Giáo trình Phân tích chuỗi số
MỤC LỤC
Số e
Đây là một giá trị đặc biệt và có vai trò rất quan trọng trong giải tích. Vì m được lấy tuỳ ý ta suy ralimzn≥e và bổ đề hoàn toàn được chứng minh.
Chuỗi số
Định nghĩa - Tính chất
Theo Hệ quả 1.2 cả hai dãy này đều hội tụ và có cùng giới hạn.
Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ
Nếu chuỗi (A)bán hội tụ thì với mọi S∈R luôn tồn tại một song ánh σ :N→N sao cho. Nếu(A) và(B) là hai chuỗi hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích (AB)hội tụ và.
Tôpô trên tập số thực
Lân cận - Tập mở
Nếu(A) và(B) là hai chuỗi hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích (AB)hội tụ và. Họ τ tất cả các tập con mở của R được gọi là tôpô của R. Tập R các số thực cùng với tôpôτ được gọi là đường thẳng thực. Tôpô τ của đường thẳng thực có các tính chất sau:. c) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở. d) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. Tập hợp tất cả các điểm trong của một tập A được gọi là phần trong của A và được ký hiệu là IntA.
Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng
Họ τ tất cả các tập con mở của R được gọi là tôpô của R. Tập R các số thực cùng với tôpôτ được gọi là đường thẳng thực. Tôpô τ của đường thẳng thực có các tính chất sau:. c) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở. d) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. Mọi họ các khoảng mở khác rỗng và rời nhau trên R đều đếm được. Mọi tập con mở của R đều là hợp của một họ đếm được các khoảng mở rời nhau. Tập hợp tất cả các điểm trong của một tập A được gọi là phần trong của A và được ký hiệu là IntA. Rừ ràng A mở khi và chỉ khiA= IntA. Trường hợp tổng quát ta có kết quả sau. Với mọi A⊂R, IntA là tập mở và là tập con mở lớn nhất của A. Từ định nghĩa và từ các tính chất của bao đóng ta suy ra ngay các khẳng định sau. Lúc đó, hai khẳng định sau là tương đương:. Với mọi tập conA của R, A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứa A. Quan hệ giữa các tập đóng và tập mở được phát biểu qua định lý sau:. Một tập con A của R là đóng khi và chỉ khi phần bù R\A của nó là tập mở. Họ các tập đóng của R có các tính chất sau:. c) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. d) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng. b) Tập một điểm là đóng. c) Tập hữu hạn điểm là đóng. Một câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là ngoài hai tập này còn có tập nào trong R có tính chất đó nữa hay không.
Thực hành tính toán trên Maple
Ta luôn bắt đầu tính toán với việc đưa vào mộtcụm xử lý(bằng cách nhấnchuột vào nút có biểu tượng [> hoặc vào chức năng Insert/Execution Group/After Cusor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện) Một dấu nhắc lệnh [> sẽ hiện ra, chờ đợi ta đưa lệnh vào thực hiện. Một số điều cần chú ý là: Câu lệnh được viết ra phải tuân thủ nghiêm ngặt là chữ hoa hay chữ thường, tất cả câu lệnh đều viết bằng tiếng Anh (nhưng không khó để học thuộc, vì số lượng không nhiều). Các thao tác trên tập hợp. a) Định nghĩa tập hợp. b) Các phép toán trên tập hợp. c) Kiểm tra các quan hệ trên tập hợp.
Bài tập
Tìm điều kiện củacsao cho dãy (xn)hội tụ, xác định giới hạn của dãy trong những trường hợp đó. Chứng minh rằng với mọi tập đóng E ⊂ R đều tìm được một dãy (xn) sao cho tập các điểm tụ của nó chính là E.
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC
Hàm số
Một hàm thoả mãn một trong bốn tính chất trên được gọi là hàm đơn điệu trên khoảng (a, b). Hàm đa thức, hàm phân thức Với mỗi số thực x và số nguyên dương n người ta định nghĩa luỹ thừa bậc n của x một cách quy nạp như sau: x1 := x;.
Giới hạn của hàm số
Việc đưa ra các định nghĩa. cũng như các giới hạn trái, phải bằng vô cùng được dành cho các bạn. Các định lý cơ bản về giới hạn. Ngoài ra, ta cũng có các phát biểu tương tự cho các trường hợp giới hạn một phía. Nếu f có giới hạn l ∈R tại x0 thì đó là giới hạn duy nhất. Hàm f có giới hạn hữu hạn tại x0 khi và chỉ khi. Giả sử lim. Các phát biểu a)-d) được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải có nghĩa. Từ phép lấy giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ta dễ dàng nhận được giới hạn của hàm đa thức và phân thức.
Sự liên tục
Các định lý cơ bản. a) Một hàm đa thức thì liên tục trên R. b) Một hàm phân thức liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của mẫu. c) Các hàm tan, cot liên tục trên miền xác định của chúng. Giả sửy =f(x)liên tục, tăng (giảm) trên khoảng I. Mọi hàm lượng giác ngược đều liên tục và đơn điệu chặt trên miền xác định của chúng. Định lý này có thể mở rộng cho trường hợp hàm liên tục trên tập đóng bị chặn, ngoại trừ khẳng định cuối cùng nói rằng miền giá trị là một đoạn. Một hàmf được gọi là liên tục đều trên một tập A⊆R nếu. Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đóng, bị chặn thì liên tục đều trên khoảng đó. Hàm luỹ thừa, hàm mũ. Chỉ còn phải kiểm chứng α= 1. b) Luỹ thừa hữu tỷ. Việc định nghĩa luỹ thừa vô tỷ sẽ được xét đến sau khi có định nghĩa hàm mũ. Với n như vậy ta cũng có. Từ tính chất b) người ta thường ký hiệu exp(x)bởi ex với mọix∈R và gọi là hàm mũ cơ số e. a) đã được chứng minh. Hàm ex tăng, liên tục trên R và. c) Hàm mũ, hàm lôgarit. d) Hàm luỹ thừa bậc bất kỳ Cho α là một số thực bất kỳ, ta định nghĩa luỹ thừa bậc α là hàm:. Có thể kiểm chứng được rằng với α∈Q hàm này trùng với hàm luỹ thừa hữu tỷ được định nghĩa trong b).
Thực hành tính toán trên Maple
Đó là hàm được xác định trên từng khoảng với các công thức khác nhau. Đó là vì Maple tự động nối các điểm gián đoạn lại thành đường liền nét.
Bài tập
Chứng minh f gián đoạn tại mọi điểm hữu tỷ khác không và liên tục tại mọi điểm còn lại. Hãy xác định giá trị tham sốm để các hàm số sau liên tục trênR.
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC
- Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao
- Vi phân
- Các định lý cơ bản
- Công thức Taylor
- Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
- Thực hành tính toán trên Maple
Ngoài ra, ứng dụng Định lý Fermat ta còn nhận được một kết quả quan trọng khác nói rằng hàm đạo hàm f0 (cho dù không liên tục) cũng có tính chất là nhận mọi giá trị trung gian. Trước hết, ta có bổ đề sau. Quy tắc L’Hospital. Lúc đó, ta cũng có. Áp dụng Định lý Cauchy. Lúc đó ta cũng có. Công thức Taylor. Đa thức Taylor. Lúc đó, ta gọi đa thức sau là đa thức Taylor đến cấp n của f tại x0. Đa thức này cho một xấp xỉ của hàm f. Sự xấp xỉ càng tốt nếu n càng lớn và x càng gần x0. Ước lượng phần dư. Ngược lại, nếu. Để chứng minh định lý này ta cần bổ đề sau:. Khi đó, ta có khai triển Taylor của hàm f tại x0 đến cấp n:. Khai triển Taylor của f tại x0 = 0 còn được gọi là khai triển Maclaurin:. Các khai triển quan trọng. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Trong mục này ta luôn giả thiết hàmf khả vi trên đoạn [a;b]. Tính đơn điệu, cực trị. a) Nếu f0 đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu địa phương. b) Nếu f0 đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại địa phương. c) Nếu f0 giữ nguyên dấu khi đi quax0 thì x0 không phải là điểm cực trị. a) Nếu n lẻ thì thì x0 không phải là điểm cực trị. [>simplify(biểu thức);. Tính giới hạn các dạng vô định. Để tính giới hạn các dạng vô định chúng ta vẫn dùng lệnh tính giới hạn như các hàm thông thường, bởi vì máy đã biết dùng Công thức L’hospital trong tính toán. Tuy vậy, cũng có lúc chúng ta cũng phải hỗ trợ bằng những bước thích hợp. Như vậy, máy đã không tính nổi giới hạn này. Chúng ta có thể giúp máy bằng cách cho lần lượt tính đạo hàm cấp một, rồi cấp hai, cấp ba.. đồng thời cả tử và mẫu và tính giới hạn của thương cho đến khi máy tính được. Trong ví dụ trên, khi tính đến đạo hàm cấp hai thì ta có kết quả. Khảo sát hàm số. Để sử dụng máy tính trong việc khảo sát dáng điệu của hàm số chúng ta có thể vẽ ngay đồ thị của hàm đó. Tuy nhiên, để biết chính xác toạ độ của các điểm cực trị, điểm uốn, khoảng đơn điệu, lồi lừm v.v. chỳng ta phải biết vận dụng lý thuyết và các kỹ thuật tính toán trên máy để đạt được mục đích. Chẳng hạn, trước tiên chúng ta phải tính đạo hàm cấp một sau đó dùng kỹ thuật giải phương trình và bất phương trình để xác định các cực trị và các khoảng đơn điệu của hàm số. Việc sử dụng đạo hàm cấp hai để tỡm điểm uốn và cỏc khoảng lồi lừm được làm tương tự. Khảo sát sơ lược và vẽ đồ thị các hàm số. Từ đó cho biết bao đóng của các tập hợp A=. Xét các hàm số sau, phụ thuộc hai tham số thựcm và n:. Đối với từng trường hợp, hãy tìm tất cả các giá trị của m và n để mỗi hàm trên:. Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng các biểu thức sau:. Chứng minh hàm số sau khả vi trên Rnhưng có đạo hàm không liên tục:. Chứng minh hàm số sau khả vi vô hạn lần trênR:. Cho hàm số. a) Khảo sát (miền xác định, tăng/giảm, cực trị, tiệm cận) và vẽ đồ thị hàm số.