. 9Trong đó sai số

4 CHUỖI LƯỢNG GIÁC

Có nhiều bài toán liên quan đến hàm tuần hoàn Phần này ta xét đến việc biểudiễn hàm tuần hoàn dưới dạng chuỗi Vì hàm sinvà hàm coslà tuần hoàn, nên biểudiễn qua chúng tự nhiên và thuận tiện hơn qua hàm lũy thừa

Một chuỗi lượng giác là chuỗi hàm dạng

Nhận xét Khi hàm f có chu kỳ T, hàm ϕ (x) = f( 2π T x) có chu kỳ 2π Như vậy, tachỉ cần xét hàm có chu kỳ2π, rồi sau đó đổi biến

4.1 Tính trực giao Trên không gian các hàm liên tục trên [−π, π], ta định nghĩa

tích vô hướng: < f, g >=

 π

−π f (x)g(x)dx, f, g ∈ C[−π, π].Khi đó hệ các hàm lượng giác 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, · · · , cos nx, sin nx, · · · làhệ hàmtrực giao theo nghĩa tích vô hướng của 2 hàm bất kỳ của hệ bằng0 Cụ thể

f (x) sin lx = a20sin lx + ∞

k=1 (a k cos kx sin lx + b k sin kx sin lx)

Lấy tích phân hình thức vào dấu tổng, từ tính trực giao nêu trên, ta có

Các hệ số trên gọi là hệ số Fourier của hàmf

4.3 Chuỗi Fourier Cho f là hàm khả tích trên [−π, π] Khi đó chuỗi lượng giácsau gọi là chuỗi Fourier củaf

F f (x) = a20 + ∞

k=1 (a k cos kx + b k sin kx)

trong đó a k , b k là hệ số Fourier của f được cho bởi công thức ở phần trên

I.4 Chuỗi lượng giác. 11Cũng như chuỗi Taylor, ta cũng có 3 khả năng:

(1)F f (x) không hội tụ Người ta đã xây dựng ví dụ hàm liên tục có chu kỳ 2π màchuỗi Fourier không hội tụ tại một điểm

(2)F f (x) hội tụ nhưngF f (x) = f(x) Định lý về hội tụ điểm sau sẽ thấy điều đó.(3)F f (x) = f(x)

Phần sau đây ta sẽ xét các điều kiện để F f (x) = f(x) Hơn nữa, xét điều kiệnđể sự hội tụ là hội tụ đều

4.4 Hội tụ điểm Ký hiệu tổng riêng thứ ncủa chuỗi Fourier của f:

F n f (x) = a20 + n

k=1 (a k cos kx + b k sin kx)

Công thức cho tổng riêng F n f Để đánh giá sự hội tụ ta biến đổi

Chứng minh: Trường hợp gkhả vi liên tục:

 b

a g

 (t) sin λtdt

Do g  bị chặn nên biểu thức trên→ 0, khi λ → +∞

Trường hợp g khả vi liên tục từng khúc: ta áp dụng chứng minh trên cho mỗi đoạnmàg  liên tục

Trường hợp g khả tích: từ định nghĩa tích phân với mọi
>0, tồn tại hàm bậc thang

a g (t) cos λtdt = 0 Giới hạn thứ hai chứng minh tương tự

Hàm f gọi là liên tục từng khúc trên[a, b]nếuu tồn tại hữu hạn điểm:

a = a0 < a1 < · · · < a s = b, sao cho f liên tục trên mỗi khoảng (a i−1 , a i) và tồn tại

lim

x→a+i f (x) = f(a+i ), lim

x→a − i f (x) = f(a − i ), i = 0, · · · , s.Khi đó đạo hàm phải và trái của f tại x, được ký hiệu và định nghĩa

I.4 Chuỗi lượng giác. 13

Chứng minh: Để cho gọn ký hiệu A f (x) = 12(f(x+) + f(x −)) Từ tính chất của

Khi cho x = π/2, ta có ∞

k=0

(−1) k 2k + 1 =

π

4.b) 1 − x2

Khi cho x = π, ta có ∞

k=1

1

k2 = π26

Khi cho x= 0, ta có ∞

k=1

(−1) k

k2 = − π122.Suy ra ∞

k=1

1

(2k − 1)2 = 12

∞

4.5 Hội tụ đều

Bất dẳng thức Bessel Nếuf2 khả tích trên[π, π], thì

a2 0

2 +

n

k=1 (a2k + b2k)

Định lý Giả sử hàm f có chu kỳ2π, liên tục và f  liên tục từng khúc trên [−π, π].

Khi đó chuỗi F f hội tụ đều về f trên R.

Chứng minh: Do định lý trên ta có F n f (x)hội tụ về f (x) Ta chứng minh sự hội tụ

đều theo M-test Gọi a 

k , b  k là các hệ số Fourier củaf  Tích phân từng phần, ta có

k2 hội tụ Vậy chuỗi F f hội

4.6 Khai triển Fourier

•Khai triển hàmf (x)có chu kỳT thành chuỗi hàm lượng giác: Đổi biếnx= 2π T X

Khi đó f (x) = f( 2π T X) là hàm có chu kỳ 2π theo biến X Chuỗi Fourier theo biến

I.4 Chuỗi lượng giác. 15

Sau đó khai triểnf˜như cách đã nêu ở trên

• Khai triển chuỗi theo coshay theo sin: Chof xác định trên [0, l] Khi đó:

- Muốn biểu diễn f (x) dưới dạng chuỗi lượng giác chỉ có hàm cos, ta thác triển f

thành hàm chẵn trên (−l, l] bằng cách xem f (x) = f(−x), nếu x ∈ (−l, 0) Sau đókhai triển Fourier hàm thác triển đó

- Muốn biểu diễn f (x) dưới dạng chuỗi lượng giác chỉ có hàm sin, ta thác triển f

thành hàm lẻ trên (−l, l] bằng cách xem f (x) = −f(−x), nếu x ∈ (−l, 0) Sau đókhai triển Fourier hàm thác triển đó

Ví dụ Khai triển Fourier các hàm xác định trên [−π, π], chu kỳ 2π:

a) Khai triển hàmf (x) = signx, x ∈ [−π, π]:F f (x) = 4

-r r

-r r

-r r

-r r

b) Khai triển hàm f (x) = x, x ∈ [−π, π]:F f (x) = 2 ∞

k=1 (−1) k+1 sin kx

k

Ví dụ Khai triển Fourier các hàm xác định trên [0, 2π], chu kỳ 2π:

Hàm f (x), 0 ≤ x < 2π Khai triển Fourier F f (x)

k=1

sin kx k

I.4 Chuỗi lượng giác. 17

2π) là khác nhau Vì vậy khai triển Fourier của chúng nói chung là khác nhau

Ví dụ Chof (x) = x, x ∈ [0, π]

a) Muốn khai triển f (x) thành chuỗi lượng giác chỉ có cos Thác triển f thành hàmchẵn, i.e f (x) = |x|, x ∈ [−π, π] Khai triển Fourier và do hàm f thỏa điều kiệncủa định lý về hội tụ ta có

Ví dụ Từ các ví dụ trên và tính hội tụ điểm, ta có các giá trị tổng

π

4

II Không gian Rn

1 KHÔNG GIAN EUCLIDRn

1.1 Không gian vector Rn Trong Rn = {x = (x1, · · · , x n ) : x i ∈ R, i = 1, · · · , n}

có trang bị 2 phép toán:

x + y = (x1, · · · , x n ) + (y1, · · · , y n ) = (x1+ y1, · · · , x n + y n)

αx = α(x1, · · · , x n ) = (αx1, · · · , αx n ), α ∈ R.

Với 2 phép toán trên Rn là không gian vector n-chiều trênR

Ta thường dùng cơ sở chính tắc: e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , e n = (0, · · · , 0, 1).

Vậyx = (x1, · · · , x n) =
n

i=1

x i e i Ta cũng ký hiệu vector không là 0 = (0, · · · , 0).Ngoài cấu trúc đại số, Rn còn có cấu trúc hình học xác định bởi tích vô hướngEuclid:

1.2 Tích vô hướng-Chuẩn-Metric Cho x = (x1, · · · , x n ), y = (y1, · · · , y n ) ∈ R n

Sau đây là các tính chất cơ bản của các ánh xạ trên:

Tính chất Cho x, y, z ∈ R nvà α, β ∈ R.

Tính chất của tích vô hướng:

(S1) < αx + βy, z > = α < x, y > +β < x, z >

(S2) < x, y > = < y, x >

(S3) < x, x > ≥ 0, và < x, x >= 0 khi và chỉ khi x = 0.

Tính chất của chuẩn:

(N1) x ≥ 0, và x = 0 khi và chỉ khi x = 0.

(N2) αx = |α|x.

(N3) x + y ≤ x + y.

Tính chất của metric:

(M1) d(x, y) ≥ 0, và d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

(M2) d(x, y) = d(y, x).

(M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức tam giác (N3)

Ta cóbất đẳng thức Cauchy-Schwarz: | < x, y > | ≤ xy.

Thực vậy, tam thức bậc 2: tx + y2= x2t2+ 2 < x, y > t + y2 ≥ 0, ∀t ∈ R.Suy ra ∆ =< x, y >2−x2y2≥ 0, i.e bất đẳng thức trên đúng

Vậy x + y2= x2+ y2+ 2 < x, y >≤ x2+ y2+ 2xy = (x + y)2,i.e ta có bất đẳng thức (N3).

(N3) suy ra(M3) Còn các tính chất khác là rõ ràng

Bài tập: Chứng minh | < x, y > | = xy khi và chỉ khi x, y tỉ lệ nhau

Bài tập: Hãy chứng minh bất đẳng thức đáng chú ý sau:

max

1≤i≤n |x i | ≤ x ≤ √ n max

1≤i≤n |x i |.

1.3 Tính đủ của Rn

Một dãy trong X ⊂ R n là ánh xạ x : N −→ X,x (k) = x k = (x k,1 , · · · , x k,n)

Thường ký hiệu dãy bởi (x k)k∈N hay ngắn gọn (x k)

Dãy (x k) gọi làhội tụ về a ∈ R n, ký hiệu lim

Mệnh đề Một dãy trong Rn là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

Chứng minh: Trước hết nhắc lại là một dãy số trong R hội tụ khi và chỉ khi nólà dãy Cauchy sau đó áp dụng mệnh đề trên suy ra kết qủa

1 Trong giáo trình này qui ước: nếuu = nếu và chỉ nếu

II.2 Topo trong Rn. 21

2 TOPO TRONGRn

2.1 Hình cầu Choa ∈ R n vàr >0

Hình cầu mở tâm abán kínhr, định nghĩa: B (a, r) = {x ∈ R n : d(x, a) < r}.

Hình cầu đóng tâma bán kính r, định nghĩa: B (a, r) = {x ∈ R n : d(x, a) ≤ r}.

Vậy hình cầu là khái quát hóa khái niệm khoảng, đĩa tròn, hình cầu trong không gian

1, 2, 3 chiều tương ứng

ChoX ⊂ R n và a ∈ R n Khi đó

agọi làđiểm trong của X nếuu ∃r > 0 : B(a, r) ⊂ X

agọi làđiểm biên củaX nếuu∀r > 0 : B(a, r) ∩ X = ∅, B(a, r) ∩ (R n \ X) = ∅

Ví dụ Đoạn[α, β]trong Rcó các điểm trong là xsao choα < x < β, hai điểm biênlà α, β

Bài tập: Xác định biên của tậpQ trong R

2.2 Tập mở Tập X ⊂ R n gọi là tập mở nếuu mọi điểm của X là điểm trong,i.e ∀a ∈ X, ∃r > 0 : B(a, r) ⊂ X

Ký hiệu int X hayX o = Tập mọi điểm trong củaX, và gọi làphần trong của X.Nhận xét Rõ ràng, X mở khi và chỉ khiX=X o

Bài tập: Chứng minh khoảng mở trongR, hình cầu mở là các tập mở Tìm ví dụ tậpkhông mở

Mệnh đề (i) ∅ và Rn là các tập mở (ii) Hợp một họ tập mở là mở

(iii) Giao hữu hạn tập mở là mở.

Chứng minh: (i) là rõ ràng (ii) Giả sửU i , i ∈ I là các tập mở Cho x ∈ U = 

i∈I

U i.Khi đó tồn tại i0 ∈ I, x ∈ U i0 Do tính mở, tồn tại cầu B (x, r) ⊂ U i0 (⊂ U) Vậy x

là điểm trong của U, nên U mở (iii) đợc chứng minh tương tự

Nhận xét Giao vô hạn tập mở nói chung không mở Chẳng hạn, 

2.3 Tập đóng Tập con X ⊂ R n gọi làđóng nếuu phần bù Rn \ X là mở

Ví dụ Các tập hữu hạn, các tập rời rạc như Z, khoảng đóng [a, b], hình cầu đóng làcác tập đóng Khoảng mở hay Qkhông là tập đóng (tại sao?)

Từ Mệnh đề trên và qui tắc De Morgan suy ra

Mệnh đề (i) ∅ và Rn là các tập đóng (ii) Giao một họ tập đóng là đóng

(iii) Hợp hữu hạn tập đóng là đóng.

Để hiểu các đặc trưng khác của tập đóng ta cần khái niệm:

a ∈ R n gọi làđiểm tụ hay điểm giới hạn của X nếuu ∀r > 0, B(a, r) ∩ X chứa mộtphần tử kháca (và do đó có vô số phần tử)

Ký hiệu ClX hayX = X∪ tập mọi điểm giới hạn của X, gọi là bao đóng của X.Bài tập: Trong R tìm các điểm giới hạn của: tập rời rạc, khoảng [a, b), tập {1/k :

k ∈ N}, vàQ

Mệnh đề Cho X ⊂ R n Khi đó các điều sau tương đương:

(i) X là tập đóng (ii) X = X (iii) X chứa mọi điểm giới hạn của nó

(iv) Mọi dãy (x k) trong X hội tụ về x, thì x ∈ X.

Chứng minh: (i)⇒(ii): Giả sửxlà điểm giới hạn củaX Khi đó∀r > 0, B(x, r)∩X =

∅, i.e ∀r > 0, B(x, r) ⊂ R n \ X Suy ra x ∈ int(Rn \ X) = R n \ X (do (i)) Vậy

x ∈ X

(ii) ⇒ (iii): Từ định nghĩa

(iii) ⇒ (iv): Giả sử (x k ) ⊂ X, x k → x Nếu tập {x k } các phần tử của dãy là hữuhạn, thì tồn tại k0, x = x k0, do vậyx ∈ X Nếu tập {x k } vô hạn, thì x là điểm giớihạn của X, do (iii)x ∈ X

(iv) ⇒ (i): Phản chứng, giả sửRn \ X không mở Khi đó tồn tại x ∈ R n \ X khônglà điểm trong, i.e ∀r > 0, B(x, r) ∩ X = ∅ Vậy x là điểm giới hạn của X Theo

3 TẬP COMPACT

3.1 Tập compact Tập con K ⊂ R n gọi là compact nếuu K đóng và giới nội,i.e K đóng và tồn tạiR > 0 : K ⊂ B(0, R)

Ví dụ Đoạn [a, b] trong R, tập hữu hạn, hình cầu đóng B (a, r), hình hộp đóng

[a1, b1] × · · · × [a n , b n]trong Rn là các tập compact

Để nêu các định nghĩa tương đương của tập compact, nhằm mục đích thuận tiệnkhi sử dụng, ta có khái niệm sau

3.2 Phủ mở Họ P = {U i , i ∈ I} (I là tập chỉ số) gọi là phủ mở của tập con

K của Rn nếuu mỗii ∈ I, U i là tập mở trong Rn và K ⊂ 

i∈I

U i

Ví dụ Họ các khoảng (a − 1

k , b+ 1

k ), k ∈ N, là họ phủ mở của [a, b] Họ

(a, a + 1), a ∈ R, là họ phủ mở của R

3.3 Định lý Cho K là tập con củaRn Khi đó các điều sau tương đương:

(i) K đóng và giới nội.

(ii) K thoả điều kiệnBolzano-Weierstrass:

Mọi dãy (x k) trongK, tồn tại dãy con (x σ(k)) hội tụ vềx và x ∈ K 2

(iii)K thoả điều kiệnHeine-Borel:

Mọi phủ mở P = {U i , i ∈ I} củaK, tồn tại phủ con hữu hạn {U i1, · · · , U i s } của K.

Chứng minh: Ta chứng minh (ii) ⇔(i) ⇔ (iii)

(i) ⇒(ii): Giả sử (x k ) ⊂ K Do tính giới nội, tồn tạiR >0, sao cho x k  < R Vậycác dãy tọa độ tương ứng (x k,i)k∈N , (i = 1, · · · n)là các dãy số bị chặn Vậy theonguyên lý Weierstrass cho R, (x k,1) có dãy con (x σ1(k),1) hội tụ về a1 Tương tự,

2 Một dãy con của(x k) có dạng(x σ(k)) , vớiσ : N → Nlà một dãy tăng.

II.4 Tập liên thông 23

(x σ1(k),2)có dãy con (x σ2(k),2) hội tụ vềa2, · · · , (x σ n−1 (k),n)có dãy con(x σ n (k),n)

hội tụ vềa n Vậy dãy con(x σ n (k)) hội tụ vềa = (a1, · · · , a n) DoK đóngx ∈ K.(ii)⇒ (i): Giả sửxlà điểm giới hạn của K Vậyx là giới hạn của một dãy trongK.Từ (ii) suy rax ∈ K Vậy K đóng

Nếu K không giới nội, thì tồn tại dãy (x k ) ⊂ K, x k  > k Dễ thấy dãy này khôngthể có dãy con nào hội tụ

(iii)⇒ (i): Họ cầu mở{B(0, i), i ∈ N}phủK, nên (iii) suy ra K có thể phủ bởi hữuhạn cầu B (0, 1), · · · , B(0, s) VậyK giới nội

Để chứng minh K đóng, ta kiểm tra Rn \ K là mở Cho x ∈ R n \ K Khi đó

B (x, 1/N) ⊂ R n \ K Vậy x là điểm trong củaRn \ K

(i)⇒ (iii): Phản chứng, giả sửP = {U i , i ∈ I}là phủ mở củaK mà mọi họ con hữuhạn của nó không thể phủ K

Vớik= 1, do K giới nội, tồn tại hữu hạn cầu bán kính 1phủK Theo giả thiết, tồntại cầuB1 bán kính 1 sao cho K ∩ B1 không thể phủ bởi hữu hạn U i

Lập luận tương tự, với k ∈ N, tồn tại cầu B k bán kính 1/k sao cho B k ⊂ B k−1 và

K ∩ B k không thể phủ bởi hữu hạn U i Với mỗi k, chọn x k ∈ K ∩ B k Khi đó tồntại lim x k = a ∈ K Vậy tồn tại chỉ số i0 sao cho a ∈ U i0 Do tính mở, tồn tại r,

B (a, r) ⊂ U i0

Mt khác, khi k đủ lớn, B k ⊂ B(a, r) Vậy B k ⊂ U i0 Điều này mâu thuẫn với tính

Nhận xét Họ {U i , i ∈ [0, 1]} với U i = {i} là phủ tập compact [0, 1], không cóphủ con hữu hạn Để ý làU i không mở

Bài tập: Hợp, giao, tích các tập compact có compact?

4 TẬP LIÊN THÔNG

4.1 Định nghĩa Tập con C ⊂ R n gọi là liên thông nếuu nó không thể tách bởi

2 tập mở, i.e không tồn tại cặp tập mở U, V sao cho:

Nh vậy tập liên thông trong R có dạng một điểm hay khoảng < a, b >, trong đó dấu

<hay> để ký hiệu ] hay [

Chứng minh: (⇒) Phản chứng, giả sử x, y ∈ C, x < y nhưng (x, y) ⊂ C, i.e tồntạiz ∈ (x, y), z ... thức bậc 2: tx + y2< /small>= x2< /small>t2< /small>+ < x, y > t + y2< /small>...

1 Trong giáo trình qui ước: nếuu =

II .2 Topo trong... chất (S1)(S2)(S3) 1 .2

II.5 Tổng quát hóa 25

Như Rn