Giáo trình toán rời rạc dùng cho chuyên ngành công nghệ thông tin

Chương 1: Những khái niệm về Logic, tập hợp và suy luận toán học;Chương 2: Các phương pháp đếm và Nguyên lý Dirichlet;Chương 3: Đồ thị và ứng dụng;Chương 4: Đại số Boole và Mạch tổ hợp;Chương 5: Automat, văn phạm ngôn ngữ hình thức.

Lời nói đầu

Toán rời rạc là một trong những kiến thức cơ sở đ-ợc giảng dạy ở tất cả các khoa Công nghệ Thông tin hiện nay Tuy nhiên, tuỳ theo yêu cầu kiến thức và cấu trúc của ch-ơng trình đào tạo mà kết cấu môn học mỗi nơi ít nhiều có thể khác biệt Nhằm đáp ứng những yêu cầu đa dạng về kiến thức, trong cuốn sách này các tác giả đã cố gằng giới thiệu một cách cô đọng hầu hết những nội dung cơ bản của Toán học rời rạc, bao gồm các kiến thức cơ sở về logic, tập hợp và đại số quan hệ (Ch-ơng I); một số bài toán trong lý thuyết tổ hợp (Ch-ơng II); đồ thị và các bài toán trên đồ thị (Ch-ơng III); đại số Boole và ứng dụng trong phân tích mạch điện tử (Ch-ơng IV); ngôn ngữ hình thức và ôtômat (Ch-ơng V) Trong cách trình bày cuốn sách, các tác giả quan tâm nhiều hơn đến kỹ thuật giải quyết vấn đề, không quá câu nệ vào những đòi hỏi chặt chẽ về mặt toán học theo kiểu

“định lý-chứng minh”, không ít khái niệm và kết quả chủ yếu đ-ợc trình bày thông qua các

ví dụ và bài tập

Ngoài khả năng t- duy lôgic nhất định, giáo trình không đòi hỏi từ phía bạn đọc một

sự chuẩn bị đặc biệt nào về toán học nói chung, vì vậy có thể bố trí giảng dạy theo cuốn sách này ngay từ học kỳ 1 năm thứ nhất các tr-ờng đại học và cao đẳng Nếu đã có một số hiểu biết cơ bản về lôgic và tập hợp (trong phạm vi các mục 1-3 của ch-ơng I), bạn đọc

có thể tìm hiểu bất kỳ ch-ơng sau nào mà không cần tuân thủ trình tự các ch-ơng nêu trong cuốn sách Trong số các tài liệu tham khảo đ-ợc nêu ở cuối sách, các tác giả muốn bạn đọc đặc biệt l-u ý tài liệu Toán rời rạc ứng dụng trong Tin học của Kenneth H Rosen

Sự phong phú và đa dạng của các ví dụ và bài tập trong cuốn sách đó sẽ hết sức hữu ích cho bạn đọc Những ai quan tâm đến việc ch-ơng trình hoá một số thuật toán nêu trong cuốn sách này có thể tham khảo thêm tài liệu Toán rời rạc của Nguyễn Đức Nghĩa và Nguyễn Tô Thành

Phân công công việc giữa các tác giả nh- sau:

 Chủ biên và hiệu đính toàn bộ nội dung bản thảo: Phạm Thế Long

 Ch-ơng 1: Nguyễn Xuân Viên

 Ch-ơng 2: Nguyễn Thiện Luận, Phạm Thế Long

 Ch-ơng 3: Nguyễn Đức Hiếu, Phạm Thế Long

 Ch-ơng 4: Phạm Thế Long

 Ch-ơng 5: Nguyễn Văn Xuất

Các tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành PGS.TSKH Nguyễn Xuân Huy (Viện Công nghệ Thông Tin), PGS.TS Đặng Huy Ruận (ĐHQG Hà Nội) đã đọc kỹ bản thảo và cho nhiều ý kiến đóng góp xác đáng

Chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót trong cuốn sách này Các tác giả rất mong nhận đ-ợc sự chỉ bảo và đóng góp của tất cả bạn đọc để có thể hoàn chỉnh nội dung cho những lần xuất bản sau

Các tác giả

Mục lục

Ch-ơng 1

1 Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic 5

1.1 Mệnh đề 5

1.2 Các phép toán trên mệnh đề 5

1.3 Mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic 7

2 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 9

2.1 Tập hợp, tập con và tích Decac 9

2.2 Các phép toán trên tập hợp 10

3 L-ợng tử và vị từ 13

3.1 Hàm mệnh đề 13

3.2 Vị từ 14

3.3 Phủ định của vị từ 15

4 Quan hệ 16

4.1 Khái niệm và tính chất 16

4.2 Ma trận quan hệ 19

4.3 Quan hệ t-ơng đ-ơng, lớp t-ơng đ-ơng 20

4.4 Quan hệ n - ngôi Cơ sở dữ liệu quan hệ 22

5 Suy luận toán học 26

5.1 Các ph-ơng pháp chứng minh 26

5.2 Quy nạp toán học 28

5.3 Đệ quy và ứng dụng 29

Bài tập 31

Ch-ơng 2 Các ph-ơng pháp đếm và nguyên lý Dirichlet 39 1 Các nguyên lý đếm cơ bản 39

1.1 Nguyên lý cộng 39

1.2 Nguyên lý nhân 40

2 Một số bài toán đếm cơ bản: Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp 42

2.1 Chỉnh hợp lặp 42

2.2 Chỉnh hợp không lặp 42

2.3 Hoán vị 43

2.4 Tổ hợp 44

2.5 Tổ hợp lặp 45

2.6.Hoán vị của tập hợp có các phần tử giống nhau 47

2.7 Phân bổ các đồ vật vào trong hộp 48

2.8 So sánh các cấu hình tổ hợp 49

3 Sinh các cấu hình tổ hợp 49

3.1 Sinh các hoán vị 50

3.2 Sinh các tổ hợp 51

3.3 Nhị thức Newton 52

4 Nguyên lý Dirichlet 56

4.1 Mở đầu 56

4.2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát 57

4.3 Một vài ứng dụng thú vị của nguyên lý Dirichlet 58

5 Hệ thức truy hồi 60

5.1 Khái niệm và các ví dụ 60

5.2 Giải các hệ thức truy hồi 65

5.3 Quan hệ chia để trị 70

6 Nguyên lý bù trừ 75

6.1 Mở đầu 75

6.2 Nguyên lý bù trừ 77

Bài tập 79

Ch-ơng 3 đồ thị và ứng dụng 85 1 Các khái niệm cơ bản 85

1.1 Khái niệm và thuật ngữ 85

1.2 Đ-ờng đi Chu trình Đồ thị liên thông 88

1.3 Một số dạng đồ thị đơn đặc biệt 90

2 Biểu diễn đồ thị 93

2.1 Ma trận kề, ma trận trọng số 93

2.2 Ma trận liên thuộc 94

2.3 Sự đẳng cấu của các đồ thị 95

3 Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị 97

3.1 Tìm kiếm theo chiều sâu 97

3.2 Tìm kiếm theo chiều rộng 98

4 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton 99

4.1 Đ-ờng đi Euler và chu trình Euler 99

4.2 Đ-ờng đi và chu trình Hamilton 103

5 Bài toán tìm đ-ờng đi ngắn nhất 106

5.1 Đồ thị có trọng số 106

5.2 Thuật toán tìm đ-ờng đi ngắn nhất Dijkstra 108

6 Đồ thị phẳng 110

6.1 Khái niệm 110

6.2 Công thức Euler 112

6.3 Định lý Kuratowski 113

7 Tô màu đồ thị 115

7.1 Mở đầu 115

7.2 Một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị 119

8 Cây và ứng dụng 120

8.1 Mở đầu 120

8.2 Các ph-ơng pháp duyệt cây 124

8.3 Cây và bài toán sắp xếp 130

8.4 Cây khung 136

8.5 Cây khung nhỏ nhất 140

9 Mạng Luồng trên mạng 143

9.1 Các khái niệm 143

9.2 Thuật toán tìm luồng cực đại trong mạng 145

Bài tập 151

Ch-ơng 4 Đại số Boole và mạch tổ hợp 163 1 Khái niệm về mạch tổ hợp 163

1.1 Khái niệm 163

1.2 Biểu thức Boole 165

2 Các tính chất của mạch tổ hợp 167

2.1 Các tính chất 167

2.2 Mạch tổ hợp t-ơng đ-ơng 168

3 Hàm Boole và vấn đề tổ hợp mạch 170

3.1 Đại số Boole 170

3.2 Hàm Boole và vấn đề tổng hợp mạch 171

4 Một vài ứng dụng 174

4.1 Bộ cộng 174

4.2 Cực tiểu hoá các mạch Ph-ơng pháp Quine-McCluskey 176

Bài tập 180

Ch-ơng 5 Automat, văn phạm và ngôn ngữ hình thức 185 1 Mạch tuần tự và máy hữu hạn trạng thái 185

1.1 Mạch tuần tự 185

1.2 Máy hữu hạn trạng thái 186

2 Automat hữu hạn 188

2.1 Khái niệm và định nghĩa 188

2.2 Biểu diễn automat hữu hạn 189

2.3 Ngôn ngữ đoán nhận bởi automat 189

2.4 Automat không tất định (nondeterministic automat) 191

2.5 Quan hệ giữa automat tất định và không tất định 192

3 Văn phạm và ngôn ngữ 197

3.1 Các khái niệm và định nghĩa 197

3.2 Văn phạm và ngôn ngữ 199

3.3 Phân loại văn phạm và ngôn ngữ 201

3.4 Một số tính chất của ngôn ngữ 203

3.5 Tính đệ qui ngôn ngữ 205

4 Automat hữu hạn và ngôn ngữ chính qui 207

4.1 Quan hệ giữa automat hữu hạn và ngôn ngữ chính qui 207

4.2 Một số tính chất của ngôn ngữ loại 3 210

4.3 Một số tính chất của văn phạm phi ngữ cảnh 212

4.4 Các dạng chuẩn của văn phạm phi ngữ cảnh 218

4.5 Lực l-ợng của văn phạm phi ngữ cảnh 220

5 Máy Turing (Turing machine) 221

5.1 Mở đầu 221

5.2 Khái niệm và định nghĩa 222

5.3 Hàm Turing thực hiện đ-ợc 224

5.4 Độ phức tạp của thuật toán 226

Bài tập 228

Tài liệu tham khảo 234

Ch-ơng I

Những khái niệm cơ bản về logic, tập hợp và suy luận toán học

Trong ch-ơng này chúng ta nghiên cứu một số vấn đề mang tính chất cơ sở không chỉ của toán học rời rạc nói riêng, mà của cả toán học nói chung Đó là những khái niệm cơ bản về logic (khái niệm mệnh đề, các phép toán trên các mệnh đề), tập hợp (khái niệm về tập hợp và các phép toán trên tập hợp) và suy luận toán học (các lập luận toán học cơ sở và các phép chứng minh th-ờng dùng trong toán học) Khái niệm quan hệ nh- là một tập con của tập tích Decac cũng sẽ

Khi ta nói “Huế là một thành phố của Việt Nam” thì chúng ta đã đ-a một khẳng định mà mọi ng-ời đều thấy đúng Nh-ng khi ta nói 1 thì ng-ời ta lại thấy ngay ta đã nói sai 2

Định nghĩa 1.1.1 Mệnh đề là một khẳng định mà ta có thể biết đ-ợc nó đúng hoặc sai Không

có mệnh đề vừa đúng vừa sai Các mệnh đề đ-ợc ký hiệu bằng các chữ Latinh in A, B, C Khi

mệnh đề đúng thì ta nói mệnh đề nhận giá trị đúng và viết :A T hay A T , nếu mệnh đề B sai thì ta nói B nhận giá trị sai và viết :B F hay B F

Ví dụ 1.1.1 Tất cả các khẳng định sau đều là các mệnh đề

1 Hà Nội là Thủ đô của Việt Nam

2 2>3

3 1+3=4

Các mệnh đề 1, 3 là các mệnh đề đúng còn mệnh đề 2 là mệnh đề sai

1.2 Các phép toán trên mệnh đề

Từ các mệnh đề ban đầu A, B, C ng-ời ta có thể xây dựng các mệnh đề mới với sự

giúp đỡ của các phép toán logic tuyển, hội và phủ định sau đây

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử A, B là các mệnh đề Hội của A, B là một mệnh đề đ-ợc ký hiệu là

A  và đọc là “A và B” Mệnh đề A B B  đúng khi cả A và B đều đúng, và sai trong tất cả các

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử A, B là các mệnh đề Tuyển của A, B là một mệnh đề đ-ợc ký hiệu là

A  và đọc là “A hoặc B” Mệnh đề A B B  sai chỉ khi cả A và B đều sai, và đúng trong các

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử A là một mệnh đề, phủ định của A, ký hiệu A, là một mệnh đề nhận

giá trị đúng khi A sai và nhận giá trị sai khi A đúng

1.3 Mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử A, B là các mệnh đề Mệnh đề có điều kiện (còn gọi là phép suy diễn

hay phép kéo theo) A B  là một mệnh đề sai chỉ khi A đúng và B sai, và là mệnh đề đúng

trong mọi tr-ờng hợp còn lại

Trong mệnh đề A B  ng-ời ta gọi A là giả thuyết (hay A là nguyên nhân) B là kết luận (hay B

là kết quả) Nh- vậy, theo định nghĩa, phép suy diễn A B chỉ bị coi là sai nếu từ giả thuyết

đúng suy ra kết luận sai Ta có bảng giá trị chân lý

Ví dụ 1.3.1 Ký hiệu A là mệnh đề “Hôm nay là thứ t-”

B là mệnh đề “Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90o”

C là mệnh đề “1 1 3  ”

Khi đó, theo định nghĩa, A B là mệnh đề đúng: “Nếu hôm nay là thứ t-, thì tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90o“ là mệnh đề đúng cho dù hôm nay có là thứ t- hay

không Còn mệnh đề A C : “Hôm nay là thứ t- thì 1 1 3  ” là mệnh đề nhận giá trị đúng chỉ khi hôm nay không phải là thứ t-

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử A, B là các mệnh đề Khi đó mệnh đề A t-ơng đ-ơng với B, ký hiệu

là A  , là một mệnh đề nhận giá trị đúng khi và chỉ khi A và B có giá trị chân lý giống nhau B

Ta có bảng giá trị chân lý sau của mệnh đề A B

Ng-ời ta còn sử dụng các cách gọi khác nhau của mệnh đề A  nh- “có A khi và chỉ khi B”, B

“A là cần và đủ đối với B” hay “nếu A thì B và ng-ợc lại”

Ví dụ 1.3.2 Nếu gọi A là mệnh đề “Hôm nay trời nắng”

B là mệnh đề “Nhiệt độ ngoài trời cao hơn 300C”

thì A sẽ nhận giá trị đúng nếu khẳng định sau là đúng: Trời nắng thì nhiệt độ ngoài trời B

cao hơn 300C và nhiệt độ ngoài trời cao hơn 300C thì trời nắng ở Việt Nam điều này rõ ràng không đúng, vì vào mùa hè ở n-ớc ta nhiệt độ có thể cao hơn 300C mà trời vẫn không nắng

Định nghĩa 1.3.3 Từ các mệnh đề ban đầu ng-ời ta xây dựng nên các mệnh đề mới với sự giúp

đỡ của các phép toán logic: hội, tuyển, phủ định, suy diễn và t-ơng đ-ơng Các mệnh đề ban đầu

đ-ợc gọi là các mệnh đề sơ cấp, các mệnh đề mới nhận đ-ợc gọi là các công thức Công thức có giá trị đúng với mọi giá trị khác nhau của các mệnh đề sơ cấp đ-ợc gọi là công thức hằng đúng hay định lý (đôi khi còn gọi là luật)

Ghi chú 1.3.1 Để đơn giản hơn trong cách viết các công thức ng-ời ta quy -ớc trật tự các phép

toán nh- sau: các phép toán trong ngoặc thực hiện tr-ớc, công thức nào có phủ định phải thực hiện nó tr-ớc sau đó theo thứ tự -u tiên nếu không có dấu ngoặc thì phép hội thực hiện tr-ớc phép tuyển thực hiện sau, cuối cùng mới đến các phép toán suy diễn và t-ơng đ-ơng Ví dụ công thức  A B CA  với công thức A B C A   chỉ là một

Sau đây chúng ta dẫn ra một số tính chất quan trọng nhất của logic mệnh đề Các tính chất đó

đều có thể chứng minh đ-ợc bằng ph-ơng pháp lập bảng giá trị chân lý t-ơng tự nh- đã xét trong ví dụ 1.3.3

Định lý 1.3.1 Cho A, B, C là các mệnh đề bất kỳ Khi đó ta có:

a) Luật giao hoán A B    ; A B B A    B A

b) Luật kết hợp A    B C A B C; A    B C A B C

c) Luật phân phối A B C    ; A B A C ABC  AB  A C

d) Luật luỹ đẳng A A   ; A A A   A

e) Luật hấp thụ A A B ; A A A B A

f) Các luật De Morgan A B    ; A B A B    A B

g) Luật hai lần phủ định  A  A

h) Luật chứng minh phản chứng thứ nhất A B   B A

i) Luật chứng minh phản chứng thứ hai A B    A B

A B C , còn các phần tử của tập hợp đ-ợc ký hiệu bằng các chữ Latin th-ờng a b c , , ,

Khi a là phần tử của tập A thì chúng ta viết a  A Nh- vậy giữa phần tử và tập hợp có quan hệ

phụ thuộc Nếu a không phải là phần tử của tập A thì ta viết a  A hay a  A

Để ký hiệu tập A gồm có các phần tử nào thì ta viết các phần tử ấy giữa 2 ngoặc nhọn   , ví

dụ A    a b , là một tập hợp có hai phần tử a và b; ta viết a  A, b  A Cũng dễ dàng thấy trong ví dụ này 0  A: 0 không phải là phần tử thuộc tập A

Tập hợp có thể có hữu hạn phần tử, ví dụ A1, 2, ,n, nh-ng cũng có thể có vô hạn phần tử,

ví dụ B1, 2, x xlà số tự nhiê n Số các phần tử của một tập hữu hạn A ký hiệu là A Nh- vậy   1 , 2 , 3  3

Tập không có phần tử đ-ợc gọi là tập rỗng Tập rỗng đ-ợc ký hiệu là 

Định nghĩa 2.1.1 Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng các phần tử

Ví dụ 2.1.1 Xét tập A 1, 2 còn B là tập các nghiệm của ph-ơng trình bậc hai 2

Định nghĩa 2.1.2 Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B thì ta nói tập A là tập con

của B và viết A B  Rõ ràng là với mọi A ta đều có A   A; A

Theo định nghĩa 2.1.1, hai tập A B  khi và chỉ khi A B  và B A

Ví dụ 2.1.2 Tập A 1, 2 , B1, 2,3,a ở đây A có 2 phần tử 1 và 2 thì cả hai phần tử này đều

có trong B cho nên A là tập con của B

Ký hiệu ( )p A là tập tất cả các tập con của A

Ví dụ 2.1.3 Nếu A1, 2,3 thì p( )A sẽ gồm các phần tử là các tập con của A sau:

gọi tập tất cả các tập con của A là tập luỹ thừa của A

Định nghĩa 2.1.3 Giả sử A,B là hai tập hợp Ta xây dựng tập mới ký hiệu là A B , trong đó

 

A B  a b aA bB sao cho    a b,  c d, khi và chỉ khi ac b,  d

Tập hợp A B  đ-ợc xác định theo định nghĩa 2.1.3 gọi là tích Decac của A, B Còn bộ hai

 a b, trong định nghĩa là bộ hai có thứ tự: phần tử thứ nhất (toạ độ thứ nhất) a A ; phần tử thứ

hai (toạ độ thứ hai) b B

Ví dụ 2.1.4 A1, 2,3 , B a b, thì A B gồm có 6 phần tử

           1,a , 1,b , 2,a , 2,b , 3,a , 3,b

A A  gồm có 9 phần tử là                  1,1 , 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 2,3 , 3,1 , 3, 2 , 3,3 Dễ dàng nhận thấy rằng nếu A B, là các tập hữu hạn thì A B A B 

Định nghĩa 2.1.4 (Tích Decac n - ngôi) Giả sử A A1, 2, ,A n là n tập hợp nào đó Tích Decac (n -

ngôi) của A A1, 2, ,A n đ-ợc ký hiệu là A1  A2 A n, với

1 2 n 1, 2, , n 1 1, 2 2, , n n

A   A A a a a a A a A a A , a a1, 2, ,a n  a a1 , 2, ,a n khi

và chỉ khi a i  với mọi a i i1, 2, ,n

Cũng nh- trên, có thể dễ dàng thấy rằng, nếu các tập A i hữu hạn thì

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử A, B là hai tập hợp A hợp B, ký hiệu A B , là một tập hợp chứa tất cả

các phần tử của A, tất cả các phần tử của B Nh- vậy

Ng-ời ta th-ờng minh hoạ các phép toán trên tập hợp bằng giản đồ Venn: Các tập A,B, đều là

tập con của một tập U gọi là tập vũ trụ U Tập vũ trụ đ-ợc biểu diễn là một hình chữ nhật, các

tập A,B, là các hình tròn trong U Giản đồ Venn của tập A B có dạng sau

A B

Định nghĩa 2.2.2 Giả sử A, B là hai tập hợp Giao của A, B, ký hiệu A B , là tập gồm các phần

tử vừa là của A, vừa là của B Nh- vậy

A B x x  A x B hay x      A B x A x B

Ví dụ 2.2.2 Cũng lấy ví dụ A,B từ ví dụ 2.2.1 ta có A   B   a c , là tập các học sinh trong

tổ tập cả hai môn bóng chuyền và bơi

Ta có giản đồ Venn của tập A  Bnh- sau:

A  B

Định nghĩa 2.2.3 Giả sử A, B là hai tập hợp Hiệu của A và B, ký hiệu A B \ là một tập hợp

gồm các phần tử của A nh-ng không phải của B Nh- vậy

Định nghĩa 2.2.4 U  A đ-ợc gọi là phần bù của A (đối với U) , ký hiệu là A Nh- vậy

Sau đây chúng ta nêu ra một số tính chất của các phép toán trên tập hợp mà chứng minh chúng

đ-ợc đ-a về các luật t-ơng ứng của logic mệnh đề

Định lý 2.2.1 Giả sử U là tập vũ trụ, A, B, C là các tập con của U

Chứng minh Nh- ta đã nói ở trên tất cả các luật trong định lý 2.2.1 đều đ-ợc chứng minh bằng

ph-ơng pháp đ-a về các luật t-ơng ứng của logic mệnh đề Ví dụ ta chứng minh luật hấp thụ

A   A B  A nh- sau

Theo định nghĩa 2.2.1, 2.2.2 thì

Theo luật hấp thụ thứ hai trong logic mệnh đề, điều sau cùng t-ơng đ-ơng với x  A

Nh- vậy ta đã chứng minh đ-ợc x    A  A B     x A , theo định nghĩa 2.1.1 điều này có nghĩa là A     A B  A

Có thể định nghĩa t-ơng tự cho hợp và giao của một họ bất kỳ các tập hợp

3 L-ợng tử và vị từ

3.1 Hàm mệnh đề

Các mệnh đề đ-ợc xét trong phần đầu của ch-ơng là những mệnh đề mà chúng ta có thể xác

định ngay giá trị của chúng đúng hoặc sai Trong mục này chúng ta sẽ xem xét một loại mệnh đề khác, mệnh đề mà giá trị của nó phụ thuộc vào các giá trị khác nhau lấy từ một tập nào đó Ví dụ

khẳng định “x là một số nguyên lớn hơn 5” là một loại khẳng định mà khi thay x bằng một giá

trị nguyên cụ thể nào đó ta sẽ đ-ợc một mệnh đề, chẳng hạn với x  2 ta có mệnh đề “2 lớn hơn 5” viết bằng ký hiệu toán học là “2  5”, đây là mệnh đề sai, còn với x bằng 6 ta sẽ đ-ợc

mệnh đề “6  5” là mệnh đề đúng Loại mệnh đề phụ thuộc vào các tham số lấy giá trị từ một tập nào đó đ-ợc gọi là hàm mệnh đề Nói một cách chính xác ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 3.1.1 Hàm P x x  1, 2, , xn xác định trên tập A đ-ợc gọi là hàm mệnh đề n - ngôi

nếu khi thay x1  a x1, 2  a2, , xn  an với a a1, 2, , an A, ta nhận đ-ợc một mệnh đề Khi n1, hàm 1- ngôi P x  th-ờng gọi đơn giản là hàm mệnh đề

Ví dụ 3.1.1 x y là một hàm mệnh đề 2- ngôi xác định trên tập số nguyên Z Thật vậy, khi ta

gán x m  , y n  là các số nguyên cụ thể nào đó ta sẽ đ-ợc mệnh đề m n

3.2 Vị từ

Xét khẳng định “với mọi số tự nhiên n ta đều có n ” Đây là một khẳng định sai vì ta dễ dàng 5

tìm thấy một số tự nhiên, chẳng hạn 1 5 Tuy nhiên, dễ dàng thấy rằng, khẳng định “tồn tại số

tự nhiên n sao cho n ” lại là một mệnh đề đúng Các mệnh đề nh- nêu ở đây đ-ợc xây dựng 5

từ hàm mệnh đề n5 xác định trên tập số tự nhiên với sự giúp đỡ của các toán tử đ-ợc gọi là

toán tử chung (l-ợng tử chung) n  , đọc là với mọi n và toán tử riêng (l-ợng tử riêng) n đọc là

tồn tại n

Định nghĩa 3.2.1 Giả sử P x  là một hàm mệnh đề xác định trên tập A x P x   (đọc là với

mọi x P x ) là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng khi và chỉ khi với phần tử bất kỳ a A ta có

Hoàn toàn t-ơng tự nh- trong định nghĩa 3.2.1 ta có thể nhận đ-ợc các vị từ xây dựng từ các

hàm mệnh đề n - ngôi ( n1) Chẳng hạn  x yP x y , hay  x yP x y , Khi hàm mệnh đề

 1, 2, , n

P x x x xác định trên tập A thì ta nói vị từ t-ơng ứng xác định trên tập A

Ví dụ 3.2.2  x y x  là một vị từ (mệnh đề) xác định trên tập số nguyên Mệnh đề này y

khẳng định với mọi số nguyên x m tồn tại số nguyên y n  để m n Rõ ràng đây là một mệnh đề đúng

3.3 Phủ định của vị từ

Ta xét phủ định của vị từ x x  trên tập số nguyên 5 Z, tức là x x 5 Đây là một mệnh

đề nhận giá trị đúng khi và chỉ khi x x 5 sai Theo định nghĩa 3.2.1 thì điều này có nghĩa là

 5

x x

  hay x x 5 vậy là x x   5 x x   5 x x 5 (Dễ dàng thấy mệnh đề

với mọi x nguyên x là sai) cho nên mệnh đề 5 x x 5 là mệnh đề sai Ta có định lý sau:

Định lý 3.3.1 Nếu P x  là hàm mệnh đề xác định trên tập A thì các khẳng định sau là hằng

đúng:

a) xP x  xP x  b) xP x  xP x  Chứng minh Ta chứng minh khẳng định a) Mệnh đề xP x  nhận giá trị đúng khi và chỉ khi

Chú thích 3.3.1 Các l-ợng tử cùng loại trong vị từ của hàm mệnh đề n - ngôi ( n ) có tính 1

giao hoán còn các l-ợng từ khác loại không giao hoán đ-ợc cho nhau Có thể thấy điều đó qua ví

Chú thích 3.3 2 Có thể tổng quát hoá định lý 3.3.1 cho hàm mệnh đề P x x  1, 2, , xn n - ngôi

với n : Phủ định của vị từ nhận đ-ợc bằng cách thay l-ợng tử thành l-ợng tử khác loại và 1

hàm mệnh đề P x x  1, 2, , xn thành phủ định của nó P x x  1, 2, , xn

4 Quan hệ

4.1 Khái niệm và tính chất

Quan hệ giữa hai tập theo ngôn nghĩa trực giác đ-ợc hiểu hiểu là mối quan hệ giữa một số phần

tử của tập này với một số phần tử của tập khác Chẳng hạn, nếu lấy A tập các sinh viên nào đó và

B là tập các môn học mà họ đang theo họcthì ta có thể nói sinh viên a có quan hệ với môn học a

nếu sinh viên a theo học môn a Hoàn toàn t-ơng tự nh- vậy nếu lấy A là tập một số ng-ời nào

đó và quan hệ mà ta quan tâm là quan hệ họ hàng chẳng hạn thì ta nói anh a và cô b thuộc quan

hệ này nếu a và b có họ với nhau

Định nghĩa 4.1.1 Giả sử X, Y là hai tập hợp Quan hệ hai ngôi R từ X đến Y đ-ợc định nghĩa là

tập con của tích Decac X  Y, tức là R   X Y Trong tr-ờng hợp X  Y thì ng-ời ta nói

R   X X là quan hệ hai ngôi trong X

Tập  x    X y Y   x y ,  R  đ-ợc gọi là tập xác định của quan hệ R Còn tập

 

 y    Y x X x y ,  R  đ-ợc gọi là tập giá trị của quan hệ R

Để xác định   x y ,  R ng-ời ta th-ờng hay viết xRy bắt ch-ớc theo quan hệ  trong tập số thực:     ,  khi và chỉ khi   

Nếu quan hệ hai ngôi biểu diễn d-ới dạng một bảng gồm 2 cột thì cột thứ nhất gồm các phần tử của miền xác định, cột thứ hai - miền giá trị

Ví dụ 4.1.1 Giả sử X 2, 3, 4, 5, Y 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 Ta xác định quan hệ hai ngôi

  x y ,   R x y: x là -ớc số của y (hay y chia hết cho x) Dễ dàng thấy khi đó

Trong đó các phần tử trên cùng một hàng nằm trong quan hệ R Nhìn vào bảng này các phần tử

nằm trên cột thứ nhất  2 , 3 , 4 , 5 là tập xác định của quan hệ R còn các phần tử trên cột thứ hai

 3, 4, 6,5,9 là tập giá trị của R

Ví dụ 4.1.2 X   2,3, 4,5  Ta nói   a b ,  R nếu a  b Ta có

Quan hệ trong ví dụ 4.1.2 là quan hệ có tính phản xạ

Ví dụ 4.1.3 Gọi X   2,3, 4,5  Ta nói   a b ,  R và chỉ khi a b Rõ ràng là

Quan hệ trong các ví dụ 4.1.2, 4.1.3 đều không phải là các quan hệ có tính đối xứng vì trong ví

dụ 4.1.2 ta có 2  3 nh-ng 3  2; Trong ví dụ 4.1.3 có   2, 4  R nh-ng   4, 2  R

Định nghĩa 4.1.8 Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là có tính phản đối xứng nếu với mọi

T-ơng tự nh- vậy trong tập số tự nhiên nếu m chia hết cho n và n chia hết cho m thì m = n Rõ

ràng là quan hệ trong ví dụ 4.1.4 không có tính phản đối xứng

Định nghĩa 4.1.9 Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự từng phần trong X nếu nó là

quan hệ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu

Từ các nhận xét trên ta thấy các quan hệ trong các ví dụ 4.1.2, 4.1.3 là các quan hệ thứ tự từng

phần trên các tập X t-ơng ứng Nếu R là một quan hệ thứ tự từng phần trong tập X thì khi

  x y ,  R ng-ời ta th-ờng nói x, y so sánh đ-ợc với nhau Khi   x y ,  R và   y x ,  R

thì nói x, y không so sánh đ-ợc với nhau

Ví dụ về quan hệ chia hết trên tập số tự nhiên là quan hệ thứ tự từng phần vì không phải hai số tự nhiên nào cũng so sánh đ-ợc với nhau: 2 không phải là -ớc của 3 và 3 cũng không là -ớc của 2

Tập X với quan hệ thứ tự từng phần R mà với hai phần tử bất kỳ x y ,  X thì hoặc xRy hoặc

yRx đ-ợc gọi là tập có quan hệ thứ tự tuyến tính (hay thứ tự toàn bộ)

Định nghĩa 4.1.10 Giả sử R là quan hệ từ X vào Y Quan hệ ng-ợc của R, ký hiệu là 1

Giả sử R là một quan hệ từ tập X vào tập Y Ta có thể biểu diễn quan hệ R d-ới dạng một ma trận

không – một MR gọi là ma trận quan hệ R nh- sau:

Các phần tử của tập X đ-ợc sắp xếp theo một trật tự nào đó x x1, 2, , xn trên một cột, còn các

phần tử của Y theo một trật tự của nó y y1, 2, , yn trên một hàng Giả sử X  n, Y  m

Ma trận MR có m hàng n cột (cỡ (m,n)) với các phần tử m ij sao cho phần tử nằm trên hàng i, cột

j là mij  1 nếu   x yi, j  R, mij  0 nếu   x yi, j  R

Ví dụ 4.2.1 Giả sử X   2,3, 4 ,Y   5,6, 7,8 , quan hệ R   X Y xác định

  x y ,   R x y sẽ có ma trận MR nh- sau

Nh- vậy là với mỗi quan hệ R   X Y từ tập hữu hạn X vào tập hữu hạn Y ta có thể xây dựng

đ-ợc một ma trận quan hệ (chính xác đến sự sắp xếp thứ tự của tập X và tập Y) Ng-ợc lại với mỗi ma trận không – một M ta có một quan hệ R từ X vào Y

Thật vậy nếu mij  1 thì ta đặt   x yi, j  R, nếu mij  0 thì   x yi, j  R ở đây cũng nh-

tr-ớc ta phải coi các trật tự sắp xếp phần tử của X và Y là cố định chọn tr-ớc Nếu R   X X

là quan hệ trong tập X có X  n thì MR là ma trận vuông cấp n

Dễ dàng nhận thấy quan hệ R trong tập X có tính đối xứng khi và chỉ khi MR là ma trận đối

xứng R có tính phản đối xứng khi và chỉ khi

Định nghĩa 4.3.1 Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là quan hệ t-ơng đ-ơng nếu nó có tính phản

xạ, đối xứng và bắc cầu Nếu hai phần tử x, y nằm trong quan hệ t-ơng đ-ơng R thì ta nói x, y

t-ơng đ-ơng vói nhau

Ví dụ 4.3.1 Ta có tập X gồm 10 quả cầu trong đó có 3 quả cầu trắng t t t1, ,2 3, 3 quả cầu xanh:

1, 2, 3

x x x và 4 quả cầu đỏ d d d1, 2, 3 Quan hệ R đ-ợc xác định nh- sau a b ,  X,

  a b ,  R khi và chỉ khi a, b cùng màu Dễ dàng nhận thấy R là một quan hệ t-ơng đ-ơng:

  a a ,  R, quả cầu chỉ có một màu

  a b ,  R thì   b a ,  R: quả cầu a cùng màu với b thì b cùng màu với a

  a b ,  R,   b c ,  R thì   a c ,  R: nếu a, b cùng màu và b, c cùng màu thì rõ ràng a, c

cùng màu

Ví dụ 4.3.2 Giả sử X là tập các từ tiếng Việt, gọi l a   là chiều dài của xâu a  X (số các chữ cái trong xâu)

Gọi R là quan hệ trong tập X mà   a b ,  R khi và chỉ khi l a      l b Nh- trên, ở đây

cũng dễ dàng nhận thấy R là quan hệ t-ơng đ-ơng trong tập X

Định nghĩa 4.3.2 Họ S các tập con khác rỗng của X đ-ợc gọi là phân hoạch của X, nếu mỗi

phần tử x của X thuộc một và chỉ một phần tử S Các phần tử S th-ờng đ-ợc gọi là các lớp của

Ví dụ 4.3.1 có thể tổng quát thành định lý sau:

Định lý 4.3.1 Nếu S    Xi i I là một phân hoạch của tập X Xác định quan hệ R   X X

theo quy tắc   x y ,  R khi và chỉ khi tồn tại i  I để cả hai phần tử x, y đều thuộc Xi tức là

x y  X thì hiển nhiên yRx cũng với ý nghĩa nh- thế y x ,  Xi vậy là quan hệ R lại có

tính đối xứng Định lý đã đ-ợc chứng minh xong

n

 thuộc cùng một lớp nếu m n1 2 m n2 1 và viết r1 r2: nh- vậy mỗi lớp của Q gồm tất cả các số hữu tỉ bằng nhau Ta có thể chứng minh đ-ợc các lớp này tạo thành các lớp của một phân hoạch số hữu tỉ

Thật vậy, rõ ràng là hợp các lớp này cho ta Q vì mỗi r  Q thuộc vào 1 lớp nào đó Hai

lớp có chung 1 phần tử thì sẽ trùng nhau, thật vậy nếu lớp A và B mà có chung phần tử 2

2 2

m r n

thì lấy r1 A có r1  r2 B nên r1 B tức là A  B Ng-ợc lại lấy r3 B thì

r   r A cho nên B  A vậy là A  B

Nh- vậy là các lớp khác nhau thì rời nhau, ta nhận đ-ợc phân hoạch của các số hữu tỉ gồm các lớp là các số hữu tỉ bằng nhau Ng-ợc lại với định lý 4.3.1 ta có:

Định lý 4.3.2 Giả sử R   X X là một quan hệ t-ơng đ-ơng trong X Xác định các lớp   x

các tập con của X nh- sau: Với mỗi x  X đặt   x    a X xRa  Khi dó họ S

có yRa, aRx, xRb nên theo tính bắc cầu yRb có nghĩa là y    b Nh- vậy     a  b

Đổi vai trò     a , b cho nhau ta đ-ợc     b  a Từ các lý luận trên ta có     a  b Nh- vậy hai lớp có chung một phần tử thì chúng phải trùng nhau; Điều sau cũng có nghĩa là hai lớp khác nhau thì rời nhau Định lý đã đ-ợc chứng minh

Từ hai định lý 4.3.1 và 4.3.2 ta thấy khái niệm quan hệ t-ơng đ-ơng trong tập X và phân hoạch của X là t-ơng đ-ơng với nhau

Ví dụ 4.3.4 Cho quan hệ t-ơng đ-ơng

Ví dụ 4.3.5 Lấy X   1, 2, ,7  Quan hệ t-ơng đ-ơng R đ-ợc xác định nh- sau: xRy khi

và chỉ khi x và y đồng d- theo modun 3 (x  y chia hết cho 3 hay còn viết 3 x  y) Khi chia các số nguyên cho 3 có thể có các số d- 0, 1, 2, vì thế có 3 lớp t-ơng đ-ơng là       1 , 2 , 3

trong đó   3    3,6 ,   1   1, 4,7 ,   2    2,5 nh- vậy là     3  6 ,

      1  4  7 ,     2  5

4.4 Quan hệ n - ngôi Cơ sở dữ liệu quan hệ*

Định nghĩa 4.4.1 Giả sử A A1, 2, , An là n tập hợp Quan hệ n ngôi xác định trên các tập

Mỗi cột của bảng quan hệ n - ngôi ứng với một tiêu chí (của quan hệ hay của cơ sở dữ liệu) Một tiêu chí của quan hệ n - ngôi gọi là khoá cơ bản nếu các giá trị của nó xác định hoàn toàn các bộ

của quan hệ này Nói một cách khác trong miền này mỗi phần tử chỉ ứng với một bộ duy nhất

của quan hệ R

ở với dụ 4.4.2 thì tiêu chí số điện thoại là khoá cơ bản của quan hệ Những tổ hợp các tiêu chí

mà các giá trị của chúng xác định duy nhất các bộ của quan hệ R gọi là khoá phức hợp Trong ví

dụ 4.4.2 thì (Tên, bộ môn) chính là một khoá phức hợp vì trong quan hệ này không có 2 giáo viên nào trùng cả tên lẫn bộ môn

Một cơ sở dữ liệu phải đáp ứng đ-ợc các đòi hỏi của ng-ời sử dụng khi ng-ời ta cần lấy những thông tin nào đó ra

Định nghĩa 4.4.2 Toán tử chọn - Select chọn từ các hàng của quan hệ ra các hàng mà tiêu chí

cần quan tâm nhận một giá trị nhất định

Ví dụ 4.4.3 Toán tử chọn Giáo viên [Tên = Khoái] chọn ra các hàng nào trên giáo viên là Khoái

đó là

(2123456, Khoái, Hoá, 49) (6665555, Khoái, Toán, 40)

Định nghĩa 4.4.3 Toán tử chiếu Pi i1 2 i m chỉ quan tâm đến các cột mang số thứ tự i i1 2 im, bỏ qua các cột khác Ngoài ra nếu có nhiều bộ cùng  i i1 2 im thì chỉ giữ lại một

Ví dụ 4.4.4 Toán tử chiếu P(Tên, bộ môn) cho ta

(Vui, Toán) (Vẻ, Lý) (Khoái, Hoá) (Chí, Sinh) (Khoái, Toán)

thì toán tử chiếu P(Tên) chỉ cho ta (Vui), (Vẻ), (Khoái), (Chí)

Định nghĩa 4.4.4 Toán tử liên kết - join thực hiện trên 2 quan hệ R R1, 2 Khi chúng có chung trị số của các tiêu chí của hai quan hệ R R1, 2 Khi thực hiện toán tử này ta xem các hàng của quan hệ R1, các hàng của quan hệ R2 xem có hàng nào có hai tiêu chí đã chọn trùng nhau thì viết sang một bảng mới với bổ sung thêm những cột mới vào R1 từ cột của R2

Ví dụ 4.4.5 Gọi R1 là quan hệ 4 ngôi trong ví dụ 4.4.2 còn R2 là quan hệ 2 ngôi

Thể thao

th× to¸n tö liªn kÕt R R1, 2 sÏ cho ta quan hÖ míi 5 ng«i lµ

th× kÕt qu¶ cña to¸n tö tæ hîp  R R1, 2 sÏ lµ quan hÖ cho trong b¶ng sau

5 Suy luận toán học

5.1 Các ph-ơng pháp chứng minh

Theo định nghĩa 1.3.1, trong phép suy diễn A  B (mệnh đề có điều kiện) A đ-ợc gọi là giả thiết, B đ-ợc gọi là kết luận Phép suy diễn A  B bị coi là sai chỉ trong tr-ờng hợp khi mà A

đúng còn B sai Quá trình thực hiện phép suy diễn đ-ợc gọi là lập luận hay luận chứng Luận

chứng đ-ợc coi là đúng nếu chúng ta nhận đ-ợc công thức hằng đúng hay định lý Ví dụ nh-

 A  A  B   B là một định lý vì với mọi giá trị của A, B công thức đó là công thức

hằng đúng Trong lập luận thì công thức hằng đúng ấy đ-ợc viết nh- sau:

B

B A A

A  đ-ợc viết trên gạch ngang; d-ới dấu gạch ngang viết kết luận B, ký hiệu  thay cho

“vậy thì” trong lập luận Quy tắc suy diễn theo lập luận trên đ-ợc gọi là luật tách rời

Ví dụ 5.1.1: Giả sử B là mệnh đề “nếu n chia hết cho 3 thì 2

n chia hết cho 9”, còn A là mệnh đề

“n = 6” Khi đó, theo luật tách rời 2

36

n  sẽ chia hết cho 9

Sau đây là một số quy tắc suy diễn quan trọng chúng ta sẽ đặt t-ơng ứng các quy tắc này với các

định luật t-ơng ứng trong logic mệnh đề (hằng đúng)

i) Luật cộng

B A

A B A B



 t-ơng ứng với hằng đúng  A  B   A   B

Ví dụ 5.1.2 Lập luận “Nếu hôm nay trời nắng tôi sẽ đi dạo công viên” có cơ sở là luật tách rời

iii)

Ví dụ 5.1.3 Lập luận “Nếu hôm nay trời nắng tôi sẽ đi chơi công viên Nếu hôm nay tôi đi chơi

ngoài công viên thì ngày mai tôi phải ở nhà học bài Vậy thì, nếu hôm nay trời nắng ngày mai

tôi sẽ ở nhà học bài” có cơ sở là luật tam đoạn giả định nếu ta ký hiệu A là mệnh đề “Hôm nay trời nắng” B là mệnh đề “Tôi sẽ đi chơi” còn C là mệnh đề “Ngày mai tôi sẽ ở nhà học bài”

Có một số ph-ơng pháp chứng minh cơ bản là: Chứng minh trực tiếp, chứng minh gián tiếp, chứng minh bằng phản chứng, chứng minh riêng rẽ, chứng minh bằng ph-ơng pháp quay vòng

Để chứng minh mệnh đề A  Bđúng ta có thể chỉ ra rằng nếu A đúng thì B phải đúng

Ph-ơng pháp chứng minh này đ-ợc gọi là chứng minh trực tiếp

Ví dụ 5.1.4 Để chứng minh nếu n chia hết cho 3 thì n 2 chia hết cho 9 ta có thể áp dụng ph-ơng

pháp chứng minh trực tiếp Giả sử n chia hết cho 3 tức là n  3 , k k  zKhi đó rõ ràng là

9

n  k chia hết cho 9

Để chứng minh A  Bđúng ta có thể chứng minh B  A vì mệnh đề

 A  B    B  A  là hằng đúng Cách chứng minh này gọi là chứng minh gián tiếp

Ví dụ 5.1.5 Để chứng minh 3 n  1 là số chẵn nếu n lẻ ta có thể chứng minh bằng ph-ơng pháp gián tiếp: giả sử n là số chẵn khi đó n  2 kvà 3 n   1 3.2 k    1 6 k 1 là số lẻ

Chứng minh bằng phản chứng dựa trên mệnh đề hằng đúng sau

 A  B    A    B C C 

Nh- vậy để chứng minh A suy ra B ta có thể chứng minh bằng phản chứng rằng giả sử A đúng nh-ng B lại sai, khi đó ta sẽ nhận đ-ợc mâu thuẫn (C  C với C là mệnh đề tuỳ ý) Đây là

ph-ơng pháp th-ờng hay gặp trong các lý luận khoa học, nhất là trong toán học

Ví dụ 5.1.6 Để chứng minh “Một dãy số nếu có giới hạn thì chỉ có một” ta có thể áp dụng

ph-ơng pháp chứng minh bằng phản chứng

Nếu dãy số có giới hạn mà lại có 2 giới hạn khác nhau thì ta chọn đ-ợc 2 lân cận của 2 điểm này rời nhau trong khi với mọi số thứ tự đủ lớn thì tất cả các phần tử của dãy đều phải rơi vào mỗi lân cận này mâu thuẫn với giao của các lân cận này bằng trống Mâu thuẫn chính này là do chúng ta đã giả thiết dãy có hai giới hạn khác nhau Vậy dãy có giới hạn thì chỉ có một đã đ-ợc chứng minh

Để chứng minh các mệnh đề A A1, 2, , An t-ơng đ-ơng với nhau ta có thể chứng minh bằng ph-ơng pháp quay vòng A1   A2 An1  An A1 Vì cơ sở của ph-ơng pháp quay vòng này chính là mệnh đề hằng đúng

ii) Từ P n   đúng suy ra P n    1 đúng với mọi số tự nhiên n

Chứng minh Ta chứng minh bằng ph-ơng pháp phản chứng, giả sử rằng cho dù có i), ii) trong

Dễ dàng thấy đ-ợc ph-ơng pháp chứng minh bằng quy nạp toán học trong định lý 5.2.1 t-ơng

đ-ơng với

Định lý 5.2.2 Giả sử khẳng định P n   phụ thuộc vào các số tự nhiên n thoả mãn

i) P   1 đúng

ii) Từ P k   đúng với mọi k   n 1 suy ra P n    1 đúng

Khi đó P n   đúng vói mọi số tự nhiên

Vì thế tuỳ theo từng bài toán mà ng-ời ta sử dụng quy nạp toán học theo định lý 5.2.1 hay mở rộng của nó là 5.2.2

T-ơng tự nh- trên, để chứng minh mệnh đề P(n) đúng cho mọi số tự nhiên n  n0, n0  1ta có thể thực hiện theo hai b-ớc, trong đó b-ớc cơ sở chỉ cần kiểm tra P ( n0)đúng

Ví dụ 5.2.1 Bây giờ ta chứng minh bằng ph-ơng pháp quy nạp toán học rằng tập A với A  n

có 2n tập con

Thật vậy

i) Với n  1, A    a có 2 tập con  và   a cơ sở quy nạp đúng

ii) Giả sử với mọi tập A mà A  n thì p   A  2n ta chứng minh khi đó nếu B

Chẳng hạn n ! là tích của n số tự nhiên đầu tiên Chúng ta không thể viết hết đ-ợc thậm chí các giai thừa của 100 số đầu vì cái gọi là bùng nổ giai thừa với n lớn lên thì n ! lớn lên theo luỹ thừa

Nh- vậy ta có thể nói một đối t-ợng là đệ quy nếu nó bao gồm chính nó nh- một bộ phận hoặc

nó đ-ợc định nghĩa d-ới dạng của chính nó Kỹ thuật xác định đối t-ợng ấy đ-ợc gọi là kỹ thuật

đệ quy

Ta có thể sử dụng đệ quy để định nghĩa các dãy số, hàm số và tập hợp Ví dụ để định nghĩa một hàm xác định các số nguyên không âm ta cho

1 Giá trị của hàm tại n  0

2 Công thức tính giá trị của nó tại số nguyên n từ các giá trị của nó tại các số nguyên nhỏ hơn

Xét một ví dụ cụ thể sau

Ví dụ 5.3.2 Giả sử tập A đ-ợc định nghĩa đệ quy nh- sau

1 3  A

2 x   y A nếu x  A và y  A

Chứng minh rằng A là tập các số nguyên d-ơng chia hết cho 3

Gọi B là tập các số nguyên d-ơng chia hết cho 3 Để chứng minh A = B ta phải chứng minh

A  B vàB  A

Chứng minh A  B: Gọi P n   là mệnh đề “3n thuộc tập A” Ta có P   1 đúng (theo định

nghĩa đệ quy của A) Giả sử P n   đúng, tức là 3n  A, ta chứng minh P n   1  đúng Thật vậy, vì 3  A và 3n  A nên theo định nghĩa ta có 3 3   n 3   n   1 A  P n    1

đúng  A  B

Chứng minh B  A Ta có 3 chia hết cho 3 là điều hiển nhiên nên 3  B Tiếp theo ta chứng

minh mọi phần tử của A đ-ợc sinh ra theo qui tắc thứ hai của định nghĩa cũng thuộc B Giả sử x,

y là hai phần tử của A, cũng là hai phần tử của B Theo định nghĩa của A thì x   y A và vì x

và y đều chia hết cho 3 nên x  y cũng chia hết cho 3  x   y B Vậy B  A Định lý

đ-ợc chứng minh

Định nghĩa đệ quy còn đ-ợc dùng khi nghiên cứu các lớp ngôn ngữ

Ví dụ 5.3.3 Ng-ời ta có thể định nghĩa đệ quy tập các xâu nh- sau

Giả sử * là tập các xâu trên bộ hữu hạn chữ cái  Khi đó * đ-ợc định nghĩa bằng đệ quy nh- sau

A : Tôi đã mua vé số tuần này

B : Tôi đã trúng giải độc đắc 200 triệu đồng vào hôm thứ sáu

Diễn đạt các mệnh đề sau bằng các câu thông th-ờng:

Dùng A, B và các phép toán logic viết các mệnh đề sau

a) Nhiệt độ d-ới không và tuyết rơi

b) Nhiệt độ d-ới không nh-ng không có tuyết rơi

c) Nhiệt độ không d-ới không và không có tuyết rơi

d) Nếu nhiệt độ d-ới không thì có tuyết rơi

e) Hoặc nhiệt độ d-ới không hoặc có tuyết rơi nh-ng sẽ không có tuyết rơi nếu nhiệt

độ d-ới không

f) Nhiệt độ d-ới không là điều kiện cần và đủ để có tuyết rơi

5 Lập bảng giá trị chân lý đối với các mệnh đề phức hợp sau

a) A  B

b) A   B B

c)  A    B   B A 

d)  A    B   A B 

d)  x x là số nguyên sao cho x2  2 

7 Xác định xem mỗi cặp tập hợp sau đây có bằng nhau không ?

9 Cho A là tập các sinh viên sống cách xa tr-ờng trong vòng bán kính một km, và B là

tập hợp các sinh viên đang trên đ-ờng tới lớp Hãy mô tả các sinh viên thuộc một trong các tập hợp sau

a A  B c A  B

b A  B d B  A

10 Giả sử A là tập sinh viên năm thứ hai ở tr-ờng và B là tập các sinh viên đang học mộtnToán rời rạc ở tr-ờng Hãy biểu diễn các tập sau đây qua A và B

a) Tập các sinh viên năm thứ hai học Toán rời rạc ở tr-ờng

b) Tập các sinh viên năm thứ hai không học Toán rời rạc

c) Tập hợp các sinh viên ở tr-ờng hoặc là năm thứ hai, hoặc đang học Toán rời rạc d) Tập hợp các sinh viên ở tr-ờng, hoặc không là sinh viên năm thứ hai, hoặc không học Toán rời rạc

11 Anh chị có thể nói gì về các tập A và B nếu các đẳng thức sau là đúng ?

f)   x y P x y   ,

14 Cho L x y   , là câu “x yêu y”, với không gian của cả x và y là tập hợp mọi ng-ời

trên thế giới Hãy dùng hàm mệnh đề và các l-ợng tử để diễn đạt các câu sau: a) Mọi ng-ời đều yêu Lan

b) Mọi ng-ời đều yêu một ai đó

c) Có một ng-ời mà tất cả mọi ng-ời đều yêu

d) Không có ai yêu tất cả mọi ng-ời

e) Có một ng-ời mà Lan không yêu

f) Có một ng-ời mà không ai yêu

g) Mọi ng-ời đều yêu chính mình

h) Có đúng hai ng-ời mà Lan yêu

i) Có một ng-ời nào đó không yêu ai ngoài chính mình

15 Chứng minh rằng  x P x       Q x  và  xP x     xQ x   có cùng giá trị chân lý