Giáo trình Toán ứng dụng I - Đại học Bách Khoa Hà Nội

Giáo trình Toán ứng dụng I - Đại học Bách Khoa Hà Nội

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TOÁN 1 HK1 0708

• BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN LIÊN TỤC (SINH VIÊN)

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007)

VÔ CÙNG BÉ

lim

0



Đại lượng (x) – vô cùng bé (VCB) khi x  x 0 :

VCB cơ bản (x  0): Lượng giác   x  sin x ,1 cosx , tgx

Mũ, ln: e x 1, ln1 x Lũy thừa: 1 x 1 VD : 13x 1

x 0 : Không quan trọng VCB x  :

x

1 VCB x  1: sin(x–1) …

VD:

x

x

c x

x

b x

a

x x

x







sin lim

/ sin

lim /

sin lim

/

0



(x), (x) – VCB khi x  x 0

 (x)  (x) , (x)(x): VCB  C(x)(x): VCB

(x) VCB, C(x) bị chặn

x sin 1 sin





SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ

-(x), (x) – VCB, x  x 0 và   

 x c

x

x x





0

VD: So sánh VCB: sin x,1cos x, tgx

1/ c = 0 : (x) – VCB cấp cao so với (x): (x) = o((x))

2/ c = : Ngược lại trường hợp c = 0  (x) = o((x))

3/ c  0, c   : vô cùng bé cùng cấp

Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp hơn

VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn VD: sin 2 x, x 3

Aùp dụng: So sánh 2 vô cùng bé x m , x n (m, n > 0) khi x  0

VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG)

-(x), (x) – VCB tương đương khi x  x 0   

lim

0



x

x



VD: Tìm hằng số C và  để: tgx sin x ~ Cx , x  0

VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!)

2

~ cos

1 ,

~ tg ,

~ sin

2



x x

x x

VCB mũ, ln: e x 1 ~ x, ln1 x ~ x, x  0

VCB lũy thừa (căn): 1 x 1~ x, x  0 VD:

3

2

~ 2 1

x



DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN

-3 0

tg

sin lim

x

x x

x





: VD

 ~ & 1 ~ 1 khi x  x 0    1 ~   1

x x

x

x sin

tg 2 1

ln lim

2

0





x

x

x 1 sin

3 cos

ln lim

/



x x x

x x























3

2 lim 2

2

Aùp dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn

x

x x

x x

x

x x x

x x

x x

1 1

1

0 0

0 0

lim lim

~ ,

~























Tìm lim : Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)

Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)

QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ

-,  – VCB khác cấp   +  tương đương VCB cấp thấp hơn

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp

 lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)

 2

3

0 ln 1

2 cos

ln lim

x

x x





x x

x x

x

tg 3 2

2

sin lim

3

2 2









































0

&

iff

~ ,

~

,

~























x x

g

f a

x x

g

a x

x f

Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &   0

x

x x

x





 sin 2/ lim

lim

/

1

1 ln 1

1 lim

x

x x

x

x

VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL

-Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL) khi x  x 0 :    

x f x

lim

 Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất

 Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim

So sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x  x 0 và  giới hạn f/g

c x

g

x f

x

 ( )

)

( lim

0

3

~ 1 4

x 









a x x

a

x x

x

c  0, : f(x), g(x) – VCL cùng cấp

c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g

c = : f – VCL cấp cao hơn g Viết: f >> g

KẾT LUẬN

-Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):

 Dạng tích (thương)  Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn

   

x g x f x

h

x g x f

x x x

x

1

1 1

0 0

lim

lim



 Dạng tổng VCB khác cấp  Thay bằng VCB cấp thấp 1

 Dạng tổng VCB tổng quát f i (x)  Thay mỗi f i (x) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa: f i x ~ C i xi &C i xi  0

Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nhất

HÀM LIÊN TỤC

-Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục  xác định

VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0:















0 ,

0 ,

sin

x a

x x

x y

 f(x) xác định tại x 0

0

lim f x f x

x





Hàm f(x) liên tục tại x 0 : Hàm liên tục/[a, b]  (C): đường liền

Gián đoạn!

VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:

1

1

tg

2









x

x

x y

a

x

x y

b /  sin















1 ,

1

1

, )

(

/

x x

x

x x

f c

: Không

sơ cấp!

LIÊN TỤC MỘT PHÍA

-Hàm f(x) liên tục tại x 0  Liên tục trái & liên tục phải tại x 0

 

 0

0 0

lim f x f x

x f

x













f(x) liên tục phải tại x 0 khi xác định tại x 0 và  

 0

0 0

lim f x f x

x f

x













f(x) liên tục trái tại x 0 khi xác định tại x 0 và

Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt …  Khảo sát

VD: Khảo sát tính liên tục:

















1 ,

1

1 ,

1

1 )

1

x

x e

x





x

x a

PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN

-Hàm f xác định & gián đoạn tại x 0  Không có

Hoặc  lim f  f(x 0 ), hoặc lim –  lim + , hoặc  lim f: 3 trường hợp!

0

lim f x f x

x



Loại 1:

 Điểm khử được :    0

0

lim f x f x

x





 Điểm nhảy : f  x f  x

x x x

x    

0 0

lim lim

Bước nhảy : f  x f  x

x x x

x    

0 0

lim lim

x x x

x    



0 0

lim lim hoặc

(Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía) f(x) gián

đoạn tại x 0

VÍ DỤ

-Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại

 















0 ,

0 ,

sin

x a

x x

x x

f

VÍ DỤ

- 















0 ,

1

0 ,

sin

x

x x

x x

f

Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại

VÍ DỤ

-Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a

 















0 ,

0 ,

1 sin

x a

x x

x

f

f 0 

f 0 

TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN

-f bị chặn trên [a, b]:  m, M

& m  f(x)  M  x  [a, b]

f đạt GTLN, BN trên [a, b]:

 x 0 , x 1  [a, b]: f(x 0 ) = m, …

f nhận mọi giá trị trung gian:

 k & GTBN  k  GTLN 

 c  [a, b]: f(c) = k

(Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b)

< 0   c  (a, b) : f(c) = 0

Chú ý: Không thể thay đoạn

bằng khoảng!

Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

VÍ DỤ

-2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm

x

x5 1

1/ Tìm a, b để hàm số

sau liên tục trên R    

























1 ,

1 0

,

0 ,

1 2

x x

x b

ax

x x

x

tại 0 & 1

a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên R: f 2 (x) = 1  x  R b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục trên R: f 2 (x) = 1  x  R

f(x) liên tục trên (0, 3) Để pt f(x) = 0 có nghiệm trên (a, b):

a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2)