Ôn tập nguyên hàm và tích phân

ltđh Trang: 1 VẤN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 3x 2 – 2x + 5 2) 3 1        x x 3) 3 23 3523 x xxx  4) 32 916 4   x x 5) x x 1  6) 3 2 x xxx  7)               2 2 2 11 x x x x 8) 5 2 3 2 x xx  9) 1  x xx 10) 3 42 2 351 x xxx  11) 3 44 2 x xx   12) 2 1        x x Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 6 )54( x 2) 2 )34( 1 x 3) 3 12 x 4) 4 3 )23( 1 x 5) x56 1  6) 11 1  xx 7) )2)(3( 1  xx 8) 23 173 2   x xx 9) 32 54   x x 10) 54 1 2  xx 11) 22 1 ax  12) 2 1 2  xx 11) 72 1 2 x 12) 65 1 2  xx 13) 169 1 2  xx ltñh Trang: 2 14) 34 1 2 x 15) 6 1 2  xx 16) 9124 1 2  xx Baøi 3: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) CosxSinx xCos  2 2) Sin3x.Cos3x 3) 144 1 24  xCosxCos 4) (3 – 2Cosx) 2 5) Sin 4 x 6) Cos 3 3x 7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5) 2 9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x) 10) Cos 4 x 11) (2Cos 2 3x – 1)Sin 2 3x 12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin 3 x.Cos 3 x 14) (tg 2 x – 3)(2Cotg 2 + 5) 15) 2 3 2        Sinx Cosx 16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin 2 x.Cos 4 x 18) Cos 6 x Baøi 4: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) 2 8 3   x x e e 2)   2 43 xx  3) xx ba 32 . 4) x xx m ba  5)   2 23 xx ba  6) 1322 5.3.2  xxx 7) xx e 2. 2 8) 5 23 ln4ln xx  9) xx x 2 43lnln2  10)   xxx   1052 11 Baøi 5: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) 82 35 2   xx x 2) 252 73 2   xx x 3) )1)(4( 1 2 2   xx x 4) 22 1 23  xxx 5) xxx 34 1 23  6) 3103 1 2   xx x 7) )4)(9( 22 2  xx x 8) )12)(1( 15 3   xx x 9) )2)(1)(1( 1 3   xxx xx Baøi 6: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) 96 17 2   xx x 2) 3 2 )2( 1   x x 3) 22 4 )1()1(  xx x 4) 2 )3)(2(  xx x 5) 4 )1( 1   x x 6) )3()1( 1 3 2   xx x ltđh Trang: 3 Bài 7: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 103 25 2   xx x 2) 1 2 3   x x 3) 1 1 3 x 4) 1 1 4 x 5) 12 1 2  xx 6) )1)(1( 12 2 2   xx xx 7) 2 753 2 23   x xxx 8) )82()2)(1( 157 22 3   xxxx xx VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1)  4 2 dxx. 2)  1 0 2 dxx . 3)  2 1 2 x dx 4 )     3 1 4 dxx 5)   2 1 2 2 2 2 dx x x 6)    2 2 1 dxx . 7)    3 3 2 1 dxx . 8)   4 1 2 dxx . 9)   2 0 2 32 dxxx . 10)      5 3 22 dxxx . 11)      1 1 2 12 dxxx . 12)    2 0 2 1 dxx .,min 13)    3 0 2 dxxx .,max 14)   2 0 2 )23,( dxxxMax 15)   1 0 dxaxx (a > 0) 16)   2 1 2 )1( dxaxax 17)   0 4 dxxCos . 18)  4 0 5  dxtgxxCos 19) 3 22 6 . dx Sin xCos x    20) 2 3 2 4 (3 2 )Cotg x dx Cos x     21) 3 3 2 6 (1 ).Sin x dx Sin x     22) 1 4 2 2 0 1 x dx x   ltđh Trang: 4 23)    0 1 24 xx dx 24) 1 0 31 dx xx    25) 2 2 Sinx dx     26) 2 1 2 0 4 x dx x  27) 1 2 0 2x x m dx  28) 1 2 0 32 dx xx  29) 1 2 0 44 dx xx  30) 1 2 0 ( 3) x e dx  31) 1 0 ( 3.2 ) xx e dx  32) 3 8 22 8 . dx Sin xCos x    33) 3 2 0 4 1 Sin x dx Cosx    34) 2 0 1 1 Cosx dx Cosx     35) 42 3 2 1 26 4 xx dx x    36) 2 5 3 5 2 23 1 4.3 5.3 3 xx x dx     37) 4 2 1 6 9.x x dx  38) 2 32 1 2 2 .x x x dx      39) 4 32 0 2.x x x dx  40) 3 0 2 4 . x dx  41) 22 3 6 2.tg x Cotg x dx     42) 0 1 2 .Cos x dx    Bài 2: Cho hai số nguyên p và q khác nhau . Tính :I = 2 0 .CospxCosqxdx   Bài 3: Cho   1 0 .)( dxtetJ x với t  R 1) Tính J(t) 2) Tìm MinJ(t) Bài 4: Chứng minh rằng nếu   22 lny x x a   thì 22 1 'y xa   (a> 0) Tính : 22 0 . a I x a dx  Bài 5: Chứng minh rằng nếu 22 lny x x a   thì 22 1 'y xa   (a> 0) ltđh Trang: 5 Tính : 22 0 . a I x a dx  Bài 6: Cho hàm số : 2 2 21 ( ) ln 21 xx Fx xx        1) Tính đạo hàm của ()Fx . 2) Tính tích phân 2 1 4 0 1 1 x I dx x     VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 63 1 3 2   xx x 2) 3 6 2 x x 3) 58 83 3 2   xx x 4) 910 36 2  xx x 5) 6 2 1 x x  6) 23 5 )75( 6 x x  7) 5 2 )1( x x 8) 56 24  xx x 9) 24 7 )1( x x  10) 22 3 )1( 2   x xx 11) 56 24  xx x 12) 1 1 4 2   x x Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1)     1 0 3 1x dxx. 2)     4 1 2 1xx dx 3)   1 0 3 )1( 2 dx x x 4)    1 0 6 4 1 1 dx x x 5) 1 3 0 . (3 1) xdx x  6)    1 2 1 4 2 1 1 dx x x 7)   2 1 3 )1(xx dx 8)   1 0 2 5 1 . x dxx 9) 1 2 0 4 4 3 dx xx  ltủh Trang: 6 10) 1 2 1 2 . 1 dx x xCos (0 ) 11) 1 42 0 43 dx xx 12) 2 2 4 1 1 1 x dx x 13) 1 42 0 ( 1) 10 9 x dx xx 14) 1 3 0 1 dx x 15) 1 22 0 ( 3 2) dx xx 16) 1 2 5 (2 3) 4 13 x dx xx 17) 2 2 1 (2 5) 6 x dx xx Baứi 3: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy : 1) 0 1 92 )1( dxxx 2) 5 4 20 )4( dxxxI 3) 1 0 19 .)1( dxxx 4) 1 0 635 .)1( dxxx Baứi 4: Cho haứm soỏ : 2 42 () ( 2)( 1) x fx xx 1) Tỡm A vaứ B sao cho 2 () 21 A Bx fx xx 2) Tớnh 0 ( ) ( ) t F t f x dx vụựi t > 0 3) Tỡm () t LimF t Baứi 5: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy : 1) Sin 5 x 2) 3 2 xCos Cosx 3) tgx 4) xCosxtg 22 )3( 1 5) CosxSinx 43 1 6) 3 2 . 1 CotgxxSin 7) 1 2 3 xCos xSin 8) 14 2 3 xSin xCos 9) Sin 7 x.Cos 2 x 10) xCosSinxCosxxSin 22 54 1 11) Cosx3 1 12) xCos xSin 6 2 13) CosxxSin . 3 14) xSinxCos 22 27 1 ltñh Trang: 7 15) Cos 2 x.Sin 3 x 16) xSin 4 1 17) xCos xCosSinx 2 3 1 .  18) SinxxCos . 5 19) CosxxSin . 1 2 20) xCosxSin 22 . 1 21) xCosxSin CosxSinx 44 .  22) xCos Cosx 22 23) xCos Cos x 2 24) 3 Cos xSinx Cos xSinx   25) CosxbSinxa 1  26) Sin 4 x.Cos 5 x 27) Sin 2 x.Cos 4 x 28) xCos xSinSix 2 3  39) xSin xCos 4 2 30) Cotg 3 x 31) tg 4 x 32) SinxxSin xCos  2 3 33) CosxSinxxSin xCos .4 2 2  34) xCosxSin CosxSinx 23 43 .  Baøi 6: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1)  3 0 2  tgxdxxSin . 2)   2 0 31  dx Cosx Sinx 3)  2 0 3  dxCosxxSin 4)  2 0  dxCosxe Sinx 5)   6 0 41  dxCosxSinx 6)   2 0 2  Sinx dx 7)  4 0 4  xCos dx 8) dxxCosxSin 3 2 0 2   9)   dxxSinxCos . 2 0 33    10)  3 4 4 .   dxxtg 11)    3 4 23   dx xSin SinxCosx 12)    2 0 534 67  dx CosxSinx CosxSinx 13)  2 0 3 .  dxxCos 14)   2 0 27  dx xCos Cosx 15)   2 0 2 711  dx xCosSin x Cosx 16) 0 1.Sinx dx    17) 6 2 0 . 65 Cosx dx Sinx Sin x    18)  3 4 3 .   dxxtg ltđh Trang: 8 19)     0 21 dx xSin SinxCosx 20)   4 0 21 1  dx xSin 21)   2 0 32 )1(2  dxxSinxSin 22)   2 0 3 )1(.  dxCosxCosxSinx 23)   4 0 44 4  dx xCosxSin xSin 24)   2 0 66 6  dx xCosxSin xSin 25)   0 3 .5. dxxCosxCos 26)   4 0 1  tgx dx 27)    4 0 3 )2(  CosxSinx dxCosxSinx 28)  4 0 2 3  dx xCos xSin 29)   2 0  Co sxSinx dx 30)   2 0 2  CosxSinx dx 31)   2 0 1  Cosx Cosxdx 32)    2 6 221   dx CosxSinx xCosxSin 33)   4 0 2 21  dx xCos xSin 34)   2 3 3 3 .   dxCotgx xSin SinxxS in 35)  1 0 4 .CosxxSin dx 36)  2 0 2 .4.  dxxCosxCos 37)   2 0 3 )( .4  CosxSinx dxSinx 38)   4 0 2 1 .4  xCos dxxSin 39)  3 4 6 2   dx xCos xSin 40)         3 6 6 .    xSinSinx dx 41)   0 .dxSinxCosx 42) 2 2 2 2 2 0 SinxCosxdx a Cos x b Sin x    43) 2 0 1.Sinx dx    44) 2 4 4 dx Sin x    Bài 7: Tìm hai số A, B đề hàm số h(x) =   2 2 2 Sinx xSin  có thể biểu diễn dưới dạng :h(x) =   Sinx CosxB Sinx CosxA    2 2 2 , từ đó tính J =   2 2 )(   dxxh Bài 8: Xác đònh A , B , C sao cho : 1 ( 2 3) ( 2 )Sinx Cosx A Sinx Cosx B Cosx Sinx C        ltđh Trang: 9 Từ đó tính : 2 0 ( 1) 23 Sinx Cosx dx Sinx Cosx     Bài 9: Cho () Sinx fx Cosx Sinx   1) Xác đònh A , B , C sao cho : () Cosx Sinx f x A B Cosx Sinx      Bài 10: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 7 2  x x e e 2) xx 2 ln1. 1  3) Cos(2e x – 3) . e x 4) x.tg(x 2 + 1) 5) x xCotg 1 . 2 6) 1 1   x x e e 7) xx xx 49 2.3  8) xx 5 ln. 1 9) 4 2  x x e e 10) )ln1.( ln 2 xx x  11) x x e e 2 1 1   12) xx x ln1. ln  13) (2e x +3) 2 .e x Bài 11: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) dxxe x .   1 0 2 2) dx x e x .  4 1 3) dx x x e . ln   1 1 4)   dx x xxx . ln.    1 0 2 2 1 1 5)    2ln 0 1 1 dx e e x x 6) ln2 2 2 0 3 32 xx xx ee dx ee    7) 2 1 1 ln e x dx x   8) 1 2 0 (1 ) x x e dx e   9) 1 0 1 x x e dx e     10)   e dx xx x 1 2 )ln1( ln 11)    e dx x x 1 2 ln2 12)  2 1 2 ln dx x x 13)    1 0 2 2 1 )1( dx e e x x 14)   2 1 2 )1ln( dx x x 15)   1 0 2 3 x e dx ltñh Trang: 10 16)   3ln 0 1 x e dx 17)   e x dxx 2 1 2 )1( .ln 18)   1 0 2 )1ln(. dxxx 19) 1 0 4 x dx e   20) 2 1 1 x dx e    21) 2 0 54 xx dx ee    22) 2 2 0 1 x x e dx e  23) 2 2 11 ln ln e e dx xx      24) 1 1 ln e x I dx x    Baøi 12: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) 1)1( 21 2   xx x 2) 1 1 1 1 3     xx x 3) 1. 1 xx 4) 11 1  x 5) xx 25.  7) 3 31 x x  8) )53)(2( 1 32 2     xxx x 9) 3 23 1. xx  Baøi 13: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) )( 3 3 xxx x  2) 3 )1( 1 xx 3) 3 1 1 xx 4) 4 1212 1  xx 6) 3 11 1  xx 7) x xx 3 32  8) xx x  3 4 9) 3 3 2 x x   Baøi 14: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) 54 1 2  xx 2) 143 1 2  xx 3) 182 43 2   xx x 4) 1 1 2  xx 5) 86 43 2   xx x 6) 34 1 2   xx x Baøi 15: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây : 1) 32)1( 1 2  xxx 2) 125. 1 2  xxx 3) 1. 1 2 xx [...]... I =  2 1 f ( x)  g ( x) dx (ĐHQG) 5) Tìm họ nguyên hàm của : f ( x )  Sinx (ĐHQGHN – 2000 – 2001) 1 Sin2x 6) Tìm họ nguyên hàm của : f ( x )  x 2001 1  x  2 1002 7) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x)  (ĐHQGHN – 2000 – 2001) Cosx  Sinx.Cosx (ĐHNT) 2  Sinx 8) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x)  sin x  cosx sin x  cosx 9) Tìm họ nguyên hàm : f ( x)  cos2x sin x  cosx (ĐHNT – 99 –... I   Cos 2 x.Cos2xdx và J   Sin2 x.Cos2xdx 3) I   Cos(ln x)dx và J   Sin(ln x)dx 4) I   e2 x Cos2 xdx và J   e 2 x Sin2 xdx Sinx Cosx dx và J   dx Sinx  Cosx Sinx  Cosx Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 5) I    1) Tính: I = 2   e Sin3x.dx và J = x 0 Trang: 27 2 e 0 x Cos3x.dx ltđh   2) Tính: I   Cos x.Cos 2 x.dx và J  2 2 2 0  Cos 3 x dx và 3) Tính I   0 Sinx... dx 0 1 e  0 Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :  xSinx dx 1  Cos 2 x 0 1)   2  Cosx ln(x   4)   Sin2 x  3x  1 dx  2) x 4  Sinx 1 x 2  1 dx  1 3) 2 5)  x  1).dx 2 2 2  1 x 4 dx 6)  x 11  2 7) 2    Sinx.dx 3 4  5x 4 x  Cosx dx 4  Sin2 x 2 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT VẤN ĐỀ 6 Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) I   (a.Sin2x  bCos2x)dx và J   (a.Cos 2x  bSin2x)dx... x  1) ( x  1) ( x  1)2 3x  1 b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x)  ( x  1)3 Sin(  x) 11) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x)  Cos 2 x 10) a) Xác đònh A , B sao cho : VẤN ĐỀ 7 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [-a, a] (a> 0) Chứng minh rằng: 1/ Nếu f là hàm chẳn thì :  f ( x)dx  2 f ( x)dx a a a 0 a 2/ Nếu f là hàm lẻ thì :  f ( x)dx  0 a p dụng tính :...  = ln t = ln2 1 t 2 2 2 1 Bài: (ĐH quốc gia HN 1998  Khối A) Câu VIa 1 dx Tính tích phân: I =  x 0 e 1 x 1 1 e dx d(e x ) HD: I =  x x = x x 0 e (e  1) 0 e (e  1) x Đặt t = e ta có: e e 1 2e t 1  I =   = ln dt = ln 1 t e 1 t  1 t 1 1  VẤN ĐỀ 5 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) x.ex 2) x.Cosx 4) lnx 5) ex.Sinx 7) (3x – 5)Cos2x 8) (x3 + 1)lnx... hàm số sau đây : 1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x)  b) Tính : I = 2 x.dx 0 Cos n x dx (ĐHGTVT) Cos n x  Sinn x 2 0  2  4 2 4) Tính : I =  Sin x.Cos Sin3 x  Sinx  Cosx dx 0 J  2 2 g ( x) dx x 1  e  2 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f ( x)  1     4 4) Cho f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 1 và g(x) = 2x3 + x2 – 3x – 1 Cosx.Cos  x  Trang: 28 ltđh 1) Giải... Cho hai hàm số : f : 0,1  0,1 và g : 0,1  0,1 Chứng minh rằng :   f (x).g(x)dx   f (x)dx. g(x)dx 1 2 1 0 0 1 0 Bài 23: Cho hai hàm số : f : a, b  R và g : a, b  R Chứng minh rằng :   f (x).g(x)dx   f (x)dx. g (x)dx b 2 a b 1 2 a 2 0 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VẤN ĐỀ 9 Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) (C) : y = x2 – 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x... x 1 x 2x 2  2x  1 ( x  1) x 2  3x  3 ( x  2) x 2  2 x Bài 16: Tính tích phân các hàm số sau đây : a2  x2 a2  x2 1 x2 1) (a > 0) 2) (a > 0) 3) x x x2 1 1 4) x 2 1  x 2 5) (a > 0) 6) 2 2 3 x a x x x2 1 x 1 7) 9) x x 2  1 x3 1 x2 10) 1 x2 1 (1  x) 1  x 2 1 11) 12) 9  x2  3 1 x2 Bài 17: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 1 x 1  x2 dx 3 0 1 4)  x 3 3 1  x 2 dx 0 7) 10) x... cos4 x  sin 4 x dx và I = 0 5) Tính : I =  6) Tính I =  2 2 sin 4 x  cos4 x  sin 4 x dx 0 2  2 Sinx dx và J = Sinx  Cosx  0 2  0 Cosx dx Sinx  Cosx x 1 e dx e x  e x 1 7) Tính : I    2 8) Tính : I   e x Sin2 xdx 0  2 4sin x dx 3 0  Sinx  Cosx  9) Tính : I    2 10) Tính : I   ln 0 1  sin x dx 1  Cosx Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x... In+1 và In Tính I1 và I2 e và tính Lim I n 2) Chứng minh : I n1  I n  n n 1 (ĐHQG-KA-1997) 1 Bài 12: Cho I n   x n e 2 x dx , n = 1,2,3… 0 1) Chứng minh : In  In+1 Tính In+1 theo In 1 2) Chứng minh : 0  I n  với mọi n  2 Từ đó tính Lim I n n (n  1)e 2 1 1 0 0 Bài 13: Cho I n   x 2 (1  x 2 ) n dx và J n   x(1  x 2 ) n dx 1 , n 2(n  1) I và tính Lim n1 n I n 1) Tính Jn và . ltđh Trang: 1 VẤN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) 3x 2 – 2x + 5 2) 3 1        x x 3) 3 23 3523 x xxx. 2 753 2 23   x xxx 8) )82()2)(1( 157 22 3   xxxx xx VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1)  4 2 dxx. 2)  1 0 2 dxx . 3)  2 1 2 x dx . hàm số : 2 2 21 ( ) ln 21 xx Fx xx        1) Tính đạo hàm của ()Fx . 2) Tính tích phân 2 1 4 0 1 1 x I dx x     VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1: Tính tích