Giáo trình: Tích phân suy rộng với ứng dụng trong Giải tích 2

Tích phân suy rộng với cận hữu hạn

Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, b] là giới hạn sau. Trường hợp hàm f có điểm bất thường c∈ (a, b) ta định nghĩa tích phân suy rộng Rb. Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại.

Ứng dụng của tích phân xác định

Thực hành tính toán trên Maple

Lệnh này có nghĩa là hãy tính giá trị biểu thức vừa tính với độ chính xác 20 chữ số lẻ (nếu khụng chỉ định rừ độ chớnh xỏc, mỏy sẽ tớnh với 10 chữ số lẻ). Lưu ý là câu lệnh tính tích phân xác định ở trên cũng được dùng để tính các tích phân suy rộng. Ứng dụng tích phân xác định. a) Tính diện tích hình phẳng. Còn muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a và x=b ta dùng lệnh. b) Tính độ dài đường cong phẳng. Cho đường cong C trong mặt phẳng có phương trình tham số:. Cụ thể, ta thực hiện ba lệnh. c) Tính thể tích hình tròn xoay. Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay cung paraboly=x2−x,.

Chẳng hạn, mặt cầu đơn vị là mặt tròn xoay được tạo ra bởi hàmf(x) =√. Ta đã biết một hàm, nếu khả tích, sẽ có vô số nguyên hàm, sai khác nhau bởi các hằng số.

Bài tập

Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và g là hàm chỉ khác f tại một số hữu hạn điểm. Chứng minh một hàm xác định trên [a, b], có tập các điểm gián đoạn không quá đếm được, thì khả tích Riemann. Khảo sát sự hội tụ và tính (nếu tồn tại) các tích phân suy rộng sau Z +∞. sinx cos3xdx;. b) Khảo sát sự hội tụ của In. c) Thiết lập mối quan hệ giữaIn và In−2.

DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM

• Dãy hàm
• Chuỗi hàm
• Chuỗi Fourier
• Thực hành tính toán trên Maple

Trong mục này ta luôn xem (fn) là dãy hàm xác định trên một khoảng (đóng hoặc mở, hữu hạn hay vô hạn) I trên R. Nếu dãy(fn)gồm các hàm liên tục hội tụ đều trên khoảng đóng bị chặn [a, b]đến hàm f vàx0 là một điểm bất kỳ thuộc[a, b]thì dãy hàmFn(x) =Rx. Lúc đó dãy hàm (fn) cũng hội tụ đều đến một hàm khả vi liên tục trên [a, b] mà chính là nguyên hàm củag.

Vì vậy, để đơn giản, người ta thường chỉ khảo sát miền hội tụ của chuỗi (2.4) và ký hiệu hàm tổng của chuỗi là S(x). Khoảng(−R, R)được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi. Hiển nhiên, việc xác định miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đòi hỏi trước tiên phải xác định được bán kính hội tụ của nó. Các kết quả sau đây cho ta một cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi. Giả sử ρ là một trong ba giới hạn sau. b) Tương tự với chuỗiPxk. Câu hỏi đặt ra là nếu cho trước một hàmf, khả vi vô hạn lần trong một lân cận của điểm x0, liệu có phải f là tổng của một chuỗi lũy thừa nào đó hay không?.

Từ Định lý 2.14 ta thấy nếu f được biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa thì chuỗi lũy thừa đó nhất thiết phải là chuỗi Taylor của f trong lân cận điểm x0. Một điều không may là với một hàm f khả vi vô hạn lần trong một lân cận của x0, chuỗi TaylorSf(x) khai triển tại điểm này không phải lúc nào cũng hội tụ, và nếu hội tụ thì chưa hẳn Sf(x) =f(x). Nhắc lại rằng nếuf là hàm khả vi vô hạn lần trong một lân cận Nδ(x0)thì với mọi x∈ Nδ(x0) và số nguyên dương n, tồn tại ξ nằm giữa x0 và xsao cho.

Nếu f khả vi vô hạn lần và dãy đạo hàm (f(k)(x)) bị chặn đều trong Nδ(x0) thì f khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận đó. Chuỗi này được gọi là chuỗi Fourier của hàm f và các hệ số ak, bk được gọi là các hệ số Fourier. Câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là khi nào thì chuỗi Fourier của hàm f hội tụ và hơn nữa, khi nào thì hàm tổng của chuỗi đó trùng với hàm f.

Nếu hàm f có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x, thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại điểm x đến giá trị f(x). Kỹ thuật tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm thực ra là mượn các câu lệnh đối với dãy số và chuỗi số. Đối với các hàm khả vi vô hạn lần và có chuỗi Taylor hội tụ về f thì lệnh này cho ra một chuỗi luỹ thừa, do đó kết quả hoàn toàn giống với lệnh taylor(f(x), x=a, n).

Tuy nhiên, đối với các hàm không khai triển được thành chuỗi Taylor tạia (chẳng hạn, không khả vi vô hạn lần tại đó) thì lệnh series vẫn hoạt động được nhưng thường như vậy thì chuỗi nhận được không phải là chuỗi luỹ thừa. Chứng minh nếu một dãy, gồm các hàm liên tục đều, hội tụ đều về một hàm f trên khoảng I ⊂R, thì f liên tục đều trênI.

KHÔNG GIAN R N

• Không gian vectơ R n
• Hàm khoảng cách và sự hội tụ
• Tôpô trên R n
• Thực hành tính toán trên Maple

Từ đó, mỗi phần tử x∈Rn được gọi là một n−vectơ hay là một vectơ thực n chiều. Với mỗi cặp vectơ x, y ∈Rn ta định nghĩa tích vô hướng của x và y là số thực sau. Hai vectơx và y sẽ được gọi là trực giao (hay vuông góc) với nhau và được ký hiệu làx⊥y nếu hx, yi= 0.

Dựa trên định nghĩa độ dài của các vectơ người ta đưa vào khái niệm khoảng cỏch giữa hai vectơ trong Rn. Lúc đó, d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y, và d được gọi là hàm khoảng cách (Euclide) trên Rn. Tập các điểm trong, điểm ngoài, điểm biên của A lần lượt được gọi là phần trong, phần ngoài, biờn của A và được ký hiệu là Int(A), Ext(A) và ∂A.

Rừ ràng, ba tập này lập thành một phân hoạch của Rn (nghĩa là chúng rời nhau nhưng có hợp bằng Rn). Hơn nữa, từ định nghĩa ta cũng có:. TậpA được gọi là mở nếu. Mệnh đề sau cho chúng ta mối quan hệ giữa hai khái niệm đóng và mở của tập hợp. Lúc đó A đóng nếu và chỉ nếu Rn\A là mở. Tập hợp tất cả các tập con mở của Rn được gọi là tôpô trên Rn. Định lý sau cho ta tính chất của tôpô trênRn. b) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở. c) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. Từ định lý này và từ Mệnh đề 3.7 ta có ngay các tính chất của họ các tập đóng, được phát biểu trong mệnh đề sau. b) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. c) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng. Tập conA ⊂Rn được gọi là compact nếu với mọi dãy(xk)⊂A tồn tại dãy con (xkm)⊂(xk)hội tụ về một điểm x¯∈A. Một tập con của Rn là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.

Một đường gấp khúc, và đặc biệt một đoạn thẳng, là compact và liên thông. Lúc đó, A là một miền khi, và chỉ khi, với mọi cặp điểm a, b ∈ A tồn tại một đường gấp khúc nằm trọn vẹn trong A nối hai điểm đó. Để thực hiện các thao tác trên vec-tơ và ma trận trước tiên cần khởi động gói công cụ của đại số tuyến tính linalg bằng lệnh Cú pháp: [> with(linalg);. Thật ra, để định nghĩa vec-tơ u như trên ta còn có các cách khai báo khác. Tuy nhiên, cách dùng chúng vẫn khác nhau. b) Khai báo ma trận. c) So sánh hai vec-tơ hoặc hai ma trận. Kết quả cho ra true hoặcf alse. Các phép toán trên vectơ. a) Tớnh chuẩn của vec-tơ. TrờnRn cú ba loại chuẩn thụng thường làk ã k1,k ã k2 và k ã k∞ được xỏc định bởi. Để tính chuẩn của x ta dùng lệnh. b) Khoảng cách giữa hai điểm. Điểm được xem như vec-tơ, nên khoảng cách giữa hai điểm cũng là khoảng cách giữa hai vec-tơ. Ở đây, khoảng cách được tính theo chuẩn Euclide. Trước tiên cần khởi động gói student:. Các phép toán trên ma trận. a) Tổng, hiệu hai hoặc nhiều ma trận cùng cỡ. b) Nhân hai hoặc nhiều ma trận có cỡ phù hợp. c) Tớch trong của ma trận và vec-tơ.