Bài tập tích phân chọn lọc

[...]... 2 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường b y  f(x), x  a, x  b và trục hoành là S   f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b] b Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x) dx a Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới... Vậy I  80 3 80 3 2 Ví dụ 13 Tính tích phân I   min  3 , x 4  x  dx 0 Giải Đặt h(x)  3   4  x   3 x  x  4 x Bảng xét dấu x h(x) 1 I  0 2 3 dx  x  1 0 – 1 0 2 + 2  4  x  dx  3x 1  x2  2 5 2 5   4x     Vậy I      ln 3 0  2 1 ln 3 2 ln 3 2 11 http://ebooktoan.com/forum THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1 Dạng 1... 0 3 Dạng 3 b Để tính các tích phân I  b  max  f(x), g(x) dx và J  a  min  f(x), g(x)  dx , ta thực a hiện các bước sau: Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)  f(x)  g(x) trên đoạn [a; b] Bước 2 + Nếu h(x)  0 thì max  f(x), g(x)   f(x) và min  f(x), g(x)   g(x) + Nếu h(x)  0 thì max  f(x), g(x)   g(x) và min  f(x), g(x)   f(x) 4 Ví dụ 12 Tính tích phân I   max  x 2  1, 4x... dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x2  4x  3, x  0, x  3 và Ox Giải Bảng xét dấu x 0 y 1 1 0 – 3 0 + 3 S    x  4x  3  dx  2 0   x 2  4x  3  dx 1 1 3  x3   x3  8 8    2x2  3x      2x2  3x   Vậy S  (đvdt)    3  3    0  1 3 3 2 Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng...  b là S   f(x)  g(x) dx a Phương pháp giải toán Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)  g(x) trên đoạn [a; b] b Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x)  g(x) dx a 2.2 Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  f(x), y  g(x) là S   f(x)  g(x) dx Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn  nhất của phương trình...  a      b  Phương pháp giải toán Bước 1 Giải phương trình f(x)  g(x) Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)  g(x) trên đoạn  ;    Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  f(x)  g(x) dx  Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  11x  6, y  6x2 , x  0, x  2 Giải Đặt h(x)  (x  11x  6)  6x2  x 3  6x2  11x  6 h(x)  0  x  1  x  2  x  3 (loại)... lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: 1 Trường hợp 1 17 http://ebooktoan.com/forum THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x)  0 x   a; b  , b y  0 , x  a và x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V   f 2 (x)dx a Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x  y  R quay quanh Ox 2... nghiệm nào nữa thì ta có thể 4 2 2 4   dùng công thức  f(x)  g(x) dx     f(x)  g(x)  dx  Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 3 , y  4x Giải Ta có x 3  4x  x  2  x  0  x  2 0 S  x 2 3  4x  dx  2  0 0 Vậy S  8 (đvdt) Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x2  4 x  3 và trục hoành Giải Ta có x  4 x  3  0  t2  4t  3  0, t  x  0 2 t... 0 x  dx  1  sin 11 0 x 3 Dạng 3 b Để chứng minh A   f(x)dx  B ta thực hiện các bước sau a Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m  f(x)  M b Bước 2 Lấy tích phân A  m(b  a)   f(x)dx  M(b  a)  B a 1 Ví dụ 16 Chứng minh 2   4  x 2 dx  5 0 Giải Với  x   0; 1  : 4  4  x 2  5  2  4  x2  1 Vậy 2   4  x 2 dx  0 12 5 5 http://ebooktoan.com/forum... x 2  dx 2 2 R 0 R  x  4R  2  R2 x        3 0 3 3 3 Vậy V  4 R 3 (đvtt) 3 2 Trường hợp 2 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g(y)  0 y   c; d  , d x  0 , y  c và y  d (c  d) quay quanh trục Oy là V   g2 (y)dy c 2 Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : 2 x y  2  1 quay quanh Oy 2 a b Giải y2  1  y  b b2 x2 y2 a 2 y2 Phương . số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx    . Hướng dẫn: Đặt t x  2 0 I 2 t cos tdt 2           . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln.       . V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi. x 1   ;ĐS: 3 I 8  . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3     . Hướng dẫn: Đặt t 2x 3   ĐS: 3 I ln 2  . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x     . Hướng