Định lý 2.9. Cho f, g là hai hàm liên tục tại x0 và c là một số thực. Lúc đó, các hàm f ±g, cf, f g đều liên tục tại x0. Nếu hơn nữa, g(x0)6= 0 thì hàm fg cũng liên tục tại điểm đó.
Hệ quả 2.2.
a) Một hàm đa thức thì liên tục trên R.
b) Một hàm phân thức liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của mẫu. c) Các hàm tan, cot liên tục trên miền xác định của chúng.
Định lý 2.10. Nếu hàm f liên tục tại x0 và hàm g liên tục tại y0 =g(x0) thì hàm hợp g◦f liên tục tại x0.
Định lý 2.11. Giả sử hàm f liên tục trên [a;b] và f(a)f(b) < 0. Lúc đó tồn tại
c∈(a;b) sao cho f(c) = 0.
Định lý 2.12 (Định lý giá trị trung gian). Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì
f nhận mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b).
Từ nay ta sẽ gọi khoảng là một trong các tập có dạng: [a;b],[a;b),(a;b],(a;b). Từ Định lý 2.12 suy ra rằng một hàmf liên tục trên một khoảngI thì có miền giá trịJ =f(I)cũng là một khoảng.
Mệnh đề 2.13. Một hàm đơn điệu trên một khoảng chỉ có thể có điểm gián đoạn loại I.
Hệ quả 2.3. Nếu hàm f đơn điệu trên một khoảng I, có tập giá trị f(I) cũng là một khoảng thì nó liên tục trên I.
Định lý 2.14(Tính liên tục của hàm ngược). Giả sửy =f(x)liên tục, tăng (giảm) trên khoảng I. Lúc đó tồn tại hàm ngược x =f−1(y) cũng liên tục và tăng (giảm) trên khoảng J =f(I).
Hệ quả 2.4. Mọi hàm lượng giác ngược đều liên tục và đơn điệu chặt trên miền xác định của chúng.
Định lý 2.15. Cho f liên tục trên khoảng I = [a;b]. Lúc đó tồn tại x∗, x∗ ∈I sao cho
m:=f(x∗)≤f(x)≤f(x∗) =:M; ∀x∈I.
Hơn nữa, f(I) = [m;M].
Định lý này có thể mở rộng cho trường hợp hàm liên tục trên tập đóng bị chặn, ngoại trừ khẳng định cuối cùng nói rằng miền giá trị là một đoạn.
Một hàmf được gọi là liên tục đều trên một tập A⊆R nếu
Chẳng hạn, hàm f(x) = sin(x) liên tục đều trên R, hàmg(x) = sin(1
x)liên tục nhưng không liên tục đều trên(0; 1).
Định lý 2.16. Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đóng, bị chặn thì liên tục đều trên khoảng đó.