Cho X ⊆R. Ta đặt
F :={f |f :X →R}.
Với mọif, g ∈ F ta gọi f bé hơn hoặc bằngg và viếtf ≤g nếu với mọix∈X, f(x)≤ g(x). Tương tự, ta có thể định nghĩa các quan hệ bé hơn, lớn hơn, lớn hơn hoặc bằng trên F. Dễ kiểm chứng được rằng đây là các quan hệ thứ tự bộ phận trên F.f được gọi là bằng g, và viết f =g, nếu f(x) =g(x) với mọix∈X.
Với mọi f, g∈ F, ta định nghĩa f±g,f.g, fg, f∨g,f∧g :X →R là các hàm được xác định bởi, ∀x∈X : (f ±g)(x) := f(x)±g(x); (f.g)(x) := f(x).g(x); µ f g ¶ (x) := f(x) g(x); (f ∨g)(x) := max{f(x), g(x)}; (f ∧g)(x) := min{f(x), g(x)}.
Cho f :X →R và g :Y ⊂R→R là các hàm số sao cho f(X)⊂ Y. Hàm hợp của
f và g, ký hiệu g◦f, là hàm được xác định bởi
(g◦f)(x) :=g[f(x)] với mọix∈X.
Dễ thấy rằng, nói chung, g◦f 6=f◦g.
Cho f là hàm số xác định trên X sao cho f :X →Y là một song ánh. Lúc đó tồn tại ánh xạ ngược f−1 : Y → X. f−1 được gọi là hàm ngược của f. Nếu quan niệm đồ thị của f−1 là tập
{(x, y)|y ∈Y; x=f−1(y)}
thì đồ thị của f và f−1 trùng nhau. Nhưng nếu xem đồ thì hàm f−1 là tập
Gr(f−1) :={(x;y)|x∈Y; y=f−1(x)}
thì hai đồ thị là đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Cụ thể là
2.1.3. Một số hàm cơ bản
a. Hàm đa thức, hàm phân thức Với mỗi số thực x và số nguyên dương n
người ta định nghĩa luỹ thừa bậc n của x một cách quy nạp như sau: x1 := x; xn:= (xn−1).x với n≥2.
Hàm đa thức bậc n là hàm có dạng y=anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0. Hàm phân thức là thương của hai hàm đa thức:
y= anxn+an−1xn−1 +· · ·+a1x+a0
bmxm+bm−1xm−1+· · ·+b1x+b0.
b. Các hàm lượng giác Là các hàm đã được khảo sát kỹ trong chương trình phổ thông, thông qua các số đo trong hình tròn đơn vị:
Hàm y = sin(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1,1]. Đây là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Hàm y = cos(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1,1]. Đây là hàm chẵn và cũng tuần hoàn với chu kỳ2π.
Hàmy= tan(x) = tg(x) được xác định bởi
tan(x) := sin(x) cos(x).
Hàm này có miền xác định là mọi x6= π
2 +kπ, k∈Z và có tập giá trị là R. Hàmy= cot(x) = cotg(x)được xác định bởi
cot(x) := cos(x) sin(x).
Hàm này có miền xác định là mọi x6=kπ, k ∈Z và có tập giá trị là R. Các hàm tan và cot đều là các hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳπ.
c. Các hàm lượng giác ngược Hàmsinlà một song ánh từ [−π
2,π
2] lên [−1,1]. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arcsin. Vậy y= arcsin(x)⇐⇒x= sin(y) với mọix∈[−1,1]và y∈[π (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2,π
2]. Hàm cos là một song ánh từ [0, π] lên [−1,1]. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arccos. Vậy y= arccos(x)⇐⇒x= cos(y) với mọix∈[−1,1] và y∈[0, π].
Hàmtanlà một song ánh từ (−π
2,π
2)lênR. Hàm ngược của nó được gọi là hàm
arctan. Vậyy = arctan(x)⇐⇒x= tan(y) với mọi x∈R và y∈(π
2,π
2).
Hàm cot là một song ánh từ (0, π) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arccot. Vậyy =arccot(x)⇐⇒x= cot(y) với mọi x∈R và y∈(0, π).
2.2. Giới hạn của hàm số 2.2.1. Các định nghĩa
a. Giới hạn hàm số tại một điểm Cho hàm f xác định trong Nδ(x0)\ {x0}, ta
nói f có giới hạn bằng l ∈Rtại x0 nếu
∀² >0,∃δ1 >0,∀x∈ Nδ1(x0)\ {x0}:|f(x)−l|< ². Lúc đó, ta viết lim x→x0f(x) =l. Ví dụ 2.1. Hàmf(x) = x 2−1
x−1 có giới hạn bằng2tạix0 = 1. Hàmf(x) =xsin
³1
x
´
có giới hạn bằng0 tại 0.
b. Giới hạn hàm số tại vô cùng
+ Cho hàm f xác định trên khoảng (a; +∞), ta nói f có giới hạn bằng l ∈ R
tại +∞ nếu
∀² >0,∃M,∀x > M :|f(x)−l|< ².
Lúc đó, ta viết
lim
x→+∞f(x) =l.
+ Tương tự, nếu hàm f xác định trên khoảng (−∞;b), ta có định nghiã giới hạn tại−∞ như sau:
lim x→−∞f(x) = l⇔ ∀² >0,∃m,∀x < m:|f(x)−l|< ². Ví dụ 2.2. lim x→+∞ x √ x2+ 1 = 1; x→−∞lim x √ x2+ 1 =−1.
c. Giới hạn trái, phảiCho hàmf xác định trên khoảng (x0;x0+δ)((x0−δ;x0)), ta nóif có giới hạn phải (trái) bằngl ∈R tại x0 nếu
∀² >0,∃δ1 >0,∀x∈(x0;x0+δ1)(∀x∈(x0−δ1;x0)) : |f(x)−l|< ².
Lúc đó, ta viết (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
l = lim
x→x0+f(x) (l= lim
x→x0−f(x)).
d. Giới hạn bằng vô cùngTrong các định nghĩa trên, giới hạn của hàm f là một số thực l. Bây giờ ta sẽ xét đến các trường hợp ở đó giá trị hàm f tiến ra vô cùng khi xdần đến x0.
+ Cho hàmf xác định trongNδ(x0)\ {x0}, ta nói f có giới hạn bằng +∞ tại x0 nếu ∀K,∃δ1 >0,∀x∈ Nδ1(x0)\ {x0}:f(x)> K. Ký hiệu: lim x→x0f(x) =∞. + Tương tự, ta có định nghĩa: lim x→x0f(x) = −∞ ⇔ ∀L,∃δ1 >0,∀x∈ Nδ1(x0)\ {x0}:f(x)< L.
+ Khif xác định trên (0; +∞), ta có định nghĩa giới hạn vô cùng tại vô cùng:
lim
x→+∞f(x) = +∞ ⇔ ∀K,∃M,∀x > M :f(x)> K.
Việc đưa ra các định nghĩa
lim
x→+∞f(x) =−∞; lim
x→−∞f(x) = +∞; lim
x→−∞f(x) = −∞
cũng như các giới hạn trái, phải bằng vô cùng được dành cho các bạn. Ví dụ 2.3. Hàm hằng f =C trên (a, b)3x0: lim x→x0C =C. Hàm đồng nhất f(x) =x trên (a, b)3x0: lim x→x0x=x0. Hàmf(x) = 1 x: lim x→0+ 1 x = +∞; xlim→0− 1 x =−∞; x→±∞lim 1 x = 0. 2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn
Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn qua dãy). Cho f xác định trên Nδ(x0)\ {x0}. Lúc đó
lim
x→x0f(x) =l ⇐⇒(∀(xn)⊂ Nδ(x0)\ {x0}, xn →x0 ⇒f(xn)→l).
Lưu ý rằng định lý trên đúng cả khi l = ±∞. Ngoài ra, ta cũng có các phát
biểu tương tự cho các trường hợp giới hạn một phía.
Mệnh đề 2.3. Nếu f có giới hạn l ∈ (a;b) tại x0 thì tồn tại δ > 0 sao cho
f(x)∈(a;b) với mọi x∈ Nδ(x0)\ {x0}.
Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Hàm f có giới hạn hữu hạn tại x0 khi và chỉ khi ∀² >0,∃δ0 >0,∀x, x0 ∈ Nδ0(x0)\ {x0}, |f(x)−f(x0)|< ². Định lý 2.5. Giả sử lim x→x0f(x) =l ∈R, lim x→x0g(x) =m∈R và λ∈R. Lúc đó, a) lim x→x0(f ±g)(x) =l±m; b) lim x→x0(λf)(x) =λl; c) lim x→x0(f g)(x) =lm; d) Nếu m6= 0 thì lim x→x0 ³f g ´ (x) = l m; e) Nếu f ≤g thì l ≤m.
Các phát biểu a)-d) được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải có nghĩa. Mệnh đề 2.6. Giả sử f ≤g ≤h trên Nδ(x0)\ {x0} và lim x→x0f(x) = lim x→x0h(x) =l. Lúc đó lim x→x0g(x) = l.
Định lý 2.7. Giả sử f là một hàm đơn điệu trên(a;b)và c là một điểm nằm trong khoảng này. Lúc đó tồn tại các giới hạn một phía hữu hạn của hàm f tại c.
Chú ý rằng cũng tồn tại các giới hạn
lim
x→a+f(x)∈R; lim
x→b−f(x)∈R.
Hơn nữa, nếuf bị chặn trên (a;b) thì các giới hạn đó hữu hạn.
2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hàmf được gọi là một vô cùng bé khi x→x0 nếu
lim
x→x0f(x) = 0;
Hàmf được gọi là một vô cùng lớn khix→x0 nếu
lim
Hệ quả 2.1. f là một vô cùng lớn khi x→x0 nếu và chỉ nếu 1
f là một vô cùng bé khi x→x0.
Cho α và β là hai vô cùng bé khi x→x0. Ta nói
- α và β là hai vô cùng bé tương đương và viết α ∼β nếu
lim
x→x0
α(x)
β(x) = 1.
- α là vô cùng bé bậc cao hơn β và viếtα =o(β) nếu
lim x→x0 α(x) β(x) = 0. - α và β là các vô cùng bé cùng bậc nếu lim x→x0 α(x) β(x) =m ∈R\ {0}.
Rõ ràng, điều này xảy ra khi và chỉ khi α∼mβ.