Tài liệu tổng hợp các cách giải bài toán tích phần như đổi biến số, tích phân từng phần.Các thêm bớt hoặc dựa vào cận để đổi biến. Nhanh chóng giúp các bạn học sinh nắm bắt được hướng giải cũng như cách trình bày các bài toán tích phân Ngoài ra tài liệu còn có các bài tập thực hành giúp cho các bạn học sinh ôn luyện thật tốt
sBi tp Tớch phõn Trang 1 TP1: TCH PHN HM S HU T Dng 1: Tỏch phõn thc Cõu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = - + ũ ã I dx x x 2 1 16 9 1 4 3 ổ ử = + - ỗ ữ - - ố ứ ũ = ( ) x x x 2 1 16 ln 4 9ln 3 + - - - = 1 25ln 2 16 ln 3 + - . Cõu 2. dx I x x 2 5 3 1 = + ũ ã Ta cú: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1 ( 1 ) 1 = - + + + + ị I x x x 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln( 1 ) ln 2 ln5 2 2 2 8 1 2 ộ ự = - - + + = - + + ờ ỳ ở ỷ Cõu 3. x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 + = - - + ũ ã I 2 4 1 3 7 14 ln ln ln 2 3 3 15 6 5 = - + + Dng 2: i bin s Cõu 4. x I dx x 2 4 ( 1 ) (2 1 ) - = + ũ ã Ta cú: x x f x x x 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1 Â ổ ử ổ ử - - = ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ố ứ ị x I C x 3 1 1 9 2 1 ổ ử - = + ỗ ữ + ố ứ Cõu 5. ( ) ( ) x I dx x 99 1 101 0 7 1 2 1 - = + ũ ã ( ) x dx x x I d x x x x 99 99 1 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1 ổ ử ổ ử ổ ử - - - = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ + + + ố ứ ố ứ ố ứ + ũ ũ x x 100 100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900 ổ ử - ộ ự = ì = ở - ỷ ỗ ữ + ố ứ Cõu 6. x I dx x 1 2 2 0 5 ( = 4) + ũ ã t t x 2 4 = + ị I 1 8 = Cõu 7. I dx xx 4 3 4 1 1 ( 1 ) = + ũ ã t t x 2 = ị t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 2 1 ổ ử = - = ỗ ữ + ố ứ ũ Cõu 8. dx I x x 3 6 2 1 ( 1 ) = + ũ EBOOKTOAN.COM Bi tp Tớch phõn Trang 2 ã t : x t 1 = ị t I dt t t dt t t 3 1 6 3 4 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1 ổ ử = - = - + - ỗ ữ + + ố ứ ũ ũ = 117 41 3 135 12 p - + Cõu 9. dx I x x 2 10 2 1 .( 1 ) = + ũ ã x dx I x x 2 4 5 10 2 1 . .( 1 ) = + ũ . t t x 5 = ị dt I tt 32 2 2 1 1 5 ( 1 ) = + ũ Cõu 10. x I dx x 1 7 0 ( 1 2 5 = ) + ũ ã t t x dt xdx 2 1 2= + ị = ị t I dt t 2 3 5 5 1 1 ( 1 ) 1 1 . 2 4 2 - = = ũ Cõu 11. x I dx x x 2 7 7 1 1 ( 1 ) - = + ũ ã x x I dx x x 2 7 6 7 7 1 ( 1 ). .(1 ) - = + ũ . t t x 7 = ị t I dt t t 128 1 1 1 7 ( 1 ) - = + ũ Cõu 12. x I dx x 2 2001 2 1002 1 . ( 1 = ) + ũ ã x I dx dx x x x x 2 2 2004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . ( 1 ) 1 1 = = + ổ ử + ỗ ữ ố ứ ũ ũ . t t dt dx x x 2 3 1 2 1= + ị =- . Cỏch 2: Ta cú: x xdx I x x 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 ( 1 ) ( 1 ) = + + ũ . t t x dt xdx 2 1 2= + ị = ị t I dt d t t t t 1000 2 2 1000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1 ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2 ổ ử ổ ử - = = - - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ũ ũ Cõu 13. I x x dx 1 5 3 6 0 ( 1 ) = - ũ ã t dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 7 8 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 ( 1 ) 3 3 7 8 168 3 ổ ử - = - ị = - ị = ị = - = - = ỗ ữ ố ứ ũ Cõu 14. xdx I x 1 0 3 ( 1 ) = + ũ ã Ta cú: x x x x x x 2 3 3 3 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) - - + - = = + - + + + I x x dx 1 2 3 0 1 ( 1 ) ( 1 ) 8 - - ộ ự ị = + - + = ở ỷ ũ Cõu 15. x I dx x 2 2 4 1 1 1 + = + ũ ã Ta cú: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 + + = + + . t t x dt dx x x 2 1 1 1 ổ ử = - ị = + ỗ ữ ố ứ ị dt I dt t t t 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ổ ử = = - ỗ ữ - + - ố ứ ũ ũ t t 3 / 2 1 2 1 2 1 .ln ln 1 2 2 2 2 2 2 1 ổ ử - - = = ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ EBOOKTOAN.COM Bài tập Tích phân Trang 3 Câu 16. x I dx x 2 2 4 1 1 1 - = + ò · Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 - - = + + . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1 æ ö = + Þ = - ç ÷ è ø Þ dt I t 5 2 2 2 2 =- + ò . Đặt du t u dt u 2 2 tan 2 cos = Þ = ; u u u u 1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arct an 2 2 = Þ = = Þ = Þ u u I du u u 2 1 2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan 2 2 2 2 2 æ ö = = - = - ç ÷ è ø ò Câu 17. x I dx x 1 4 6 0 1 1 + = + ò · Ta có: x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 + - + + - + = = + = + + + + - + + + + Þ dx I dx dx x x 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 ( ) 1 3 4 3 4 3 1 ( ) 1 p p p = + = + = + + ò ò Câu 18. x I dx x x 2 2 3 1 1- = + ò · Ta có: x I dx x x 2 2 1 1 1 1 - = + ò . Đặt t x x 1 = + Þ I 4 ln 5 = Câu 19. xdx I x x 1 4 2 0 1 = + + ò . · Đặt t x 2 = Þ dt dt I t t t 1 1 2 2 2 0 0 1 1 2 2 6 3 1 1 3 2 2 p = = = + + æ ö æ ö + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 20. x I dx x x 1 5 2 2 4 2 1 1 1 + + = - + ò · Ta có: x x x x x x 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = - + + - . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1 æ ö = - Þ = + ç ÷ è ø Þ dt I t 1 2 0 1 = + ò . Đặt du t u dt u 2 tan cos = Þ = Þ I du 4 0 4 p p = = ò Câu 21. x I dx x 3 2 3 4 0 1 = - ò · x I dx dx x x x x 3 3 2 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 p æ ö = = + = - + ç ÷ - + - + è ø ò ò Bài tập Tích phân Trang 4 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 1. x I dx x x 2 3 9 1 = + - ò · x I dx x x x dx x dx x x dx x x 2 2 2 2 ( 3 9 1) 3 9 1 3 9 1 = = - - = - - + - ò ò ò ò + I x dx x C 2 3 1 1 3 = = + ò + I x x dx 2 2 9 1 = - ò x d x x C 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1 ) (9 1 ) 18 27 = - - = - + ò Þ I x x C 3 2 3 2 1 (9 1 ) 27 = - + + Câu 2. x x I dx x x 2 1 + = + ò · x x dx x x 2 1 + + ò x x dx dx x x x x 2 1 = 1 + + + ò ò . + x I dx x x 2 1 1 = + ò . Đặt t= x x t x x 2 1 1+ Û - = x t 3 2 2 ( 1 ) Û = - x dx t t dt 2 2 4 ( 1 ) 3 Û = - Þ t dt t t C 2 3 4 4 4 ( 1 ) 3 9 3 - = - + ò = ( ) x x x x C 3 1 4 4 1 1 9 3 + - + + + x I dx x x 2 1 = + ò = d x x x x 2 ( 1 ) 3 1 + + ò = x x C 2 4 1 3 + + Vậy: ( ) I x x C 3 4 1 9 = + + Câu 3. x I dx x 4 0 2 1 1 2 1 + = + + ò · Đặt t x 2 1 = + . I = t dt t 3 2 1 2 ln 2 1 = + + ò . Câu 4. dx I x x 6 2 2 1 4 1 = + + + ò · Đặt t x 4 1 = + . I 3 1 ln = 2 12 - Câu 5. I x x dx 1 3 2 0 1= - ò · Đặt: t x 2 1 = - Þ ( ) I t t dt 1 2 4 0 2 15 = - = ò . Câu 6. x I dx x 1 0 1 1 + = + ò · Đặt t x = Þ dx t dt 2. = . I = t t dt t 1 3 0 2 1 + + ò = t t dt t 1 2 0 2 2 2 1 æ ö - + - ç ÷ + è ø ò = 11 4ln2 3 - . Câu 7. x I dx x x 3 0 3 3 1 3 - = + + + ò Bài tập Tích phân Trang 5 · Đặt t x tdu dx 1 2 = + Þ = Þ t t I dt t dt dt t t t 2 2 2 3 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 1 3 2 - = = - + + + + ò ò ò 3 3 6 ln 2 = - + Câu 8. I x x dx 0 3 1 1 - = + ò · Đặt t t t x t x dx t dt I t dt 1 1 7 4 3 2 3 3 0 0 9 1 1 3 3 ( 1 ) 3 7 4 28 æ ö = + Þ = + Þ = Þ = - = - =- ç ÷ è ø ò Câu 9. x I dx x x 5 2 1 1 3 1 + = + ò · Đặt tdt t x dx 2 3 1 3 = + Þ = Þ t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 3 1 . 3 æ ö - + ç ÷ ç ÷ è ø = - ò dt t dt t 4 4 2 2 2 2 2 ( 1 ) 2 9 1 = - + - ò ò t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 5 2 2 æ ö - = - + = + ç ÷ + è ø Câu 10. x x I dx x 3 2 0 2 1 1 + - = + ò · Đặt x t x t 2 1 1 + = Û = - Þ dx tdt 2 = Þ t t t I tdt t t dt t t 2 2 2 2 2 2 5 4 2 3 1 1 1 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5 æ ö - + - - = = - = - = ç ÷ è ø ò ò Câu 11. x dx I x x 1 2 0 2 ( 1 ) 1 = + + ò · Đặt t x t x tdt dx 2 1 1 2 = + Þ = + Þ = t t I tdt t dt t t t t 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 ( 1 ) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 æ ö æ ö - - Þ = = - = - - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò Câu 12. ( ) x I dx x 4 2 0 1 1 1 2 + = + + ò · Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1 ) 1 2 = + + Þ = Þ = - + và t t x 2 2 2 - = Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt t t t t 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1 ) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2 æ ö - + - - + - = = - + - ç ÷ è ø ò ò ò = t t t t 2 1 2 3 4ln 2 2 æ ö - + + ç ÷ ç ÷ è ø = 1 2ln2 4 - Câu 13. x I dx x 8 2 3 1 1 - = + ò Bi tp Tớch phõn Trang 6 ã x I dx x x 8 2 2 3 1 1 1 ổ ử = - ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ũ = ( ) x x x 8 2 2 3 1 ln 1 ộ ự + - + + ở ỷ = ( ) ( ) 1 ln 3 2 ln 8 3 + + - + Cõu 14. I x x x dx 1 3 2 0 ( 1 ) 2= - - ũ ã I x x x dx x x x x x dx 1 1 3 2 2 2 0 0 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) = - - = - + - - ũ ũ . t t x x 2 2 = - ị I 2 15 =- . Cõu 15. x x x I dx x x 2 3 2 2 0 2 3 1 - + = - + ũ ã x x x I dx x x 2 2 2 0 ( )(2 1 ) 1 - - = - + ũ . t tx x 2 1 = - + I t dt 3 2 1 4 2 ( 1 ) 3 ị = - = ũ . Cõu 16. x dx I x 2 3 3 2 0 = 4 + ũ ã t t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3= + ị = - ị = ị I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5 ổ ử = - = - + ỗ ữ ố ứ ũ Cõu 17. dx I x x 1 2 1 1 1 - = + + + ũ ã Ta cú: x x x x I dx dx x x x 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 ( 1 ) ( 1 ) - - + - + + - + = = + - + ũ ũ x dx dx x x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 - - ổ ử + = + - ỗ ữ ố ứ ũ ũ + I dx x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln | 1 2 2 - - ổ ử ộ ự = + = + = ỗ ữ ở ỷ ố ứ ũ + x I dx x 1 2 2 1 1 2 - + = ũ . t t x t x tdt xdx 2 2 2 1 1 2 2= + ị = + ị = ị I 2 = t dt t 2 2 2 2 0 2 ( 1 ) = - ũ Vy: I 1 = . Cỏch 2: t t x x 2 1 = + + . Cõu 18. ( ) x x I dx x 1 3 3 1 4 1 3 - = ũ ã Ta cú: I dx x x 1 1 3 2 3 1 3 1 1 1 . ổ ử = - ỗ ữ ố ứ ũ . t t x 2 1 1 = - ị I 6 = . Cõu 19. x I dx x 2 2 1 4 - = ũ ã Ta cú: x I xdx x 2 2 2 1 4 - = ũ . t t = x t x tdt xdx 2 2 2 4 4- ị = - ị =- ị I = t tdt t t dt dt t t t t t 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 4 2 ( 1 ) ln 2 4 4 4 ổ ử - - = = + = + ỗ ữ + - - - ố ứ ũ ũ ũ = 2 3 3 ln 2 3 ổ ử - ỗ ữ - + ỗ ữ + ố ứ Bi tp Tớch phõn Trang 7 Cõu 20. x I dx x x 2 5 2 2 2 ( 1 ) 5 = + + ũ ã t t x 2 5 = + ị dt I t 5 2 3 1 15 ln 4 7 4 = = - ũ . Cõu 21. x I dx x x 27 3 2 1 2 - = + ũ ã t t x 6 = ị t t I dt dt t t t t t 3 3 3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 1 ( 1 ) 1 1 ộ ự - = = - + - ờ ỳ + + + ở ỷ ũ ũ 2 5 5 3 1 ln 3 12 p ổ ử = - + - ỗ ữ ố ứ Cõu 22. I dx x x 1 2 0 1 1 = + + ũ ã t t x x x 2 1 = + + + ị dt I t t 1 3 1 3 1 1 2 3 2 3 ln(2 1 ) ln 2 1 3 + + + = = + = + ũ Cõu 23. x I dx x x 3 2 2 2 0 ( 1 1 ) (2 1 ) = + + + + ũ ã t x t 2 1 + + = ị I t dt t t 4 2 3 42 36 4 2 16 12 42ln 3 ổ ử = - + - = - + ỗ ữ ố ứ ũ Cõu 24. x I dx x x x x 3 2 0 2 ( 1 ) 2 1 1 = + + + + + ũ ã t t x 1 = + ị t t dt I t dt tt 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) - = = - + ũ ũ t 2 3 1 2 2 ( 1 ) 3 3 = - = Cõu 25. x x x I dx x 3 2 2 3 4 1 2011 - + = ũ ã Ta cú: x I dx dx M N x x 3 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 2011 - = + = + ũ ũ x M dx x 3 2 2 2 3 1 1 1 - = ũ . t t x 3 2 1 1 = - ị M t dt 3 7 3 2 3 0 3 21 7 2 128 - = - =- ũ N dx x dx x x 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2011 2011 14077 2011 16 2 - ộ ự = = = - = ờ ỳ ở ỷ ũ ũ ị I 3 16 128 14077 21 7 = - . Cõu 26. dx I x x 1 3 3 3 0 ( 1 = ). 1 + + ũ ã t t x 3 3 1 = + ị t dt I dt t t t t 3 3 2 2 2 2 2 1 1 4 3 2 3 3 3 .( 1 ) .( 1 ) = = - - ũ ũ Bi tp Tớch phõn Trang 8 dt dt t dt t t t t t t 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 4 1 1 1 3 3 4 2 3 3 3 1 1 1 1 1 . 1 - ổ ử - ỗ ữ ố ứ = = = ộ ự ổ ử ổ ử - - ỗ ữ ờ ỳ ỗ ữ ố ứ ố ứ ở ỷ ũ ũ ũ t dt u du t t 3 4 1 3 1 = - ị = ị u u I du u du u 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 3 3 3 2 3 - - ổ ử ỗ ữ = = = = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ũ ũ Cõu 27. x I dx x x x 2 2 4 2 3 1 1 = ổ ử - + ỗ ữ ố ứ ũ ã t t x 2 1 = + ị t I dt t 3 2 2 2 2 ( 1 ) 2 - = - ũ = t t dt t dt dt t t 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 19 2 4 2 ln 3 4 4 2 2 2 ổ ử - + + = + = + ỗ ữ ỗ ữ - - - ố ứ ũ ũ ũ Dng 2: i bin s dng 2 Cõu 28. ( ) x I x x dx x 1 0 1 2 ln 1 1 ổ ử - ỗ ữ = - + ỗ ữ + ố ứ ũ ã Tớnh x H dx x 1 0 1 1 - = + ũ . t x tt cos ; 0 ; 2 p ộ ự = ẻ ờ ỳ ở ỷ ị H 2 2 p = - ã Tớnh K x x dx 1 0 2 ln(1 ) = + ũ . t u x dv xdx ln(1 ) 2 ỡ = + ớ = ợ ị K 1 2 = Cõu 29. I x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 - = + - ũ ã I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 - + - ũ = x x dx 2 5 2 2 4 - - ũ + x x dx 2 2 2 2 4 - - ũ = A + B. + Tớnh A = x x dx 2 5 2 2 4 - - ũ . t t x =- . Tớnh c: A = 0. + Tớnh B = x x dx 2 2 2 2 4 - - ũ . t x t 2sin = . Tớnh c: B = 2 p . Vy: I 2 p = . Bi tp Tớch phõn Trang 9 Cõu 30. ( ) x dx I x 2 2 4 1 3 4 2 - - = ũ ã Ta cú: x I dx dx x x 2 2 2 4 4 1 1 3 4 2 2 - = - ũ ũ . + Tớnh I 1 = dx x 2 4 1 3 2 ũ = x dx 2 4 1 3 7 2 16 - = ũ . + Tớnh x I dx x 2 2 2 4 1 4 2 - = ũ . t x t dx tdt 2sin 2 cos = ị = . ị tdt I t dt t d t t t 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 6 6 1 cos 1 1 1 3 cot cot . (cot ) 8 8 8 8 sin s i n p p p p p p ổ ử = = = - = ỗ ữ ố ứ ũ ũ ũ Vy: ( ) I 1 7 2 3 16 = - . Cõu 31. x dx I x 1 2 6 0 = 4 - ũ ã t t x dt x dx 3 2 3= ị = ị dt I t 1 2 0 3 4 1 = - ũ . t t u u dt udu 2sin , 0 ; 2cos 2 p ộ ự = ẻ ị = ờ ỳ ở ỷ ị I dt 6 0 1 3 18 p p = = ũ . Cõu 32. x I dx x 2 0 2 2 - = + ũ ã t x t dx tdt 2cos 2sin = ị =- ị t I dt 2 2 0 4 sin 2 2 p p = = - ũ . Cõu 33. x dx I x x 1 2 2 0 3 = 2 + - ũ ã Ta cú: x dx I x 1 2 2 2 0 2 ( 1 ) = - - ũ . t x t 1 2cos - = . ị t t I dt t 2 2 2 2 3 ( 1 2 c o s ) 2sin 4 (2 cos ) p p + =- - ũ = ( ) t t dt 2 3 2 3 4 cos 2cos2 p p + + ũ = 3 3 4 2 2 p + - Cõu 34. x x dx 1 2 2 0 1 2 1 - - ũ ã t x t sin = ị I t t t d t 6 0 3 1 (cos sin ) cos 12 8 8 p p = - = + - ũ Bi tp Tớch phõn Trang 10 Dng 3: Tớch phõn tng phn Cõu 35. I x dx 3 2 2 1 = - ũ ã t x du dx u x x dv dx v x 2 2 1 1 ỡ ỡ = ù ù = - ị ớ ớ - = ù ợ ù = ợ x I x x x dx x dx x x 3 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 . 5 2 1 2 1 1 ộ ự ị = - - = - - + ờ ỳ ờ ỳ - - ở ỷ ũ ũ dx x dx x 3 3 2 2 2 2 5 2 1 1 = - - - - ũ ũ I x x 2 3 2 5 2 ln 1= - - + - ị ( ) I 5 2 1 ln 2 1 ln 2 2 4 = - + + Chỳ ý: Khụng c dựng phộp i bin x t cos 1 = vỡ [ ] 2;3 1 ; 1 ộ ự ẽ- ở ỷ