Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 224 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
224
Dung lượng
1,48 MB
Nội dung
B
C
NGUYN ĐÔNG YÊN
GIÁO TRÌNH
GII TÍCHĐA TR
nhà xut bản khoa hc t nhiên và công ngh
SÁCH ĐÃ IN TRONG B NÀY:
Phương trình vi phân ₫o hàm riêng
(Tp 1) Trn Đc Vân
Giáo trình Đi s tuyn tính
Ngô Vit Trung
Phương trình vi phân ₫o hàm riêng (Tp 2) Trn Đc Vân
Nhp môn Lý thuyt ₫iu khin V Ngc Phát
Giải tích các hàm nhiu bin Đ.T. Lc, P.H. Đin,T.D. Phưng
Lý thuyt H ₫ng lc Nguyn Đình Công
Lôgic toán và Cơ s toán hc Phan Đình Diu
Giáo trình Đi s hin ₫i Nguyn T Cưng
Lý thuyt không gian Orlicz Hà Huy Bảng
Đi s máy tính: Cơ s Groebner Lê Tun Hoa
Hàm thc và Giải tích hàm Hoàng Ty
S hc thut toán H.H. Khoái, P.H. Đin
Mã hóa thông tin: Cơ s toán hc và ng dng P.H. Đin, H.H. Khoái
Lý thuyt T hp và Đ th Ngô Đc Tân
Xác sut và Thng kê Trn Mnh Tun
Giải tích Toán hc: Hàm s mt bin Đ.T. Lc, P.H. Đin, T.D. Phưng
Lý thuyt Phương trình vi phân ₫o hàm riêng (Toàn tp) Trn Đc Vân
Công thc kiu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trình Hamilton-Jacobi Trn Đc Vân
Đi s tuyn tính qua các ví d và bài tp Lê Tun Hoa
Lý thuyt Galois Ngô Vit Trung
Lý thuyt ti ưu không trơn N.X. Tn, N.B. Minh
Giáo trình Giải tích ₫a tr Nguyn Đông Yên
Có th đt mua sách trc tip ti Vin Toán hc, 18 Hoàng Quc Vit, Hà Ni
in thoi 84-4-7563474/205 (Vn phòng); 84-4-7563474/302 (Th vin)
Fax: 84-4-7564303 E-mail:
nldan@math.ac.vn (VP), cnanh@math.ac.vn (TV)
Li gii thiu
rong nhng nm gn đây, nhu cu sách tham kho ting Vit v toán
ca sinh viên các trng Ði hc, nghiên cu sinh, cán b nghiên cu
và ng dng toán hc tng lên rõ rt. B sách "Toán cao cp" ca
Vin Toán hc ra đi nhm góp phn đáp ng yêu cu đó, làm phong phú thêm
ngun sách tham kho và giáo trình đi hc vn có.
T
B sách Toán cao cp s bao gm nhiu tp, đ cp đn hu ht các lnh vc
khác nhau ca toán hc cao cp, đc bit là các lnh vc liên quan đn các hng
đang phát trin mnh ca toán hc hin đi, có tm quan trng trong s phát trin
lý thuyt và ng dng thc tin. Các tác gi ca b sách này là nhng ngi có
nhiu kinh nghim trong công tác ging dy đi hc và sau đi hc, đng thi là
nhng nhà toán hc đang tích cc nghiên cu. Vì th, mc tiêu ca các cun sách
trong b sách này là, ngoài vic cung cp cho ngi đc nhng kin thc c bn
nht, còn c gng hng h vào các vn đ thi s liên quan đn lnh vc mà cun
sách đ cp đn.
B sách Toán cao cp có đc là nh s ng h quý báu ca Vin Khoa hc
và Công ngh Vit Nam, đc bit là s c v ca Giáo s Ðng V Minh và Giáo
s Nguyn Khoa Sn. Trong vic xut bn B sách, chúng tôi cng nhn đc s
giúp đ tn tình ca Nhà xut bn Ði hc quc gia Hà Ni và ca Nhà xut bn
Khoa hc T nhiên và Công ngh. Nhiu nhà toán hc trong và ngoài Vin Toán
hc đã tham gia vit, thm đnh, góp ý cho b sách. Vin Toán hc xin chân thành
cám n các c quan và cá nhân k trên.
Do nhiu nguyên nhân khác nhau, B sách Toán cao cp chc chn còn rt
nhiu thiu sót. Chúng tôi mong nhn đc ý kin đóng góp ca đc gi đ b sách
đc hoàn thin hn.
Ch tch Hi ₫ng biên tp
GS-TSKH Hà Huy Khoái
B SÁCH TOÁN CAO CP - VIN TOÁN HC
HI ĐNG BIÊN TP
Hà Huy Khoái (Ch tch)
Ngô Vit Trung
Phm Huy Ðin (Thư ký)
GIÁO TRÌNH
GII TÍCHĐA TR
Nguyn Đông Yên
Vin Toán hc, Vin KH&CN Vit Nam
NHÀ XUT BN KHOA HC T NHIÊN VÀ CÔNG NGH
Mục lục
Lời nói đầu 3
Các ký hiệu và chữ viết tắt 6
1 Tính liên tục của ánh xạ đatrị 9
1.1 ánhxạđatrị 9
1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dới của ánh xạ đatrị 18
1.3 Định lý Kakutani . 27
1.4 Các quá trình lồi . 37
1.5 Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đatrị 45
2 Đạo hàm của ánh xạ đatrị 47
2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 47
2.2 Nón tiếp tuyến . . 53
2.3 Đạohàm 71
3 Tích phân của ánh xạ đatrị 77
3.1 ánh xạ đatrị đo đợc, lát cắt đo đợc 77
3.2 Tích phân của ánh xạ đatrị 91
3.3 Lát cắt liên tục và lát cắt Lipschitz . . 95
3.4 Tích phân Aumann của ánh xạ dới vi phân Clarke 98
4 Đối đạo hàm của ánh xạ đatrị 103
4.1 Sự phát triển của lý thuyết đối đạo hàm 104
4.2 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm 106
4.3 Vấn đề đánh giá dới vi phân của hàm giá trị tối u 116
4.4 Tính compắc pháp tuyến theo dãy . . . 118
4.5 Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u 120
4.6 Dới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối u 136
4.7 Dới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân . . . . . . 148
1
2
5 Hệ bất đẳng thức suy rộng 153
5.1 Giới thiệu chung . 154
5.2 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ . . . 155
5.3 Tính ổn định . . . 160
5.4 Quy tắc nhân tử Lagrange . 174
5.5 Tính liên tục và tính Lipschitz của hàm giá trị tối u 178
5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 183
5.7 Dới vi phân Mordukhovich và dới vi phân J-L 186
5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 194
Phụ lục A 201
Phụ lục B 203
Tài liệu tham khảo 205
Danh mục từ khóa 215
3
Lời nói đầu
Giải tíchđatrị là một hớng nghiên cứu tơng đối mới trong Toán học, mặc dù
từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu
ánh xạ đa trị, tức là ánh xạ nhận giá trị là các tập hợp con của một tập hợp nào
đó. Sự ra đời của tạp chí quốc tế Set-Valued Analysis vào năm 1993 là một
mốc lớn trong quá trình phát triển của hớng nghiên cứu này. Vai trò của giải
tích đatrị trong Toán học và các ứng dụng toán học đã đợc công nhận rộng
rãi.
Giải tíchđatrị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phơng trình vi phân,
phơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phơng trình suy rộng,
lý thuyết tối u, lý thuyết điều khiển, tối u đa mục tiêu, khoa học quản lý, và
toán kinh tế. Hiện nay hầu nh tất cả các kết quả nghiên cứu về tính ổn định và
độ nhạy nghiệm của các bài toán tối u phụ thuộc tham số và của các bài toán
bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đều đợc viết bằng ngôn ngữ giải
tích đa trị.
Những ngời Việt Nam đầu tiên đi sâu nghiên cứu giải tíchđatrị là Giáo
s Hoàng Tụy (với những công trình về điểm bất động của ánh xạ đa trị, tính
ổn định của hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đatrị lồi, ánh xạ tới hạn), Giáo
s Phạm Hữu Sách (với những công trình về ánh xạ đatrị lồi, đạo hàm của
ánh xạ đatrị và ứng dụng trong lý thuyết tối u và điều khiển) và cố Giáo s
Phan Văn Chơng (với những công trình về ánh xạ đatrị đo đợc, lý thuyết
bao hàm thức vi phân). Sau đây là danh sách không đầy đủ những ngời Việt
Nam đã hoặc đang có công trình nghiên cứu về giải tíchđatrị và các ứng
dụng: Th.S. Phạm Ngọc Anh, Th.S. Lâm Quốc Anh, Th.S. Trơng Quang Bảo,
Th.S. Nguyễn Huy Chiêu, TS. Lê Văn Chóng, GS. TSKH. Phan Văn Chơng,
TS. Trịnh Công Diệu, TS. Phạm Cảnh Dơng, PGS. TSKH. Phạm Huy Điển,
TS. Nguyễn Hữu Điển, PGS. TS. Trơng Xuân Đức Hà, Th.S. Nguyễn Xuân Hải,
TS. Trần Ninh Hoa, PGS. TS. Lê Văn Hốt, TS. Nguyễn Đình Huy, TS. Nguyễn
Quang Huy, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh, TS. Bùi Trọng Kiên, GS. TSKH. Đinh
Thế Lục, TS. Lê Minh Lu, TS. Nguyễn Bá Minh, GS. TSKH. Lê Dũng Mu,
TS. Nguyễn Mậu Nam, TS. Huỳnh Văn Ngãi, GS. TSKH. Van Hien Nguyen,
PGS. TS. Trần Huệ Nơng, GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, GS. TSKH. Hoàng Xuân
Phú, PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng, TS. Tạ Duy Phợng, GS. TSKH. Phạm Hữu
Sách, GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn, TS. Nguyễn Năng Tâm, PGS. TSKH. Đỗ
Hồng Tân, PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, GS. TSKH. Nguyễn Hồng Thái,
TS. Hoàng Dơng Tuấn, TS. Lê Anh Tuấn, Th.S. Nguyễn Đình Tuấn, GS. Hoàng
Tụy, PGS. TSKH. Nguyễn Đông Yên.
Giáo trình này đợc soạn trên cơ sở các bài giảng của tác giả về giải tích đa
trị cho học viên cao học và nghiên cứu sinh ở Viện Toán học, cho lớp sinh viên
4
chọn của trờng Đại học S phạm Thành phố Hồ Chí Minh, và cho lớp cao học
ở Khoa Toán ứng dụng thuộc Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (The National
Sun Yat-Sen University), Cao Hùng, Đài Loan. Mục đích chính của chúng tôi
là giới thiệu với các bạn sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh một số
kết quả cơ bản của giải tíchđa trị. Ngoài ra, chúng tôi cũng cố gắng trình bày
một vài vấn đề đang đợc quan tâm trong lý thuyết này.
Tập sách gồm 5 chơng: Tính liên tục của ánh xạ đa trị, Đạo hàm của ánh
xạ đa trị, Tích phân của ánh xạ đa trị, Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, và Hệ bất
đẳng thức suy rộng. Ba chơng đầu tơng ứng với 3 phần chính của giải tích đa
trị. Chơng 4 giới thiệu một vài nét về lý thuyết vi phân do B. S. Mordukhovich
đề xuất - một lý thuyết hiện đang thu hút đợc sự quan tâm đặc biệt của nhiều
nhóm nghiên cứu trên thế giới. Chơng 5 đợc dành để nghiên cứu tính ổn
định nghiệm của hệ bất đẳng thức suy rộng cho bởi hàm véctơ liên tục, và
các ứng dụng. Công cụ chính ở đây là khái niệm Jacobian xấp xỉ theo nghĩa
V. Jeyakumar và Đinh Thế Lục. Jacobian suy rộng theo nghĩa F. H. Clarke cho
hàm véctơ Lipschitz địa phơng là một trờng hợp riêng của khái niệm này.
(Chúng ta lu ý là các khái niệm đối đạo hàm, Jacobian xấp xỉ, và Jacobian suy
rộng Clarke nằm ngoài khuôn khổ của lý thuyết vi phân trình bày trong Chơng
2.) Trong mỗi mục thờng có một số ví dụ minh họa và bài tập giúp bạn đọc
củng cố kiến thức. ở cuối sách có hai phụ lục giới thiệu các đề thi hết môn giải
tích đatrị ở hai lớp học. Các đề thi này giúp học viên củng cố kiến thức trong
phạm vi hai chơng đầu của giáo trình. Các định nghĩa, bổ đề, mệnh đề, định
lý, nhận xét, ví dụ và bài tập đợc đánh số bằng ba chỉ số. Ví dụ nh Định lý
1.2.3 là định lý thứ 3 ở mục thứ 2 trong Chơng 1. Các công thức đợc đánh
số bằng hai chỉ số. Ví dụ nh (2.5) là công thức thứ 5 ở mục thứ 2 (trong một
chơng nào đó).
Để hiểu sâu hơn lý thuyết ánh xạ đatrị và các ứng dụng, bạn đọc có thể tự
mình nghiên cứu thêm các cuốn sách chuyên khảo của Aubin và Ekeland (1984),
Aubin và Frankowska (1990) - một trong những tàiliệu tham khảo chính của
chúng tôi khi soạn các bài giảng về giải tíchđa trị, Rockafellar và Wets (1998),
Borwein và Zhu (2005), Mordukhovich (2006a,b). Hy vọng rằng tập sách nhỏ
này có thể giúp bạn đọc có cảm hứng bắt đầu việc tự học gian nan nhng thú
vị đó. Bạn đọc quan tâm đến ứng dụng của giải tíchđatrị trong tối u véctơ
có thể tham khảo các cuốn sách chuyên khảo của GS. TSKH. Đinh Thế Lục
(1989), của PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn và TS. Nguyễn Bá Minh (2006).
Xin chân thành cám ơn GS. TSKH. Phạm Hữu Sách và PGS. TSKH. Phạm
Huy Điển, những ngời thầy tận tụy đã truyền cho chúng tôi niềm say mê nghiên
cứu giải tíchđa trị, giải tích không trơn, lý thuyết tối u và ứng dụng. Xin chân
thành cám ơn GS. TSKH. Trần Đức Vân và GS. TSKH. Lê Tuấn Hoa đã luôn
động viên, khích lệ chúng tôi vợt qua sự trì trệ trong quá trình viết lách kéo
[...]... F là ánh xạ đatrị có giá trị lồi Tuy thế, F có thể không phải là ánh xạ đatrị đóng và co F có thể không là ánh xạ đatrị lồi! Ví dụ 1.1.2 Cho F (x) = {sin x, cos x} (x I R) Ta có (co F )(x) = co {sin x, cos x} là ánh xạ đatrị không lồi từ I vào I với đồ thị là tập có gạch sọc trong Hình R R 1 Ví dụ 1.1.3 Cho F (x) = (0, 1) nếu x = 0 {0} nếu x = 0 14 1 Tính liên tục của ánh xạ đatrị Rõ ràng ... 1.1.3 Cho F : X Y và G : Y Z là hai ánh xạ đatrị ánh xạ đatrị GF :X Z 1.1 ánh xạ đatrị 15 cho bởi công thức (G F )(x) = G(F (x)) = xX xX yF (x) G(y) , với mọi x X, đ ợc gọi là ánh xạ hợp (hay tích) của F và G Bài tập 1.1.5 Cho X, Y , Z là các không gian tuyến tính, F : X Y và G : Y Z là hai ánh xạ đatrị lồi Chứng minh rằng G F là ánh xạ đatrị lồi R, ứng với mỗi hàm số thực : X I ở... đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đatrị theo hai cách khác nhau Kết quả là ta thu đ ợc hai khái niệm có nội dung hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đatrị nửa liên tục trên và ánh xạ đatrị nửa liên tục d ới Theo Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này đã đ ợc B Bouligand và K Kuratowski đ a ra năm 1932 Ngày nay, nhiều khi ng ời ta dùng các cụm từ ánh xạ đatrị nửa liên tục trên theo Berge và ánh xạ đa. .. xạ đatrị sẽ đ ợc khảo sát chi tiết hơn ở trong Mục 5 Nếu X, Y là hai không gian tuyến tính tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị, thì ta dùng các ký hiệu F và co F để chỉ các ánh xạ đatrị đ ợc cho bởi các công thức F (x) = F (x) x X và (co F )(x) = co (F (x)) x X, ở đó M là bao đóng tôpô của M và co M là bao lồi của M (Tức là co M là tập lồi nhỏ nhất chứa M ) Hiển nhiên F là ánh xạ đatrị có giá trị. .. điểm cân bằng (các không điểm) x của ánh xạ F cho bởi (1.10) Hiển nhiên (1.10) là ánh xạ đatrị có giá trị lồi Tuy thế, nó không nhất thiết là ánh xạ đatrị lồi 18 1 Tính liên tục của ánh xạ đatrị Ví dụ 1.1.7 Cho X = I = [1, 1], (x) 0 Khi R, (, 0] F (x) := (x) + N (x) = N (x) = {0} [0, ) đó ánh xạ đatrị nếu x / nếu x = 1 nếu x = (1, 1) nếu x = 1 có đồ thị là tập điểm tô đậm trong Hình... 1.1.2 Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian tuyến tính tôpô Chứng minh rằng: (a) Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng (b) Nếu F là ánh xạ đatrị lồi, thì F là ánh xạ có giá trị lồi (c) F là ánh xạ đatrị lồi khi và chỉ khi (1 t)F (x) + tF (x ) F ((1 t)x + tx ) x, x X, t (0, 1) Chúng ta nhắc lại rằng tập M I k đ ợc gọi là tập lồi đa diện 3 nếu M có R thể biểu... xạ đatrị nửa liên tục trên Bài tập 1.2.9 Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X Y là ánh xạ đatrị nửa liên tục trên ở trong X Chứng minh rằng nếu F có giá trị compắc (tức là F (x) là compắc với mọi x X) và dom F là tập compắc, thì rge F là tập compắc Bài tập 1.2.10 Khảo sát tính chất bảo toàn tính compắc nói trong Bài tập 1.2.9 đối với ánh xạ đatrị nửa liên tục d ới Ngoài khái niệm ánh xạ đa trị. .. ánh xạ đatrị F : X Y đ ợc xác định bởi công thức F 1 (y) = {x X : y F (x)} (y Y ) Nếu M X là một tập con cho tr ớc thì hạn chế của F trên M là ánh xạ đatrị F|M : M Y đ ợc cho bởi F|M (x) = F (x) x M Bài tập 1.1.1 Chứng minh rằng gph F 1 = (gph F ), ở đó : X ìY Y ì X là song ánh xác định bởi công thức (x, y) = (y, x) 1.1 ánh xạ đatrị 11 Định nghĩa 1.1.2 Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, X... tục của ánh xạ đatrị Với đời một thoáng say mê Còn hơn đi chán về chê suông đời (Trần Huyền Trân, Uống r ợu với Tản Đà, 1938) Ch ơng này giới thiệu các khái niệm cơ bản và một số định lý chính về tính liên tục của ánh xạ đatrị 1.1 ánh xạ đatrị Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ Cho F : X Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (đ ợc ký hiệu là 2Y ) Ta nói F là ánh xạ đatrị 1 từ X vào... nghĩa là xi R zi với mọi i = 1, 2, , m.5 n Chứng minh rằng ánh xạ đatrị F : I ì Rs I n cho bởi (1.3) có các R R tính chất sau: 1 gph F là một nón lồi đa diện trong không gian tích I m ì I s ì I n R R R (do đó F là một ánh xạ đatrị lồi) 2 dom F là tập lồi đa diện 3 rge F = I n R 4 Với mỗi (b, d) I m ì I s , F (b, d) là tập lồi đa diện trong I n (có R R R thể là tập rỗng) Hãy lấy một ví dụ đơn . đa trị có giá trị đóng và co F là ánh xạ đa trị có
giá trị lồi. Tuy thế,
F có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể
không là ánh xạ đa trị. chơng: Tính liên tục của ánh xạ đa trị, Đạo hàm của ánh
xạ đa trị, Tích phân của ánh xạ đa trị, Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, và Hệ bất
đẳng thức suy rộng.