Giáo trình : Giải tích 1

Giáo trình : Giải tích 1

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH IHuỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH HuếNgày 26 tháng 9 năm 2006 1Mục lụcChương 1. Đường thẳng thực 41.1. Trường Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1. Hệ tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Định lý Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4. Tập số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Các phép toán qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4. Số e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Chuỗi dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Tôpô trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1. Lân cận - Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng . . . . . . . . . . 151.4.3. Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2. Các thao tác trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình . . . . . . . . . 191.5.4. Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Chương 2 Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực 26 22.1. Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2. Các phép toán trên hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3. Một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. Sự liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.3. Hàm luỹ thừa, hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1. Định nghĩa một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.2. Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy . . . . . . . . . . . . 392.4.3. Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Chương 3 Đạo hàm và Vi phân của hàm một biến 483.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.1. Vi phân bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1. Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.1. Đa thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.2. Ước lượng phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 33.4.3. Các khai triển quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5.1. Tính đơn điệu, cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6.2. Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n . . . . . . . 583.6.3. Tính giới hạn các dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6.4. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Chng 1.NG THNG THC1.1. Trng S thc1.1.1. H tiờn Tp s thc R l tp hp trờn ú cú hai phộp toỏn cng (+), nhõn (ã) v quanh th t sao cho R l mt trng cú th t y . C th,(a) + v ã l cỏc phộp toỏn hai ngụi trờn R sao cho (R,+,ã) lp thnh mttrng. Tc l,+ :R ì R R,(x, y) x + y.ã :R ì R R,(x, y) xy = x ã y.tho món(R.1) x + y = y + x vi mi x, y R;(R.2) (x + y) + z = x + (y + z) vi mi x, y, z R;(R.3) Tn ti phn t 0 R sao cho x + 0 = x vi mi x R;(R.4) Vi mi x R tn ti phn t x R sao cho x + (x) = 0;(R.5) xy = yx vi mi x, y R;(R.6) (xy)z = x(yz) vi mi x, y, z R;(R.7) Tn ti phn t 1 R sao cho 1x = x vi mi x R;(R.8) Vi mi x R \ {0} tn ti phn t x1 R sao cho x(x1) = 1;(R.9) (x + y)z = xz + yz vi mi x, y, z R.(b) R l mt trng sp th t ton phn. Tc l:(R.10) x x vi mi x R; 5(R.11) (x ≤ y)∧ (y ≤ x) ⇒ x = y với mọi x, y ∈ R;(R.12) (x ≤ y)∧ (y ≤ z) ⇒ x ≤ z với mọi x, y, z ∈ R;(R.13) Với mọi x, y ∈ R ta phải có x ≤ y hoặc y ≤ x;(R.14) x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z với mọi x, y, z ∈ R;(R.15) (0 ≤ x) ∧ (0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ xy với mọi x, y ∈ R.Như thông thường, ta viết y ≥ x thay vì viết x ≤ y và viết x < y (hoặc y > x)mỗi khi x ≤ y và x = y.Cho A ⊂ R. Ta nói A bị chặn trên nếu tồn tại v ∈ R sao cho a ≤ v với mọia ∈ A. Lúc đó v được gọi là một cận trên của A.Giả sử A là một tập bị chặn trên, β được gọi là một cận trên đúng của A nếunó là cận trên bé nhất của A. Tức là,+ ∀a ∈ A : a ≤ β;+ ∀u < β,∃a ∈ A : u < a.(c) R là một trường được sắp thứ tự đầy đủ. Tức là(R.16) Mọi tập khác rỗng bị chặn trên trong R đều tồn tại cận trên đúng.Tương tự, ta có các định nghĩa về tập bị chặn dưới, cận dưới và cận dưới đúng.Cận trên đúng của A được ký hiệu là supA còn cận dưới đúng được ký hiệu là infA.Một tập vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.Định lý 1.1. Mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều tồn tại cận dưới đúng.Định lý 1.2. Cho A ⊂ R. Lúc đóa) β = sup A ⇔ {(a ≤ β; ∀a ∈ A) và (∀ > 0,∃a ∈ A : β −  < a)}.b) α = inf A ⇔ {(α ≤ a; ∀a ∈ A) và (∀ > 0,∃a ∈ A : a < α + )}.c) A bị chặn dưới nếu và chỉ nếu −A bị chặn trên, và lúc đó sup(−A) = − inf A.1.1.2. Định lý ArchimedesĐể dễ sử dụng, ta vẫn gọi số nguyên dương là các số 1, 2, ., n, ., mà được địnhnghĩa một cách quy nạp như sau: 1 là phần tử đơn vị; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1;··· ; n =(n − 1) + 1;··· . Ta gọi số nguyên là các số 0, ±1, ±2, . ±n, Tập hợp các sốnguyên, số nguyên dương lần lượt được ký hiệu là Z và N∗. Tập hợp N := N∗∪{0}được gọi là tập các số tự nhiên. Q là ký hiệu tập các số hữu tỷ. Đó là các số có dạngmn:= mn−1với m ∈ Z, n ∈ N∗. Cuối cùng, các số thực x ∈ R \ Q được gọi là số vôtỷ. Với hai số thực a, b cho trước, ta gọi:Đoạn hay khoảng đóng [a, b] là tập {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};Khoảng hay khoảng mở (a, b) là tập {x ∈ R | a < x < b}; 6Khoảng nửa đóng trái [a, b) là tập {x ∈ R | a ≤ x < b};Khoảng nửa đóng phải (a, b] là tập {x ∈ R | a < x ≤ b};Định lý 1.3 (Định lý Archimedes). Với mọi λ > 0, x ∈ R tồn tại n ∈ Z sao chox ∈ [(n − 1)λ, nλ).Chứng minh. Giả sử pλ ≤ x với mọi p ∈ Z. Lúc đó tập A := {pλ | p ∈ Z} bịchặn trên, nên tồn tại cận trên đúng β. Theo Định lý 1.2 tồn tại p ∈ Z sao chopλ > β − λ, hay β < (p + 1)λ ∈ A, vô lý. Vậy tồn tại p ∈ Z sao cho x < pλ. Lúcđó tập B := {pλ | p ∈ Z; pλ > x} khác rỗng và bị chặn dưới bởi x, nên tồn tạiα = inf B. Cũng theo Định lý 1.2, tồn tại nλ ∈ B sao cho nλ < α +λ2. Từ đâyta có (n − 1)λ < α nên (n − 1)λ ∈ B, hay (n − 1)λ ≤ x. Mặt khác, nλ ∈ B nênx ∈ [(n − 1)λ, nλ).Áp dụng định lý này với λ = 1 ta suy ra, với mọi số thực x tồn tại số nguyênn ∈ Z sao cho n ≤ x < n + 1. Số n như vậy được gọi là phần nguyên của x và đượcký hiệu bởi [x].Hệ quả 1.1. Giữa hai số thực bất kỳ a < b luôn tồn tại số hữu tỷ r sao choa < r < b.Chứng minh. Vì b − a > 0 nên theo Định lý Archimedes tồn tại n ∈ N∗sao chon >1b − a, hay1n< b − a. Cũng theo Định lý Archimedes tồn tại m ∈ Z sao chom − 1n≤ a <mn. Từ đó, a <mn< b.1.1.3. Trị tuyệt đốiVới mỗi số thực x, ta ký hiệu trị tuyệt đối của nó bởi |x|. Đó là số thực đượcđịnh nghĩa như sau|x| :=x; nếu x > 0,−x; nếu x < 0,0; nếu x = 0.Ta dễ dàng kiểm chứng được các tính chất sau của trị tuyệt đối.(i) |x| ≥ 0; ∀x ∈ R.(ii) |x| = 0 ⇔ x = 0.(iii) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ R.(iv) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ R. 71.1.4. Tp s thc m rngTp s thc m rng R bao gm R v hai phn t , vi quy c nhsau:(i) Vi mi x R: < x < vx + = + x = ; x + () = + x = ;x=x= 0.(ii) Vi mi x > 0x. = .x = ; x.() = ().x = .(iii) Vi mi x < 0x. = .x = ; x.() = ().x = .Ngoi ra, cỏc phộp toỏn sau khụng c nh ngha trong R:0.; .0; + (); () + .Lỳc ny, nu A l mt tp khụng b chn trờn trong R ta cú th t sup A = .Tng t, nu A khụng b chn di thỡ inf A = . thun li ngi ta cngquy c sup = v inf = +. Cui cựng, vi cỏc nh ngha khong nhtrong Mc 1.1.2. ta cúR = (,); R = [,].1.2. Dóy s1.2.1. Dóy hi tTa gi mt dóy s l mt ỏnh x f t tp cỏc s nguyờn dng N(hoc tps t nhiờn N) vo R. Lỳc ú, nu ký hiu xn= f(n) vi mi n Nthỡ dóy f cũnc gi l dóy {x1, x2,ããã , xn,ããã} hay, n gin hn, (xn)n.Cho dóy f = (xn)n. Gi s : N N l ỏnh x sao cho (k) < (k + 1) vimi k. Lỳc ú f c gi l mt dóy con ca f. Trong thc t, ngi ta thngt nk:= (k), nh vy (f )(k) = f((k)) = f(nk) = xnk. Do ú, dóy con f ca dóy (xn)nchớnh l dóy{xn1, xn2,ããã , xnk,ããã} hay (xnk)k,trong ú n1< n2< ããã < nk< ããã . 8Một số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (xn)nnếu với mọi số  dương tồntại chỉ số n0đủ lớn sao cho |xn− a| < , với mọi n ≥ n0. Khi đó ta nói dãy số (xn)nhội tụ (đến a) và viết theo một trong các cách sauxn−→n→∞a; xn−→ a; a = limn→∞xn; a = lim xnNếu (xn)nkhông hội tụ (đến một số thực nào) ta gọi nó là dãy phân kỳ.Dãy (xn)nđược gọi là phân kỳ đến +∞ (−∞) và ký hiệulimn→∞xn= +∞ ( limn→∞xn= −∞)nếu∀A ∈ R, ∃n0, ∀n ≥ n0: xn> A (xn< A).Dãy (xn)nđược gọi là bị chặn nếu tồn tại m, M ∈ R sao cho xn∈ [m, M] vớimọi n, hay một cách tương đương, tồn tại M > 0 sao cho |xn| ≤ M với mọi n.Mệnh đề 1.4. Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn.Mệnh đề 1.5. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.Mệnh đề 1.6. Nếu dãy số (xn)nhội tụ đến một số dương (âm), thì tồn tại n0saocho xn> 0 (xn< 0) với mọi n ≥ n0.1.2.2. Các phép toán qua giới hạnĐịnh lý 1.7. Cho hai dãy số hội tụ (xn)nvà (yn)nvà c là một số thực. Lúc đó cácdãy (xn± yn)n, (xnyn)n, (cxn)ncũng hội tụ vàa) limn→∞(xn± yn) = limn→∞xn± limn→∞yn.b) limn→∞(cxn) = c limn→∞xn.c) limn→∞(xnyn) = limn→∞xn. limn→∞yn.d) Nếu limn→∞yn= 0, thì dãyxnynncũng hội tụ và limxnyn=lim xnlim yn.Mệnh đề 1.8. Cho 2 dãy số hội tụ (xn)nvà (yn)n. Lúc đóa) Nếu xn≥ 0 với mọi n thì limn→∞xn≥ 0.b) Nếu xn≥ ynvới mọi n thì limn→∞xn≥ limn→∞yn.c) Nếu limn→∞xn= a = limn→∞ynvà (zn)nlà dãy số sao cho với một số n0∈ N nàođó xn≥ zn≥ ynvới mọi n ≥ n0, thì limn→∞zn= a. 9Mệnh đề 1.9. Nếu dãy (xn)nhội tụ về 0 còn dãy (yn)nbị chặn, thì dãy (xnyn)nhội tụ về 0.Mệnh đề 1.10. Cho 2 dãy số (xn)n, (yn)nvới (xn)nphân kỳ đến ±∞. Lúc đó,a) Nếu dãy (yn)nbị chặn thì limn→∞(xn± yn) = limn→∞xn.b) Nếu tồn tại số dương  sao cho yn≥  với mọi n thì limn→∞(xnyn) = limn→∞xn.Mệnh đề 1.11. Cho dãy số (xn)n⊂ R \ {0}, ta cólimn→∞xn= 0 ⇔ limn→∞1|xn|= +∞.1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụDãy số (xn)nđược gọi là dãy tăng (giảm, không giảm, không tăng) nếu với mọin ta có xn< xn+1(xn> xn+1, xn≤ xn+1, xn≥ xn+1). Dãy thoả mãn một trongbốn tính chất đó được gọi là dãy đơn điệu.Định lý 1.12. Cho dãy (xn)n.a) Nếu (xn)nkhông giảm và bị chặn trên thì hội tụ. Lúc đólimn→∞xn= sup{xn| n ∈ N}.b) Nếu (xn)nkhông tăng và bị chặn dưới thì hội tụ. Lúc đólimn→∞xn= inf{xn| n ∈ N}.c) Mọi dãy đơn điệu không bị chặn đều phân kỳ đến ∞ hoặc −∞.Hệ quả 1.2. Cho hai dãy (xn)n, (yn)nsao cho(i) (xn)nkhông giảm, (yn)nkhông tăng;(ii) xn≤ ynvới mọi n ∈ N.Lúc đó cả hai dãy trên đều hội tụ và lim xn≤ lim yn.Nếu thêm điều kiện lim(yn− xn) = 0 thì lim xn= lim yn.Cho dãy bị chặn (xn)n. Với mỗi k ∈ N, ta đặt:uk:= inf{xn| n ≥ k}; vk:= sup{xn| n ≥ k}.Lúc đó, uk≤ uk+1≤ vk+1≤ vkvới mọi k. Từ Hệ quả 1.2 ta thấy cả hai dãy nàyđều hội tụ và u = limk→∞uk≤ limk→∞vk= v. Người ta gọi u (v) là giới hạn dưới (giới hạntrên) của dãy (xn)nvà ký hiệu là limn→∞xn( limn→∞xn) hay lim infn→∞xn(lim supn→∞xn). [...]... 1  ; ∞  n =1 sin  n 2 + 1 2 n  ; ∞  n =1 (n + 1) 5 2 n 3 n + n 2 , ∞  n =1 tan  2 + n 2 n 3 + 1  ; ∞  n =1 1 + ( 1) n n n 2 ; ∞  n =1 1 n + 1 sin  1 n + e −n  , ∞  n =1 2 √ n + n √ n 2 + 1 n 3 − 10 ; ∞  n =1 sin(n 2 + 1) n 2 + 1 . 1. 17. Tính tổng của các chuỗi ∞  n =1 2n + 1 n 2 (n + 1) 2 ; ∞  n =1 1 4n 2 − 1 ; ∞  n =1 n − √ n 2 − 1  n(n + 1) . ∞  n =1 n (2n − 1) 2 (2n + 1) 2 ; ∞  n =1 1 ( √ n + √ n + 1)  n(n + 1) . 1. 18.... 1 ; x n = ( 1) n (n + 1) + n n ; x n = n − √ n 2 − 1; x n = n 2 + ( 1) n (2n + 1) n . 1. 15. Tính các giới hạn sau lim n→∞ ( 1) n 2n n 2 + 1 ; lim n→∞ n 2 − √ n 3 + 1 n 2 + √ n 3 + 1 ; lim n→∞  n 2 sin 4 (n) + (n + 1) 3 (n + 1) 2 . 24 1. 16. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số ∞  n =1 cos  n n 2 + 1  ; ∞  n =1 cos  n 2 + 1 2 n  ; ∞  n =1 tan  n 2 + 1 2 n  , ∞  n =1 sin  n n 2 + 1  ; ∞  n =1 sin  n 2 +... nhau. 1. 9. Cho hằng số c > 0. Thiết lập dãy truy hồi x 1 := c 2 ; x n +1 := c + x 2 n 2 , n ≥ 1. Tìm điều kiện của c sao cho dãy (x n ) hội tụ, xác định giới hạn của dãy trong những trường hợp đó. 1. 10. Xét dãy x n := x n 1 + 1 x n 1 với x 0 := 1. Chứng minh rằng lim n→∞ x n = +∞. 1. 11. Xét dãy x n := a n /b n với a 0 , b 0 dương cho trước và a n := 2a n 1 + 3b n 1 , b n := a n 1 + 2b n 1 , ∀n ≥ 1. a)... verify( {1, 3, 5, 6}, {3, 5}, ’superset’); true 1. 5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình a) Giải phương trình, bất phương trình. Cú pháp: [> solve(phương trình/ bất phương trình, {biến}); Ví d : [> solve(x*x - 1 = 0, {x}); {x = 1} ,{x = 1} [> ptb 3:= u∧3 - 1 = 0: [> solve(ptb3, {u}); {u = 1} ,{u = − 1 2 + 1 2 I √ 3},{u = − 1 2 − 1 2 I √ 3} [> solve(x*x - 3*x + 2 < 0, {x}); 22 1. 6.... N. b) Tính x n +1 theo x n . c) Chứng tỏ dãy (x n ) đơn điệu và có giới hạn độc lập đối với a 0 và b 0 . 1. 12. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy x 0 := 1; x n := 2 x n 1 + 1, n ≥ 1. 1. 13. Cho hai số b > a > 0. Xét hai dãy (x n ) và (y n ) với x 0 := a; y 0 := b; x n := √ x n 1 y n 1 , y n := 1 2 (x n 1 + y n 1 ), n ≥ 1. Chứng minh hai dãy đó hội tụ và có chung giới hạn. 1. 14. Tìm giới... 2*x +1) ; f(x) :=      1 x < 1 −x 2 x < 1 2x + 1 otherwise. [> plot(f(x), x=-2 2, color=blue); 1 0 1 2 3 4 5 –2 1 1 2 x Hình 2. 4: Đồ thị hàm từng khúc 36 Chứng minh. Với mọi  > 0, tồn tại m ∈ N ∗ sao cho m √ e < 1 + . Từ đó, tồn tại n 0 ∈ N sao cho |u n | < min{, 1 m }, với mọi n ≥ n 0 . Với n như vậy ta cũng có 1 −  = 1 − n  n ≤  1 −  n  n <  1 + u n n  n <  1 + 1 mn  mn  1 m < m √ e... ký hiệu: n √ x := x 1 n := f 1 n (x). Tức là ∀x, y ∈ [0; +∞) : y = n √ x ⇔ x = y n . Mệnh đề 2 .18 . a) Cho m > n ≥ 1. Lúc đó 1 < m √ x < n √ x nếu x > 1 và 1 > m √ x > n √ x > 0 nếu x ∈ (0, 1) . b) lim n → + ∞ n √ x = 1 với mọi x > 0. Chứng minh. a) Chú ý rằng, với x > 1 ta có 1 < x n < x m nên 1 < mn √ x n < mn √ x m . Tương tự cho trường hợp 0 < x < 1. b)... x n n . 41 1 2 3 4 5 6 7 –4 –3 –2 1 1 2 x Hình 2. 3: Xấp xỉ hàm e x bởi hàm (1 + x 9 ) 9 Điều đó có nghĩa là f(x) :=                f 1 (x), nếu điều kiện đk 1 đúng, f 2 (x), nếu điều kiện đk 2 đúng và đk 1 sai, . . . f k (x), nếu điều kiện đk k đúng và tất cả các điều kiện trước sai, f k +1 (x), nếu khơng có điều kiện nào đúng. Ví d : [> f(x ):= piecewise(x< -1, 1, x< ;1, -x∧2, 2*x +1) ; f(x)... nạp như sau: x 1 := x; x n := (x n 1 ).x với n ≥ 2. Hàm đa thức bậc n là hàm có dạng y = a n x n + a n 1 x n 1 + ··· + a 1 x + a 0 . Hàm phân thức là thương của hai hàm đa thức: y = a n x n + a n 1 x n 1 + ··· + a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m 1 + ··· + b 1 x + b 0 . b. Các hàm lượng giác Là các hàm đã được khảo sát kỹ trong chương trình phổ thơng, thơng qua các số đo trong hình trịn đơn v : Hàm y =... a) (x − a) 2 ; lim x→0 √ x + 3 √ x + 4 √ x √ 2x + 1 ; lim x→0 m √ 1 + αx n √ 1 + βx − 1 x ; lim x→∞ ( 3 √ x 3 + x 2 − 1 − x); lim x→0 m √ 1 + αx − n √ 1 + βx x ; lim x→−∞ x − 1 √ 1 + x 2 ; lim x→0   1 x + 1 −  1 x  ; lim x→∞ √ x 2 + x − 3 √ x 3 − x 2 + 5 x . 2 .16 . Tìm các giới hạn lim x→0 √ 1 + tan x− √ 1 + sin x x 3 ; lim x→0 1 − cos x. cos(2x). cos(3x) 1 − cos x ; lim x→0 √ cos x − 3 √ cos x sin 2 x ; . lý 1. 18.e = limn→+∞ 1 +1nn.Chứng minh. Thật vậy, nếu đặt zn:= (1 +1n)nta có thể khai triển:zn=nk=0n!k!(n − k)!1nk= 1 +11 ! +12 ! (1 −1n) +13 ! (1 −1n) (1 −2n). limn→∞nanan +1 1 ; β 1: = limn→∞nanan +1 1 .Lúc đó, nếu 1& gt; 1 thì (A) hội tụ, nếu 1& lt; 1 thì (A) phân kỳ.Ví dụ 1. 2. Xét các chuỗisin(1n),1n!,1n√n .1. 3.3.