Bài tập tích phân chọn lọc

Bài 1:Tính tích phân 3 2 2 1 2 1 dx I x x = − ∫ Lời giải: Đặt 2 2 2 2 1 1 2 2 dx tdt t x t x tdt xdx x x = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − 2 2 1 1 dx tdt tdt x t t ⇒ = − = − − Đổi cận: 1 3 3 1 ; 2 2 2 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 1 3 3 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 1 1 7 4 3 ln ln 1 1 2 1 2 3 | dt dt t I t t t   + + = = = =   − − −   ∫ ∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 04. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Tính tích phân 3 2 2 1 2 1 dx I x x = − ∫ Lời giải: Đặt 2 2 2 2 1 1 2 2 dx tdt t x t x tdt xdx x x = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − 2 2 1 1 dx tdt tdt x t t ⇒ = − = − − Đổ i c ậ n: 1 3 3 1 ; 2 2 2 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 1 3 3 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 1 1 7 4 3 ln ln 1 1 2 1 2 3 | dt dt t I t t t   + + = = = =     − − −   ∫ ∫ Bài 2: Tính tích phân π 2 cos 0 ( sin ).sin 2 x I e x xdx = + ∫ Lời giải: Ta có 2 2 2 cos cos 1 2 0 0 0 ( sin ).sin 2 . 2 .cos .sin . sin .sin 2 . x x I e x x dx e x xdx x xdx I I π π π = + = + = + ∫ ∫ ∫ + Xét 2 cos 1 0 .cos .sin . x I e x xdx π = ∫ . Đặ t cos sin t x dt xdx = ⇒ = − , ta có 1 1 1 1 0 0 0 . . . . 1 t t t I t e dt t e e dt = = − = ∫ ∫ + Xét π π π 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 sin .sin 2 . (cos cos3 ). sin sin3 2 2 3 3 I x xdx x x dx x x   = = − = − =     ∫ ∫ Vậy: 2 cos 0 2 8 ( sin ).sin 2 . 2 3 3 x I e x xdx π = + = + = ∫ Bài 3: Tính tích phân 1 ln 2 ln e x I dx x x x − = + ∫ Lời giải: Ta có 1 1 ln 2 ln 2 ln (ln 1) e e x x I dx dx x x x x x − − = = + + ∫ ∫ Đặ t t = ln x + 1 ⇒ 1 dt dx x = ; Đổ i c ậ n: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 Suy ra ( ) 2 2 2 1 1 1 3 3 1 ln | | 1 ln 2 t I dt dt t t t t −   = = − = − = −     ∫ ∫ Bài 4: Tính tích phân: ∫ −+ 1 0 2 11 x dx Lời giải: Đặ t π π sin ; ; 2 2 x t t   = ∈ −     . Ta có cos dx tdt = và 2 2 2 1 1 sin cos cos cos x t t t t − = − = = = . LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0; với x = 1 thì π 2 t = . Từ đó π 1 2 2 0 0 cos 1 cos 1 1 dx tdt t x = + + − ∫ ∫ = π 2 2 2 0 2cos 1 2 2cos 2 t dt t − ∫ = π π π 2 2 2 2 0 0 0 π 2 tan 1 2 2 cos 2 t d t dt t t         − = − = −     ∫ ∫ . Bài 5: Tính tích phân ( ) π 2 3 π 4 2sin 3 cos sin x x x I dx x + − = ∫ . Lời giải: ( ) ( ) π π π 2 2 2 3 3 3 π π π 4 4 4 2sin 3 cos 2sin 3 cos cos sin sin sin x x x x x x x I dx dx dx x x x + − − = = + ∫ ∫ ∫ π π π π π 2 2 2 2 2 π 1 3 2 2 2 π π π π 4 4 4 4 4 cos 1 1 1 1 1 1 π π 1 1 cot sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2 x x x I dx xd dx x x x x x     = = − = − + = − − − =         ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 3 4 4 2sin 3 cos 2sin 3 7 sin 2 2 sin sin 2 x x x I dx d x x x π π π π − − = = = − ∫ ∫ . Vậy 1 2 2 2 3 = + = − I I I Bài 6: Tính tích phân π 6 0 π tan 4 cos2 x I dx x   −     = ∫ Lời giải: Ta có π π 2 6 6 2 0 0 π tan tan 1 4 cos2 (tan 1) x x I dx dx x x   −   +   = = − + ∫ ∫ Đặt 2 2 1 tan (tan 1) cos t x dt dx x dx x = ⇒ = = + ; đổi cận: 1 0 0, 6 3 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = Suy ra 1 1 3 3 2 0 0 1 1 3 ( 1) 1 2 dt I t t − = − = = + + ∫ Bài 7: Tính tích phân 2 2 0 1 3sin2 2cos x xdx π − + ∫ Lời giải: Ta có π π π 2 2 2 2 2 0 0 0 1 3sin2 2cos (sin 3 cos ) sin 3 cos I x xdx x x dx x x dx = − + = − = − ∫ ∫ ∫ π sin 3cos 0 tan 3 π 3 x x x x k − = ⇔ = ⇔ = + Do 0; 2 x π   ∈     nên π 3 x = LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 Do đó π π 3 2 π 0 3 sin 3 cos sin 3 cos I x x dx x x dx = − + − ∫ ∫ π π 3 2 π 0 3 (sin 3cos ) (sin 3 cos ) x x dx x x dx = − + − ∫ ∫ ( ) ( ) π π 3 2 π 0 3 cos 3sin cos 3sin x x x x = − − + − − 1 3 1 3 1 3 3 3 2 2 2 2 = − − + + − + + = − Bài 8: Tính tích phân 2 1 ln 3 ln 1 ln e x I x x dx x x   = +   +   ∫ Lời giải: Ta có 2 2 1 2 1 1 1 ln ln 3 ln 3 ln 3 1 ln 1 ln e e e x x I x x dx I dx x xdx I I x x x x   = + = = + = +   + +   ∫ ∫ ∫ +) Tính ∫ + = e dx xx x I 1 1 ln1 ln . Đặt 2 1 1 ln 1 ln ; 2 t x t x tdt dx x = + ⇒ = + = Đổ i c ậ n: 1 1; 2 x t x e t= ⇒ = = ⇒ = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 1 2 1 3 3 1 1 1 t t I tdt t dt t t − −   ⇒ = = − = − = ∫ ∫     +) Tính 2 2 1 ln e I x xdx = ∫ . Đặt 2 3 ln 3 dx du u x x dv x dx x v  =  =   ⇒   =   =   3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 .ln . 3 3 3 3 3 3 9 9 9 e e e x e x e e e I x x dx + ⇒ = − = − = − + = ∫ Suy ra 3 1 2 5 2 2 2 3 3 e I I I − + = + = Bài 9: Tính tích phân 1 ( 2)ln (1 ln ) e x x x I dx x x − + = + ∫ Lời giải: Ta có 1 1 1 (1 ln ) 2ln ln 2 1 2 (1 ln ) (1 ln ) e e e x x x x I dx dx dx e J x x x x + − = = − = − − + + ∫ ∫ ∫ Xét 1 1 ln ln ( ln ) (1 ln ) 1 ln e e x x d x J dx dx x x x = = + + ∫ ∫ Đặt 1 ln t x = + , ta có ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 t J dt dt t t t t −   = = − = − = −     ∫ ∫ V ậ y 3 2ln 2 I e = − + Bài 10: Tính tích phân 1 π 2 2 3π 4 2tan cos x e x I x x dx x x       = + +           ∫ Lời giải: Ta có: 1 π π π π 1 2 2 2 2 2 3π 3π 3π 3π 4 4 4 4 1 2tan . 2 tan cos cos x x e x x I x x dx e dx dx x xdx x x x x       = + + = + +           ∫ ∫ ∫ ∫ (1) LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 +) 1 1 1 1 4 3 2 3 3 3 4 4 4 1 1 . x x x e dx e d e e e x x π π π π π π π π   = − = − = − +     ∫ ∫ +) π 2 2 3π 4 cos x J dx x = ∫ : Đặt ( ) 2 2 3 3 4 2 4 2 tan 2 tan 1 tan cos u x du xdx J x x x xdx v x dv dx x π π π π  = =   ⇒ ⇒ = −   = =    ∫ Suy ra π 2 3 π 4 9π 2 tan 16 J x xdx = − ∫ Thay vào (1) ta có 1 4 2 π 3 π 9 π 16 I e e= − + + Bài 11: Tính tích phân : π 4 2 0 sin sin 2 cos x x x I dx x + = ∫ Lời giải: + Ta có π π 4 4 2 0 0 sin sin 2 cos cos x x x I dx dx x x = + ∫ ∫ ; đặ t π π 4 4 1 2 2 0 0 sin sin ; 2 cos cos x x x I dx I dx x x = = ∫ ∫ + Tính 1 I : Đặ t 2 2 sin 1 ; cos (cos ) cos cos x u x du dx v dx xd x x x − = ⇒ = = = − = ∫ ∫ π 4 1 0 π π π 1 1 sin π 2 1 2 2 ln ln 4 4 4 cos cos cos 2 1 sin 4 2 2 2 0 0 0 x dx x x I x x x x + + ⇒ = − = − = − ∫ − − + Tính 4 2 0 (cos ) 2 2 2ln cos 2ln 4 cos 2 0 d x I x x π π = − = − = − ∫ Vậy 1 2 π 2 1 2 2 2 ln 2ln 4 2 2 2 2 I I I + = + = − − − Bài 12: Tính tích phân ln6 0 . 3 3 2 7 x x x e I dx e e = ∫ + + + Lời giải: Đặt .3 te x =+ Khi đó .d23 2 ttdxete xx =⇒−= Khi ,20 = ⇒ = tx khi .36ln = ⇒ = tx Suy ra 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2( 3) 7 2 3 1 tdt t I dt t t t t = = ∫ ∫ + − + + + 3 3 2 2 1 1 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 1 t dt dt t t t t   = = − ∫ ∫   + + + +   3 3 2 2 80 2ln 1 ln 2 1 (2ln 4 2ln3) (ln7 ln5) ln . 63 t t= + − + = − − − = Bài 13: Tính tích phân 6 2 2 1 4 1 dx I x x = + + + ∫ . Lời giải: Đặ t 2 1 4 1 4 2 t tdt t x x dx − = + ⇒ = ⇒ = ( ) ( ) 2 3, 6 5 t t = = Khi đ ó ( ) ( ) 5 5 5 3 2 2 3 3 1 1 1 3 1 ln 1 ln 1 1 2 12 1 1 tdt I dt t t t t t     = = − = + + = −       + +   + +   ∫ ∫ 5 3 1 ln 1 1 t t   = + +   +   3 1 ln 2 12 = − LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 Bài 14: Tính tích phân: 4 0 sin 2 1 cos2 x x I dx x π + = + ∫ Lời giải: Ta có π π π 4 4 4 1 2 0 0 0 sin 2 sin 2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 x x xdx x I dx dx I I x x x + = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ + Tính 4 4 1 0 0 sin 2 1 (1 cos2 ) 1 cos2 2 1 cos2 x d x I dx x x π π + = = − + + ∫ ∫ 4 0 1 1 ln(1 cos2 ) ln 2 2 2 x π   = − + =     + Tính 4 2 2 0 cos x I dx x π = ∫ . Đặ t: 2 ; tan cos dx u x du dx dv v x x = ⇒ = = ⇒ = 4 4 2 0 0 sin 2 ( tan ) ln cos 4 2 x I x x dx x π π π ⇒ = − = + ∫ . V ậ y 1 ln 2 8 4 I π = + Bài 15: Tính tích phân 3 2 2 2 2 ln ln 3 (1 ln ) e e x x x x I dx x x − + = − ∫ . Lời giải: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 ln ln 1 3 1 3 2 ln 1 ln 1 ln e e e e e e x x x I dx dx xdx x x x x − + = = − − − ∫ ∫ ∫ ( ) 3 3 3 2 2 2 1 3 (ln ) 2 ln 1 ln e e e e e e d x x x dx x   = − −     −   ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 2 3ln 1 ln 2 ln 3ln2 4 2 . e e e e e e x x x x e e = − − − − = − − + Bài 16: Tính tích phân π 4 π 8 cot tan π sin 2 cos 2 4 x x I dx x x − =   −     ∫ Lời giải: 4 8 cot tan sin 2 cos 2 4 x x I dx x x π π π − =   −     ∫ 2 2 4 4 8 8 cos sin cot tan sin .cos sin 2 cos 2 sin 2 cos2 .cos sin 2 .sin 4 4 4 x x x x x x I dx dx x x x x x π π π π π π π − − = =     − +         ∫ ∫ ( ) 4 4 2 8 8 cot 2 cot 2 1 2 2 2 2 . sin 2 cos2 sin 2 1 cot 2 sin 2 x x dx dx x x x x x π π π π = = + + ∫ ∫ Đặt 2 2 2 1 1 cot 2 sin 2 2 sin 2 t x dt dx dt dx x x = ⇒ = − ⇒ − = . Đổi cận: 1; 0 8 4 x t x t π π = ⇒ = = ⇒ = 0 1 1 2 2 . 1 2 t I dt t   = −   +   ∫ 1 1 0 0 1 2 2 1 1 1 t dt dt t t   = = −   + +   ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 2 ln 1 2 1 ln2 t t= − + = − Bài 17: Tính tích phân + + = + ∫ x x I dx x x x 1 7 4 2 3 2 3 1 26 3 1 . Lời giải: LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 ( ) ( ) + + + = = + = + + + + + + ∗ = = = + = + +   ∗ = = − + = − +     + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x I dx dx dx I I x x x x x x x x x d x x x Tính I dx x x x x x x Tính I dx d x x x x 1 1 1 7 7 7 4 2 4 2 1 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 26 26 26 1 1 3 7 7 2 2 3 3 1 3 3 3 3 1 1 26 26 1 1 7 7 2 3 2 1 1 3 3 2 2 26 26 3 1 3 1 1 3 1 3 123 7 2 364 1 26 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 4 1 1 1 1   =     = x Vaäy I 2 3 2 1 15 7 4 1 26 322 . 91 Bài 18: Tính tích phân π 2 0 3sin cos 2sin cos x x I dx x x − = + ∫ . Ta có π π π π 2 2 2 2 0 0 0 0 3sin cos 2sin cos sin 2cos sin 2cos π 2sin cos 2sin cos 2sin cos 2 x x x x x x x x I dx dx dx dx J x x x x x x − + + − − = = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Đặ t 2sin cos (2cos sin ) t x x dt x x dx = + ⇒ = − Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 1, khi x = π 2 2 x t = ⇒ = Khi đó 2 1 2 ln ln 2 1 dt J t t = − = − = − ∫ Vậy π ln2 2 I = − Bài 19: Tính tích phân 2 6 4 4sin cos 1 6 x I dx x x π π π =   + +     ∫ Lời giải: Ta có ( ) 2 2 2 6 6 6 4 4 4 3sin2 cos2 2 2 3sin cos cos 1 4sin cos 1 6 x x x I dx dx dx x x x x x x x π π π π π π π = = =   + + + + + +     ∫ ∫ ∫ 2 2 2 6 6 2 cos 2 1 cos 3 6 x x dx dx x x π π π π π π = =     − + −         ∫ ∫ Đặt 2 tan cos 6 6 u x du dx dx dv v x x π π =  =     ⇒ =     = −       −          nên 2 2 2 2 6 6 6 6 3 3 6 tan tan lncos 6 6 2 2 6 cos 6 d x x x x dx x x π π π π π π π π π π π π π π π   −               = − − − = − = − −                       −     ∫ ∫ 3 ln 3 2 π = −