Giáo trình Cơ sở toán học

Giáo trình Cơ sở toán học

Bộ giáo dục và đào tạo

đại học huế trường đại học khoa học

L ` O . I N ´ OI D - ˆ ` U A

Nh˜u.ng ngu.`o.i m´o.i b˘a´t d¯ˆa` u nghiˆen c´u.u to´an ho.c thu.`o.ng ca’m thˆa´y kh´o xˆay

du. ng th´oi quen ph´at biˆe’u mˆo.t c´ach ch˘a.t ch˜e nh˜u.ng ´y kiˆe´n muˆo´n tr`ınh b`ay, kh´oho.c tˆa.p c´ac phu.o.ng ph´ap lˆa.p luˆa.n d¯´ung d¯˘a´n v`a kh´o n˘a´m d¯u.o c c´ac kh´ai niˆe.m co.ba’n cu’a to´an ho.c Nh˜u.ng kh´o kh˘an n`ay du.`o.ng nhu b˘a´t nguˆo`n t`u chˆo˜: mˆo.t l`akhˆong d¯u.o. c luyˆe.n tˆa.p vˆe` lˆogic to´an, mˆo.t chu’ d¯ˆe` nghiˆen c´u.u c´ach lˆa.p luˆa.n suydiˆe˜n ´ap du.ng v`ao viˆe.c ch´u.ng minh c´ac d¯i.nh l´y to´an ho.c; hai l`a do thiˆe´u c´ac kh´ainiˆe.m co ba’n v`a c´ac phu.o.ng ph´ap d`ung trong l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p m`a ng`ay naythu.`o.ng d¯u.o. c ´ap du.ng trong mo.i ng`anh to´an ho.c v`a d`ung l`am co so.’ d¯ˆe’ khai ph´av`a gia’i th´ıch c´ac kh´ai niˆe.m co ba’n cu’a to´an ho.c (nhu ´anh xa., quan hˆe., ); bal`a do khˆong n˘a´m d¯u.o c nh˜u.ng kh´ai niˆe.m co ba’n cu’a d¯a.i sˆo´ tr`u.u tu.o ng, mˆo.t chu’

d¯ˆ` d¯ang ph´e at triˆe’n ma.nh m˜e v`a c´o a’nh hu.o.’ng d¯ˆe´n mo.i ng`anh to´an ho.c kh´ac, cu.thˆe’ qua c´ac cˆa´u tr´uc d¯a.i sˆo´ cu’a c´ac tˆa.p ho p sˆ. o´ quen thuˆo.c (nhu tˆa.p c´ac sˆo´ tu nhiˆen, tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen, tˆa.p c´ac sˆo´ h˜u.u tı’, tˆa.p c´ac sˆo´ thu c v`a tˆa.p c´ac sˆo´ ph´u.c)

D- u.o c su d¯ˆo.ng viˆen ma.nh m˜e cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p trong c´ac Khoa Co.-Tin ho.c, Cˆong nghˆe Thˆong tin v`a Vˆa.t l´y (Tru.`o.ng D- a.i ho.c Khoa ho.c-D- a.i ho.cHuˆe´), c´ac Khoa To´an v`a Tin ho.c (Tru.`o.ng D- a.i ho.c Su pha.m-D- a.i ho.c Huˆe´) v`a

To´an-d¯˘a.c biˆe.t do nhu cˆa` u ho.c tˆa.p cu’a c´ac sinh viˆen trong D- a.i ho.c Huˆe´ o.’ c´ac Khoan´oi trˆen, ch´ung tˆoi ma.nh da.n viˆe´t gi´ao tr`ınh Co so.’ To´an ho.c, trong khi trˆen thi.

tru.`o.ng s´ach c´o kh´a nhiˆ` u t`e ai liˆe.u liˆen quan d¯ˆe´n ho.c phˆa` n n`ay (nhu.ng d¯u.o. c tr`ınhb`ay ta’n ma.n v`a r`o.i ra.c) D-iˆe`u m`a ch´ung tˆoi mong muˆo´n l`a c´ac kiˆe´n th´u.c cu’aho.c phˆa` n n`ay pha’i d¯u.o. c d¯u.a v`ao d¯ˆ` y d¯u’, cˆa o d¯o.ng, ch´ınh x´ac, cˆa.p nhˆa.t v`a b´ams´at theo yˆeu cˆ` u d¯`a ao ta.o sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Vˆa.t l´y, Cˆong nghˆe Thˆong tinv`a mˆo.t sˆo´ ng`anh k˜y thuˆa.t kh´ac cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c v`a cao d¯˘a’ng V´o.i su nˆo’

lu. c hˆe´t m`ınh cu’a ba’n thˆan, ch´ung tˆoi thiˆe´t ngh˜ı d¯ˆay c`on l`a t`ai liˆe.u tham kha’o

tˆo´t cho c´ac gi´ao viˆen gia’ng da.y ho.c phˆa` n Nhˆa.p mˆon D- a.i sˆo´ hay Co so.’ To´an ho.c

Nˆo.i dung cu’a t`ai liˆe.u n`ay d¯u.o c bˆo´ tr´ı trong 6 chu.o.ng Trong c´ac phˆa`n cu’a

mˆo˜i chu.o.ng c´o nhiˆe` u th´ı du cu thˆe’ minh hoa cho nh˜u.ng kh´ai niˆe.m c˜ung nhu.nh˜u.ng kˆe´t qua’ cu’a ch´ung Cuˆo´i cu’a mˆo˜i chu.o.ng l`a nh˜u.ng b`ai tˆa.p d¯u.o c cho.n lo.ct`u dˆe˜ d¯ˆe´n kh´o b´am theo nˆo.i dung cu’a chu.o.ng d¯´o v`a liˆe` n sau d¯´o l`a c´ac l`o.i gia’icu’a ch´ung D- ´o l`a c´ac chu.o.ng vˆe` Lˆ ogic to´ an v` a tˆ a.p ho p, . Anh xa., Quan hˆe., Sˆo´ tu ´ . nhiˆ en v` a sˆ o´ nguyˆ en, Sˆ o´ h˜ u.u tı’, sˆ o´ thu c v` a sˆ o´ ph´ u.c, D - a th´u.c.

Ch´ung tˆoi xin chˆan th`anh c´am o.n c´ac d¯ˆ`ng nghiˆe.p d¯˜a d¯ˆo.ng viˆen v`a g´op ´yocho cˆong viˆe.c viˆe´t gi´ao tr`ınh Co so.’ To´an ho.c n`ay v`a l`o.i c´am o.n d¯˘a.c biˆe.t xin

d`anh cho Khoa To´an-Co.-Tin ho.c (Tru.`o.ng D- a.i ho.c Khoa ho.c-D- a.i ho.c Huˆe´) vˆe` su gi´up d¯˜o qu´y b´au v`a ta.o d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n lo i cho viˆe.c xuˆa´t ba’n gi´ao tr`ınh n`ay

T´ac gia’ mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p v`a d¯ˆo.c gia’ vˆe`nh˜u.ng thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach.

Cˆ o´ D - ˆo Huˆe´, ˆ A ´t Dˆa.u Tro.ng D-ˆong (2005)

Nguyˆ ˜n Gia D e - i.nh

CHU . O . NG I:

L ˆ OGIC TO ´ AN V ` A T ˆ A P HO P .

1.1 L ˆ OGIC TO ´ AN.

1.1.1 Mˆ e.nh d¯ˆe ` v` a c´ ac ph´ ep to´ an lˆ ogic:

1.1.1.1 Mˆ e.nh d¯ˆe ` : Mˆe.nh d¯ˆe` l`a mˆo.t cˆau pha’n ´anh mˆo.t d¯iˆe` u d¯´ung ho˘a.c sai, ch´u.khˆong pha’i v`u.a d¯´ung v`u.a sai

Th´ ı du :

1) Sˆo´ 35 chia hˆe´t cho 5: mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

2) M˘a.t tr`o.i quay quanh tr´ai d¯ˆa´t: mˆe.nh d¯ˆe` sai

3) Tam gi´ac ABC c´o 3 g´oc vuˆong: mˆe.nh d¯ˆe` sai

4) 2 < 5: mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

C´ac cˆau ho’i, cˆau ca’m th´an, cˆau mˆe.nh lˆe.nh, v`a n´oi chung c´ac cˆau khˆongnh˘a`m pha’n ´anh t´ınh d¯´ung sai cu’a thu. c tˆe´ kh´ach quan d¯ˆ` u khˆe ong d¯u.o. c coi l`a

D- ˆe’ chı’ c´ac mˆe.nh d¯ˆe` chu.a x´ac d¯i.nh, ta d`ung c´ac ch˜u c´ai: p, q, r, v`a go.i

ch´ung l`a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯ˆe` Ta quy u.´o.c viˆe´t p = 1 khi p l`a mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung v`a

p = 0 khi p l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai C´ac gi´a tri 0 v`a 1 go.i l`a c´ac gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac

mˆe.nh d¯ˆe`

George Boole d¯˜a nghiˆen c´u.u phu.o.ng ph´ap ta.o ra c´ac mˆe.nh d¯ˆe` m´o.i b˘a`ngc´ach tˆo’ ho. p t`u mˆo.t ho˘a.c nhiˆe` u mˆe.nh d¯ˆe` d¯˜a c´o C´ac mˆe.nh d¯ˆe` m´o.i d¯u.o. c go.i l`ac´ac mˆe.nh d¯ˆe` ph´u.c ho. p, ch´ung d¯u.o. c ta.o ra t`u c´ac mˆe.nh d¯ˆe` hiˆe.n c´o b˘a`ng c´achd`ung c´ac ph´ep to´an lˆogic

1.1.1.2 Ph´ ep phu’ d ¯i.nh: Phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe` p , k´y hiˆe.u l`a p, d¯o.c l`a “khˆong

p”, l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai khi p d¯´ung v`a d¯´ung khi p sai.

Ph´ep phu’ d¯i.nh trong lˆogic mˆe.nh d¯ˆe` ph`u ho. p v´o.i ph´ep phu’ d¯i.nh trong ngˆonng˜u thˆong thu.`o.ng, ngh˜ıa l`a ph`u ho. p v´o.i ´y ngh˜ıa cu’a t`u “khˆong” (“khˆong pha’i”)

Th´ ı du : 1) p: “9 l`a mˆo.t sˆo´ le’” (D- ), p: “9 khˆong l`a mˆo.t sˆo´ le’” (S).

2) p: “v´o.i mo.i sˆo´ thu c x, y, (x + y). 2 < 0” (S), p: “tˆ`n ta.i sˆo´ thu co

x, y, (x + y)2 ≥ 0” (D- )

1.1.1.3 Ph´ ep hˆ o i: Hˆo.i cu’a hai mˆe.nh d¯ˆe` p, q, k´y hiˆe.u l`a p ∧ q, d¯o.c l`a “p v`a q”,

l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung khi ca’ p lˆa˜n q c`ung d¯´ung v`a sai trong c´ac tru.`o.ng ho. p c`onla.i

Ph´ep hˆo.i ph`u ho p v´. o.i ´y ngh˜ıa cu’a liˆen t`u “v`a” cu’a ngˆon ng˜u thˆong thu.`o.ng.

Th´ ı du : 1) p: “2 l`a sˆo´ nguyˆen tˆo´” (D- ) v`a q: “2 l`a sˆo´ ch˜an” (D - ) th`ı p ∧ q: “2 l`a

sˆo´ nguyˆen tˆo´ v`a l`a ch˘a˜n” (D- )

2) Mˆe.nh d¯ˆe` “Sˆo´ π l´o.n 3 v`a l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u tı’” (S) l`a hˆo.i cu’a hai mˆe.nh d¯ˆe`

“Sˆo´ π l´o.n ho.n 3” (D- ) v`a “Sˆo´ π l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u tı’” (S).

1.1.1.4 Ph´ ep tuyˆ e’n: Tuyˆe’n cu’a hai mˆe.nh d¯ˆe` p, q, k´y hiˆe.u p ∨ q, d¯o.c l`a “p

ho˘a.c q”, l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe ` sai khi ca’ p lˆa˜n q d¯ˆe` u sai v`a d¯´ung trong mo.i tru.`o.ng

ho. p c`on la.i

Ph´ep tuyˆe’n ´u.ng v´o.i liˆen t`u “ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıakhˆong loa.i tr`u., c´o ngh˜ıa l`a mˆe.nh d¯ˆe` “p ho˘a.c q” d¯´ung khi v`a chı’ khi ´ıt nhˆa´t mˆo.t

trong hai mˆe.nh d¯ˆe` p v` a q d¯´ung

Th´ ı du : 1) p: “3 nho’ ho.n 5” (D- ) v`a q: “3 b˘a`ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho’ ho.n

ho˘a.c b˘a`ng 5” (D- ).

2) p: “Paris l`a thu’ d¯ˆo nu.´o.c Anh” (S) v`a q: “6 l´ o.n ho.n 8” (S) th`ı p ∨ q:

“Paris l`a thu’ d¯ˆo nu.´o.c Anh ho˘a.c 6 l´o.n ho.n 8” (S)

1.1.1.5 Ph´ ep tuyˆ e’n loa i: Tuyˆe’n loa.i cu’a hai mˆe.nh d¯ˆe` p, q, k´y hiˆe.u p ⊕ q, d¯o.c

l`a “p ho˘ a.c q (nhu.ng khˆong ca’ hai)”, l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung khi chı’ c´o mˆo.t tronghai mˆe.nh d¯ˆe` p v` a q l`a d¯´ung v`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho p c`on la.i

Ph´ep tuyˆe’n loa.i ´u.ng v´o.i liˆen t`u “ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u thˆong thu.`o.ng theongh˜ıa loa.i tr`u

Th´ ı du : p: “ √2 l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u tı’” (S) v`a q: “ √2 l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’” (D- ) th`ı p ⊕ q:

“√2 l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u tı’ ho˘a.c l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’” (D-)

1.1.1.6 Ph´ ep k´ eo theo: Mˆe.nh d¯ˆe` k´eo theo p ⇒ q, d¯o.c l`a “p k´eo theo q” hay

”nˆe´u p th`ı q”, l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` sai khi p d¯´ung v`a q sai v`a d¯´ung trong c´ac tru.`o.ng

– “p l`a d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u’ d¯ˆe’ c´o q”,e

– “q l`a d¯iˆ` u kiˆe.n cˆae ` n d¯ˆe’ c´o p”.

Th´ ı du : 1) “Nˆe´u hˆom nay tr`o.i n˘a´ng, ch´ung tˆoi s˜e d¯i ra b˜ai biˆe’n” l`a mˆo.t mˆe.nh

d¯ˆ` k´eo theo v`e a d¯u.o. c xem l`a d¯´ung tr`u phi hˆom nay tr`o.i thu. c su n˘. a´ng, nhu.ngch´ung tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai biˆe’n

2) “Nˆe´u hˆom nay l`a th´u hai th`ı 3 + 5 = 7” l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` k´eo theo v`a l`a

d¯´ung v´o.i mo.i ng`ay tr`u th´u hai

Trong suy luˆa.n to´an ho.c, ch´ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆo.c loa.i tˆo’ngqu´at ho.n trong ngˆon ng˜u thˆong thu.`o.ng Kh´ai niˆe.m to´an ho.c vˆe` ph´ep k´eo theo

d¯ˆo.c lˆa.p v´o.i mˆo´i quan hˆe nhˆan - qua’ gi˜u.a gia’ thiˆe´t v`a kˆe´t luˆa.n

Khˆong may, cˆa´u tr´uc nˆe´u - th`ı d¯u.o. c d`ung trong nhiˆ` u ngˆe on ng˜u lˆa.p tr`ınhla.i kh´ac v´o.i cˆa´u tr´uc d¯u.o c d`ung trong lˆogic to´an D-a sˆo´ c´ac ngˆon ng˜u lˆa.p tr`ınhch´u.a nh˜u.ng cˆau lˆe.nh nhu nˆe´u p th`ı S (if p then S), trong d¯´o p l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe`

c`on S l`a mˆo.t d¯oa.n chu.o.ng tr`ınh (gˆo`m mˆo.t ho˘a.c nhiˆe`u lˆe.nh cˆa`n pha’i thu c hiˆe.n).Khi thu. c hiˆe.n mˆo.t chu.o.ng tr`ınh g˘a.p nh˜u.ng cˆa´u tr´uc nhu vˆa.y, S s˜e d¯u.o c thu c

hiˆe.n nˆe´u p l`a d¯´ung, trong khi d¯´o S s˜e khˆong d¯u o c thu c hiˆe.n nˆe´u p l`a sai.

1.1.1.7 Ph´ ep tu.o.ng d ¯u.o.ng: Mˆe.nh d¯ˆe` “p tu.o.ng d¯u.o.ng q”, k´y hiˆe.u l`a p ⇔ q,

l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung khi p v` a q c´o c`ung gi´a tri chˆan l´y v`a sai trong c´ac tru.`o.ng

Ta s˜e d`ung c´ac k´y hiˆe.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ac ph´ep to´an

−, ∧, ∨, ⊕ nhu thu.`o.ng d¯u.o. c l`am trong c´ac ngˆon ng˜u lˆa.p tr`ınh kh´ac nhau

Thˆong tin thu.`o.ng d¯u.o. c biˆe’u diˆe˜n b˘a`ng c´ach d`ung c´ac xˆau bit, d¯´o l`a d˜ayc´ac sˆo´ 0 v`a 1 Khi d¯˜a l`am nhu thˆe´, c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ung c´o thˆe’

d¯u.o. c d`ung d¯ˆe’ thao t´ac c´ac thˆong tin d¯´o Ta c´o thˆe’ mo.’ rˆo.ng c´ac ph´ep to´an bitt´o.i c´ac xˆau bit Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit d¯ˆo´i v´o.i hai xˆau

bit c´o c`ung chiˆ` u d`e ai l`a c´ac xˆau c´o c´ac bit cu’a ch´ung l`a c´ac OR, AND v`a XORcu’a c´ac bit tu.o.ng ´u.ng trong hai xˆau tu.o.ng ´u.ng.

1.1.2 Su tu o.ng d¯u.o.ng lˆogic cu’a c´ac cˆong th´u.c:

Trong lˆogic mˆe.nh d¯ˆe` , ngu.`o.i ta d¯u.a ra kh´ai niˆe.m cˆong th´u.c, tu.o.ng tu nhu.kh´ai niˆe.m biˆe’u th´u.c trong to´an ho.c

1.1.2.1 D - i.nh ngh˜ıa:

1) C´ac biˆe´n mˆe.nh d¯ˆe` p, q, r, l`a c´ac cˆong th´u.c,

2) Nˆe´u P, Q l`a c´ac cˆong th´u.c th`ı P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l`ac´ac cˆong th´u.c,

3) Chı’ chˆa´p nhˆa.n c´ac cˆong th´u.c d¯u.o c th`anh lˆa.p b˘a`ng viˆe.c ´ap du.ng mˆo.t sˆo´h˜u.u ha.n c´ac quy t˘a´c 1)-2)

1.1.2.2 D- i.nh ngh˜ıa: Cˆong th´u.c A go.i l`a h˘a`ng d¯´ung nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri 1 v´o.i

mo.i hˆe gi´a tri chˆan l´y c´o thˆe’ c´o cu’a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯ˆe` c´o m˘a.t trong A.

Cˆong th´u.c A go.i l`a h˘a`ng sai nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri 0 v´o.i mo.i hˆe gi´a tri chˆan l´yc´o thˆe’ c´o cu’a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯ˆe` c´o m˘a.t trong A Khi d¯´o ta go.i A l`a mˆo.t mˆau

thuˆa’n

Mˆo.t cˆong th´u.c khˆong pha’i l`a h˘a`ng d¯´ung, c˜ung khˆong pha’i l`a mˆau thuˆa’n

d¯u.o. c go.i l`a tiˆe´p liˆen

1.1.2.3 D- i.nh ngh˜ıa: Hai cˆong th´u.c A v`a B d¯u.o c go.i l`a tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic,

k´y hiˆe.u A ≡ B, nˆe´u A ⇔ B l`a mˆo.t h˘a`ng d¯´ung Hˆe th´u c A ≡ B c`on d¯u.o c go.i l`a

mˆo.t d¯˘a’ng th´u.c

1.1.2.4 C´ ac tu.o.ng d ¯u.o.ng lˆ ogic co ba’n:

1) Luˆa.t d¯ˆo`ng nhˆa´t:

4) Luˆa.t phu’ d¯i.nh k´ep:

1.1.3 Suy luˆ a n to´ an ho c:

1.1.3.1 Suy luˆ a n diˆ e ˜n di.ch: Suy luˆa.n l`a r´ut ra mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` m´o.i t`u mˆo.t hay

nhiˆ` u mˆe.nh d¯ˆee ` d¯˜a c´o

Phˆan t´ıch c´ac suy luˆa.n trong ch´u.ng minh to´an ho.c, ngu.`o.i ta thˆa´y mˆo˜i ch´u.ngminh bao gˆ`m mˆo o.t sˆo´ h˜u.u ha.n bu.´o.c suy luˆa.n d¯o.n gia’n Trong mˆo˜i bu.´o.c suyluˆa.n d¯o.n gia’n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆa`m” vˆa.n du.ng mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´at d¯ˆe’t`u c´ac mˆe.nh d¯ˆe` d¯˜a d¯u.o. c th`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung (tiˆen d¯ˆe` , d¯i.nh l´y, d¯i.nh ngh˜ıa, gia’thiˆe´t) c´o thˆe’ r´ut ra mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` m´o.i Ngu.`o.i ta go.i c´ac mˆe.nh d¯ˆe` xuˆa´t ph´at d¯˜a

d¯u.o. c th`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung l`a c´ac tiˆe` n d¯ˆe` , c`on mˆe.nh d¯ˆe` m´o.i d¯u.o. c r´ut ra (nh`o vˆa.ndu.ng c´ac quy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´at) go.i l`a hˆe qua’ lˆogic cu’a c´ac tiˆe` n d¯ˆe` Ph´epsuy luˆa.n nhu thˆe´ go.i l`a suy luˆa.n diˆe˜n di.ch hay go.i t˘a´t l`a suy diˆe˜n

1.1.3.2 D- i.nh ngh˜ıa: Gia’ su.’ A1, A2, , A n , B l`a nh˜u.ng cˆong th´u.c Nˆe´u tˆa´tca’ c´ac hˆe gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯ˆe` c´o m˘a.t trong c´ac cˆong th´u.c d¯´ol`am cho A1, A2, , A n nhˆa.n gi´a tri 1 c˜ung d¯ˆo`ng th`o.i l`am cho B nhˆa.n gi´a tri 1,t´u.c l`a A1∧ A2 ∧ ∧ A n ⇒ B l`a mˆo.t cˆong th´u.c h˘a`ng d¯´ung, th`ı ta go.i B l`a hˆe.

qua’ lˆogic cu’a A1, A2, , A n Khi d¯´o ta c˜ung n´oi r˘a`ng c´o mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.nt`u c´ac tiˆ` n d¯ˆee ` A1, A2, , A n t´o.i hˆe qua’ lˆogic B cu’a ch´ung.

Quy t˘a´c suy luˆa.n d¯´o d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a:

1) Cho: Nˆe´u tr`o.i mu.a (p) th`ı sˆan u.´o.t (q) (d¯´ung)

2) Cho: Nˆe´u hai g´oc d¯ˆo´i d¯ı’nh (p) th`ı b˘a`ng nhau (q) (d¯´ung)

b

A v`a bB khˆong b˘a`ng nhau (d¯´ung)

Kˆe´t luˆa.n: bA v`a bB khˆong d¯ˆo´i d¯ı’nh (d¯´ung)

3) Cho: Mo.i h`ınh vuˆong d¯ˆe` u l`a h`ınh thoi (p ⇒ q) (d¯´ung)

Mo.i h`ınh thoi c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (q ⇒ r) (d¯´ung)

Kˆe´t luˆa.n: Mo.i h`ınh vuˆong d¯ˆe` u c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯´ung)

1.1.3.4 Suy luˆ a n nghe c´ o l´ y: Suy luˆa.n nghe c´o l´y l`a suy luˆa.n khˆong theo mˆo.tquy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´at n`ao d¯ˆe’ t`u nh˜u.ng tiˆe` n d¯ˆe` d¯˜a c´o, r´ut ra d¯u.o. c mˆo.t kˆe´tluˆa.n x´ac d¯i.nh Nˆe´u c´ac tiˆe` n d¯ˆe` d¯ˆe` u d¯´ung th`ı kˆe´t luˆa.n r´ut ra khˆong ch˘a´c ch˘a´n

d¯´ung, m`a chı’ c´o t´ınh chˆa´t du. d¯o´an, gia’ thuyˆe´t

Trong to´an ho.c c´o hai kiˆe’u suy luˆa.n nghe c´o l´y thu.`o.ng d`ung, d¯´o l`a

– Ph´ep quy na.p khˆong ho`an to`an,

D- ˆay l`a mˆo.t th´ı du vˆe` ph´ep suy luˆa.n b˘a`ng tu.o.ng tu

2) C´ac sˆo´ 220 + 1, 221 + 1, 222 + 1, 223 + 1, 224 + 1 l`a nh˜u.ng sˆo´ nguyˆen tˆo´

Kˆe´t luˆa.n: v´o.i mo.i sˆo´ tu nhiˆen n, sˆo´ 22n + 1 l`a sˆo´ nguyˆen tˆo´

D- ˆay l`a lˆo´i suy luˆa.n quy na.p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo.’i Fermat 1665) sau khi d¯˜a kiˆe’m nghiˆe.m v´o.i c´ac sˆo´ n = 0, 1, 2, 3, 4 Nhu.ng sau d¯´o Euler d¯˜a

(1601-chı’ ra r˘a`ng v´o.i n = 5, kh˘a’ng d¯i.nh n`ay khˆong d¯´ung, ngh˜ıa l`a 225 + 1 khˆong l`a sˆo´nguyˆen tˆo´

3) 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, Kˆe´t luˆa.n: mo.i sˆo´nguyˆen du.o.ng ch˘a˜n l´o.n ho.n 4 l`a tˆo’ng cu’a hai sˆo´ nguyˆen tˆo´

Mˆe.nh d¯ˆe` n`ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach D- ˆay l`a mˆo.t trong nhiˆe` u kh˘a’ng

d¯i.nh trong to´an ho.c chu.a d¯u.o c ch´u.ng minh

4) Phu.o.ng tr`ınh x3 + y3 = z3 khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen, phu.o.ng tr`ınh

x4+ y4 = z4 khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen Kˆe´t luˆa.n: phu.o.ng tr`ınh x n + y n = z n

khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen v´o.i mo.i sˆo´ nguyˆen n > 2.

Mˆe.nh d¯ˆe` n`ay d¯u.o. c nˆeu ra bo.’ i Fermat n˘am 1637, go.i l`a “d¯i.nh l´y cuˆo´i c`ungcu’a Fermat” M˜ai d¯ˆe´n th´ang 5 n˘am 1995, mˆe.nh d¯ˆe` n`ay m´o.i d¯u.o. c ho`an to`anch´u.ng minh xong bo.’ i nh`a to´an ho.c ngu.`o.i Anh tˆen l`a Wiles

To´an ho.c l`a khoa ho.c cu’a suy luˆa.n diˆe˜n di.ch Tˆa´t ca’ c´ac vˆa´n d¯ˆe` trong to´anho.c chı’ d¯u.o c tr`ınh b`ay b˘a`ng c´ac suy luˆa.n diˆe˜n di.ch Tuy nhiˆen, trong qu´a tr`ınhph´at minh, s´ang ta.o to´an ho.c, l´y luˆa.n diˆe˜n di.ch g˘a´n ch˘a.t v´o.i c´ac suy luˆa.n nghec´o l´y Ta d`ung quy na.p khˆong ho`an to`an hay tu.o.ng tu d¯ˆe’ nˆeu ra c´ac gia’ thuyˆe´t.Sau d¯´o m´o.i ch´u.ng minh c´ac gia’ thuyˆe´t n`ay b˘a`ng diˆe˜n di.ch

1.1.4 C´ ac phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh:

1.1.4.1 Ch´ u.ng minh l` a g` ı? Trong suy luˆa.n diˆe˜n di.ch, nˆe´u t`u c´ac tiˆe` n d¯ˆe`

A1, A2, , A n, ta r´ut ra kˆe´t luˆa.n B b˘a`ng c´ach vˆa.n du.ng nh˜u.ng quy t˘a´c suyluˆa.n tˆo’ng qu´at th`ı ta n´oi B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a c´ac tiˆe` n d¯ˆe` A1, A2, , A n v`asuy luˆa.n d¯´o l`a ho p lˆ. ogic Nˆe´u tˆa´t ca’ c´ac tiˆ` n d¯ˆee ` A1, A2, , A n d¯ˆ` u d¯´e ung th`ı

ta go.i kˆe´t luˆa.n lˆogic B l`a mˆo.t kˆe´t luˆa.n ch´u.ng minh v`a go.i suy luˆa.n d¯´o l`a mˆo.tch´u.ng minh

Phˆan t´ıch c´ac ch´u.ng minh to´an ho.c ta thˆa´y mˆo˜i ch´u.ng minh gˆo`m mˆo.t sˆo´h˜u.u ha.n bu.´o.c, mˆo˜i bu.´o.c l`a mˆo.t suy luˆa.n diˆe˜n di.ch trong d¯´o ta vˆa.n du.ng mˆo.tquy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´at Nhu vˆa.y, mˆo.t ch´u.ng minh to´an ho.c gˆo`m ba bˆo phˆa.n

cˆa´u th`anh:

1) Luˆ a n d ¯ˆ ` , t´ e u.c l`a mˆe.nh d¯ˆe` cˆ` n ch´a u.ng minh

2) Luˆ a n c´ u., t´u.c l`a nh˜u.ng mˆe.nh d¯ˆe` d¯u.o c th`u.a nhˆa.n (d¯i.nh ngh˜ıa, tiˆe` n d¯ˆe` ,

d¯i.nh l´y, gia’ thiˆe´t) d¯u.o c lˆa´y l`am tiˆe`n d¯ˆe` trong mˆo˜i suy luˆa.n

3) Luˆ a n ch´ u.ng, t´u.c l`a nh˜u.ng quy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´at d¯u.o c vˆa.n du.ngtrong mˆo˜i bu.´o.c suy luˆa.n cu’a ch´u.ng minh

1.1.4.2 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh tru c tiˆ e ´p: Khi ta ch´u.ng minh mˆe.nh d¯ˆe`

B b˘a`ng c´ach va.ch r˜o B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a nh˜u.ng tiˆe` n d¯ˆe` d¯´ung A1, A2, , A n,ngh˜ıa l`a B l`a mˆo.t kˆe´t luˆa.n ch´u.ng minh th`ı ta n´oi l`a d¯˜a ch´u.ng minh tru c tiˆe´p

1.1.4.3 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh t` ım pha’n th´ ı du : Gia’ su’ ta cˆ. ` n ch´a u.ngminh mˆe.nh d¯ˆe` p sai Nˆe´u ta t`ım d¯u.o c mˆe.nh d¯ˆe ` q, tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t cu’a p l`a

sai Khi d¯´o q d¯´ung v`a p ⇒ q l`a d¯´ung Do d¯´o theo quy t˘a´c kˆe´t luˆa.n ngu.o c th`ı p

l`a d¯´ung T`u d¯´o p l`a sai

Th´ ı du : Cho m v` a n l`a nh˜u.ng sˆo´ kh´ac khˆong bˆa´t k`y Ch´u.ng minh r˘a`ng n + m <

nm l`a khˆong d¯´ung Chı’ cˆ` n lˆa a´y n = m = 1 th`ı 1 + 1 = 2 > 1.1.

1.1.4.4 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh pha’n d ¯a’o: Gia’ su.’ ta cˆ` n ch´a u.ng minh

p ⇒ q Nˆe´u ta ch´u.ng minh d¯u.o. c q ⇒ p th`ı theo quy t˘a´c pha’n d¯a’o, ta c´o p ⇒ q

d¯´ung Nhu vˆa.y, d¯ˆe’ ch´u.ng minh p ⇒ q, ta c´o thˆe’ chuyˆe’n sang ch´u.ng minh q ⇒ p

l`a d¯u’

Th´ ı du : Cho a l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u tı’ kh´ac 0 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u b l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’ th`ı ab c˜ung l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’

Ta viˆe´t a = m

n, v´o.i m, n l`a hai sˆo´ nguyˆen kh´ac 0 Nˆe´u ab l`a sˆo´ h˜u.u tı’ th`ı ta

c´o thˆe’ viˆe´t ab = k

l v´o.i k, l l`a hai sˆo´ nguyˆen v`a l 6= 0 Khi d¯´o b =

v`a suy ra b l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u tı’

1.1.4.5 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh pha’n ch´ u.ng: Co so.’ lˆogic cu’a phu.o.ngph´ap ch´u.ng minh pha’n ch´u.ng l`a nhu sau: muˆo´n ch´u.ng minh mˆe.nh d¯ˆe` p l`a d¯´ung,

ta gia’ thiˆe´t p l`a sai, t´u.c l`a p l`a d¯´ung Sau d¯´o ta ch´u.ng minh r˘a`ng p ⇒ q l`a d¯´ungv`a q l`a d¯´ung Do d¯´o theo quy t˘a´c pha’n ch´u.ng th`ı p l`a d¯´ung D- iˆe` u n`ay dˆa˜n d¯ˆe´n

mˆau thuˆa’n (luˆa.t b`ai trung)

Th´ ı du : Ch´u.ng minh r˘a`ng u.´o.c sˆo´ tu. nhiˆen nho’ nhˆa´t kh´ac 1 cu’a mˆo.t sˆo´ tu nhiˆ. enl´o.n ho.n 1 l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´.

Gia’ su.’ k l`a u.´o.c tu. nhiˆen nho’ nhˆa´t kh´ac 1 cu’a sˆo´ tu. nhiˆen n (n > 1) v` a k

khˆong l`a sˆo´ nguyˆen tˆo´ Do d¯´o tˆ`n ta.i u.´o.c sˆo´ m cu’a k sao cho 1 < m < k Nhu.ngokhi d¯´o m c˜ung l`a mˆo.t u.´o.c sˆo´ cu’a n D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa’n v´o.i k l`a u.´o.c tu. nhiˆennho’ nhˆa´t kh´ac 1 cu’a n.

1.1.4.6 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh x´ et tˆ a ´t ca’ c´ ac tru.` o.ng ho p: Trong

to´an ho.c, d¯ˆe’ ch´u.ng minh mˆe.nh d¯ˆe` n`ao d¯´o l`a d¯´ung, ta c´o thˆe’ x´et n´o trong tˆa´t ca’c´ac tru.`o.ng ho. p c´o thˆe’ c´o

Th´ ı du : Ch´u.ng minh r˘a`ng t´ıch cu’a 3 sˆo´ nguyˆen liˆen tiˆe´p chia hˆe´t cho 3

V´o.i n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen, ta viˆe´t n = 3q + r v´o i q l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen v`a

r = 0, 1, 2.

a) r = 0 : n = 3q hay n chia hˆe´t cho 3, khi d¯´o n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho3

b) r = 1 : n = 3q + 1 hay n + 2 = 3(q + 1) hay n + 2 chia hˆe´t cho 3, khi d¯´o

n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho 3

c) r = 2 : n = 3q + 2 hay n + 1 = 3(q + 1) hay n + 1 chia hˆe´t cho 3,

n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho 3

1.1.4.6 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh quy na p: Phu.o.ng ph´ap n`ay s˜e d¯u.o ctr`ınh b`ay trong Chu.o.ng IV vˆ` “Sˆe o´ nguyˆen v`a sˆo´ tu. nhiˆen”

1.2 T ˆ A P HO P. .

1.2.1 Tˆ a p ho p v` . a c´ ach x´ ac d ¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p: .

1.2.1.1 Kh´ ai niˆ e.m tˆ a p ho p: Nh˜ . u.ng d¯ˆo´i tu.o. ng d¯u.o. c tu tˆa.p do mˆo.t t´ınh chˆa´tchung n`ao d¯´o th`anh lˆa.p mˆo.t tˆa.p ho p D. - ˆay khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa m`a chı’l`a mˆo.t su mˆ. o ta’ cho ta mˆo.t h`ınh a’nh tru c quan cu’a kh´. ai niˆe.m d¯´o

Su. mˆo ta’ mˆo.t tˆa.p ho p c´. ac d¯ˆo´i tu.o. ng du a trˆ. en mˆo.t kh´ai niˆe.m tru c quan vˆ. `e

mˆo.t d¯ˆo´i tu.o ng n`ao d¯´o d¯˜a d¯u.o c nh`a to´an ho.c ngu.`o.i D-´u.c Georg Cantor d¯u.a ra

lˆ` n d¯ˆa ` u tiˆen v`a ao n˘am 1895 L´y thuyˆe´t h`ınh th`anh t`u kh´ai niˆe.m tru c quan d. ¯´ocu’a tˆa.p ho p d. ¯˜a dˆa˜n d¯ˆe´n nh˜u.ng nghi.ch l´y ho˘a.c c´ac mˆau thuˆa’n lˆogic nhu nh`a triˆe´tho.c ngu.`o.i Anh Bertrand Russell d¯˜a chı’ ra n˘am 1902 Nh˜u.ng mˆau thuˆa’n lˆogic

d¯´o c´o thˆe’ tr´anh d¯u.o. c b˘a`ng c´ach xˆay du ng mˆo.t l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p xuˆa´t ph´at t`u.nh˜u.ng gia’ thiˆe´t co ba’n, go.i l`a c´ac tiˆen d¯ˆe` Tuy nhiˆen, ch´ung ta s˜e d`ung phiˆenba’n ban d¯ˆ` u cu’a Cantor, d¯u.o.a c go.i l`a l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p ngˆ. ay tho., ch´u khˆongph´at triˆe’n phiˆen ba’n tiˆen d¯ˆ` cu’a l´e y thuyˆe´t n`ay, bo.’ i v`ı tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p ho p d. ¯u.o. cxem x´et trong t`ai liˆe.u n`ay c´o thˆe’ xu’ l´. y phi mˆau thuˆa’n b˘a`ng c´ach d`ung l´y thuyˆe´tban d¯ˆ` u cu’a Cantor.a

C´ac vˆa.t hay d¯ˆo´i tu.o ng th`anh lˆa.p mˆo.t tˆa.p ho p go.i l`a c´ac phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p

ho. p d¯´o

Trong ngˆon ng˜u thˆong thu.`o.ng, ngu.`o.i ta d`ung nh˜u.ng t`u nhu.: nh´om, to`anthˆe’, tˆa.p thˆe’, ch`um, bˆa` y, d¯`an, d¯ˆe’ n´oi vˆ` mˆe o.t tˆa.p ho p n`. ao d¯´o.

Mˆo.t tˆa.p ho p thu. .`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i c´ac ch˜u c´ai in hoa: A, B, C, D,

E, X, Y , Z, Phˆ` n tu.a ’ cu’a tˆa.p ho p thu. `o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i c´ac ch˜u c´ai inthu.`o.ng: a, b, c, d, x, y, z,

Th´ ı du :

1) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen, k´y hiˆe.u N

2) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen, k´y hiˆe.u Z

3) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ h˜u.u tı’, k´y hiˆe.u Q

4) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ thu. c, k´y hiˆe.u R

5) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ ph´u.c, k´y hiˆe.u C

6) Tˆa.p ho p c´. ac d¯iˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng

7) Tˆa.p ho p c´. ac nghiˆe.m thu c cu’a phu. .o.ng tr`ınh sin 3x − sin x + sin 2x = 0.

8) Tˆa.p ho p c´. ac sinh viˆen n˘am th´u nhˆa´t ng`anh tin ho.c cu’a tru.`o.ng D- a.i ho.cKhoa ho.c

K´ y hiˆ e.u:

– D- ˆe’ chı’ a l`a mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p ho p A, ta viˆe´t a ∈ A v`a d¯o.c l`a “a thuˆo.c

A” hay “a l`a phˆ` n tu.a ’ cu’a tˆa.p ho p A”..

– D- ˆe’ chı’ b khˆong pha’i l`a mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p ho p A, ta viˆe´t b /∈ A ho˘a.c

b∈A v`a d¯o.c l`a “b khˆong thuˆo.c A” ho˘a.c “b khˆong pha’i l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p

1 Liˆ e.t kˆe tˆ a ´t ca’ c´ ac phˆ ` n tu a ’ cu’a tˆ a p ho p: Theo c´ . ach n`ay, d¯ˆe’ x´ac

d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p n`. ao d¯´o ta liˆe.t kˆe d¯ˆa` y d¯u’ tˆa´t ca’ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a n´o

Th´ ı du : 1) Tˆa.p ho p 4 sˆ. o´ nguyˆen du.o.ng d¯ˆ` u tiˆen d¯u.o.a c viˆe´t l`a:

2 Chı’ r˜ o thuˆ o c t´ ınh d ¯˘ a c tru ng cu’a c´ac phˆa ` n tu ’ cu’a tˆ a p ho p Ta .

c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p b˘. a`ng c´ach chı’ r˜o c´ac t´ınh chˆa´t chung cu’a c´ac phˆa` n

tu.’ cu’a tˆa.p ho p d. ¯´o d¯ˆe’ sau d¯´o du. a v`ao c´ac t´ınh chˆa´t n`ay ta c´o thˆe’ kh˘a’ng d¯i.nh

mˆo.t d¯ˆo´i tu.o ng n`ao d¯´o c´o l`a mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p ho p d¯´o hay khˆong C´ac t´ınhchˆa´t nhu vˆa.y go.i l`a thuˆo.c t´ınh d¯˘a.c tru.ng cu’a c´ac phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p ho p

Th´ ı du : Tˆa.p ho p c´. ac u.´o.c sˆo´ nguyˆen du.o.ng cu’a 24 l`a:

A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

v`a d¯u.o. c viˆe´t la.i l`a:

A = {n ∈ N : n|24}.

Trong tru.`o.ng ho. p tˆo’ng qu´at, nˆe´u tˆa.p ho p X l`. a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac phˆ` n tu.a ’

x, sao cho x c´o t´ınh chˆa´t T th`ı ta viˆe´t:

X = {x | x c´o t´ınh chˆa´t T } ho˘ a.c X = {x : x c´o t´ınh chˆa´t T }.

1.2.1.4 Gia’n d ¯ˆ ` Venn: C´ o ac tˆa.p ho p c˜. ung c´o thˆe’ d¯u.o. c minh hoa b˘a`ng h`ınhv˜e nh`o d`ung gia’n d¯ˆ` Venn, do nh`o a to´an ho.c ngu.`o.i Anh John Venn lˆa`n d¯ˆa`u tiˆen

d¯u.a ra v`ao n˘am 1881 Trong c´ac gia’n d¯ˆ` Venn, tˆo a.p ho p v˜. u tru U - tˆa.p ho p ch´. u.a

tˆa´t ca’ c´ac d¯ˆo´i tu.o. ng d¯ang x´et - d¯u.o. c biˆe’u diˆe˜n b˘a`ng mˆo.t h`ınh ch˜u nhˆa.t Bˆentrong h`ınh ch˜u nhˆa.t n`ay, nh˜u.ng miˆe` n ph˘a’ng gi´o.i ha.n bo’ i c´. ac d¯u.`o.ng cong kh´epk´ın khˆong tu. c˘a´t d¯u.o c d`ung d¯ˆe’ biˆe’u diˆe˜n c´ac tˆa.p ho p D- ˆoi khi c´ac d¯iˆe’m d¯u.o cd`ung d¯ˆe’ biˆe’u diˆe˜n c´ac phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p C´. ac gia’n d¯ˆ` Venn thu.`o o.ng d¯u.o. cd`ung d¯ˆe’ chı’ ra mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´ac tˆa.p ho p

1.2.1.5 D- i.nh ngh˜ıa: Cho A l`a mˆo.t tˆa.p ho p Nˆe´u c´o ch´ınh x´ac n phˆa`n tu.’ phˆan

biˆe.t trong A, v´o i n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen khˆong ˆam, th`ı ta n´oi r˘a`ng A l`a mˆo.t tˆa.p

h˜u.u ha.n v`a n l`a ba’n sˆo´ cu’a A Ba’n sˆo´ cu’a A d¯u o c k´y hiˆe.u l`a |A| Mˆo.t tˆa.p ho p

d¯u.o. c go.i l`a vˆo ha.n nˆe´u n´o khˆong pha’i l`a h˜u.u ha.n

Th´ ı du : 1) Cho A l`a tˆa.p ho p c´. ac ch˜u c´ai trong ba’ng ch˜u c´ai tiˆe´ng Anh Khi

d¯´o |A| = 26.

2) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen tˆo´ l`a mˆo.t tˆa.p ho p vˆ. o ha.n

1.2.2 Tˆ a p ho p con v` . a quan hˆ e bao h` am:

1.2.2.1 D- i.nh ngh˜ıa: Tˆa.p ho p A d¯u.o c go.i l`a mˆo.t tˆa.p ho p con (hay tˆa.p con)

cu’a B, k´y hiˆe.u A ⊂ B, nˆe´u mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a A l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a B Nhu vˆa.y,

A ⊂ B khi v`a chı’ khi v´o.i mo.i x ∈ A k´eo theo x ∈ B.

Khi c´o A ⊂ B, ta c`on n´oi “A l`a mˆo.t bˆo phˆa.n cu’a B” hay “A bao h`am trong

B” Khi d¯´o ta c`on viˆe´t B ⊃ A v`a d¯o.c l`a “B bao h`am A” hay “B ch´u a A”.

Quan hˆe “⊂” d¯u o c go.i l`a quan hˆe bao h`am C´ac hˆe th´u.c A ⊂ B, B ⊃ A

d¯u.o. c go.i l`a c´ac bao h`am th´u.c

Nˆe´u A ⊂ B v`a c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t phˆa` n tu.’ thuˆo.c B nhu ng khˆong thuˆo.c A th`ı ta

n´oi A l`a mˆo.t tˆa.p con thu c su. cu’a B hay bˆ. o phˆa.n thu c su. cu’a B..

Th´ ı du : 1) Tˆa.p ho p N c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen l`a tˆa.p con thu c su. cu’a tˆ. a.p ho p Z c´. ac

sˆo´ nguyˆen

2) Tˆa.p ho p c´. ac h`ınh vuˆong l`a tˆa.p con cu’a tˆa.p ho p c´. ac h`ınh ch˜u nhˆa.t, c˜ungnhu l`a tˆa.p con cu’a tˆa.p c´ac h`ınh thoi

1.2.2.2 T´ ınh chˆ a ´t: V´o.i A, B, C l`a 3 tˆa.p ho p bˆ. a´t k`y, ta luˆon c´o:

1) ∅ ⊂ A,

2) A ⊂ A,

3) nˆe´u A ⊂ B v` a B ⊂ C th`ı A ⊂ C.

Thˆa.t vˆa.y, 1) d¯u.o c suy ra t`u mˆe.nh d¯ˆe` “x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A” l`a luˆon luˆon d¯´ung (do “x ∈ ∅” l`a sai) 2) d¯u.o. c suy ra t`u mˆe.nh d¯ˆe` “x ∈ A ⇒ x ∈ A” l`a luˆon luˆon

d¯´ung Cuˆo´i c`ung 3) d¯u.o. c suy ra t`u t´ınh d¯´ung cu’a mˆe.nh d¯ˆe` “(x ∈ A ⇒ x ∈

B ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ C)”

1.2.2.3 Tˆ a p ho p l˜ . uy th`u.a: Cho X l`a mˆo.t tˆa.p ho p Tˆ. a.p l˜uy th`u.a cu’a X, k´y

hiˆe.u P(X) hay 2 X, l`a tˆa.p ho p gˆ. `m tˆo a´t ca’ c´ac tˆa.p con cu’a X, t´u.c l`a

1.2.3.1 D- i.nh ngh˜ıa: Ho p cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´y hiˆe.u l`a A ∪ B (d¯o.c l`a

“A ho p B”), l`a tˆa.p ho p gˆ. `m c´o ac phˆ` n tu.a ’ thuˆo.c ´ıt nhˆa´t mˆo.t trong hai tˆa.p ho p.

A, B, t´u.c l`a

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Th´ ı du : 1) V´o.i A = {a, b, c, d} v` a B = {c, d, e, f }, ta c´ o A ∪ B = {a, b, c, d, e, f }.

2) V´o.i A = {x ∈ N | x chia hˆ e´t cho 2} v` a B = {x ∈ N | x chia hˆ e´t cho 3},

ta c´o A ∪ B = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho 2 ho˘a.c 3}.

1.2.3.2 D- i.nh ngh˜ıa: Giao cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´y hiˆe.u l`a A ∩ B (d¯o.c l`a

“A giao B”), l`a tˆa.p ho p gˆ. `m c´o ac phˆ` n tu.a ’ v`u.a thuˆo.c A v`u a thuˆo.c B, t´u.c l`a

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Hai tˆa.p ho p d. ¯u.o. c go.i l`a r`o.i nhau nˆe´u giao cu’a ch´ung l`a tˆa.p ho p rˆ. o˜ng

Th´ ı du : 1) V´o.i A = {a, b, c, d} v` a B = {c, d, e, f }, ta c´ o A ∩ B = {c, d}.

2) V´o.i A = {x ∈ N | x chia hˆ e´t cho 2} v` a B = {x ∈ N | x chia hˆ e´t cho 3},

ta c´o A ∩ B = {x ∈ N | x chia hˆ e´t cho 6}.

3) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ h˜u.u tı’ v`a tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ vˆo tı’ l`a hai tˆa.p con r`o.i nhaucu’a tˆa.p ho p R c´. ac sˆo´ thu. c

1.2.3.3 D- i.nh ngh˜ıa: Hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´y hiˆe.u l`a A\B hay A−B,

l`a tˆa.p ho p gˆ. `m c´o ac phˆ` n tu.a ’ thuˆo.c A nhu ng khˆong thuˆo.c B, t´u.c l`a

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x / ∈ B}.

Nˆe´u B ⊂ A th`ı ta k´y hiˆe.u A \ B = C A B hay B khi A d¯˜a d¯u.o. c x´ac d¯i.nh r˜ov`a go.i d¯´o l`a phˆa` n b`u cu’a B trong A.

Hiˆe.u d¯ˆo´i x´u.ng cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´y hiˆe.u l`a A ⊕ B, l`a tˆa.p ho p d¯u.o c

1.2.3.4 C´ ac h˘ `ng d a ¯˘ a ’ ng th´ u.c tˆ a p ho p co . ba’n: Mˆo˜i tˆa.p con cu’a mˆo.t tˆa.p

ho. p d¯u.o. c tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo.t t´ınh chˆa´t (mˆe.nh d¯ˆe`) x´ac d¯i.nh n´o trˆen tˆa.p ho p d¯˜acho V´o.i tu.o.ng ´u.ng n`ay, c´ac ph´ep to´an tˆa.p ho p d. ¯u.o. c chuyˆe’n sang c´ac ph´ep to´an

lˆogic: phu’ d¯i.nh tu.o.ng ´u.ng v´o.i phˆa`n b`u, tuyˆe’n tu.o.ng ´u.ng v´o.i ho p, hˆo.i tu.o.ng

´

u.ng v´o.i giao, tuyˆe’n loa.i tu.o.ng ´u.ng v´o.i hiˆe.u d¯ˆo´i x´u.ng

T`u c´ac tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic co ba’n trong 1.1.2.4, v´o.i A, B, C l`a c´ac tˆa.p concu’a tˆa.p v˜u tru U , ta c´o c´ac h˘a`ng d¯˘a’ng th´u.c tˆa.p ho p co ba’n du.´o.i d¯ˆay (lu.u ´yr˘a`ng mˆe.nh d¯ˆe` x ∈ ∅ c´o gi´a tri chˆan l´y 0 v`a mˆe.nh d¯ˆe` x ∈ U c´o gi´a tri chˆan l´y 1)

1) Luˆa.t d¯ˆo`ng nhˆa´t:

8) Luˆa.t De Morgan:

tˆa.p v˜u tru Phu.o.ng ph´ap biˆe’u diˆe˜n tˆa.p ho p n`ay s˜e l`am cho viˆe.c t´ınh nh˜u.ng tˆo’

ho. p cu’a c´ac tˆa.p ho p tro. ’ nˆen dˆe. ˜ d`ang ho.n

Gia’ su.’ tˆa.p v˜u tru U l`a h˜u.u ha.n (v`a c´o k´ıch thu.´o.c ho p l´y d¯ˆo´i v´o.i dunglu.o. ng bˆo nh´o.) Tru.´o.c hˆe´t, h˜ay chı’ r˜o su s˘a´p t`uy ´y c´ac phˆa`n tu.’ cu’a U, ch˘a’ng ha.n a1, a2, , a n, sau d¯´o biˆe’u diˆe˜n tˆa.p con A cu’a U b˘a`ng mˆo.t xˆau bit c´o d¯ˆo.

d`ai n, trong d¯´o bit th´u i o.’ xˆau n`ay l`a 1 nˆe´u a i ∈ A v`a l`a 0 nˆe´u a i ∈ A /

D- ˆe’ nhˆa.n d¯u.o c c´ac xˆau bit cho c´ac ho p, giao v`a hiˆe.u d¯ˆo´i x´u.ng cu’a hai tˆa.p

ho. p, ta s˜e thu. c hiˆe.n c´ac ph´ep to´an Boole trˆen c´ac xˆau bit biˆe’u diˆe˜n hai tˆa.p ho p.

d¯´o T`u d¯´o ta c´o xˆau bit d¯ˆo´i v´o.i ho. p, giao, hiˆe.u d¯ˆo´i x´u.ng l`a OR bit, AND bit,XOR bit cu’a hai xˆau bit biˆe’u diˆe˜n hai tˆa.p ho p d¯˜a cho

, a n o.’ vi tr´ı th´u n v`a d¯u.o c go.i l`a bˆo n s˘a´p th´u tu

Hai bˆo n s˘a´p th´u tu (a1, a2, , a n) v`a (b1, b2, , b n) d¯u.o. c go.i l`a b˘a`ngnhau, k´y hiˆe.u (a1, a2, , a n ) = (b1, b2, , b n), nˆe´u a i = b i v´o.i i = 1, 2, , n.

D- ˘a.c biˆe.t, d˜ay c´o hai phˆa`n tu.’ d¯u.o c go.i l`a c˘a.p s˘a´p th´u tu hay go.i t˘a´t l`a c˘a.p

1.2.4.2 D- i.nh ngh˜ıa: T´ıch Descartes cu’a n tˆa.p ho p A1, A2, , A n, k´y hiˆe.u l`a

A1×A2×· · · ×A n hay

D- ˘a.c biˆe.t, khi A1 = A2 = · · · = A n = A th`ı ta k´y hiˆe.u A1×A2×· · ·×A n = A n

Th´ ı du : V´o.i A = {x, y}, B = {0, 1, 2}, C = {a, b}, ta c´o

A × B × C = {(x, 0, a), (x, 0, b), (x, 1, a), (x, 1, b), (x, 2, a), (x, 2, b),

(y, 0, a), (y, 0, b), (y, 1, a), (y, 1, b), (y, 2, a), (y, 2, b)}.

1.2.5 Su lu o ng ho´ a:

1.2.5.1 D - i.nh ngh˜ıa: H`am mˆe.nh d¯ˆe` l`a mˆo.t cˆau ch´u.a biˆe´n v`a tro.’ th`anh mˆe.nh

d¯ˆ` khi ta thay biˆe´n d¯´e o b˘a`ng mˆo.t phˆa`n tu.’ cu thˆe’ thuˆo.c mˆo.t tˆa.p ho p x´ac d¯i.nh

Th´ ı du : 1) P (x): “x l`a sˆo´ nguyˆen tˆo´” l`a h`am mˆe.nh d¯ˆe` mˆo.t biˆe´n x´ac d¯i.nh trˆen

tˆa.p ho p N c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen.

2) Mˆo˜i phu.o.ng tr`ınh l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯ˆe` Ch˘a’ng ha.n phu.o.ng tr`ınh x2 +

4x + 3, l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯ˆe` mˆo.t biˆe´n x´ac d¯i.nh trˆen tˆa.p ho p R c´. ac sˆo´ thu. c N´otro.’ th`anh mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung v´o.i x = −1 v` a x = −3.

3) Bˆa´t phu.o.ng tr`ınh l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯ˆe` Ch˘a’ng ha.n bˆa´t phu.o.ng tr`ınh

(x − 3)(x + 2) < 0, l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯ˆe` mˆo.t biˆe´n x´ac d¯i.nh trˆen tˆa.p ho p R c´. ac

sˆo´ thu. c N´o tro.’ th`anh mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung v´o.i mo.i x ∈ R, sao cho −2 < x < 3.

4) Phu.o.ng tr`ınh x2+ y2 = z2 l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯ˆe` ba biˆe´n

5) X´et cˆau:

If x > 0 then x := x + 1

Khi g˘a.p cˆau n`ay trong chu.o.ng tr`ınh, gi´a tri cu’a biˆe´n x o.’ d¯iˆe’m d¯´o trong qu´a

tr`ınh thu. c hiˆe.n chu.o.ng tr`ınh s˜e d¯u.o c d¯˘a.t v`ao P(x), t´u.c l`a d¯˘a.t v`ao cˆau “x > 0”.

Nˆe´u P (x) d¯´ung d¯ˆo´i v´o.i gi´a tri n`ay cu’a x, th`ı lˆe.nh g´an x := x + 1 s˜e d¯u.o c thu chiˆe.n v`a gi´a tri cu’a x s˜e t˘ang lˆen 1 Nˆe´u P (x) l`a sai d¯ˆo´i v´o i gi´a tri d¯´o cu’a x, th`ı

lˆe.nh g´an s˜e khˆong d¯u.o c thu c hiˆe.n v`a gi´a tri x khˆong thay d¯ˆo’i.

Khi tˆa´t ca’ c´ac biˆe´n trong h`am mˆe.nh d¯ˆe` d¯ˆe` u d¯u.o. c g´an cho gi´a tri x´ac d¯i.nh,th`ı mˆe.nh d¯ˆe` ta.o th`anh s˜e c´o gi´a tri chˆan l´y Tuy nhiˆen, c`on c´o mˆo.t c´ach quantro.ng kh´ac d¯ˆe’ biˆe´n c´ac h`am mˆe.nh d¯ˆe` th`anh c´ac mˆe.nh d¯ˆe` , m`a ngu.`o.i ta go.i l`a su..lu.o. ng ho´a Ta x´et o.’ d¯ˆay hai loa.i lu.o ng ho´a, d¯´o l`a lu.o ng t`u phˆo’ du.ng v`a lu.o ngt`u tˆ`n ta.i.o

Cho A l`a mˆo.t tˆa.p ho p v`. a P l`a mˆo.t t´ınh chˆa´t cu’a c´ac phˆa` n tu.’ cu’a A, ngh˜ıa

l`a P (x) l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯ˆe` x´ac d¯i.nh trˆen A X´et tˆa.p ho p.

A P = {x ∈ A | P (x)},

ngh˜ıa l`a tˆa.p gˆo`m c´ac phˆ` n tu.a ’ x ∈ A sao cho P (x) d¯´ung Du.´o.i d¯ˆay l`a c´ac tru.`o.ng

ho. p c´o thˆe’ x˜ay ra

1.2.5.2 D- i.nh ngh˜ıa: Trong tru.`o.ng ho p A P = A, ngh˜ıa l`a tˆa´t ca’ c´ac phˆ` n tu.a ’

cu’a A d¯ˆ` u thoa’ m˜e an t´ınh chˆa´t P D- iˆe` u n`ay d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a:

∀x ∈ A, P (x)

hay go.n ho.n l`a (∀x)(P ), d¯o.c l`a “v´o.i mo.i x thuˆo.c A, x thoa’ m˜an t´ınh chˆa´t P”.

K´y hiˆe.u ∀ (d¯o.c l`a “v´o.i mo.i”) d¯u.o c go.i l`a lu.o ng t`u phˆo’ du.ng

1.2.5.3 D- i.nh ngh˜ıa: Trong tru.`o.ng ho p A P 6= ∅, ngh˜ıa l`a c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t phˆa` n

tu.’ cu’a A thoa’ m˜an t´ınh chˆa´t P D- iˆe` u n`ay d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a:

∃x ∈ A, P (x)

hay go.n ho.n l`a (∃x)(P ), d¯o.c l`a “c´o ´ıt nhˆa´t (hay tˆo`n ta.i) phˆa`n tu.’ x thuˆo.c A thoa’

m˜an t´ınh chˆa´t P ” K´y hiˆe.u ∃ (d¯o.c l`a “c´o ´ıt nhˆa´t” hay “tˆo`n ta.i”) d¯u.o c go.i l`alu.o. ng t`u tˆ`n ta.i.o

Lu.u ´y r˘a`ng tˆa.p ho p A d¯u.o c go.i l`a khˆong gian c´ac lu.o ng t`u

1.2.5.4 Ch´ u ´ y: 1) Trong tru.`o.ng ho. p A P = ∅, ngh˜ıa l`a khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ n`ao

cu’a A thoa’ m˜an t´ınh chˆa´t P D- iˆe` u n`ay ch´ınh l`a mˆe.nh d¯ˆe` :

Th´ ı du : 1) X´ac d¯i.nh t´ınh d¯´ung sai cu’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` sau:

(∃x ∈ R) (4x − 3 = −2x + 1) l`a mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

(∃x ∈ Q) (x2 = 2) l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai

(∀x ∈ R)(∀y ∈ R) (x < y) l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai

(∀x ∈ R)(∃y ∈ R) (x + y = 1) l`a mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

2) H˜ay biˆe’u diˆe˜n cˆau: “Mo.i ngu.`o.i d¯ˆe` u c´o ch´ınh x´ac mˆo.t ngu.`o.i ba.n tˆo´tnhˆa´t” th`anh mˆo.t cˆong th´u.c (lˆogic).

Gia’ su.’ P (x, y) l`a cˆau “y l`a ngu.`o.i ba.n tˆo´t nhˆa´t cu’a x” Khi d¯´o cˆau trong

th´ı du c´o thˆe’ di.ch th`anh:

(∀x) (∃y) (∀z) [P (x, y) ∧ ((z 6= y) ⇒ P (x, z)].

3) T`u d¯i.nh ngh˜ıa vˆe` t´ınh liˆen tu.c cu’a mˆo.t h`am sˆo´ ta.i mˆo.t d¯iˆe’m, ta c´o: h`am

f x´ac d¯i.nh trˆen tˆa.p ho p A ⊂ R l`. a liˆen tu.c ta.i a ∈ A nˆe´u v`a chı’ nˆe´u

a) Khˆong d¯u.o. c d¯i qua

b) Tˆo’ng c´ac g´oc trong mˆo.t tam gi´ac c´o b˘a`ng 180o khˆong?

c) x l`a mˆo.t sˆo´ le’

d) Sˆo´ 124 chia hˆe´t cho 4

e) 51 chia cho 6 d¯u.o. c 8 du 2

2. H˜ay d¯u.a mˆo˜i mˆe.nh d¯ˆe` du.´o.i d¯ˆay vˆ` da.ng hˆo.i ho˘a.c tuyˆe’n cu’a c´ac mˆe.nh d¯ˆee `

d¯o.n, sau d¯´o h˜ay t`ım gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` d¯´o

a) 1 < √ 3 < 2.

b) | sin 12π | > 1.

c) Sˆo´ 235 chia hˆe´t cho 5 nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho 2

d) 5 v`a 7 l`a hai sˆo´ le’ nguyˆen tˆo´ c`ung nhau

e) H`ınh thoi ABCD c´ o AB = AC v` a AD ⊥ BC.

3. T`ım phu’ d¯i.nh cu’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` sau:

a) Khˆong c´o ˆo nhiˆe˜m o.’ Huˆe´

b) M`ua h`e o.’ TP Hˆ` Ch´ı Minh l`o a n´ong v`a n˘a´ng

c) 4 + 8 = 11.

d) 225 + 1 = 4294967297 v`a khˆong pha’i l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´

4. H˜ay ph´at biˆe’u c´ac d¯i.nh l´y sau d¯ˆay du.´o.i da.ng mˆe.nh d¯ˆe` k´eo theo p ⇒ q ho˘a.c

p ⇔ q.

a) G´oc ngo`ai cu’a mˆo.t tam gi´ac b˘a`ng tˆo’ng hai g´oc trong khˆong kˆe` v´o.i n´o

b) Mo.i d˜ay d¯o.n d¯iˆe.u v`a bi ch˘a.n d¯ˆe`u l`a d˜ay hˆo.i tu

c) Mo.i h`am liˆen tu.c trˆen mˆo.t khoa’ng d¯´ong v`a bi ch˘a.n d¯ˆe` u d¯a.t gi´a tri l´o.nnhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t trˆen khoa’ng d¯´o

d) Nˆe´u tam gi´ac ABC l`a tam gi´ac cˆan th`ı n´o c´o hai g´oc b˘a`ng nhau v`a d¯a’ola.i

e) Mo.i d˜ay Cauchy (trong R) l`a hˆo.i tu v`a chı’ c´ac d˜ay d¯´o m´o.i hˆo.i tu

5. Cho p, q v` a r l`a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` :

p: Ba.n bi c´um.

q: Ba.n thi tru.o t k`y thi cuˆo´i kho´a

r: Ba.n d¯u.o c lˆen l´o.p

H˜ay diˆe˜n d¯a.t c´ac mˆe.nh d¯ˆe` sau th`anh nh˜u.ng cˆau thˆong thu.`o.ng:

e) (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r), f ) (p ∧ q) ∨ (q ∧ r).

6. Cho p v` a q l`a hai mˆe.nh d¯ˆe` :

p: Ba.n l´ai xe v´o.i tˆo´c d¯ˆo trˆen 60km/h

q: Ba.n bi pha.t v`ı vu.o t qu´a tˆo´c d¯ˆo cho ph´ep

H˜ay viˆe´t c´ac mˆe.nh d¯ˆe` sau b˘a`ng c´ach d`ung p v` a q v`a c´ac to´an tu.’ lˆogic

a) Ba.n khˆong l´ai xe v´o.i tˆo´c d¯ˆo trˆen 60km/h

b) Ba.n l´ai xe v´o.i tˆo´c d¯ˆo trˆen 60km/h nhu.ng ba.n khˆong bi pha.t v`ı vu.o t qu´a

tˆo´c d¯ˆo cho ph´ep

c) Ba.n s˜e bi pha.t v`ı vu.o t qu´a tˆo´c d¯ˆo cho ph´ep nˆe´u ba.n l´ai xe v´o.i tˆo´c d¯ˆo.trˆen 60km/h

d) Nˆe´u ba.n khˆong l´ai xe v´o.i tˆo´c d¯ˆo trˆen 60km/h th`ı ba.n s˜e khˆong bi pha.tv`ı vu.o. t qu´a tˆo´c d¯ˆo cho ph´ep

e) L´ai xe v´o.i tˆo´c d¯ˆo trˆen 60km/h l`a d¯u’ d¯ˆe’ bi pha.t v`ı vu.o t qu´a tˆo´c d¯ˆo choph´ep

f ) Ba.n bi pha.t v`ı vu.o t qu´a tˆo´c d¯ˆo cho ph´ep nhu.ng ba.n khˆong l´ai xe v´o.i tˆo´c

d¯ˆo trˆen 60km/h

g) Mˆo˜i lˆa` n ba.n bi pha.t v`ı vu.o t qu´a tˆo´c d¯ˆo cho ph´ep l`a ba.n d¯˜a l´ai xe v´o.i tˆo´c

d¯ˆo trˆen 60km/h

7. Ph´at biˆe’u mˆe.nh d¯ˆe` d¯a’o v`a pha’n d¯a’o cu’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` k´eo theo sau:

a) Nˆe´u hˆom nay c´o gi´o m`ua D- ˆong B˘a´c th`ı ng`ay mai tr`o.i gi´a r´et

b) Tˆoi d¯ˆ` u d¯i ra b˜e ai t˘a´m bˆa´t c´u ng`ay n`ao tr`o.i n˘a´ng

c) Nˆe´u mˆo.t sˆo´ chia hˆe´t cho 6 th`ı chia hˆe´t cho 2 v`a cho 3

d) Nˆe´u mˆo.t sˆo´ chia hˆe´t cho 9 th`ı tˆo’ng c´ac ch˜u sˆo´ cu’a n´o chia hˆe´t cho 9

8. Lˆa.p ba’ng gi´a tri chˆan l´y cho c´ac mˆe.nh d¯ˆe` ph´u.c ho. p sau:

a) p ⇒ (q ∨ r),

b) p ⇒ (q ⇒ r),

c) (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r),

10. Lˆa.p c´ac mˆe.nh d¯ˆe` ph´u.c ho. p gˆ`m c´o ac mˆe.nh d¯ˆe` p, q v` a r sao cho n´o d¯´ung khi:

a) p, q l`a d¯´ung v`a r l`a sai, nhu.ng l`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho p c`on la.i

b) Hai trong ba mˆe.nh d¯ˆe` p, q v` a r l`a d¯´ung v`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho p c`onla.i

11. Ch´u.ng minh c´ac mˆe.nh d¯ˆe` k´eo theo sau l`a h˘a`ng d¯´ung:

13. D`ung phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh tru. c tiˆe´p d¯ˆe’ ch´u.ng minh mˆe.nh d¯ˆe` : “hai

d¯u.`o.ng ch´eo cu’a h`ınh ch˜u nhˆa.t th`ı b˘a`ng nhau”

H˜ay chı’ ra c´ac bu.´o.c suy luˆa.n trong ch´u.ng minh

14. Ch´u.ng minh ho˘a.c b´ac bo’ r˘a`ng t´ıch cu’a hai sˆo´ vˆo tı’ l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’

15. Ch´u.ng minh ho˘a.c b´ac bo’ r˘a`ng n2 − n + 41 l`a sˆo´ nguyˆen tˆo´ khi n l`a sˆo´nguyˆen du.o.ng

16. D`ung phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh pha’n ch´u.ng d¯ˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng √3

3 l`a

mˆo.t sˆo´ vˆo tı’

17. Ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo.t sˆo´ nguyˆen khˆong chia hˆe´t cho 5 th`ı b`ınh phu.o.ng cu’an´o khi chia cho 5 s˜e du 1 ho˘a.c 4.

18. H˜ay diˆe˜n d¯a.t c´ac mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay b˘a`ng ngˆon ng˜u thˆong thu.`o.ng v`a x´ac

d¯i.nh t´ınh d¯´ung sai cu’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` d¯´o Sau d¯´o h˜ay lˆa.p mˆe.nh d¯ˆe` phu’ d¯i.nh cu’ac´ac mˆe.nh d¯ˆe` trˆen

Cho khˆong gian c´ac lu.o. ng t`u l`a tˆa.p ho p c´. ac sinh viˆen o.’ D- a.i ho.c Huˆe´

a) C´o mˆo.t sinh viˆen o’ D. - a.i ho.c Huˆe´ n´oi d¯u.o c tiˆe´ng Anh v`a biˆe´t C

b) C´o mˆo.t sinh viˆen o’ D. - a.i ho.c Huˆe´ n´oi d¯u.o c tiˆe´ng Anh nhu.ng khˆong biˆe´tC

c) Mo.i sinh viˆen o’ D. - a.i ho.c Huˆe´ d¯ˆe`u n´oi d¯u.o c tiˆe´ng Anh ho˘a.c biˆe´t C

d) Khˆong c´o mˆo.t sinh viˆen n`ao o’ D. - a.i ho.c Huˆe´ n´oi d¯u.o c tiˆe´ng Anh ho˘a.c biˆe´tC

20. Cho F (x, y) l`a cˆau “x c´o thˆe’ l`u.a ga.t y”, v´o.i khˆong gian l`a tˆa.p ho p mo.ingu.`o.i trˆen thˆe´ gi´o.i H˜ay d`ung c´ac lu.o. ng t`u d¯ˆe’ diˆe˜n d¯a.t c´ac cˆau sau:

a) Mo.i ngu.`o.i d¯ˆe` u c´o thˆe’ l`u.a ga.t A

b) B c´o thˆe’ l`u.a ga.t d¯u.o c mo.i ngu.`o.i

c) Mo.i ngu.`o.i d¯ˆe` u c´o thˆe’ l`u.a ga.t d¯u.o c ai d¯´o

d) Khˆong c´o ai c´o thˆe’ l`u.a ga.t d¯u.o c tˆa´t ca’ mo.i ngu.`o.i

e) Mo.i ngu.`o.i d¯ˆe` u c´o thˆe’ bi l`u.a ga.t bo.’i ai d¯´o

f ) Khˆong ai c´o thˆe’ l`u.a ga.t d¯u.o c ca’ A lˆa˜n B

g) C c´o thˆe’ l`u.a ga.t d¯u.o c ch´ınh x´ac hai ngu.`o.i

h) C´o ch´ınh x´ac mˆo.t ngu.`o.i m`a ai c˜ung l`u.a ga.t d¯u.o c

i) Khˆong ai c´o thˆe’ l`u.a ga.t d¯u.o c ch´ınh m`ınh

j) C´o mˆo.t ngu.`o.i n`ao d¯´o c´o thˆe’ l`u.a ga.t d¯u.o c ch´ınh x´ac mˆo.t ngu.`o.i tr`u ba’nthˆan m`ınh

21. Cho c´ac tˆa.p ho p A, B, C Ch´. u.ng minh r˘a`ng:

23. Cho c´ac tˆa.p ho p A, B, C Ch´. u.ng minh r˘a`ng:

T`ım cˆong th´u.c cho tru.`o.ng ho. p n tˆa.p h˜u.u ha.n

26. Mˆo.t cuˆo.c ho.p gˆo`m 12 ngu.`o.i tham du. d¯ˆe’ b`an vˆ` 3 vˆe a´n d¯ˆ` C´e o 8 ngu.`o.i ph´atbiˆe’u vˆ` vˆe a´n d¯ˆ` I, 5 ngu.`e o.i ph´at biˆe’u vˆ` vˆe a´n d¯ˆ` II v`e a 7 ngu.`o.i ph´at biˆe’u vˆ` vˆe a´n

d¯ˆ` III Ngo`e ai ra, c´o d¯´ung 1 ngu.`o.i khˆong ph´at biˆe’u vˆa´n d¯ˆ` n`e ao Ho’i nhiˆ` u l˘e a´ml`a c´o bao nhiˆeu ngu.`o.i ph´at biˆe’u ca’ 3 vˆa´n d¯ˆ` e

TRA’ L ` O . I V ` A HU ´O.NG DˆA˜N GIA’I B`AI TˆA P

1. a) Khˆong pha’i l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe`

b) Khˆong pha’i l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe`

c) Khˆong pha’i l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe`

d) Mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

e) Mˆe.nh d¯ˆe` sai

2. a) p ∧ q, v´ o.i p: “1 < √3” v`a q: “ √ 3 < 2”, l`a mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

b) p ∨ q, v´ o.i p: “sin12π > 1” v` a q: “sin 12π < −1”, l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai

c) p ∧ q, v´ o.i p: “Sˆo´ 235 chia hˆe´t cho 5” v`a q: “Sˆo´ 235 khˆong chia hˆe´t cho2”, l`a mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

d) p ∧ q, v´ o.i p: “5 v`a 7 l`a hai sˆo´ le’” v`a q: “5 v`a 7 l`a hai sˆo´ nguyˆen tˆo´ c`ungnhau”, l`a mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

e) p ∧ q, v´ o.i p: “H`ınh thoi ABCD c´ o AB = AC” v` a q: “H`ınh thoi ABCD

c´o AD ⊥ BC”, l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai

3. a) C´o ˆo nhiˆ˜m o.e ’ Huˆe´

b) M`ua h`e o.’ TP Hˆ` Ch´ı Minh l`o a khˆong n´ong ho˘a.c khˆong n˘a´ng

c) 4 + 8 6= 11.

d) 225 + 1 6= 4294967297 ho˘a.c l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´

4. a) p ⇒ q, v´ o.i p: “α l`a g´oc ngo`ai cu’a mˆo.t tam gi´ac” v`a q: “α b˘a`ng tˆo’ng hai

g´oc trong khˆong kˆ` v´e o.i n´o”

b) p ⇒ q, v´ o.i p: “(x n) l`a d˜ay d¯o.n d¯iˆe.u v`a bi ch˘a.n” v`a q: “(x n) l`a d˜ay hˆo.itu.”

c) p ⇒ q, v´ o.i p: “f l`a h`am liˆen tu.c trˆen khoa’ng d¯´ong v`a bi ch˘a.n [a, b]” v`a

q: “f d¯a.t gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t trˆen [a, b]”.

d) p ⇔ q, v´ o.i p: “Tam gi´ ac ABC l`a tam gi´ac cˆan” v`a q: “Tam gi´ ac ABC

c´o hai g´oc b˘a`ng nhau”

e) p ⇔ q, v´ o.i p: “D˜ay sˆo´ thu. c (x n) l`a d˜ay Cauchy” v`a q: “D˜ay sˆo´ thu. c (x n)l`a hˆo.i tu.”

5. a) Nˆe´u ba.n bi c´um th`ı ba.n thi tru.o t k`y thi cuˆo´i kho´a

b) Ba.n khˆong thi tru.o t k`y thi cuˆo´i kho´a l`a d¯iˆe`u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u’ d¯ˆe’ ba.n d¯u.o c

lˆen l´o.p

c) Ba.n thi tru.o t k`y thi cuˆo´i kho´a l`a d¯u’ d¯ˆe’ ba.n khˆong d¯u.o c lˆen l´o.p

d) Ba.n bi c´um ho˘a.c ba.n thi tru.o t k`y thi cuˆo´i kho´a ho˘a.c ba.n d¯u.o c lˆen l´o.p

e) Ba.n bi c´um l`a d¯u’ d¯ˆe’ ba.n khˆong d¯u.o c lˆen l´o.p ho˘a.c ba.n thi tru.o t k`y thicuˆo´i kho´a l`a d¯u’ d¯ˆe’ ba.n khˆong d¯u.o c lˆen l´o.p

f ) Ba.n bi c´um v`a thi tru.o t k`y thi cuˆo´i kho´a ho˘a.c khˆong thi tru.o t k`y thicuˆo´i kho´a v`a d¯u.o. c lˆen l´o.p

D- ˆong B˘a´c v`ao hˆom nay.

b) Mˆ e.nh d¯ˆe ` d¯a’o: Nˆe´u tˆoi d¯i ra b˜ai t˘a´m th`ı ng`ay d¯´o tr`o.i n˘a´ng Mˆe.nh d¯ˆe ` pha’n d ¯a’o: Nˆe´u tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai t˘a´m th`ı ng`ay d¯´o tr`o.i khˆong n˘a´ng

c) Mˆ e.nh d¯ˆe ` d¯a’o: Nˆe´u mˆo.t sˆo´ chia hˆe´t cho 2 v`a cho 3 th`ı chia hˆe´t cho 6

Mˆ e.nh d¯ˆe ` pha’n d¯a’o: Nˆe´u mˆo.t sˆo´ khˆong chia hˆe´t cho 2 ho˘a.c cho 3 th`ı khˆong chia

hˆe´t cho 6

d) Mˆ e.nh d¯ˆe ` d¯a’o: Tˆo’ng c´ac ch˜u sˆo´ cu’a mˆo.t sˆo´ chia hˆe´t cho 9 th`ı sˆo´ d¯´o chia

hˆe´t cho 9 Mˆ e.nh d¯ˆe ` pha’n d¯a’o: Tˆo’ng c´ac ch˜u sˆo´ cu’a mˆo.t sˆo´ khˆong chia hˆe´t cho

9 th`ı sˆo´ d¯´o khˆong chia h´et cho 9

11. a) Nˆe´u (p ∧ q) d¯´ung th`ı p d¯´ung.

b) Nˆe´u p d¯´ung th`ı p ∨ q d¯´ung

c) Nˆe´u p d¯´ung th`ı p sai v`a khi d¯´o p ⇒ q l`a d¯´ung

d) Nˆe´u p ∧ q l`a d¯´ung th`ı ca’ p v` a q d¯ˆ` u d¯´e ung v`a khi d¯´o p ⇒ q l`a d¯´ung

e) Nˆe´u p ⇒ q d¯´ung th`ı p ⇒ q sai v`a khi d¯´o p d¯´ung (v`a q sai).

f ) Nˆe´u p ⇒ q d¯´ung th`ı p ⇒ q sai v`a khi d¯´o q sai (v` a p d¯´ung), t´u.c l`a q l`a

d¯´ung

g) Nˆe´u [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] d¯´ung th`ı ca’ ba p ∨ q, p ⇒ r, q ⇒ r d¯ˆ` ue

d¯´ung v`a khi d¯´o p ho˘ a.c q d¯´ung, nˆen r l`a d¯´ung.

12. a) Nˆe´u p ⇔ q v` a q ⇔ r l`a d¯´ung th`ı gi´a tri chˆan l´y cu’a p v`a q, cu’a q v`a r l`a

nhu nhau Do d¯´o gi´a tri chˆan l´y cu’a p v`a r l`a nhu nhau hay p ⇔ r l`a d¯´ung.

b) Nˆe´u p sai th`ı p ⇒ q l`a d¯´ung Nˆe´u p d¯´ung th`ı p sai v` a do p ∧ q ⇒ p l`a

d¯´ung nˆen p ∧ q l`a sai Do d¯´o q l` a sai hay q l`a d¯´ung Khi d¯´o p ⇒ q l`a d¯´ung

c) Nˆe´u p sai ho˘ a.c r sai th`ı p ∧ r l`a sai nˆen (p ∧ r) ⇒ (q ∧ s) l`a d¯´ung Nˆe´u p

d¯´ung v`a r d¯´ung th`ı do p ⇒ q v` a r ⇒ s l`a d¯´ung nˆen q v` a s l`a d¯´ung Do d¯´o q ∧ s

d¯´ung, nˆen (p ∧ r) ⇒ (q ∧ s) l`a d¯´ung

d) Nˆe´u p sai v` a r sai th`ı p ∨ r l`a sai nˆen (p ∨ r) ⇒ (q ∨ s) l`a d¯´ung Nˆe´u p

d¯´ung ho˘a.c r d¯´ung th`ı do p ⇒ q v`a r ⇒ s l`a d¯´ung nˆen q ho˘a.c s l`a d¯´ung Do d¯´o

q ∨ s d¯´ung, nˆen (p ∨ r) ⇒ (q ∨ s) l`a d¯´ung

13.

Suy luˆ a.n 1: Luˆ a.n ch´u ng:

A1: H`ınh ch˜u nhˆa.t l`a mˆo.t h`ınh b`ınh h`anh c´o p ⇔ q, p q

mˆo.t g´oc vuˆong

A2: ABCD l`a h`ınh ch˜u nhˆa.t

———————————————————

A3: ABCD l`a h`ınh b`ınh h`anh c´o mˆo.t g´oc vuˆong

Suy luˆ a.n 2: Luˆ a.n ch´u ng:

A4: H`ınh b`ınh h`anh c´o mˆo.t g´oc vuˆong th`ı c´o c´ac

ca.nh d¯ˆo´i b˘a`ng nhau v`a c´ac g´oc d¯ˆe` u vuˆong p ⇒ q, p

q

A3: ABCD l`a h`ınh b`ınh h`anh c´o mˆo.t g´oc vuˆong

———————————————————

A5: AD = BC, AB = CD, ˆ A = ˆ B = ˆ C = ˆ D = 1v

Suy luˆ a.n 3: Luˆ a.n ch´u ng:

A6: Nˆe´u hai tam gi´ac vuˆong c´o hai c˘a.p ca.nh g´oc

vuˆong b˘a`ng nhau t`u.ng d¯ˆoi mˆo.t th`ı ch´ung p ⇒ q, p q

b˘a`ng nhau

A7: ˆA = ˆ B = 1v, BC = AD, AB = AB (AB chung)

———————————————————

A8: 4ABC = 4BAD

Suy luˆ a.n 4: Luˆ a.n ch´u ng:

A9: Hai tam gi´ac vuˆong b˘a`ng nhau th`ı hai ca.nh

huyˆ` n tu.o.ng ´e u.ng b˘a`ng nhau p ⇒ q, p

14. (Ch´u.ng minh b˘a`ng pha’n th´ı du.) T´ıch cu’a hai sˆo´ vˆo tı’ khˆong nhˆa´t thiˆe´t l`a

mˆo.t sˆo´ vˆo tı’ Ch˘a’ng ha.n, √2 l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’ nhu.ng √ 2 √2 l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u tı’

15. (Ch´u.ng minh b˘a`ng pha’n th´ı du.) n2 − n + 41 khˆong luˆon luˆon l`a mˆo.t sˆo´nguyˆen tˆo´ Ch˘a’ng ha.n, 412− 41 + 41 = 412 l`a mˆo.t ho p sˆ. o´.

16. (Ch´u.ng minh b˘a`ng pha’n ch´u.ng) V´o.i n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen, ta viˆe´t n = 3q + r

v´o.i r = 0, 1, 2 v` a n3 = 3(9q3+ 9q2r + 3qr2) + r3 Do d¯´o nˆe´u n3 chia hˆe´t cho 3

th`ı r3 = 0 hay r = 0 t´u.c l`a n chia hˆe´t cho 3

a = 3c v´ o.i c ∈ N V`ı vˆ a.y, b3 = 9c3, nˆen b3 chia hˆe´t cho 3, do d¯´o b chia hˆe´t cho

3 D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa’n v´o.i (a, b) = 1.

17. (Ch´u.ng minh b˘a`ng c´ach x´et c´ac tru.`o.ng ho p) Cho n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen khˆong

chia hˆe´t cho 5 Khi d¯´o n = 5q + r v´ o.i r = 1, 2, 3, 4 v` a n2 = 25q2+ 10qr + r2.– V´o.i r = 1 ta c´ o n2 = 5(5q2+ 2qr) + 1,

– V´o.i r = 2 ta c´ o n2 = 5(5q2+ 2qr) + 4,

– V´o.i r = 3 ta c´o ta c´o n2 = 5(5q2+ 2qr + 1) + 4,

– V´o.i r = 4 ta c´o ta c´o n2 = 5(5q2+ 2qr + 3) + 1.

Do d¯´o n2 chia cho 5 c´o du 1 ho˘a.c 4

cu’a mˆe.nh d¯ˆe` n`ay l`a:

(∃x ∈ R) (∀y ∈ R) (x + y = 1) ≡ (∀x ∈ R) (∃y ∈ R) (x + y 6= 1) (d¯´ung).

b) V´o.i mo.i sˆo´ thu c x tˆ. `n ta.i sˆo´ thu c y, ta c´o x + y = 1 (d¯´ung) Phu’ d¯i.nho

cu’a mˆe.nh d¯ˆe` n`ay l`a:

(∀x ∈ R) (∃y ∈ R) (x + y = 1) ≡ (∃x ∈ R) (∀y ∈ R) (x + y 6= 1) (sai).

c) V´o.i mo.i sˆo´ tu nhiˆ. en n tˆ `n ta.i sˆo´ tu nhiˆen m, ta c´o n < m (d¯´ung) Phu’o

d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe` n`ay l`a:

(∀n ∈ N) (∃m ∈ N) (n < m) ≡ (∃n ∈ N) (∀n ∈ N) (n ≥ m) (sai).

d) Tˆ`n ta.i sˆo´ tu nhiˆen n v´o.i mo.i sˆo´ tu nhiˆen m, ta c´o n < m (sai) Phu’o

d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe` n`ay l`a:

h) ∃x ∀y ∀z ((F (y, x) ∧ (F (y, z) ⇒ z = x))).

b) Khˆong d¯´ung Ta chı’ c´o (A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D) Bao

h`am th´u.c ngu.o. c la.i khˆong c´o Ch˘a’ng ha.n, cho.n A = D = ∅ v`a B 6= ∅, C 6= ∅ th`ı

vˆe´ tr´ai l`a tˆa.p rˆo˜ng trong khi vˆe´ pha’i kh´ac rˆo˜ng

23. C´ac cˆau a), b) v`a c) suy t`u d¯i.nh ngh˜ıa Go.i p, q, r tu.o.ng ´u.ng l`a c´ac mˆe.nh

d¯ˆ` x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C Khi d¯´e o x ∈ A ⊕ B ch´ınh l`a mˆe.nh d¯ˆe` tuyˆe’n loa.i p ⊕ q.

Cho A1, A2, , A m l`a m tˆa.p h˜u.u ha.n cu’a tˆa.p h˜u.u ha.n U B˘a`ng quy na.p

c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o. c r˘a`ng:

|A1∪ A2∪ ∪ A m | = N1− N2 + N3− · · · + (−1) n−1 N m ,

CHU . O . NG II:

´ ANH XA .

2.1 ´ ANH XA .

2.1.1 D - i.nh ngh˜ıa v`a th´ı du.:

2.1.1.1 Mo ’ d ¯ˆ ` u: ´ a Anh xa l`a mˆo.t kh´ai niˆe.m cu c k`. y quan tro.ng trong to´an ho.c

C´ac ´anh xa c`on d¯u.o c d`ung d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa c´ac cˆa´u tr´uc r`o.i ra.c nhu c´ac d˜ayc´ac xˆau ´Anh xa c˜ung d`ung d¯ˆe’ biˆe’u diˆe˜n th`o.i gian mˆo.t m´ay t´ınh pha’i mˆa´t d¯ˆe’gia’i mˆo.t b`ai to´an c´o quy mˆo d¯˜a cho C´ac h`am (´anh xa.) d¯ˆe quy, t´u.c l`a c´ac h`am

d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa qua ch´ınh n´o d¯u.o c d`ung xuyˆen suˆo´t trong tin ho.c

2.1.1.2 D- i.nh ngh˜ıa: Cho hai tˆa.p ho p A v`a B Mˆo.t ´anh xa f t`u A v`ao B l`a

mˆo.t su gh´. ep d¯ˆoi mˆo˜i phˆa` n tu.’ a ∈ A v´o.i mˆo.t phˆa` n tu.’ duy nhˆa´t cu’a B, k´y hiˆe.u

f (a) Phˆ` n tu.a ’ f (a) ∈ B d¯u.o. c go.i l`a gi´a tri cu’a f ta.i a A d¯u.o c go.i l`a tˆa.p nguˆo`nhay miˆ` n x´e ac d¯i.nh v`a B go.i l`a tˆa.p d¯´ıch hay miˆe` n gi´a tri Mˆo.t ´anh xa f t`u A v`ao

B c`on d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t h`am t`u A v`ao B v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i

f : A −→ B hay A −→ B hay f : x ∈ A 7−→ f (x) ∈ B f

Th´ ı du : 1) Go.i A l`a tˆa.p ho p c´. ac b`ai thi cu’a c´ac sinh viˆen trong mˆo.t l´o.p n`ao

d¯´o Khi chˆa´m b`ai thi theo thang d¯iˆe’m 10, thˆ` y gi´a ao chˆa´m thi d¯˜a thiˆe´t lˆa.p mˆo.t

´

anh xa t`u A v`ao tˆa.p ho p {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

2) Cho A l`a mˆo.t tˆa.p ho p Mˆ. o.t su gh´. ep d¯ˆoi mˆo˜i phˆa` n tu.’ x ∈ A v´ o.i ch´ınh x

l`a mˆo.t ´anh xa t`u A d¯ˆe´n A ´Anh xa n`ay d¯u.o c go.i l`a ´anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t cu’a A v`a

d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a id A ho˘a.c 1A

2.1.1.3 D- i.nh ngh˜ıa: Cho ´anh xa f : A −→ B Ta go.i tˆa.p ho p G =

{(x, f (x)) | x ∈ A} ⊂ A × B l`a d¯ˆ` thi cu’a ´anh xa f.o

Nhu vˆa.y, khi cho ´anh xa f : A −→ B, ta c´o tˆa.p con G cu’a A × B c´o t´ınh

chˆa´t l`a v´o.i mo.i x ∈ A, tˆo `n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t c˘a.p thuˆo.c G, c´o th`anh phˆa` n th´u.nhˆa´t l`a x D - a’o la.i, nˆe´u G ⊂ A × B c´o t´ınh chˆa´t d¯´o th`ı G cho ta mˆo.t ´anh xa.

f : A −→ B m`a d¯ˆ` thi cu’a f l`a G V`ı vˆa.y, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ d¯ˆoo `ng nhˆa´t ´anh xa

f : A −→ B v´o.i d¯ˆ` thi G cu’a n´o.o

2.1.1.4 D- i.nh ngh˜ıa: Hai ´anh xa f, g : A −→ B d¯u.o c go.i l`a b˘a`ng nhau, k´y

hiˆe.u f = g, nˆe´u v´o i mo.i x ∈ A, ta c´o f(x) = g(x).

2.1.1.5 D- i.nh ngh˜ıa: Cho ´anh xa f : A −→ B v`a X ⊂ A Ta go.i ´anh xa.

g : X −→ B l` a thu he.p cu’a f lˆen X, k´y hiˆe.u l`a g = f | X, nˆe´u v´o.i mo.i x ∈ X,

f (x) = g(x).Khi d¯´o f go.i l`a mo’ rˆ. o.ng cu’a g lˆen A.

Ch´u ´y r˘a`ng, thu he.p cu’a mˆo˜i ´anh xa lˆen mˆo.t tˆa.p con cu’a tˆa.p nguˆo`n l`a duynhˆa´t, nhu.ng mo.’ rˆo.ng cu’a mˆo˜i ´anh xa lˆen mˆo.t tˆa.p ho p ch´. u.a tˆa.p nguˆo`n l`a khˆongduy nhˆa´t

Th´ ı du : 1) Hai ´anh xa f : R −→ [−1, 1] : x 7−→ sin x v`a g : [0, 2π] −→ [−1, 1] :

x 7−→ sin x l`a hai ´anh xa kh´ac nhau v`ı ch´ung c´o c´ac tˆa.p nguˆo`n kh´ac nhau Tuynhiˆen, f | [0,2π] = g.

2) Cho A = {1, 2, 3, 4}, X = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} v`a ´anh xa g : X −→ B :

1 7−→ a, 2 7−→ b, 3 7−→ c Khi d¯´o c´o 3 mo.’ rˆo.ng cu’a g lˆen A l`a f1, f2, f3 : A −→ B

cho bo.’ i f i (1) = a, f i (2) = b, f i (3) = c (i = 1, 2, 3), f1(4) = a, f2(4) = b, f3(4) = c.

3) Cho c´ac ´anh xa f : R −→ R+0, g : R −→ Z, h : R −→ R x´ac d¯i.nh bo’ i:.

f (x) = |x|, g(x) = [x] (phˆ ` n nguyˆen cu’a x), h(x) = x − [x] (phˆa ` n le’ cu’a x).a

2.1.2 A ’ nh v`a ta.o a’nh:

2.1.2.1 D- i.nh ngh˜ıa: Cho ´anh xa f : A −→ B, x ∈ A, X ⊂ A, S ⊂ B Khi

d¯´o ta go.i:

– f (x) l` a a’nh cu’a x bo ’ i f ,

– f (X) = {f (x) ∈ B | x ∈ X} l` a a’nh cu’a X bo ’ i f ,

– f−1(S) = {x ∈ A | f (x) ∈ S} l` a ta.o a’nh cu’a S bo ’ i f .

D- ˘a.c biˆe.t, v´o.i y ∈ B, f−1({y}) = {x ∈ A | f (x) = y} v`a viˆe´t d¯o.n gia’n l`a

f−1(y) Khi X = A, ta go.i f (A) l`a a’nh cu’a f v`a k´y hiˆe.u l`a Imf R˜o r`ang khi

X = ∅ ta c´ o f (∅) = ∅ T`u d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o:

X ⊂ X0 ⊂ A ⇒ f (X) ⊂ f (X0) ⊂ f (A), S ⊂ S0 ⊂ B ⇒ f−1(S) ⊂ f−1(S0) ⊂ A.

Th´ ı du : 1) Cho A = {a, b, c, d, e}, B = {1, 2, 3, 4}, X = {a, b, d}, Y = {3, 4} v`a

f : A −→ B x´ac d¯i.nh bo’ i f (a) = 1, f (b) = 4, f (c) = 2, f (d) = 1, f (e) = 4 Khi.

d¯´o ta c´o:

f (X) = {1, 4}, Imf = {1, 2, 4}, f−1(Y ) = {b, e}, f−1(3) = ∅, f−1(1) = {a, d}.

2) Cho ´anh xa f : R −→ R x´ac d¯i.nh bo ’ i f (x) = cos x Khi d¯´. o ta c´o:

2.1.2.2 Mˆ e.nh d¯ˆe ` : Cho ´anh xa f : A −→ B, X v`a Y l`a c´ac tˆa.p con cu’a A, S

v`a T l`a c´ac tˆa.p con cu’a B Khi d¯´o ta c´o:

f−1(S) ∪ f−1(T ).

6) x ∈ f−1(S ∩ T ) ⇔ f (x) ∈ S ∩ T ⇔ (f (x) ∈ S) ∧ (f (x) ∈ T ) ⇔ (x ∈ f−1(S)) ∧ (x ∈ f−1(T )) ⇔ x ∈ f−1(S) ∩ f−1(T ) Do d¯´o f−1(S ∩ T ) =

f−1(S) ∩ f−1(T ).

7) y ∈ f (A) \ f (X) ⇒ (y ∈ f (A)) ∧ (y / ∈ f (X)) ⇒ (∃x ∈ A, y = f (x)) ∧ x / ∈

X ⇒ x ∈ A \ X, y = f (x) ⇒ y ∈ f (A \ X) Do d¯´o f (A) \ f (X) ⊂ f (A \ X).

8) x ∈ f−1(B \ S) ⇔ f (x) ∈ B \ S ⇔ (f (x) ∈ B) ∧ (f (x) / ∈ S) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x / ∈ f−1(S)) ⇔ x ∈ A \ f−1(S) Do d¯´o f−1(B \ S) = A \ f−1(S).

Trong 1), 2), 4), 7), c´ac bao h`am ngu.o. c la.i n´oi chung khˆong d¯´ung

Thˆa.t vˆa.y, cho.n A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}, X = {1, 2}, Y = {3, 4}, S =

{1, 3} v` a f : A −→ B l`a ´anh xa x´ac d¯i.nh bo’ i f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) =.

2.1.3 D - o.n ´ anh, to` an ´ anh, song ´ anh:

2.1.3.1 D- i.nh ngh˜ıa: ´Anh xa f : A −→ B d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh nˆe´u v´o.i

mo.i x1, x2 ∈ A, x1 6= x2 k´eo theo f (x1) 6= f (x2) (hay f (x1) = f (x2) k´eo theo

x1 = x2) Ngu.`o.i ta c`on go.i mˆo.t d¯o.n ´anh l`a mˆo.t ´anh xa mˆo.t d¯ˆo´i mˆo.t

2.1.3.2 D- i.nh ngh˜ıa: ´Anh xa f : A −→ B d¯u.o c go.i l`a mˆo.t to`an ´anh nˆe´u

f (A) = B, t´u.c l`a v´o.i mo.i y ∈ B, tˆo `n ta.i x ∈ A sao cho f(x) = y Ngu.`o.i ta c`on go.i to`an ´anh f : A −→ B l`a mˆo.t ´anh xa t`u A lˆen B.

2.1.3.3 D- i.nh ngh˜ıa: ´Anh xa f : A −→ B d¯u.o c go.i l`a mˆo.t song ´anh hay mˆo.t

´

anh xa mˆo.t d¯ˆo´i mˆo.t t`u A lˆen B nˆe´u n´o v`u.a l`a d¯o.n ´anh v`u.a l`a to`an ´anh, t´u.c l`a

v´o.i mo.i y ∈ B, tˆo `n ta.i duy nhˆa´t x ∈ A sao cho f(x) = y.

Th´ ı du : 1) Cho A l`a mˆo.t tˆa.p ho p v`. a B ⊂ A ´Anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t id A l`a mˆo.tsong ´anh v`a “ph´ep bao h`am” B −→ A : x 7−→ x l`a mˆo.t d¯o.n ´anh

2) ´Anh xa n ∈ Z 7−→ −n ∈ Z l`a mˆo.t song ´anh, ´anh xa n ∈ Z 7−→ 2n ∈ Z l`a

mˆo.t d¯o.n ´anh nhu.ng khˆong pha’i l`a to`an ´anh v`a ´anh xa n ∈ Z 7−→ n2 ∈Z khˆongpha’i l`a d¯o.n ´anh v`a c˜ung khˆong pha’i l`a to`an ´anh

3) ´Anh xa f : R −→ R : x 7−→ x3 l`a mˆo.t song ´anh nhu.ng ´anh xa g : Q −→

R : x 7−→ x3 l`a mˆo.t d¯o.n ´anh v`a khˆong pha’i l`a mˆo.t to`an ´anh

4) ´Anh xa x ∈ R 7−→ sin x ∈ R khˆong l`a d¯o.n ´anh v`a c˜ung khˆong l`a to`an

´

anh nhu.ng ´anh xa x ∈ R 7−→ sin x ∈ [−1, 1] l`a mˆo.t to`an ´anh v`a khˆong pha’i l`a

mˆo.t d¯o.n ´anh

2.1.4 Ho p th` anh cu’a c´ ac ´ anh xa :

2.1.4.1 D- i.nh ngh˜ıa: Cho hai ´anh xa f : A −→ B v`a g : B −→ C Khi d¯´o ta

c´o ´anh xa h : A −→ C cho bo ’ i h(x) = g(f (x)) v`. a h d¯u.o. c go.i l`a ho. p th`anh hayt´ıch cu’a ´anh xa f v`a ´anh xa g, k´y hiˆe.u g ◦ f hay gf

Th´ ı du : 1) Cho ´anh xa f : A −→ B Khi d¯´o f ◦ id A = f v` a id B ◦ f = f

2) Cho hai ´anh xa f, g : R −→ R cho bo ’ i f (x) = 3x + 2, g(x) = cos x..

Khi d¯´o g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(3x + 2) = cos(3x + 2) v` a f ◦ g(x) = f (g(x)) =

f (cos x) = 3 cos x + 2 R˜o r`ang f ◦ g 6= g ◦ f

3) Cho hai ´anh xa f : R \ {0} −→ R v`a g : R −→ R+ cho bo.’ i f (x) = 1

x v`ag(x) = x2+ 1 Khi d¯´o ta c´o g ◦ f : R \ {0} −→ R+ : x 7−→ g(f (x)) = x

2+ 1

x2

2.1.4.2 Mˆ e.nh d¯ˆe ` : Cho ba ´anh xa f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D.

Khi d¯´o ta c´o (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).

Ch´ u.ng minh: V´o.i mo.i x ∈ A, ta c´o

((h ◦ g) ◦ f )(x) = h ◦ g(f (x)) = h(g(f (x))) = h(g ◦ f (x)) = (h ◦ (g ◦ f ))(x).

Do d¯´o (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).

T`u d¯´o ta n´oi ph´ep ho. p th`anh ´anh xa c´o t´ınh kˆe´t ho p..

2.1.4.3 Mˆ e.nh d¯ˆe ` Cho hai ´anh xa f : A −→ B v`a g : B −→ C Khi d¯´o:

1) Nˆe´u f v` a g l`a c´ac d¯o.n ´anh th`ı g ◦ f l`a d¯o.n ´anh

2) Nˆe´u f v` a g l`a c´ac to`an ´anh th`ı g ◦ f l`a to`an ´anh

3) Nˆe´u f v` a g l`a c´ac song ´anh th`ı g ◦ f l`a song ´anh

= {g(f (x)) | f (x) ∈ B} (do f l`a to`an ´anh)= g(B) = C (do g l`a to`an ´anh)

Vˆa.y g ◦ f l`a to`an ´anh.

3) Suy t`u.1) v` a 2).

2.1.4.4 D- i.nh ngh˜ıa: Cho f : A −→ B v`a g : B −→ A l`a hai ´anh xa sao cho

g ◦ f = id A v`a f ◦ g = id B Khi d¯´o ta n´oi g l`a ´anh xa ngu.o c cu’a f.

Th´ ı du : 1) Cho hai ´anh xa f, g : R −→ R x´ac d¯i.nh bo ’ i f (x) = 2x + 5 v`. a

Vˆa.y g l`a ´anh xa ngu o c cu’a f v`a f c˜ung l`a ´anh xa ngu.o c cu’a g.

2) Cho hai ´anh xa f : R −→ R+ v`a g : R+ −→ R x´ac d¯i.nh bo’ i f (x) = a. x

v`a g(x) = log a x, o.’ d¯ˆay a ∈ R, a > 0, a 6= 1 V´ o.i mo.i x ∈ R ta c´o:

g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(a x) = loga (a x ) = x = idR(x).

f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (log a x) = alogax = x = idR+

Vˆa.y g l`a ´anh xa ngu o c cu’a f v`a f c˜ung l`a ´anh xa ngu.o c cu’a g.

2.1.4.5 Mˆ e.nh d¯ˆe ` : ´Anh xa f : A −→ B c´o ´anh xa ngu o c khi v`a chı’ khi f l`a

mˆo.t song ´anh

Ch´ u.ng minh: Gia’ su.’ f c´o ´anh xa ngu.o c l`a g : B −→ A T`u d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o

g ◦ f = id A v`a f ◦ g = id B Khi d¯´o v´o.i mo.i x, x0 ∈ A,

f (x) = f (x0) ⇒ g(f (x)) = g(f (x0)) ⇒ x = x0

Vˆa.y f l`a mˆo.t d¯o n ´anh Ngo`ai ra, v´o.i mo.i y ∈ B, tˆo`n ta.i x = g(y) ∈ A sao cho

f (x) = f (g(y)) = y Vˆ a.y f l`a mˆo.t to`an ´anh Do d¯´o f l`a mˆo.t song ´anh.

D- a’o la.i, gia’ su.’ f l`a mˆo.t song ´anh Quy t˘a´c cho tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i y ∈ B v´o.i

phˆ` n tu.a ’ duy nhˆa´t cu’a f−1(y) x´ac d¯i.nh ´anh xa g : B −→ A v`a dˆe˜ d`ang c´o d¯u.o c

g ◦ f = id A v`a f ◦ g = id B Do d¯´o g l`a ´anh xa ngu.o c cu’a f.

2.1.4.6 Mˆ e.nh d¯ˆe` : Nˆe´u g, g0 : B −→ A l`a hai ´anh xa ngu.o c cu’a f th`ı g = g0

Ch´u.ng minh: Do g ◦ f = id A v`a f ◦ g0 = id B nˆen ta c´o

g = g ◦ id B = g ◦ (f ◦ g0) = (g ◦ f ) ◦ g0 = id A ◦ g0 = g0

K´ y hiˆ e.u: ´Anh xa ngu.o c duy nhˆa´t cu’a ´anh xa f thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a f−1

Dˆ˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng: (fe −1)−1 = f, (g ◦ f )−1 = f−1◦ g−1

2.1.4.7 Mˆ e.nh d¯ˆe` : Cho A, B l`a hai tˆa.p h˜u.u ha.n c´o c`ung ba’n sˆo´ v`a ´anh xa

f : A −→ B Khi d¯´o c´ac d¯iˆ` u sau tu.o.ng d¯u.o.ng.e

1) f l`a mˆo.t d¯o.n ´anh

2) f l`a mˆo.t to`an ´anh

3) f l`a mˆo.t song ´anh

Ch´u.ng minh: 1) ⇒ 2) v`ı |A| = |B| (gia’ thiˆe´t) v`a |A| = |f (A)| (do f l`a d¯o.n

´

anh), nˆen |f (A)| = |B| Do d¯´o f (A) = B hay f l`a mˆo.t to`an ´anh

2) ⇒ 3) V`ı f l`a to`an ´anh nˆen nˆe´u f khˆong l`a song ´anh th`ı f khˆong l`a d¯o.n

´

anh Khi d¯´o tˆ`n ta.i hai phˆao ` n tu.’ cu’a A c´o chung a’nh V`ı vˆa.y, |B| = |f (A)| < |A|.

D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa’n v´o.i gia’ thiˆe´t

3) ⇒ 1) Hiˆe’n nhiˆen

2.1.5 Ho nh˜ u.ng phˆ ` n tu a ’ cu’a mˆ o t tˆ a p ho p: .

2.1.5.1 D- i.nh ngh˜ıa: Cho I l`a mˆo.t tˆa.p ho p t`uy ´y kh´ac rˆo˜ng v`a mˆo.t ´anh xa.

f : I −→ A Khi d¯´o, v´o.i mˆo˜i α ∈ I ta k´y hiˆe.u f (α) bo ’ i x. α v`a n´oi c´ac phˆ` n tu.a ’ x α

v´o.i α ∈ I th`anh lˆa.p mˆo.t ho nh˜u.ng phˆa`n tu.’ cu’a A d¯u.o c d¯´anh sˆo´ bo.’i tˆa.p ho p I,

k´y hiˆe.u (x α)α∈I, c`on tˆa.p ho p I go.i l`. a tˆa.p chı’ sˆo´ Nˆe´u c´ac x α l`a nh˜u.ng tˆa.p ho p.

th`ı ta go.i (x α)α∈I l`a mˆo.t ho tˆa.p ho p d. ¯´anh sˆo´ bo.’ i tˆa.p ho p I Nˆ. e´u c´ac phˆ` n tu.a ’

cu’a A l`a nh˜u.ng tˆa.p con cu’a mˆo.t tˆa.p ho p U th`ı ta go.i (x. α)α∈I l`a mˆo.t ho nh˜u.ng

tˆa.p con cu’a tˆa.p ho p U .

Th´ ı du : 1) Cho ´anh xa f : N −→ R : n 7−→ a n = f (n) Khi d¯´o ta c´o ho sˆo´ thu c.

(a n)n∈N d¯u.o. c d¯´anh sˆo´ bo.’ i tˆa.p ho p N c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen v`a ta thu.`o.ng go.i l`a d˜ay sˆo´thu. c (a n)n∈N

2) Cho ´anh xa g : N −→ P(N) : n 7−→ J n = {0, 1, , n} Khi d¯´o ta c´o d˜aynh˜u.ng tˆa.p con cu’a tˆa.p ho p N:.

J0 ⊂ J1 ⊂ · · · ⊂ J n ⊂ · · ·

2.1.5.2 D- i.nh ngh˜ıa: Cho (A α)α∈I l`a mˆo.t ho tˆa.p ho p Ta go.i.

– Ho. p cu’a ho (A α)α∈I l`a mˆo.t tˆa.p ho p, k´. y hiˆe.u ∪

A α go.i l`a l˜uy th`u.a Descartes bˆa.c I cu’a A v`a

k´y hiˆe.u l`a A I

Th´ ı du : 1) X´et ho tˆa.p con (J n)n∈N cu’a tˆa.p ho p N, trong d. ¯´o J n = {0, 1, , n}.

2.2.1 Nh˜ u.ng nguyˆ en l´ y d ¯ˆ e ´m co ba’n:

2.2.1.1 Quy t˘ a ´c cˆ o ng: Gia’ su’ c´. o hai cˆong viˆe.c Viˆe.c th´u nhˆa´t c´o thˆe’ l`amb˘a`ng n1 c´ach, viˆe.c th´u hai c´o thˆe’ l`am b˘a`ng n2 c´ach v`a nˆe´u hai viˆe.c n`ay khˆongthˆe’ l`am d¯ˆ`ng th`o o.i th`ı s˜e c´o n1+ n2 c´ach l`am mˆo.t trong hai viˆe.c d¯´o

Quy t˘a´c cˆo.ng c´o thˆe’ mo.’ rˆo.ng cho tru.`o.ng ho p c´o nhiˆe` u ho.n hai cˆong viˆe.c.Gia’ su.’ c´ac viˆe.c T1, T2, , T m c´o thˆe’ l`am tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng n1, n2, , n m c´achv`a khˆong c´o hai viˆe.c n`ao c´o thˆe’ l`am d¯ˆo`ng th`o.i Khi d¯´o sˆo´ c´ach l`am mˆo.t trong

m viˆ e.c d¯´o l`a n1 + n2+ · · · + n m

Nguyˆen l´y cˆo.ng c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng ngˆon ng˜u tˆa.p ho p nhu sau: Nˆe´u

A1, A2, , A n l`a c´ac tˆa.p h˜u.u ha.n d¯ˆoi mˆo.t r`o.i nhau, khi d¯´o sˆo´ phˆa`n tu.’ cu’a ho pc´ac tˆa.p ho p n`. ay l`a

|A1∪ A2 ∪ ∪ A n | = |A1| + |A2| + · · · + |A n |.

Th´ ı du : Mˆo.t sinh viˆen c´o thˆe’ cho.n b`ai thu c h`. anh m´ay t´ınh t`u mˆo.t trong badanh s´ach tu.o.ng ´u.ng c´o 24, 16 v`a 20 b`ai C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n b`ai thu c h`. anh?C´o 24 c´ach cho.n b`ai thu c h`. anh t`u danh s´ach th´u nhˆa´t, 16 c´ach t`u danh s´achth´u hai v`a 20 c´ach t`u danh s´ach th´u ba V`ı vˆa.y c´o 24 + 16 + 20 = 60 c´ach cho.nb`ai thu. c h`anh

2.2.1.2 Quy t˘ a ´c nhˆ an: Gia’ su.’ mˆo.t nhiˆe.m vu n`ao d¯´o d¯u.o c t´ach l`am hai viˆe.c.Viˆe.c th´u nhˆa´t c´o thˆe’ l`am b˘a`ng n1 c´ach, viˆe.c th´u hai c´o thˆe’ l`am b˘a`ng n2 c´achsau khi viˆe.c th´u nhˆa´t d¯˜a d¯u.o c l`am, khi d¯´o s˜e c´o n1.n2 c´ach thu. c hiˆe.n nhiˆe.m vu.n`ay.

Ngu.`o.i ta thu.`o.ng su.’ du.ng quy t˘a´c nhˆan mo.’ rˆo.ng Gia’ su.’ mˆo.t nhiˆe.m vu n`ao

d¯´o d¯u.o. c thi h`anh b˘a`ng c´ach thu. c hiˆe.n c´ac viˆe.c T1, T2, , T m v`a nˆe´u viˆe.c T i c´othˆe’ l`am b˘a`ng n i c´ach sau khi c´ac viˆe.c T1, T2, , T i−1 d¯˜a d¯u.o. c l`am Khi d¯´o c´o

n1.n2 .n m c´ach thi h`anh nhiˆe.m vu d¯˜a cho

Nguyˆen l´y nhˆan c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng ngˆon ng˜u tˆa.p ho p nhu sau:

Nˆe´u A1, A2, , A n l`a c´ac tˆa.p h˜u.u ha.n, khi d¯´o sˆo´ phˆa`n tu.’ cu’a t´ıch Descartes

A1× A2× · · · × A n l`a

|A1× A2× · · · × A n | = |A1|.|A2| |A n |.

Th´ ı du : 1) Ngu.`o.i ta c´o thˆe’ ghi nh˜an cho nh˜u.ng chiˆe´c ghˆe´ trong mˆo.t gia’ng

d¯u.`o.ng b˘a`ng mˆo.t ch˜u c´ai (trong ba’ng ch˜u c´ai tiˆe´ng Anh) v`a mˆo.t sˆo´ nguyˆendu.o.ng khˆong vu.o. t qu´a 100 B˘a`ng c´ach nhu vˆa.y, nhiˆe` u nhˆa´t c´o bao nhiˆeu chiˆe´cghˆe´ c´o thˆe’ d¯u.o. c ghi nh˜an kh´ac nhau

Thu’ tu.c ghi nh˜an cho mˆo.t chiˆe´c ghˆe´ gˆo`m hai viˆe.c, g´an mˆo.t trong 26 ch˜u.c´ai v`a sau d¯´o g´an mˆo.t trong 100 sˆo´ nguyˆen du.o.ng Quy t˘a´c nhˆan chı’ r˘a`ng c´o

26.100 = 2600 c´ach kh´ac nhau d¯ˆe’ g´an nh˜an cho mˆo.t chiˆe´c ghˆe´ Nhu vˆa.y nhiˆe`unhˆa´t ta c´o thˆe’ g´an nh˜an cho 2600 chiˆe´c ghˆe´

2) C´o bao nhiˆeu xˆau nhi phˆan d¯ˆo d`ai n?

Mˆo˜i mˆo.t trong n bit cu’a xˆau nhi phˆan c´o thˆe’ cho.n b˘a`ng hai c´ach v`ı mˆo˜i bit

ho˘a.c b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng 1 Bo’ i vˆ. a.y, theo quy t˘a´c nhˆan cho thˆa´y c´o tˆo’ng cˆo.ng 2n

xˆau nhi phˆan kh´ac nhau d¯ˆo d`ai n.

Cho X l`a mˆo.t tˆa.p ho p c´. o n phˆ` n tu.a ’ Khi d¯´o c´ac tˆa.p con cu’a X tu.o.ng ´u.ng1-1 v´o.i c´ac xˆau nhi phˆan d¯ˆo d`ai n (xem 1.2.3.5) V`ı vˆa.y tˆa.p l˜uy th`u a P(X) c´o

ba’n sˆo´ l`a 2n

3) C´o thˆe’ ta.o d¯u.o c bao nhiˆeu ´anh xa t`u mˆo.t tˆa.p ho p A c´o m phˆa`n tu.’ v`ao

mˆo.t tˆa.p ho p B c´. o n phˆ` n tu.a ’

Theo d¯i.nh ngh˜ıa, mˆo.t ´anh xa x´ac d¯i.nh trˆen A c´o gi´a tri trˆen B l`a mˆo.t ph´ep

tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a A v´o.i mˆo.t phˆa` n tu.’ n`ao d¯´o cu’a B R˜o r`ang sau khi

d¯˜a cho.n d¯u.o c a’nh cu’a i − 1 phˆa`n tu.’ d¯ˆa`u, d¯ˆe’ cho.n a’nh cu’a phˆa`n tu.’ th´u i cu’a A

ta c´o n c´ach V`ı vˆa.y theo quy t˘a´c nhˆan, ta c´o n.n n = n m ´anh xa x´ac d¯i.nhtrˆen A nhˆ a.n gi´a tri trˆen B.

4) C´o bao nhiˆeu d¯o.n ´anh x´ac d¯i.nh trˆen tˆa.p ho p A c´. o m phˆ` n tu.a ’ v`a nhˆa.ngi´a tri trˆen tˆa.p ho p B c´. o n phˆ` n tu.a ’

Nˆe´u m > n th`ı v´o.i mo.i ´anh xa., ´ıt nhˆa´t c´o hai phˆa` n tu.’ cu’a A c´o c`ung mˆo.ta’nh, d¯iˆ` u d¯´e o c´o ngh˜ıa l`a khˆong c´o d¯o.n ´anh t`u A d¯ˆe´n B Bˆay gi`o gia’ su.’ m ≤ n

v`a go.i c´ac phˆa` n tu.’ cu’a A l` a a1, a2, , a m R˜o r`ang c´o n c´ach cho.n a’nh cho phˆa` n

tu.’ a1 V`ı ´anh xa l`a d¯o.n ´anh nˆen a’nh cu’a phˆa`n tu.’ a2 pha’i kh´ac a’nh cu’a a1 nˆen