Giáo trình: Toán rời rạc - Đại học Thái Nguyên - chương VII

Giáo trình: Toán rời rạc - Đại học Thái Nguyên - chương VII

Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH CHƯƠNG VI ĐẠI SỐ BOOLE Trong máy tính điện tử dụng cụ điện tử khác mạch điện tử có đầu vào, đầu vào số số tạo đầu số Các mạch điện xây dựng cách dùng phần tử có hai trạng thái khác Chúng bao gồm chuyển mạch hai vị trí mở đóng dụng cụ quang học sáng tối Các chuyển mạch điện tử quang học nghiên cứu cách dùng tập {0,1} qui tắc đại số Boole Năm 1938 Claude Shannon chứng tỏ dùng quy tắc lôgic George Boole đưa vào năm 1854 “Các quy luật tư duy” ông để thiết kế mạch điện Các quy tắc tạo nên sở đại số Boole Sự hoạt động mạch điện xác định hàm Boole rõ giá trị đầu tập đầu vào Bước việc xây dựng mạch điện biểu diễn hàm Boole biểu thức lập cách dùng phép toán đại số Boole Trong chương tìm hiểu phương pháp để tìm biểu thức với số tối thiểu phép tính tổng tích dùng để biểu diễn hàm Boole 6.1 KHÁI NIỆM ĐẠI SỐ BOOLE Trước hết ta làm quen với phép toán qui tắc làm việc tập {0,1} Phép toán dùng nhiều phép lấy phần bù, phép lấy tổng phép lấy tích Phần bù phần tử kí hiệu ¬ NOT ¬0=1 ¬1=0 Tổng Boole kí hiệu + OR có giá trị sau + 1=1; + 0=1; + 1=1; + 0=0; Tích Boole kí hiệu AND có giá trị sau =1; 0=0; =0; 0=0; 137 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Ví dụ: Tìm giá trị 1.0 + ¬(1+0) 1.0 + ¬(1+0)= 1.0 + ¬1= 1.0 + 0= 0+0=0 Đại số Boole phép toán quy tắc làm việc với tập {0,1} áp dụng nghiên cứu máy tính, dụng cụ điện tử quang học ba phép tốn phần bù, tổng boole tích boole 6.1.1 Biến Boole hàm Boole Định nghĩa: Cho B={0,1} Khi Bn ={(x1,x2,x3, xn) | xi ∈B} tập tất n giá trị Biến x gọi biến Boole nhận nhận giá trị từ B Một hàm từ Bn tới B gọi hàm Boole bậc n Ví dụ: Hàm F(x,y)= x + ¬ y từ tập cặp có thứ tự hàm Boole bậc với F(1,1)=1; F(1,0)=1; F(0,1)=0; F(0,0)=1; 6.1.2 Các đẳng thức đại số Boole Trong trình thiết kế mạch việc cần làm đơn giản hóa mạch hay tạm gọi tối ưu hóa mạch, thường dựa số đẳng thức Boole gọi luật Luật giao hoán a) a.b = b.a b) a+b = b+a Luật kết hợp a) (a.b).c = a.(b.c) b) (a+b)+c = a+(b+c) Luật phân phối a) a.(b+c) = (a.b)+(a.c) b) a+(b.c) = (a+b).(a+c) Luật đồng a) a.1 = a b) a+0 = a Luật trội a+1=1 a.0=0 Luật tồn phần tử bù: 138 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH a) a.¬a = (tính chất 0) b) a+¬a =1.(tính chất đơn vị) Luật luỹ đẳng a) a.a = a, b) a+a = a Luật De Morgan a) ¬(a.b) = ¬a + ¬b b) ¬(a+b) = ¬a ¬b Luật bù kép ¬¬(a) = a 10 Luật hút a) a.(a+b) = a b) a+(a.b) = a Việc chứng minh luật có dựa vào việc lập bảng chân trị chẳng hạn chứng minh luật hút dựa vào bảng sau Giá trị a b a+b a (a+b) 0 0 1 1 1 1 Nhìn vào cột cột ta thấy giá trị hoàn toàn phù hợp với a (a+b) = a; tương tự với ý b Ngồi ta chứng minh cách dùng đẳng thức đại số Boole a(a+b)= (a+0)(a+b) theo luật đồng = a +0 b theo luật phân phối = a+ b.0 theo luật giao hoán =a+0 theo luật trội 139 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH =a theo luật đồng Tương tự đại số lôgic, đại số Boole ta xét công thức, thành lập từ biến a, b, c, … nhờ phép toán , +, ¬ Trong cơng thức, ta quy ước thực phép tốn theo thứ tự: ¬, , +; a.b viết ab, gọi tích a b a+b gọi tổng a b Ta biến đổi cơng thức, rút gọn công thức tương tự đại số lôgic Ta xét tích sơ cấp tổng sơ cấp tương tự “hội sơ cấp” “tuyển sơ cấp” Mọi công thức đưa dạng tích chuẩn tắc hoàn toàn dạng tổng chuẩn tắc hoàn toàn tương tự dạng “hội tuyển chuẩn tắc hoàn toàn” Mỗi công thức đại số Boole gọi biểu diễn hàm Boole 6.1.3 Biểu diễn hàm boolean 6.1.3.1 Khai triển tổng tích Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm có giá trị tương ứng bảng sau Giá trị x y z F(x,y,z) G(x,y,z) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 Với hàm F(x,y,z) ta thấy nhận giá trị x=z=1 y=0 cịn lại có giá trị trường hợp lại Ta lại thấy y=0 ¬y=1 Vậy ta lập biểu thức cách lấy tích x,¬y,z có f(x,y,z)= x.¬y.z 140 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Với hàm G(x,y,z) nhận giá trị x=z=0 y=1 x=y=1 z=0 Tương tự tích x.y.¬z=1 tích ¬x.y.¬z=1 sau xét tổng chúng Vậy hàm G(x,y,z) tổng tích G(x,y,z)=x.y.¬z + ¬x.y.¬z Như việc tìm biểu thức boole biểu diễn hàm Boole có giá trị cho ta dựa giá trị từ dẫn tới tích biến phần bù 6.1.3.2 Định nghĩa: Một biến boole phần bù gọi tục biến Tích n tục biến gọi tiểu hạng Ví dụ: Tìm tiểu hạng có giá trị x1=x3=1 x2=0 Tiểu hạng x1 ¬x2 x3 có tập giá trị đáp ứng yêu cầu Bằng cách lấy tổng Boole tiểu hạng phân biệt ta lập biểu thức Boole với tập giá trị xác định Kết tổng tồn tiểu hạng nhận giá trị 1, kết tổng tiểu hạng Tổng tiểu hạng để biểu diễn hàm gọi triển khai tổng tích hàm Boole Ví dụ: Tìm triển khai tổng tích hàm sau: F(x,y,z)= ¬x.(y+z) Ta triển khai tổng dựa vào hai phương pháp sau Phương pháp 1: Lập bảng chân trị Giá trị x y z ¬x y+z ¬x.(y+z) 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 Dựa vào bảng ta có F(x,y,z) = ¬x.¬y.z +¬x.¬z.y+ ¬x.z.y 141 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Phương pháp 2: Sử dụng luật = ¬x.(y+z) = ¬x.y + ¬x.z = ¬x.1.y + ¬x.1.z = ¬x.(z+¬z).y + ¬x.(y+¬y).z =¬x.z.y + ¬x.¬z.y + ¬x.y.z + ¬x.¬y.z = ¬ x.z.y + ¬x.¬z.y + ¬x.¬y.z theo luật phân phối theo luật đồng theo luật phần tử bù theo luật phân phối theo luật lũy đẳng 6.2 MẠCH LƠGIC 6.2.1 Cổng lơgic: x1 x2 xn-1 xn M F(x1, x2, …, xn) Xét thiết bị hình trên, có số đường vào (dẫn tín hiệu vào) có đường (phát tín hiệu ra) Giả sử tín hiệu vào x1, x2, …, xn (ta gọi đầu vào hay input) tín hiệu F (đầu hay output) có hai trạng thái khác nhau, tức mang bit thông tin, mà ta ký hiệu Ta gọi thiết bị với đầu vào đầu mang giá trị 0, mạch lôgic Đầu mạch lôgic hàm Boole F đầu vào x1, x2, …, xn Ta nói mạch lơgic hình thực hàm F Các mạch lơgic tạo thành từ số mạch sở, gọi cổng lôgic Các cổng lôgic sau thực hàm phủ định, hội tuyển Cổng NOT: Cổng NOT thực hàm phủ định Cổng có đầu vào Đầu F(x) phủ định đầu vào x F(x)= x 0 x = 1, F ( x) = x =  1 x = x Chẳng hạn, xâu bit 100101011 qua cổng NOT cho xâu bit 011010100 142 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Cổng AND: Cổng AND thực hàm hội Đầu F(x,y) hội (tích) đầu vào 1 x = y = 1, F ( x, y ) = xy =  0 trường hợp khác x x y z F(x,y)=xy y F(x,y,z)=xyz Chẳng hạn, hai xâu bit 101001101 111010110 qua cổng AND cho 101000100 Cổng OR: Cổng OR thực hàm tuyển (tổng) Đầu F(x,y) tuyển (tổng) đầu vào 1 x = hay y = 1, F ( x, y ) = x + y =  0 x = y = x F(x,y)=x+y y x y z t F=x+y+z+t Chẳng hạn, hai xâu bit 101001101 111010100 qua cổng OR cho 111011101 6.2.2 Mạch lôgic 6.2.2.1 Tổ hợp cổng: Các cổng lơgic lắp ghép để mạch lôgic thực hàm Boole phức tạp Như ta biết hàm Boole biểu diễn biểu thức chứa phép ¬, , + Từ suy lắp ghép thích hợp cổng NOT, AND, OR để mạch lôgic thực hàm Boole Ví dụ: Xây dựng mạch lơgic thực hàm Boole cho bảng sau 143 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH x y z F(x,y,z) 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Theo bảng này, hàm F có dạng tổng (tuyển) chuẩn tắc hoàn toàn là: F ( x, y, z ) = xyz + xy z + x yz Hình vẽ mạch lôgic thực hàm F cho x y z F = xyz + xy z + x yz Biểu thức F(x, y, z) rút gọn: xyz + xy z + x yz = xy ( z + z ) + x yz = xy + x yz Hình cho ta mạch lôgic thực hàm xy + x yz 144 Đại số Boole x y Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH • • F = xy + x yz z Hai mạch lơgic hai hình thực hàm Boole, ta nói hai mạch lơgic tương đương, mạch lôgic thứ hai đơn giản Vấn đề tìm mạch lơgic đơn giản thực hàm Boole F cho trước gắn liền với vấn đề tìm biểu thức đơn giản biểu diễn hàm Đây vấn đề khó lý thú, ý nghĩa thực tiễn khơng cịn chục năm trước Ta vừa xét việc thực hàm Boole mạch lôgic gồm cổng NOT, AND, OR Dựa vào đẳng thức x + y = x y xy = x + y , cho ta biết hệ {., −} hệ {+, −} hệ đầy đủ Do thực hàm Boole mạch lơgic gồm có cổng NOT, AND NOT, OR 0 x = y = 1, Mạch lôgic thực 1 x = hay y = Xét hàm Sheffer F ( x, y ) = x ↑ y =  hàm ↑ gọi cổng NAND, vẽ hình x↑ y x O y Dựa vào đẳng thức x = x ↑ x, xy = ( x ↑ y ) ↑ ( x ↑ y ), x + y = ( x ↑ x) ↑ ( y ↑ y ) , cho ta biết hệ { ↑ } đầy đủ, nên hàm Boole thực mạch lơgic gồm có cổng NAND 145 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 0 x = hay y = 1, Mạch lôgic thực 1 x = y = Xét hàm Vebb F ( x, y ) = x ↓ y =  hàm ↓ gọi cổng NOR, vẽ hình x↓ y x O y Tương tự hệ { ↓ } đầy đủ nên hàm Boole thực mạch lơgic gồm có cổng NOR Một phép tốn lơgic quan trọng khác phép tuyển loại: 0 x = y, F ( x, y ) = x ⊕ y =  1 x ≠ y Mạch lôgic cổng lơgic, gọi cổng XOR, vẽ hình x⊕ y x y 6.2.2.2 Mạch cộng: Nhiều tốn địi hỏi phải xây dựng mạch lơgic có nhiều đường ra, cho đầu F1, F2, …, Fk hàm Boole đầu vào x1, x2, …, xn x1 x2 xn-1 F1(x1, x2, …, xn) M F2(x1, x2, …, xn) M Fk(x1, x2, …, xn) xn Chẳng hạn, ta xét phép cộng hai số tự nhiên từ khai triển nhị phân chúng Trước hết, ta xây dựng mạch duợc dùng để tìm x+y với x, y hai số 1-bit Đầu vào mạch x y Đầu số 2bit cs , s bit tổng c bit nhớ x y 0+0 = 00 0 0+1 = 01 1+0 = 01 1 1+1 = 10 146 c 0 s 1 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Từ bảng trên, ta thấy s = x ⊕ y , c = xy Ta vẽ mạch thực hai hàm s = x ⊕ y c = xy hình Mạch gọi mạch cộng hai số 1-bit hay mạch cộng bán phần, ký hiệu DA s = x⊕ y x DA c y • x y s c = xy • Xét phép cộng hai số 2-bit a a1 b2b1 , a a1 b2 b1 Thực phép cộng theo cột, cột thứ (từ phải sang trái) ta tính a1 + b1 bit tổng s1 bit nhớ c1; cột thứ hai, ta tính a + b2 + c1 , tức phải cộng ba số 1-bit Cho x, y, z ba số 1-bit Tổng x+y+z số 2-bit cs , s bit tổng x+y+z c bit nhớ x+y+z Các hàm Boole s c theo biến x, y, z xác định bảng sau: x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z 1 1 c 0 1 1 s 1 0 Từ bảng này, dễ dàng thấy rằng: s = x⊕ y⊕z Hàm c viết dạng tổng chuẩn tắc hoàn toàn là: c = x yz + x yz + xy z + xyz 147 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Cơng thức c rút gọn: c = z ( x y + x y ) + xy ( z + z ) = z ( x ⊕ y ) + xy Ta vẽ mạch thực hai hàm Boole s = x ⊕ y ⊕ z c = z ( x ⊕ y ) + xy hình đây, mạch ghép nối hai mạch cộng bán phần (DA) cổng OR Đây mạch cộng ba số 1-bit hay mạch cộng toàn phần, ký hiệu AD z • s • • x y c • z s x DA DA x y y c AD z Trở lại phép cộng hai số 2-bit a a1 b2b1 Tổng a a1 + b2b1 số 3-bit c2 s s1 , s1 bit tổng a1+b1: s1 = a1 ⊕ b1 , s2 bit tổng a2+b2+c1, với c1 bit nhớ a1+b1: s = a2 ⊕ b2 ⊕ c1 c2 bit nhớ a2+b2+c1 148 s c Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Ta có mạch thực ba hàm Boole s1, s2, c2 hình b2 a2 b1 a1 AD DA c1 c2 s2 s1 Dễ dàng suy mạch cộng hai số n-bit, với n số nguyên dương Hình sau cho mạch cộng hai số 4-bit b4 a4 b3 a3 b2 a2 b1 a1 AD AD AD DA c2 c3 c4 s4 s3 c1 s2 s1 6.3 CỰC TIỂU HỐ CÁC MẠCH LƠGIC Hiệu mạch tổ hợp phụ thuộc vào số cổng bố trí cổng Quá trình thiết kế mạch tổ hợp bắt đầu bảng rõ giá trị đầu tổ hợp giá trị đầu vào Ta ln ln sử dụng khai triển tổng tích mạch để tìm tập cổng lơgic thực mạch Tuy nhiên,khai triển tổng tích chứa số hạng nhiều mức cần thiết Các số hạng khai triển tổng tích khác biến, cho số hạng xuất biến số hạng xuất phần bù nó, tổ hợp lại Chẳng hạn, xét 149 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH mạch có đầu x = y = z = x = z = y = Khai triển tổng tích mạch xyz + x yz Hai tích khai triển khác biến, biến y Ta tổ hợp lại sau: xyz + x yz = ( y + y ) xz = 1xz = xz Do xz biểu thức với phép tốn biểu diễn mạch cho Mạch thứ hai dùng cổng, mạch thứ phải dùng ba cổng đảo (cổng NOT) 6.3.1 Bản đồ Karnaugh Để làm giảm số số hạng biểu thức Boole biểu diễn mạch, ta cần phải tìm số hạng để tổ hợp lại Có phương pháp đồ thị, gọi đồ Karnaugh, dùng để tìm số hạng tổ hợp hàm Boole có số biến tương đối nhỏ Phương pháp mà ta mô tả Maurice Karnaugh đưa vào năm 1953 Phương pháp dựa cơng trình trước E.W Veitch Các đồ Karnaugh cho ta phương pháp trực quan để rút gọn khai triển tổng tích, chúng khơng thích hợp với việc khí hố q trình Trước hết, ta minh hoạ cách dùng đồ Karnaugh để rút gọn biểu thức hàm Boole hai biến Có bốn hội sơ cấp khác khai triển tổng tích hàm Boole có hai biến x y Một đồ Karnaugh hàm Boole hai biến gồm bốn vng, hình vng biểu diễn hội sơ cấp có mặt khai triển ghi số y y x xy xy x xy xy Các hình gọi kề hội sơ cấp mà chúng biểu diễn khác biến 150 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH Ví dụ: Tìm đồ Karnaugh cho biểu thức: a) xy + x y b) x y + x y c) x y + x y + x y rút gọn chúng Ta ghi số vào ô vuông hội sơ cấp biểu diễn có mặt khai triển tổng tích Ba đồ Karnaugh cho hình sau y x x 1 y y 1 x x Việc nhóm hội sơ cấp hình cách sử dụng đồ Karnaugh cho khai triển Khai triển cực tiểu tổng tích tương ứng là: b) x y + x y , a) y, c) x + y Bản đồ Karnaugh ba biến hình chữ nhật chia thành tám Các biểu diễn tám hội sơ cấp có Hai gọi kề hội sơ cấp mà chúng biểu diễn khác biến Một cách để lập đồ Karnaugh ba biến cho bảng sau: x x yz yz yz yz xyz xy z xyz x yz x yz xy z xyz x yz Để rút gọn khai triển tổng tích ba biến, ta dùng đồ Karnaugh để nhận dạng hội sơ cấp tổ hợp lại Các khối gồm hai ô kề biểu diễn cặp hội sơ cấp tổ hợp lại thành tích hai biến; khối x x biểu diễn hội sơ cấp tổ hợp lại thành biến nhất; cịn khối gồm tất tám biểu diễn tích khơng có biến nào, cụ thể biểu thức (1) Ví dụ: Dùng đồ Karnaugh ba biến để rút gọn khai triển tổng tích sau: 151 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH a) xy z + x y z + x yz + x y z , b) x yz + x y z + x yz + x yz + x y z , c) xyz + xy z + x yz + x y z + x yz + x yz + x y z Bản đồ Karnaugh cho khai triển tổng tích cho hình sau: yz x x yz yz yz 1 x x x x yz yz yz yz yz yz 1 1 1 yz yz 1 1 Việc nhóm thành khối cho thấy khai triển cực tiểu thành tổng Boole tích Boole là: a) x z + y z + x yz , b) y + xz , c) x + y + z Bản đồ Karnaugh bốn biến hình vng chia làm 16 ô Các ô biểu diễn 16 hội sơ cấp có Một cách lập đồ Karnaugh bốn biến cho hình yz yz yz yz wx wxyz wxy z wx y z wx yz w x w x yz wxy z wx y z wx yz w x yz wxy z wx y z w x yz wxyz wxy z wx y z wx yz wx wx Hai ô gọi kề hội sơ cấp mà chúng biểu diễn khác biến Do đó, kề với bốn khác Sự rút gọn khai triển tổng tích bốn biến thực cách nhận dạng khối gồm 2, 4, 16 ô biểu diễn hội sơ cấp tổ hợp lại Mỗi biểu 152 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH diễn hội sơ cấp dùng để lập tích có biến đưa vào khai triển Cũng trường hợp đồ Karnaugh hai ba biến, mục tiêu cần phải nhận dạng khối lớn có chứa số cách dùng số khối, mà trước hết khối lớn 6.3.2 Phương pháp Quine-McCluskey 6.3.2.1 Mở đầu: Ta thấy đồ Karnaugh dùng để tạo biểu thức cực tiểu hàm Boole tổng tích Boole Tuy nhiên, đồ Karnaugh khó dùng số biến lớn bốn Hơn nữa, việc dùng đồ Karnaugh lại dựa việc rà soát trực quan để nhận dạng số hạng cần nhóm lại Vì ngun nhân đó, cần phải có thủ tục rút gọn khai triển tổng tích khí hố Phương pháp Quine-McCluskey thủ tục Nó dùng cho hàm Boole có số biến Phương pháp W.V Quine E.J McCluskey phát triển vào năm 1950 Về bản, phương pháp Quine-McCluskey có hai phần Phần đầu tìm số hạng ứng viên để đưa vào khai triển cực tiểu tổng tích Boole mà ta gọi nguyên nhân nguyên tố Phần thứ hai xác định xem số ứng viên đó, số hạng thực dùng 6.3.2.2 Định nghĩa: Cho hai hàm Boole F G bậc n Ta nói G nguyên nhân F TG ⊂ TF, nghĩa G ⇒ F Dễ thấy hội sơ cấp dạng tổng chuẩn tắc F nguyên nhân F Hội sơ cấp A F gọi nguyên nhân nguyên tố F A xố biến hội nhận đuợc khơng cịn ngun nhân F Nếu F1, …, Fk nguyên nhân F TFi ⊂ TF , ≤ i ≤ k Khi k Tk ∑ Fi i =1 = k UTFi ⊂ TF Do ∑ Fi nguyên nhân F i =1 i =1 Cho S hệ nguyên nhân F Ta nói hệ S đầy đủ F F = ∑ G , nghĩa TF = UTG G∈S G∈S 153 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 6.3.2.3 Mệnh đề: Hệ nguyên nhân nguyên tố hàm F hệ đầy đủ Chứng minh: Gọi S hệ nguyên nhân nguyên tố F Ta có TG ⊂ TF , ∀g ∈ S , Nên T ∑ G = G∈S UTG ⊂ TF G ∈S Giả sử dạng tổng chuẩn tắc hoàn toàn F F = ∑ G' nên G '∈S ' TF = UTG ' G '∈S ' Xét G '∈ S ' , G¬ khơng phải ngun nhân ngun tố F cách xố bớt số biến G¬ ta thu nguyên nhân nguyên tố G F UTG ' ⊂ UTG Khi TG ' ⊂ TG G '∈S ' Vì TF = G∈S hay TF ⊂ UTG G∈S UTG G∈S ∑G hay F = G∈S Dạng tổng chuẩn tắc F= ∑ G gọi dạng tổng chuẩn tắc thu gọn F G∈S 6.3.2.4 Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn Giả sử F hàm Boole n biến x1, x2, …, xn Mỗi hội sơ cấp n biến biểu diễn dãy n ký hiệu bảng {0, 1, −} theo quy ước: ký tự thứ i hay xi có mặt hội sơ cấp bình thường hay với dấu phủ định, cịn xi khơng có mặt ký tự − Chẳng hạn, hội sơ cấp biến x1, …, x6 x1 x3 x4 x6 biểu diễn 0−11−0 Hai hội sơ cấp gọi kề biểu diễn nói chúng khác 154 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH vị trí 0, Rõ ràng hội sơ cấp dán với phép dán Ax + A x = A chúng kề Thuật toán tiến hành sau: Lập bảng gồm nhiều cột để ghi kết dán Sau thực bước sau: Bước 1: Viết vào cột thứ biểu diễn nguyên nhân hạng n hàm Boole F Các biểu diễn chia thành nhóm, biểu diễn nhóm có số ký hiệu nhóm xếp theo thứ tự số ký hiệu tăng dần Bước 2: Lần lượt thực tất phép dán biểu diễn nhóm i với biểu diễn nhóm i+1 (i=1, 2, …) Biểu diễn tham gia phép dán ghi nhận dấu * bên cạnh Kết dán ghi vào cột Bước 3: Lặp lại Bước cho cột không thu thêm cột Khi tất biểu diễn khơng có dấu * cho ta tất nguyên nhân ngun tố F Ví dụ 9: Tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn hàm Boole: F1 = w x yz + wx yz + w x yz + w x yz + w x yz + wxyz + wxyz , F2 = w x y z + w x yz + w x yz + wx y z + wx yz + wxy z + wxyz 0001* 0101* 0011* 1001* 1011* 0111* 1111* 0−01* 00−1* −001* −011* 10−1* 01−1* 0−11* 1−11* −111* 0−−1 −0−1 −−11 0010* 0011* 1100* 1011* 1101* 1110* 1111* 001− −011 110−* 11−0* 1−11 11−1* 111−* 11−− Từ bảng ta có dạng tổng chuẩn tắc thu gọn F1 F2 là: F1 = wz + xz + yz F2 = w x y + x yz + wyz + wx 155 Đại số Boole Nguyễn Thế Vinh-ĐHKH 6.32.5 Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu Sau tìm dạng tổng chuẩn tắc thu gọn hàm Boole F, nghĩa tìm tất nguyên nhân nguyên tố nó, ta tiếp tục phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (cực tiểu) F sau Lập bảng chữ nhật, cột ứng với cấu tạo đơn vị F (mỗi cấu tạo đơn vị hội sơ cấp hạng n dạng tổng chuẩn tắc hoàn toàn F) dòng ứng với nguyên nhân nguyên tố F Tại ô (i, j), ta đánh dấu cộng (+) nguyên nhân nguyên tố dòng i phần cấu tạo đơn vị cột j Ta nói nguyên nhân nguyên tố i phủ cấu tạo đơn vị j Một hệ S nguyên nhân nguyên tố F gọi phủ hàm F cấu tạo đơn vị F phủ thành viên hệ Dễ thấy hệ S phủ hàm F đầy đủ, nghĩa tổng thành viên S F Một nguyên nhân nguyên tố gọi cốt yếu thiếu hệ nguyên nhân nguyên tố phủ hàm F Các nguyên nhân nguyên tố cốt yếu tìm sau: cột có dấu +, xem dấu + thuộc dịng dịng ứng với nguyên nhân nguyên tố cốt yếu Việc lựa chọn nguyên nhân nguyên tố bảng đánh dấu, để dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu, tiến hành theo bước sau Bước 1: Phát tất nguyên nhân nguyên tố cốt yếu Bước 2: Xoá tất cột phủ nguyên nhân nguyên tố cốt yếu Bước 3: Trong bảng cịn lại, xố nốt dịng khơng cịn dấu + sau có hai cột giống xố bớt cột Bước 4: Sau bước trên, tìm hệ S nguyên nhân nguyên tố với số biến phủ cột lại Tổng nguyên nhân nguyên tố cốt yếu nguyên nhân nguyên tố hệ S dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu hàm F 156 ... với nguyên nhân nguyên tố F Tại ô (i, j), ta đánh dấu cộng (+) nguyên nhân nguyên tố dòng i phần cấu tạo đơn vị cột j Ta nói nguyên nhân nguyên tố i phủ cấu tạo đơn vị j Một hệ S nguyên nhân nguyên. .. lựa chọn nguyên nhân nguyên tố bảng đánh dấu, để dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu, tiến hành theo bước sau Bước 1: Phát tất nguyên nhân nguyên tố cốt yếu Bước 2: Xoá tất cột phủ nguyên nhân nguyên. .. giống xố bớt cột Bước 4: Sau bước trên, tìm hệ S nguyên nhân nguyên tố với số biến phủ cột cịn lại Tổng nguyên nhân nguyên tố cốt yếu nguyên nhân nguyên tố hệ S dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu hàm