Nguyên hàm và tích phân, bài tập ứng dụng

Nguyên hàm và tích phân, bài tập ứng dụng

CH ƯƠ NG II NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 1 BÀI T P Ậ S D NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Ử Ụ Ứ

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B T Ấ Đ NH Ị

1 Đ nh nghĩa: ị

•Giả sử y = f(x) liên t c trên kho ng (ụ ả a, b), khi đó hàm s ố y = F(x) là m tộ nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) khi và ch khi Fỉ ′(x) = f(x), ∀x∈(a, b).

•N u ế y = F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s ộ ủ ố y = f(x) thì t p h p t t c cácậ ợ ấ ả nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) là t p h p I ậ ợ = {F( x ) c c R+ ∈ } và tập hợp này còn được kí hi u dệ ướ ấi d u tích phân b t đ nh ấ ị I=∫ f ( x )dx F( x ) c= +

2 Vi phân:

2.1 Giả sử y = f(x) xác đ nh trên kho ng (ị ả a, b) và có đ o hàmạ t i đi m ạ ể x∈(a,b) Cho x m t s gia ộ ố ∆x sao cho (x + ∆x) ∈ (a,b), khi đó ta có:

( )′ ( )





• Công th c bi n đ i vi phân: ứ ế ổ

Ch n hàm s ọ ố y = x ⇒ dy = dx = x’.∆x = ∆x ⇒ dx = ∆x.

( ) ( )

′





( ) ( )

′

 =





• N u hàm s ế ố f(x) có vi phân t i đi m ạ ể x thì ta nói f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x.

Do df x( ) = f x′( )∆x nên f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x ⇔ f(x) có đ o hàm t i đi m ạ ạ ể x

2.2. Tính chất: Gi s u và v là 2 hàm s cùng kh vi t i đi m ả ử ố ả ạ ể x Khi đó:

2

udv vdu u

2.3 Vi phân của hàm hợp

 =



y f ( u )

u g( x ) và f, g kh vi thì ả dy= f u du′( ) = f u u x dx( ) ( )′

3 Quan h gi a đ o hàm ệ ữ ạ − nguyên hàm và vi phân:

( ) = ( ) + ⇔ ′( ) = ( ) ⇔ ( ) = ( )

4 Các tính ch t c a nguyên hàm và tích phân ấ ủ

4.1 N u ế f(x) là hàm s có nguyên hàm thì ố

( )

( ∫ f x dx)′= f x ; ( ) d( ∫ f x dx( ) ) = f x dx( )

4.2. N u F(ế x) có đ o hàm thì: ạ

∫d F x( ( ) ) =F x( ) +c

4.3. Phép cộng: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:

( ) ( ) ( ) ( )

4.4. Phép trừ: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:

( ) ( ) ( ) ( )

4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: 

( ) = ( )

∫kf x dx k f x dx , ∫ ∀k ≠ 0

4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x)

N u ế ∫ f x dx F x( ) = ( ) +c thì ∫ f g x g x dx( ( ) ) ′( ) =∫ f u du F u( ) = ( ) +c

5 Nh n xét: ậ N u ế ∫ f x dx F x( ) = ( ) +c v i F(ớ x) là hàm s c p thì ta nói tíchơ ấ phân b t đ nh ấ ị ∫ f x dx bi u di n đ( ) ể ễ ược dướ ại d ng h u h n Ta có nh n xét:ữ ạ ậ

N u m t tích phân b t đ nh bi u di n đế ộ ấ ị ể ễ ược dưới d ng h u h n thì hàm sạ ữ ạ ố

dưới d u tích phân là hàm s c p và đi u ngấ ơ ấ ề ược l i không đúng, t c là cóạ ứ nhi u hàm s dề ố ưới d u tích phân là hàm s c p nh ng tích phân b t đ nhấ ơ ấ ư ấ ị không bi u di n để ễ ược dưới d ng h u h n m c dù nó t n t i Ch ng h nạ ữ ạ ặ ồ ạ ẳ ạ

nh ng chúng không th bi u di n đư ể ể ễ ược dướ ại d ng h u h n.ữ ạ

II TÍCH PHÂN XÁC Đ NH Ị

1 Đ nh nghĩa: ị

Gi s hàm s ả ử ố f(x) xác đ nh và b ch n trên đo n [ị ị ặ ạ a, b] Xét m t phân ho chộ ạ

π b t kì c a đo n [ấ ủ ạ a, b], t c là chia đo n [ứ ạ a, b] thành n ph n tuỳ ý b i cácầ ở

đi m chia: ể a x= 0 <x 1 < < x n 1− <x n =b Trên m i đo n ỗ ạ [x k 1− , x l y b t kì k] ấ ấ

đi m ể ξ ∈k [x k−1, x k] và g i ọ ∆ =k x k −x k−1 là đ dài c a ộ ủ [x k−1, x k] Khi đó:

=

k 1

f ξ ∆ f ξ ∆ f ξ ∆ f ξ ∆ g i là t ng tích phân c a hàmọ ổ ủ

f(x) trên đo n [ạ a, b] T ng tích phân này ph thu c vào phân ho ch ổ ụ ộ ạ π, số kho ng chia n và ph thu c vào cách ch n đi m ả ụ ộ ọ ể ξk

=

∑

k

n

k 1

∆ ξ ∆ (là m t s xác đ nh) thì gi i h n này g i làộ ố ị ớ ạ ọ

tích phân xác đ nh c a hàm s ị ủ ố f(x) trên đo n [ạ a, b] và kí hi u là: ệ ∫b ( )

a

f x dx

Khi đó hàm s ố y = f(x) được g i là kh tích trên đo n [ọ ả ạ a, b]

2 Đi u ki n kh tích: ề ệ ả

Các hàm liên t c trên [ụ a, b], các hàm b ch n có h u h n đi m gián đo n trênị ặ ữ ạ ể ạ

[a, b] và các hàm đ n đi u b ch n trên [ơ ệ ị ặ a, b] đ u kh tích trên [ề ả a, b].

3 Ý nghĩa hình h c: ọ

N u ế f(x) > 0 trên đo n [ạ a, b] thì ∫b ( )

a

f x dx là di n tích c a hình thang congệ ủ

gi i h n b i các đớ ạ ở ường: y = f(x), x = a, x = b, y = 0

O

y

x

0

a=x ξ1 x 1

2

ξ x2 xk­1 xk xn­1 xn=b

k­1

C1

2

C

3

k

N

n­1

C

n

N 1

Ck

B1

2

k

B n

B k+1

4 Các đ nh lý, tính ch t và công th c c a tích phân xác đ nh: ị ấ ứ ủ ị

4.1. Định lý 1: N u ế f(x) liên t c trên đo n [ụ ạ a, b] thì nó kh tích trên đo n [ả ạ a, b]

4.2. Định lý 2: N u ế f(x), g(x) liên t c trên ụ đo n [ạ a, b] và f(x) ≤ g(x),∀x∈[a, b]

thì ∫b ( ) ≤∫b ( )

f x dx g x dx D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ f(x) ≡ g(x), ∀x∈[a, b]

4.3. Công thức Newton ­ Leipnitz:

N u ế ∫ f x dx F x( ) = ( ) +c thì ∫b ( ) = ( ) b = ( ) − ( )

a a

4.4. Phép cộng: ∫b ( ) + ( ) =∫b ( ) +∫b ( )

4.5. Phép trừ: ∫b ( ) − ( ) =∫b ( ) −∫b ( )

4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0: ∫b ( ) = ∫b ( )

kf x dx k f x dx , ∀k ≠ 0

4.7. Công thức đảo cận tích phân:  ∫b ( ) = −∫a ( )

f x dx f x dx ; ∫a ( ) =

a

f x dx 0

4.8. Công thức tách cận tích phân: ∫b ( ) =∫c ( ) +∫b ( )

4.9. Công thức đổi biến số:

Cho y = f(x) liên t c trên đo n [ụ ạ a, b] và hàm x = ϕ(t) kh vi, liên t c trênả ụ

đo n [ạ m, M] và [ ] ( )

Khi đó ta có: ∫b ( ) =M∫ [ ( )] ′( )

4.10. Công thức tích phân từng phần:

Gi s hàm s ả ử ố u(x), v(x) kh vi, liên t c trên [ả ụ a, b], khi đó:

( ) ( )′ = ( ) ( ) − ( ) ( )′

a

Iii B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng

1

ax b

a

α+

α +

a

1

dx

ln ax b c

+

a

−

∫ 1

a

a

∫ 1

a ln m

a

∫

2 2

1

+

a sin ax b

−

+

∫

2 2

1

2

+

−

−

1

dx

a

+

∫

2 2

dx

+

∫

2 2

a

−

∫

2 2

1

−

2

∫

2 2

2 2

1

+

2

arc cotg dx x arc cotg ln a x c

∫

a

+

+

∫

2 2

a

−

1

2

+

+

∫

2 2

ax

−

+

ax

+

+

∫

IV NHỮNG CHÚ Ý KHI S D NG CÔNG TH C KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Ử Ụ Ứ

Các công th c có m t trong II mà không có trong SGK 12 khi s d ng ph iứ ặ ử ụ ả

ch ng minh l i b ng cách trình bày dứ ạ ằ ưới d ng b đ Có nhi u cách ch ngạ ổ ề ề ứ minh b đ nh ng cách đ n gi n nh t là ch ng minh b ng cách l y đ o hàmổ ề ư ơ ả ấ ứ ằ ấ ạ

1. Ví dụ 1: Ch ng minh: ứ 2dx 2 1 ln x a c

−

+

−

+

−

−

∫

−

−

2 2

−

2. Ví dụ 2: Ch ng minh r ng: ứ ằ ( 2 2)

2 2

+

Chứng minh: L y đ o hàm ta có: ấ ạ ( ) ( 2 2)

2 2

2 2

′

=

2 2

1

3. Ví dụ 3: Ch ng minh r ng:ứ ằ 2dx 2 1u c

a

+

a

= )

Đ t ặ tg u x

a

= , u ( ),

2 2

π π

d a tg u

4. Ví dụ 4: Ch ng minh r ng: ứ ằ 2dx 2 u c

−

a

= , a > 0)

Đ t ặ sin u x

a

= ,u∈ ,

2 2

π π

− 

du u c

Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho s d ng công th c nguyên hàm ử ụ ứ

2 2

+

−

gi ng b t c nố ấ ứ ước nào trên th gi i, h l i c m không cho s d ng khái ni mế ớ ọ ạ ấ ử ụ ệ hàm ngược arctg x, arcsin x Cách trình bày trên đ kh cể ắ ph c l nh c m này.ụ ệ ấ

V CÁC D NG TÍCH PHÂN Đ N GI N Ạ Ơ Ả

V.1 CÁC K NĂNG C B N: Ỹ Ơ Ả

1 Bi u di n lu th a d ng chính t c: ể ễ ỹ ừ ạ ắ

= 1

n x x ; n n x m =x m n ; n k x m =x nk m

−

−

= n = n 1

−

= m n

1 x

−

= nk m

1 x x

2 Bi n đ i vi phân: ế ổ

dx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = … = d(x ± p)

adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) = … = d(ax ± p)

a

±

V.2 CÁC BÀI T P M U MINH HO Ậ Ẫ Ạ

1

3

dx

1

x

x−

x

d x

x

−

−

4

∫

x x

I

arctg

5

x

x

d

+

1 sin

x

−

V.3 CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N Đ C T GI I Ậ Ạ Ọ Ự Ả

( ) ( ) ( ) ( )

1

x 1 x 2 x 3 x 4

x x

2x 5

−

= +

x 2

− +

=

−

∫

( )

11 15 2

10 3 100

9

3

7

2x 1

− +

+

10 5

2 3x

−

x

1 e

−

+

−

−

x

−

+

6

+