Giáo trình: Toán rời rạc - Đại học Thái Nguyên - chương II

Giáo trình: Toán rời rạc - Đại học Thái Nguyên - chương II

CHƯƠNG I

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 MỆNH ĐỀ

1.1.1 Định nghĩa mệnh đề

Một mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, chứ không

thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ: Tất cả các câu sau đều là các mệnh đề

(1) 2 + 3 = 5

(2) 3 x 4 = 10

(3) Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau

(4) Thái Nguyên là thủ đô Kháng chiến

(5) Washington D.C là thủ đô của Canada

Câu xác định "2 + 3 = 5", "Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau" và "Thái Nguyên là thủ đô Kháng chiến" là các mệnh đề đúng Các câu xác định "3 x 4

= 10" và "Washington D.C là thủ đô của Canada" là các mệnh đề sai

Như vậy, một mệnh đề có thể là mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai Hay nói cách khác, một mệnh đề chỉ có thể lựa chọn 1 trong 2 giá trị là đúng hoặc

là sai

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ: Xét các câu sau

(1) Hôm nay là thứ mấy ?

(2) Hãy đọc kỹ đọan văn này

(3) x + 1 = 2

(4) x + y = z

Câu "Hôm nay là thứ mấy ? " và " Hãy đọc kỹ đoạn văn này" không phải là mệnh đề vì chúng không phải là câu khảng định Còn các câu "x+1=2"

và "x+y=z" không phải là mệnh đề vì chúng chẳng đúng cũng chẳng sai bởi các biến trong những câu đó chưa gán cho giá trị cụ thể nào

Giá trị đúng, sai của một mệnh đề được gọi là giá trị chân lí của mệnh

đề đó Giá trị chân lí của mệnh đề đúng ký hiệu là T (true), giá trị chân lí của

mệnh đề sai ký hiệu là F (false) Bảng giá trị chân lí gọi tắt là bảng chân trị (truth table) của mệnh đề bao gồm các trường hợp đúng, sai có thể xảy ra của mệnh đề đó

Mục đích của các họat động khoa học là phân biệt các mệnh đề để xác định chân trị của nó Sự xác định chân trị này dựa vào thực nghiệm và lý luận

Vì thế, chúng ta cần nói đến "Đại số mệnh đề"

Bây giờ chúng ta xét các phương pháp tạo ra các mệnh đề mới từ các mệnh đề đã có Các phương pháp này được nghiên cứu bởi nhà toán học người Anh Geogre Boole Rất nhiều mệnh đề toán học được xây dựng bằng cách tổ hợp một hoặc nhiều mệnh đề, khi đó các mệnh đề mới được gọi là mệnh đề phức hợp

1.1.2 Mệnh đề phủ định

Giả sử P là một mệnh đề Câu "không phải là P" là một mệnh đề khác được gọi là phủ định của mệnh đề P, nhận giá trị sai khi P đúng và giá trị đúng khi P sai Kí hiệu : ¬P (hay P )

Ví dụ: P = " 2 > 0 "

¬P = " 2 ≤ 0 "

Bảng chân trị

1.1.3 Hội của hai mệnh đề

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề "P và Q", được kí hiệu bởi P∧Q, là đúng khi cả P và Q đều đúng, là sai trong các trường hợp còn lại Mệnh đề P∧Q được gọi là hội của P và Q

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề P và Q như sau

P = " 2 > 0 " là mệnh đề đúng

Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai

P ∧ Q = " 2> 0 và 2 = 0 " là mệnh đề sai

Bảng chân trị

P Q P ∧∧ Q

1.1.4 Tuyển của hai mệnh đề

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề "P hoặc Q" được kí hiệu P∨Q,

là sai khi cả P và Q đều sai, là đúng trong các trường hợp còn lại Mệnh đề P∨Q được gọi là tuyển của P và Q

Ví dụ : Cho 2 mệnh đề P và Q như sau

P = " 2 > 0 " là mệnh đề đúng

Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai

P ∨ Q = " 2 > 0 hoặc 2=0" là mệnh đề đúng

Bảng chân trị

P Q P ∨∨ Q

1.1.5 Tuyển loại của hai mệnh đề

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề tuyển loại của P và Q được kí hiệu là P ⊕⊕ Q, là đúng khi một trong hai mệnh đề P và Q là đúng, là sai trong các trường hợp còn lại

Bảng chân trị

1.1.6 Mệnh đề kéo theo

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề kéo theo, được kí hiệu P → Q,

là sai khi P đúng và Q sai, là đúng trong các trường hợp còn lại Trong phép

kéo theo này P được gọi là giả thiết còn Q được gọi là kết luận

Trong các suy luận toán học phép kéo theo P → Q được dùng để diễn đạt “Nếu P thì Q”

Ví dụ: Cho hai mệnh đề P và Q như sau

P = " tam giác T là đều "

Q = " tam giác T có một góc bằng 600 "

P → Q = " nếu tam giác T là đều thì tam giác T có một góc bằng 600 "

1.1.7 Mệnh đề tương đương

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề tương đương, được kí hiệu bởi P⇔Q, là đúng khi P và Q có cùng giá trị chân lí, là sai trong các trường hợp còn lại Mệnh đề P ⇔ Q còn được gọi là mệnh đề hai điều kiện

Trong các suy luận toán học phép tương đương P ⇔ Q được dùng để

diễn đạt “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P là cần và đủ đối với Q”

1.2 CÁC PHÉP TOÁN LOGIC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BÍT

Các máy tính dùng các bit để biểu diễn thông tin Một bit có 2 giá trị khả dĩ là 0 và 1 Bit cũng có thể được dùng để biểu diễn chân trị, vì giá trị chân lí của một mệnh đề cũng chỉ có hai giá trị đúng hoặc sai Thường người

ta dùng bit 1 để biểu diễn chân trị đúng (True) và bit 0 để biểu diễn chân trị sai (False)

Một biến được gọi là biến Boole nếu giá trị của nó hoặc đúng hoặc sai

do đó cũng có thể dùng bit để biểu diễn một biến Boole

Các phép toán trên bit trong máy tính tương ứng với các liên từ logic Bằng cách thay đúng bằng 1 và sai bằng 0 trong bảng chân trị đối với các toán

tử phủ định, tuyển, hội, tuyển loại ta sẽ nhận được bảng các phép toán bit tương ứng Chúng ta sẽ dùng các kí hiêu NOT, OR, AND và XOR thay cho các toán tử trên

Thông tin thường được biển diễn bằng cách dùng các xâu bit, đó là các dãy số 0 và 1 Khi đó các phép toán trên xâu bit cũng có thể được dùng để thao tác thông tin trên đó

Định nghĩa: Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) là dẫy không hoặc nhiều bit Độ dài của xâu là số các bit trong xâu đó

Ví dụ: 101011 là một xâu bit có độ dài là 6

Có thể mở rộng các phép toán trên bit tới các xâu bit Ta định nghĩa các

OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu bit có cùng độ dài là các xâu

có các bít của chúng là các OR, AND, XOR của các bit tương ứng trong 2 xâu tương ứng (đảo bit được thực hiện bởi NOT bit)

Ví dụ: Tìm OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu sau đây

01 1011 0110

11 0001 1101

11 1011 1111 OR bit

01 0001 0100 AND bit

10 1010 1011 XOR bit

1.3 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC MỆNH ĐỀ

Định nghĩa: Các mệnh đề P và Q được gọi là tương đương logic nếu P↔Q là hằng đúng Kí hiệu P≡Q để chỉ P và Q là tương đương logic

Một các để xác định hai mệnh đề có tương đương logic không là lập bảng chân trị Dựa vào bảng nếu các cột cho giá trị của chúng phù hợp với nhau, từ đó kết luận rằng các mệnh đề đó là tương đương logic Sau đây là ví

dụ minh họa

Ví dụ: Chứng minh rằng P→ Q và ¬Q→ ¬P là tương đương logic

Dựa vào bảng ta thấy cột 3 và cột 6 có các giá trị tương ứng phù hợp với nhau Vậy P→ Q và ¬Q→ ¬P là tương đương logic.(đpcm)

Ta nhận thấy rằng đối với một mệnh đề phức hợp việc lập bảng gặp nhiều khó khăn vì nếu có n mệnh đề phải cần ít nhất 2n hàng Do vậy trong những trường hợp này người ta sử dụng các luật để chứng minh các tương đương logic

Các tương đương logic

p∧T≡p

p˅F≡p

Luật đồng nhất

p∧F≡F

p˅T≡T

Luật nuốt(luật trội)

p∧p≡p

p˅p≡p

Luật lũy đẳng

p∧q≡ q∧p

p˅q≡q˅p

Luật giao hoán

(p˅q)˅r≡p˅(q˅r)

(p∧q) ∧r≡p∧(q∧r)

Luật kết hợp

p˅(q ∧ r)≡ (p˅q) ∧(p˅r)

p∧(q ˅ r)≡ (p∧q) ˅(p∧r)

Luật phân phối

¬(p∧q)≡ ¬p˅¬p

¬(p˅q)≡ ¬p∧¬q

Luật De Morgan

p˅(p ∧ q) ≡p

p∧(p ˅ q) ≡p

Luật thu hút

p˅¬p ≡T

p∧¬p≡F

Luật phủ định(luật xóa)

Ví dụ: Chứng minh rằng ¬(p˅(¬p∧q)) và ¬p∧¬q là tương đương logic

Giải: Áp dụng các luật ta có các tương đương logic sau

¬(p˅(¬p∧q)) ≡ ¬p∧¬(¬p∧q) theo luật De Morgan

≡ ¬p∧ (¬(¬p)˅¬ q) theo luật De Morgan

≡ ¬p∧ (p˅¬ q) theo luật phủ định kép

≡ (¬p∧ p)˅(¬p∧¬q) theo luật phân phối

≡ F˅(¬p∧¬q) vì (¬p∧ p) ≡ F

≡ (¬p∧¬q) ˅F theo luật giao hoán

≡ (¬p∧¬q) theo luật dồng nhất Vậy ¬p(p˅(¬p∧q)) và ¬p∧¬q là tương đương logic.(đpcm)

1.4 LƯỢNG TỪ VÀ VỊ TỪ

1.4.1 Hàm mệnh đề: Trong thực tế ta thường gặp các câu liên quan

đến các biến như “ x+y= 5”; “x lớn hơn 5”; “x-y<5” Các câu này không đúng cũng không sai chừng nào các biến còn chưa nhận những giá trị cụ thể

Câu “ x lớn hơn 5” có hai bộ phận Bộ phận thứ nhất biến x là chủ ngữ

của câu Bộ phận thứ hai “lớn hơn 5” là vị từ nó cho biết một tính chất mà chủ

ngữ có thể có Chúng ta gọi P(x) là câu “ x lớn hơn 5” với P là kí hiệu vị từ, x

là biến Ta nói P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x Biến x được gán cho

một giá trị cụ thể nào đó thì câu P(x) trở thành một mệnh đề và có một giá trị chân lí Ví dụ với x=3 thì giá trị chân lí của P(3) là sai (F)

Như vậy hàm mệnh đề là một câu có chứa biến (xét trong tập hợp D) và trở thành mệnh đề khi thay biến đó bằng một hằng trong D Tập hợp D gọi là miền xác định (hay không gian thực) của hàm mệnh đề

Ví dụ: Xét câu If (x>10) then x:=x-1;

Khi gặp câu này trong chương trình giá trị biến x tại thời điểm đó sẽ được đặt vào P(x)=” x lớn hơn 10”, nếu P(x) là đúng với giá trị của x thì máy tính sẽ thực hiện lệnh gán x:=x-1 tức là giá trị của x tại thời điểm đó sẽ giảm

đi 1 Còn P(x) là sai thì lệnh gán sẽ không thực hiện khi đó giá trị của x không thay đổi

1.4.2 Lượng từ

Khi tất cả các biến của một hàm mệnh đề được gán cho giá trị xác định thì mệnh đề tạo thành có giá trị chân lí Tuy nhiên có một cách quan trọng

khác để biến các hàm mệnh đề thành các mệnh đề người ta gọi là sự lượng từ

hóa (hay còn gọi là lượng từ), bao gồm hai loại đó là lượng từ hóa phổ quát

(với mọi) và lượng từ hóa tồn tại Mối liên hệ giữa vị từ và lượng từ gọi là

phép tính vị từ

Định nghĩa: Lượng từ hóa phổ quát (với mọi) của P(x) là mệnh đề

“P(x) đúng, với mọi giá trị của x trong không gian thực”

Lượng từ hóa “với mọi” của P(x) được kí hiệu ∀x P(x), trong đó ∀ được gọi là lượng từ hóa phổ quát (với mọi)

Ví dụ: Giả sử P(x) là câu “x+2>x” Ta thấy P(x) là đúng mới mọi số

thực x, nên lượng từ hóa ∀x P(x) là đúng

Ví dụ: Cho P(x) là câu “x>5” Xác định giá trị chân lí của lượng từ hóa

∀x P(x), với không gian là tập hợp các số thực

Ta thấy P(x) không đúng với x=3 do đó ∀x P(x) là sai

Định nghĩa: Lượng từ hóa tồn tại của P(x) là mệnh đề “Tồn tại một phần tử x trong không gian thực sao cho P(x) đúng ”

Lượng từ hóa tồn tại của P(x) được kí hiệu ∃xP(x), trong đó ∃ được gọi

là lượng từ tồn tại

Ví dụ: Cho P(x) là câu “x>5” Xác định giá trị chân lí của lượng từ hóa

∃xP(x), với không gian là tập hợp các số thực

Ta thấy P(x) đúng với x=6 do đó ∃xP(x) là đúng

1.4.3 Các biến bị ràng buộc

Khi một lượng từ được dùng với biến x hoặc khi gán giá trị cho biến đó

Ta nói rằng thâm nhập của biến là bị ràng buộc Thâm nhập của biến không bị ràng buộc gọi là biến tự do

Ví dụ: Trong câu ∃xP(x,y), biến x là bị ràng buộc bởi lượng từ ∃x, còn

biến y là tự do

1.4.4 Phủ định

Chúng ta lần lượt xét phép phủ định của một biểu thức chứa lượng từ

Phủ định của lượng từ phổ quát

Ví dụ: Hãy xét phủ định của câu sau

“Tất cả các sinh viên đã học môn toán rời rạc”

Đây là một lượng từ hóa phổ quát ∀x P(x), trong đó P(x) là câu “ x đã học môn toán rời rạc” Phủ định của câu này là “ Không phải tất cả các sinh viên đã học môn toán rời rạc” Điều này tương đương với “ Có một sinh viên

ở lớp này chưa học môn toán rời rạc”

Đây là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu P(x)

∃x¬P(x) điều này minh họa cho tương đương logic sau:

¬∀x P(x)≡ ∃x¬P(x)

Phủ định của lượng từ tồn tại

Ví dụ: Hãy xét phủ định của câu sau

“Có một sinh viên đã học môn toán rời rạc”

Đây là lượng từ tồn tại ∃x P(x), trong đó P(x) là câu “ x đã học môn toán rời rạc” Phủ định của câu này là “ Không có sinh viên nào đã học môn toán rời rạc” Điều này tương đương với “ Tất cả các sinh viên chưa học môn

toán rời rạc” Đây là lượng từ hóa phổ quát của phủ định hàm mệnh đề ban đầu P(x) ∀x¬P(x) điều này minh họa cho tương đương logic sau :

¬∃xP(x) ≡∀x ¬P(x)

1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

Mỗi bài toán chứng minh thông thường đều có hai phần chính là giả thiết và kết luận do vậy các phương pháp chứng minh dựa trên bảng chân trị của mệnh đề kéo theo P→Q (chỉ sai khi P đúng Q sai)

1.5.1 Một số khái niệm

Định lí là một phát biểu có thể chứng tỏ được là đúng Việc chứng tỏ một phát biểu là đúng bằng một dãy các mệnh đề tạo thành một suy luận gọi là

sự chứng minh Những mệnh đề dùng chứng minh bao gồm tiên đề hoặc định đề là những giả thiết cơ sở, các cấu trúc toán học và những định lí đã được chứng minh từ trước Một định lí đơn giản dùng để chứng minh một đinh lí khác gọi là bổ đề

Các qui tắc suy luận là các cách rút ra các kết luận từ những điều khảng định khác Một số dạng suy luận sai thường gặp được gọi là các ngụy

biện Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ định lí đã được chứng minh gọi là hệ quả Mệnh đề mà giá trị chân lí của nó chưa biết gọi là phỏng đoán Khi tìm

ra chứng minh của một phỏng đoán thì phỏng đoán đó trở thành định lí

1.5.2 Các qui tắc suy luận

Một hằng đúng “nếu P và Q thì R”

(P∧Q) →R được viết theo cách sau

P

Q

∴R

Kí hiêu ∴ có nghĩa là “vậy thì”

Các qui tắc suy luận

P

∴P ˅Q

P∧Q

∴P

P

Q

∴P∧Q

P

P→Q

∴Q

¬Q

P→Q

∴¬P

P →Q

Q→R

∴P→R

((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) Qui tắc tam đoạn luận

giả định

P˅Q

¬P

∴Q

((P˅Q)∧¬P)→Q Qui tắc tam đoạn luận

tuyển

P˅Q

¬P˅R

∴Q˅R

((P˅Q)∧(¬P˅R))→(Q˅R) Qui tắc phân giải

1.5.3 Chứng minh trực tiếp

Mệnh đề Q được chứng minh trực tiếp nếu Q là mệnh đề cuối cùng của dãy

Q1, Q2,… Qn-1, Qn , Q

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên chẵn thì n2 cũng là số nguyên chẵn

Giải: Thật vậy vì n là số nguyên chẵn nên tồn tại số nguyên k sao cho n=2.k Từ đó suy ra n2= (2.k)2 = 2 (2.k2) =2 K (với số nguyên K=2.k2)

Vậy n2 là số nguyên chẵn

1.5.4 Chứng minh gián tiếp

Để chứng minh mệnh đề Q ta chứng minh mệnh đề phản đảo của Q hoặc bác bỏ phủ định của Q

Ví dụ: Chứng minh rằng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường

thẳng thứ ba thì song song với nhau”

Mệnh đề phải chứng minh có dạng P∧Q→R là đúng Ta đi chứng minh phủ định của mệnh đề này có dạng P∧Q→¬R là sai

Giải: Thật vậy giả sử a và b cắt nhau tại điểm I Qua I chỉ có thể dựng được một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước nên a và b trùng nhau mâu thuẫn với giả thiết vậy P∧Q→¬R là sai do đó P∧Q→R là đúng

1.5.5 Chứng minh rỗng

Ta thấy P→Q chỉ sai khi P đúng Q sai Vậy để chứng minh mệnh đề này đúng ta chứng minh P sai Phương pháp này gọi là chứng minh rỗng

Ví dụ: Cho hàm mệnh đề P(x)= “Nếu x>1 thì x2>x”, chứng minh rằng P(1) là đúng

Giải : Ta có P(1)= {Nếu 1>1 thì 12>1} Ta biết 1>1 là sai vậy P(1) đúng

1.5.6 Chứng minh tầm thường

Tương tự vì P→Q chỉ sai khi P đúng Q sai Vậy để chứng minh mệnh

đề này là đúng ta chứng minh Q đúng Phương pháp này gọi là chứng minh tầm thường

Ví dụ:

Cho hàm mệnh đề P(n)= “Nếu x và y là hai số nguyên dương và x ≥ y thì xn ≥ yn ” Chứng minh rằng P(0) là đúng

Giải : Ta có a0=b0=1 vậy a0 ≥b0 là đúng nên P(0) đúng

1.5.7 Chứng minh bằng phản chứng

Để chứng minh mệnh đề Q là đúng Trước hết ta giả sử ngược lại rằng

Q là sai hay ¬Q là đúng Từ đó dẫn đến một kết luận ¬Q→R mà R mâu thuẫn với P

Ví dụ: Chứng minh rằng “ 2là số vô tỉ ”

Giải : Giả sử 2không là số vô tỉ Vậy 2là số hữu tỉ Khi đó

∃a,b∈N ; (a,b)=1 sao cho 2=

b

a Bình phương 2 vế ta được 2b2=a2 điều này chứng tỏ rằng a là số chẵn đặt a=2d suy ra b2=2d2 vậy b chẵn có nghĩa là (a,b)=2 mâu thuẫn (a,b)=1 Vậy 2 phải là số vô tỉ

1.5.8 Chứng minh tồn tại

Trong thực tế nhiều định lí được phát biểu như các mệnh đề có chứa lượng từ Một định lí loại này là mệnh đề có dạng ∃xP(x),với P là vị từ Chứng minh mệnh đề ∃xP(x) gọi là chứng minh tồn tại Đôi khi chứng minh tồn tại được thực hiện bằng cách chỉ ra một phần tử a sao cho P(a) đúng Nhưng đôi khi không thể chỉ ra dược phần tử a như vậy người ta thường sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để từ đó chỉ ra điều mâu thuẫn

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x2= y2+ z2 có nghiệm nguyên

Giải: Sau khi tính toán ta được 52=42+32 vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (đpcm)

1.5.9 Chứng minh tính duy nhất

Một định lí khảng định sự tồn tại duy nhất của một phần tử có tính chất

cụ thể nào đó Như vậy chứng minh tính duy nhất có hai phần

Tồn tại: Chỉ ra rằng tồn tại phần tử a có tính mong muốn

Duy nhất: chứng minh rằng nếu b≠ a thì b không có tính mong muốn

Ví dụ: Chứng minh rằng mọi số nguyên dương P đều tồn tại duy nhất

một số đối của nó

Giải: (tồn tại) Với số nguyên dương P ta có P+Q =0 nên số đối Q=-P (duy nhất) giả sử R≠Q và P+R=0 từ nhận xét trên ta có

P+Q = P+R=0 suy ra Q=R mâu thuẫn với giả thiết R≠Q (đpcm)