Giáo trình bộ môn toán ứng dụng Vô cùng lớn - vô cùng bé liên tuc

Giáo trình bộ môn toán ứng dụng Vô cùng lớn - vô cùng bé liên tuc

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TOÁN 1 HK1 0708

• BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN LIÊN TỤC (SINH

VIÊN)

VÔ CÙNG BÉ

-  0

lim

0



 x x

x 

Đại lượng (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – vô cùng bé (VCB) khi x) – vô cùng bé (VCB) khi  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 :

VCB cơ bản (x) – vô cùng bé (VCB) khi  0): Lượng giác  x sin x ,1 cos x , tgx

Mũ, ln: e x  1, ln1 x Lũy thừa: 1 x  1 VD: 13x  1

x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 : Không quan trọng VCB x) – vô cùng bé (VCB) khi  :

x

1

VCB x) – vô cùng bé (VCB) khi  1: sin(x) – vô cùng bé (VCB) khi –1) …

VD:

x

x

c x

x

b x

a

x x

x







sin lim

/ sin

lim /

sin lim

/

0



(x) – vô cùng bé (VCB) khi ), (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – VCB khi x) – vô cùng bé (VCB) khi  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0

 (x) – vô cùng bé (VCB) khi )  (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) , (x) – vô cùng bé (VCB) khi )(x) – vô cùng bé (VCB) khi ): VCB  C(x) – vô cùng bé (VCB) khi )(x) – vô cùng bé (VCB) khi ): VCB

(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) VCB, C(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) bị chặn





SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ

-(x) – vô cùng bé (VCB) khi ), (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – VCB, x) – vô cùng bé (VCB) khi  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 và   

 x c

x x

 



0

VD: So sánh VCB: sin x,1 cos x, tgx

1/ c = 0 : (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – VCB cấp cao so với (x) – vô cùng bé (VCB) khi ): (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) = o((x) – vô cùng bé (VCB) khi ))

2/ c = : Ngược lại trường hợp c = 0  (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) = o((x) – vô cùng bé (VCB) khi ))

3/ c  0, c   : vô cùng bé cùng cấp

Cách nói khác: (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – VCB cấp thấp hơn

VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn VD: sin 2 x) – vô cùng bé (VCB) khi , x) – vô cùng bé (VCB) khi 3

Aùp dụng: So sánh 2 vô cùng bé x) – vô cùng bé (VCB) khi m , x) – vô cùng bé (VCB) khi n (m, n > 0) khi x) – vô cùng bé (VCB) khi  0

VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG)

-(x) – vô cùng bé (VCB) khi ), (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – VCB tương đương khi x) – vô cùng bé (VCB) khi  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0   

  1

lim

0



x x

x 



VD: Tìm hằng số C và  để: tgx  sin x ~ Cx , x  0

VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!)

2

~ cos

1 ,

~ tg ,

~ sin

2



x x

x x

VCB mũ, ln: e x  1 ~ x, ln1 x ~ x, x  0

VCB lũy thừa (căn): 1 x  1~ x, x  0 VD:

3

2

~ 2 1

x



DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN

-3 0

tg

sin lim

x

x

x

x





: VD

 ~ &  1 ~  1 khi x) – vô cùng bé (VCB) khi  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0     1 ~    1

x x

x

tg 2 1

ln lim

2 0





x

x

3 cos

ln lim

/



x) – vô cùng bé (VCB) khi có thể  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 bất kỳ VD: Tìm

x

x

x























3

2

2

Aùp dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn

 

 

 x

x x

x x

x

x x x

x x

x x

1 1

1

0 0

0 0

lim lim

~ ,

~





























Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)

Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)

QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ

-,  – VCB khác cấp   +  tương đương VCB cấp thấp hơn

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x) – vô cùng bé (VCB) khi ), (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – tổng VCB khác cấp

 lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)

3

2 cos

ln lim

x

x

x





x x

x x

x

tg 3 2

2

sin













































0

&

iff

~ ,

~

,

~























x x

g

f a

x x

g

a x

x f

Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &   0

x

x

x

x





lim

/

1

 















1

ln 1

1 lim

x

x x

x

x

VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL

-Hàm y = f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – vô cùng lớn (VCL) khi x) – vô cùng bé (VCB) khi  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 :   

 f x x

xlim0

 Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất

 Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim

So sánh VCL: f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ), g(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – VCL khi x) – vô cùng bé (VCB) khi  x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 và  giới hạn f/g

c x

g

x

f

x

)

( lim

0

VD: 3x2 4x 1 ~ 3x2

x 









a

x x

x

c  0, : f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ), g(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) – VCL cùng cấp

c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g

c = : f – VCL cấp cao hơn g Viết: f >> g

KẾT LUẬN

-Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):

 Dạng tích (thương)  Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn

   

 

   

 x h

x g x

f x

h

x g x

f

x x x

x

1

1 1

0 0

lim

lim



  với f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) ~ f 1 (x) – vô cùng bé (VCB) khi ), g(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) ~ g 1 (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) …

 Dạng tổng VCB khác cấp  Thay bằng VCB cấp thấp 1

 Dạng tổng VCB tổng quát f i (x) – vô cùng bé (VCB) khi )  Thay mỗi f i (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa: f i x ~ C i xi & C i xi 0

Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nhất

HÀM LIÊN TỤC

-Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục  x) – vô cùng bé (VCB) khi ác định

VD: Tìm a để hàm liên tục tại x) – vô cùng bé (VCB) khi = 0:

















0 ,

0 ,

sin

x a

x x

x y

 f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) x) – vô cùng bé (VCB) khi ác định tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0

   0

0

x





Hàm f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) liên tục tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 : Hàm liên tục/[a, b]  (C): đường liền

Gián đoạn!

VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:

1

1

tg

2









x

x

x y

a

x

x y

b / sin















1 ,

1

1

, )

(

/

x x

x

x x

f

sơ cấp!

LIÊN TỤC MỘT PHÍA

-Hàm f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) liên tục tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0  Liên tục trái & liên tục phải tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0

 

 

 0

0 0

x f

x









 



f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) liên tục phải tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 khi x) – vô cùng bé (VCB) khi ác định tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 và  

 

 0

0 0

x f

x









 



f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) liên tục trái tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 khi x) – vô cùng bé (VCB) khi ác định tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 và

Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt …  Khảo sát

VD: Khảo sát tính liên tục:

















1 ,

1

1

, 1

1 )

1

x

x e

x





x

PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN

-Hàm f x) – vô cùng bé (VCB) khi ác định & gián đoạn tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0  Không có

Hoặc  lim f  f(x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 ), hoặc lim –  lim + , hoặc  lim f: 3 trường hợp!

   0

0

x



Loại 1:

 Điểm khử được:    0

0

x





 Điểm nhảy: f  x f  x

x x x

0 0

lim lim

x x x

0 0

lim lim

x x x



0 0

lim

(Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía) f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) gián

đoạn tại x) – vô cùng bé (VCB) khi 0

VÍ DỤ

-Điểm x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại

 

















0 ,

0 ,

sin

x a

x x

x x

f

VÍ DỤ

- 

















0 ,

1

0 ,

sin

x

x x

x x

f

Điểm x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại

VÍ DỤ

-Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a

 

















0 ,

0 ,

1 sin

x a

x x

x

f

  a

f 0 

  a

f 0 

TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN

-f bị chặn trên [a, b]:  m, M

& m  f(x) – vô cùng bé (VCB) khi )  M  x) – vô cùng bé (VCB) khi  [a,

b]

f đạt GTLN, BN trên [a, b]:

 x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 , x) – vô cùng bé (VCB) khi 1  [a, b]: f(x) – vô cùng bé (VCB) khi 0 ) = m, …

f nhận mọi giá trị trung gian:

 k & GTBN  k  GTLN 

 c  [a, b]: f(c) = k

(Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) < 0

  c  (a, b) : f(c) = 0

Chú ý: Không thể thay đoạn bằng khoảng! Hàm y = f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) liên

tục trên đoạn [a, b]

VÍ DỤ

-2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm

x

x5 1

1/ Tìm a, b để hàm số

sau liên tục trên R  

 

























1 ,

1 0

,

0 ,

1 2

x x

x b

ax

x

x x

tại 0 & 1

a/ Bao nhiêu hàm số f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) x) – vô cùng bé (VCB) khi ác định trên R: f 2 (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) = 1  x) – vô cùng bé (VCB) khi  R b/ Bao nhiêu hàm số f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) liên tục trên R: f 2 (x) – vô cùng bé (VCB) khi ) = 1  x) – vô cùng bé (VCB) khi  R

f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) liên tục trên (0, 3) Để pt f(x) – vô cùng bé (VCB) khi ) = 0 có nghiệm trên (a, b):

a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2)