Giáo trình Cơ sở Toán học cao cấp - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Ngoµi viÖc sö dông trong gi¸o tr×nh nµy, nã gióp häc viªn hiÓu râ b¶n chÊt cña nh÷ng kh¸i niÖm trõu t − îng trong lý thuyÕt T« p« tæng qu¸t.[r]

Lêi giíi thiƯu

Do ảnh h−ởng cách mạng thông tin phát triển nội toán học, việc giảng dạy toán bậc đại học cao học có nhiều thay đổi Xu h−ớng chung nhanh chóng cho học viên nắm bắt đ−ợc kiến thức toán học khả ứng dụng, đồng thời sử dụng đ−ợc ch−ơng trình tính tốn thực hành cách thục

Để đáp ứng nhu cầu đó, sở đề tài khoa học Phần mềm Cơ sở Toán học Trung tâm Khoa học tự nhiên Cơng nghệ Quốc gia Viện Tốn học chủ trì thực từ năm 1996 đến năm 1998, chúng tơi biên soạn giáo trình Cơ sở Tốn học Cao cấp giành cho sinh viên đại học cao học

Bộ giáo trình đ−ợc biên soạn dựa theo nội dung ch−ơng trình toán cao cấp khoa tr−ờng đại học do Bộ Giáo dục Đào tạo qui định, kết hợp với giáo trình toán đ−ợc giảng dạy tr−ờng đại học Hà Nội và số n−ớc tiên tiến giới Mục đích giáo trình là: 1 Trình bày khái niệm, nguyên lý cần

thiÕt nhÊt cđa to¸n học, với chứng minh chặt chẽ, lô gic;

2 Rèn luyện kỹ tính toán thực hành máy tính khả năng áp dụng công cụ toán học việc giải to¸n thùc tiƠn;

3 Giới thiệu số h−ớng phát triển toán học đại đang đ−ợc quan tâm giới

Để đáp yêu cầu thứ nhất, chủ tr−ơng tránh đ−a vào giáo trình phần lý thuyết nặng nề sử dụng đến sau Phần tập đ−ợc biên soạn với mục đích giúp học viên củng cố kiến thức lý thuyết, không sa vào kỹ sảo tính tốn phức tạp

nay Ng−ời học không thử sức với tốn thách đố (để rèn luyện t− duy), mà biết sử dụng máy tính để giải một cách dễ dàng tốn hóc búa mà họ t−ởng chừng không thể giải Hi vọng tr−ờng họ khơng cịn phải ngại ngùng việc đ−a cơng cụ tốn học vào cơng việc Thực tế cho thấy, đâu tốn học phát huy đ−ợc tác dụng th−ờng thu đ−ợc kết bất ngờ

Cơng cụ tính tốn thực hành giới thiệu giáo trình là ch−ơng trình Maple V Đây ch−ơng trình tổng hợp, khá đồ sộ, nh−ng cài đặt máy tính cá nhân với cấu hình bình th−ờng (bộ nhớ tối thiểu 8MB) Với khả năng biểu diễn tính tốn cực mạnh (kể ký hiệu hình thức), đ−ợc xem ch−ơng trình phổ biến sử dụng công tác đào tạo tr−ờng đại học giới Nếu sử dụng đ−ợc Maple cách thục thì học viên dễ dàng tiếp cận với ch−ơng trình tính tốn phổ biến khác nh−: Matematica, Matlab, Mathcad, Bằng h−ớng dẫn cụ thể cho ch−ơng, giáo trình giúp ng−ời đọc tự mình b−ớc tiến hành cơng việc tính tốn cách nhẹ nhàng nh− bấm máy tính bỏ túi, khơng cần chuẩn bị đặc biệt về kiến thức lập trình

Để đạt đ−ợc mục đích thứ ba, chúng tơi đ−a vào giáo trình một số ch−ơng mục khơng kinh điển (không bắt buộc học viên bậc đại học), giúp ng−ời đọc làm quen với ý t−ởng trong tốn học đại, khích lệ tìm tịi phát triển mà lâu đ−ợc xem nh− bất di bất dịch toán học cổ điển Phần chắn đem lại hứng thú gợi ý mặt định h−ớng cho ng−ời có nguyện vọng đ−ợc đào tạo cao toán học, học viên cao học

rong phần giới thiệu với bạn đọc Giải tích I tác giả : Ts Đinh Thế Lục (chủ biên), Ts Phạm Huy Điển, Ts Nguyễn Xuân Tấn, Pts Tạ Duy Ph−ợng Nội dung sách bao gồm kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm đ−ợc mơn Giải tích năm thứ bậc đại học

Trong Ch−ơng chúng tơi khơng trình bầy chi tiết xây dựng tr−ờng số thực (để không làm lại phần việc ng−ời biên soạn giáo trình Số học), mà sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn biên tập bị chặn, tính chất quan trọng đ−ợc dùng nhiều lần ch−ơng trình Giải tích, đồng thời làm quen sinh viên với môn học Tô pô đại c−ơng thông qua khái niệm đ−ờng thẳng thực Ngồi việc sử dụng giáo trình này, giúp học viên hiểu rõ chất khái niệm trừu t−ợng lý thuyết Tô pô tổng quát Bên cạnh khái niệm kinh điển nh−: đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi hàm, chúng tơi giới thiệu (trong Ch−ơng 7) số khái niệm Giải tích khơng trơn, lĩnh vực đ−ợc quan tâm ứng dụng Ch−ơng ph−ơng trình vi phân (Ch−ơng 11) đ−ợc đ−a vào nhằm củng cố kiến thức đạo hàm, tích phân phục vụ nhu cầu tìm hiểu tốn đặt học, vật lý, hóa học, sinh học, Chúng không sâu vào lĩnh vực (để tránh gây chồng tréo với ng−ời biên soạn giáo trình ph−ơng trình vi phân) mà đặt mục đích giới thiệu khái niệm làm sở cho việc thực hành tính tốn

Để ng−ời đọc dễ tiếp thu, chúng tơi cố gắng trình bày giáo trình cách gọn gàng, đơn giản nh−ng đầy đủ Ngoại trừ phần giành lại cho môn khác, vấn đề nêu khn khổ giáo trình giải tích đ−ợc chứng minh chặt chẽ khúc triết Phần tập tính tốn thực hành đ−ợc biên soạn cơng phu, có nội dung bao quát tất chủ đề Chúng tơi hy vọng giáo trình cẩm nang tốt cho sinh viên tr−ờng kỹ thuật tổng hợp

5

Ch−¬ng

Tập hợp Số thực

1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.1 TËp hỵp

Tập hợp, Toán học, đ−ợc xem khái niệm “khởi đầu” khơng định nghĩa Nó đồng nghĩa với từ họ, hệ, lớp, đ−ợc dùng để mô tả quần thể đối t−ợng phân biệt đ−ợc mà t− nh−một thể trọn vẹn

Thí dụ Khi ta nói: Họ đ−ờng trịn đồng tâm, hệ ph−ơng trình tuyến tính, lớp hàm

đa thức, có nghĩa tập hợp đối t−ợng nói Tập hợp xe giới thành phố Hà Nội, tập hợp sinh viên Việt Nam, tập hợp đ−ờng phố xuất phát từ Hồ G−ơm, v.v ví dụ điển hình khái niệm tập hợp khơng Tốn học, mà ngơn ngữ thơng thng

Những thành viên tập hợp gọi phần tử (hay điểm) Cho A tập, ta viÕt

A

x∈ (đọc: x thuộc A) có nghĩa x phần tử A, viết x∉A (đọc: x khơng thuộc A) có nghĩa x phần tử A

1.1.2 Diễn tả tập hợp

Để diễn tả tập hỵp ng−êi ta dïng dÊu mãc { } Trong dÊu móc ta liệt kê tất phần tử tập hợp {x1, ,xn}, nêu thuộc tính chung (P) phần tử tập hợp cách viÕt {x : x tháa m·n (P)}

ThÝ dô A ={1, 2, 3, 4, 5}

hc A = {1, 2, ,5}

hc A = {x : x số tự nhiên cho x 5}

1.1.3 Tập rỗng

Ta quy ớc Tập rỗng (hay tập trống) tập hợp phần tử Ngời ta thờng ký hiệu tập rỗng

Thớ d Tp hp cỏc cầu thủ bóng đá Việt Nam đoạt giải Olympic năm 1996 tập rỗng; tập

Bài tập tính toán thực hành Chơng 12

236

Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm hệ ph−ơng trình      − = − = − = ' ' ' y x z x z y z y x

víi ®iỊu kiện khởi đầu x(0)=1, y(0)=0,

) ( =

z , biến độc lập t thay đổi đoạn

[-2,2], biến phụ thuộc y thay đổi on

[-4,5], chọn bớc: 0.05, yêu cầu máy cho biểu

diễn thành phần [z(t), x(t)] cđa nghiƯm

[> DEplot({D(x)(t)=y(t)-

z(t),D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)=

x(t)-y(t)*2},{x(t),y(t),z(t)},t=-2 2,[[x(0)=1, y(0)=0,z(0)=2]],stepsize=.05,scene=[z(t),x(t)]);

Với phơng trình vi phân bậc nhất hệ phơng trình vi phân bậc ẩn

máy không vẽ cho ta nghiệm mà vẽ trờng vectơ

Thớ d V th nghiệm ph−ơng trình vi phân

) (

2

1 x x2 y dx

dy= − − +

,

biến độc lập x thay đổi đoạn [-3,3],

biến phụ thuộc y thay đổi đoạn [-3,2] (Khi không cho điều kiện dầu máy khơng cho nghiệm cụ thể nào, mà cho tr−ờng vectơ)

[> DEplot(diff(y(x),x)=1/2*(x

-(x^2+4*y(x))^(1/2)),y(x), x=-3 3,y=-3 2, title=`Restricted domain`);

Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm hệ ph−ơng trình vi phân    − = − = ) ( ' ) ( ' x y y y x x

, biến độc lập t

thay đổi đoạn [-7,7] Với cỏc iu

kiện khởi đầu [x(0)=1.2, y(0)=1.2]

[x(0)=1, y(0)=0.7], m¸y sÏ cho ta tõng

nghiƯm t−¬ng øng

[> DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*

(1-y(t)),diff(y(t),t)=.3* y(t)*(x(t)-1)},[x(t), y(t)],t=-7 7, [[x(0)=1.2, y(0)=1.2],[x(0)=1,

y(0)=.7]],stepsize=.2, title=`Lotka-Volterra model`);

H×nh 12.2

Hình 12.3

Bài tập tính toán thực hành Chơng 12

237 Thớ d V đồ thị nghiệm ph−ơng trình vi phân

2

' y x

y=− − , biến c lp x thay i

đoạn [-1,2.5] Các điều kiện khởi đầu

[y(0)=0], [y(0)=1], [y(0)=-1], v tiêu đề:

‘Asymptotic solution’ (NghiÖm tiÖm cËn)

[>DEplot(D(y)(x)=-y(x)-x^2, y(x),x=1 2.5,[[y(0)=0], [y(0)=1],[y(0)=-1]],

title=`Asymptotic solution`);