ÔNTẬP CHƯƠNG III I/ MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG 1/ Các kiến thức cần nắm * Khái niệm nguyênhàm * Tính chất nguyênhàm * Bảng nguyênhàm * Định nghĩa tíchphân * Tính tíchphân phương pháp đổi biến số phương pháp phần * Ý nghĩa thực tiễn số ứng dụng tíchphân hình học 2/ Các kĩ cần thành thạo * Tính nguyênhàm số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất bảng nguyênhàm , Đổi biến số nguyênhàmphần ) * Tính tíchphân số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất bảng nguyênhàm , Đổi biến số tíchphânphầnphần ) * Áp dụng tíchphân để tính diện tích hình phẳng * Áp dụng tíchphân để tính thể tích vật thể II/ Các vấn đề cụ thể 1/ Lý thuyết cần nắm : 1.1/ Khái niệm nguyênhàm : * Định nghĩa : Cho hàm số f xác định tập K Hàm số F gọi nguyênhàmhàm số f K F’(x) = f(x) với x thuộc K * Định lý : Giã sử F nguyênhàm f K a/ Với hàng số C hàm số y = F(x) + C nguyênhàm f K b/ Ngược lại nguyênhàm G f K tồn số C cho G(x) = F(x) +C 1.2/ Tính chất nguyênhàm * Định lý : Nếu f,g hai hàm số liên tục K f(x)dx + � g(x)dx f ( x) g ( x)dx = � a/ � kf(x)dx = k � f(x)dx với số thực k khác b/ � 1.3/ Bảng nguyênhàm 0dx = C dx = � 1dx x C 1/ � � 1 2/ x dx = x � +1 3/ dx = ln x C � x C �1 4/ Với k số khác ta có k coskxdx = sinkx + C b/ � k e kx dx = e kx + C c/ � k x a x dx = a +C (0 a �1) d/ � lna sinkxdx = - coskx + C a/ � 5/ a/ b/ dx = tanx +C � cos x � sin x dx = -cotx +C 1.4/ Tíchphân 1.4.1/ Định nghĩa tíchphân : Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyênhàm củ f K hiệu số F(b) – F(a) b gọi tíchphân f từ a đến b kí hiệu f ( x)dx � a Chú ý : b * Nếu a < b ta gọi f ( x)dx � tíchphân f đoạn [a; b] a b b f ( x)dx = F ( x) a = F(b) – F(a) *� a * Tíchphân khơng phụ thuộc vào biến lấy tíchphân b b b a a a f ( x)dx = � f (t ) dt = � f (v)dv = � 1.4.2 Tính chất tíchphân a f ( x)dx 1/ � a b a f ( x)dx � f ( x )dx 2/ � a b b c a a b f ( x)dx � f ( x)dx + � f ( x ) dx 3/ � c b b b a a [f ( x) g ( x)]dx � f ( x)dx + � f ( x) dx 4/ � a b b a a kf ( x)dx k � f ( x ) dx 5/ � 2/ Các dạng tốn chương III 2.1.1 Tính ngun hàm cách sữ dụng tính chất nguyênhàm Ví dụ : Tính nguyênhàmhàm số sau x x3 x3 x c/ f(x) = x2 a/ f(x) = x3 + b/ f(x) = ( x 1)( x x 1) d/ f(x) = x4 + 3x3 -5x + Ví dụ : Tính nguyênhàmhàm số sau a/ f(x) = 2cos2x + 2sin3x + x b/ f(x) = 4sin2x c/ f(x) = ( 1 )( x x) x x d/ f(x) = 2sin x + 2cosx + x Ví dụ : Tìm nguyênhàm F(x) hàm số x a/ f(x) = 2cos2x +2sin3x +x biết F( )= - b/ x3 x f(x) = biết F((-3) = 10 x2 2.12 Tính nguyênhàm phương pháp đổi biến số Định lý : Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định K Khi F nguyênhàm f , f(u)du =F (u ) C � f[u(x)]dx =F [u ( x)] C tức � Ví dụ1 : Tính nguyênhàmhàm số sau ecosx sin xdx (5 x 3)5 dx a/ � b/ � c/ tg x dx � cos x esinx cos xdx d/ � Ví dụ : Tính x2 a/ � 1-x x x dx b/ � dx dx x (1 x ) c/ � d/ dx � e 1 x Bài tập1 : Tính x x sin cos dx a/ � c/ � x 1 x x x dx b/ � dx d/ Bài tập2 : Tính t anxdx a/ � ln x dx x � cot xdx b/ � (tan t anx)dx c/ � (cot x + cot x)dx d/ � dx x 6x g/ �2 h/ 3x dx � x 6x 2.1.3 Tính nguyênhàm phương pháp phần u(x)v'(x)dx = u ( x)v( x) � v( x)u '( x)du Định lý : Nếu u,v hai hàm số liên tục K � Ví dụ : Tính nguyênhàmhàm số sau a/ f(x ) = x2sin2x b/ f(x ) = x2cosx c/ f(x ) = x2ex d/ f(x ) = x3 ln(2x) Ví dụ : Tính x s inxdx ( x 1)e x dx a/ � b/ � c/ e/ (2 x 1)sin xdx � (5 x 3) dx � x ln xdx � h/ Bài tập 1: Tính x s inxdx a/ � c/ x x sin dx � (x) d/ g/ k/ sin x cos xdx � e s inxdx � x ln xdx � x xe-x dx b/ � (x) d/ e sin xdx � x Bài tập 2: Tính e x 1 dx a/ � x tan xdx b/ � cos(lnx)dx (x) ln( x x )dx c/ � d/ � 2.2.1 Tính tíchphân cách sữ dụng tính chất nguyênhàm Ví dụ : Tính e ( x x 1)dx a/ � (x b/ � 1 x )dx x x x dx c/ � d/ �x 1dx 1 Ví dụ : Tính (e x x )dx b/ � (2sin x 3cosx x)dx a/ � ( x x x )dx c/ � ( x 1)( x x 1)dx d/ � Bài tập : Tính 1 (3sin x 2cosx )dx a/ � x (e x x 1)dx b/ � 2 ( x x x x )dx c/ � ( x 1)( x x 1) dx d/ � 1 2.2.2 Tính tíchphân phương pháp đổi biến số Công thức dổi biến số b u (b ) a u(a) f [u( x )]u'(x)dx �f (u )du � Ví dụ1 : Tính sin xcos xdx a/ � c/ sin x dx � 3cosx sin xcos xdx b/ � d/ tgxdx � cot gxdx g/ � h/ �1 4sin xcosxdx Ví dụ : Tính a/ x x � 1dx 0 x x 1dx c/ � x x dx b/ � x2 dx d/ � x 1 x x dx g/ � h/ � x x 1 dx Ví dụ : Tính 1 a/ � dx 1 x �x c/ 1 1 dx � (1 3x d/ 2 ) dx esin x cosxdx g/ � e cosx sin xdx h/ � 1 dx � x 2x b/ e x xdx f/ � sin xcos xdx k/ � Bài tập : Tính esin x cosxdx 1/ � e x xdx 3/ � e cosx sin xdx 2/ � Bài tập : Tính sin xcos xdx 1/ � sin xcos xdx 2/ � 3/ cot gxdx 5/ � 4/ tgxdx � 6/ sin x dx � 3cosx �1 4sin xcosxdx Bài tập : Tính x x 1dx 1/ � x x x dx 2/ � x x 1dx 3/ � 4/ � x 1 dx x x dx 5/ � � x x 6/ 1 dx Bài tập : Tính e ln x dx 1/ � x e 2ln x 1 dx 4/ � x e e sin(ln x) dx 2/ � x e 3ln x ln x dx 3/ � x e2 ln x dx 5/ � x ln x e e2 6/ � cos e dx (1 ln x) Bài tập : Tính x dx 1/ � x 1 1 x dx 2/ � 2x 1 1 dx 4/ � x 1 x x x 1dx 3/ � 5/ dx � x 1 x 6/ x 1 �x dx 2.2.3 Tính tíchphân phương pháp phần b b b u( x)v'(x)dx u ( x )v ( x ) a � v ( x )u '( x )dx Cơng thức tíchphânphần : � a a Tích phânhàm số dễ phát hiện u dv � sin ax � � � f ( x) � cosax � dx @ Dạng � � e ax � � � u f ( x) du f '( x )dx � � � � � sin ax � sin ax � � � � � � � �� � � dv � cos ax �dx � v� cosax �dx � � � � � � e ax � e ax � � � � � � � f ( x) ln(ax)dx � @ Dạng 2: dx � du u ln(ax) � � x �� Đặt � dv f ( x ) dx � � v� f ( x)dx � Ví dụ1 : Tính e ln x a/ � dx x e � b/ x ln xdx 1 � e c/ x ln( x 1)dx � 2 d/ x ln xdx Ví dụ : Tính e e ln x a/ � dx x � b/ x ln xdx e � c/ x ln( x 1)dx � 2 d/ x ln xdx Tíchphân từng phần các hàm sớ cần khéo léo đặt u dv Ví dụ 1: tính tíchphân sau � u x 2e x x xe x8 dx � dx đặt � a/ � b/ �4 đặt dx ( x 1) dv ( x 1)3 2 � ( x 1) � 1 1 dx x2 x2 dx x dx dx I1 I c/ � 2 � � (1 x ) (1 x ) x2 � (1 x ) 0 0 dx Tính I1 � phương pháp đổi biến số 1 x � u x5 � � x3 dx dv � ( x 1)3 � x dx Tính I2 = � 2 phương pháp phần : đặt (1 x ) ux � � x � dv dx � (1 x ) � t 2e x Ví dụ : Tìm x > cho � dx (t 1) Bài tập : Tính tíchphân sau e � � � x b/ ( x ) ln xdx a/ ( x cosx) s inxdx � c/ ln( x x )dx 2 d/ x tan xdx 2.3.1 Áp dụng tíchphân tính diện tích hình phẳng Cơng thức tính diện tích hình phẳng @ Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b tính theo côcng thức sau S giới hạn y = f(x) , trục b hoành hai đường thẳng x = a, x = b tính theo côcng thức sau S = �f ( x) dx a @ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x=b Bước : Giải phương trình f(x) = tìm nghiệm x1, x2, ,xn thuộc đoạn [a, b] Bước : Gọi S diện tích hình phẳng cầ tính Khi S = b x1 x2 b a a x1 xn �f ( x) dx �f ( x) dx + �f ( x) dx + �f ( x) dx xj Bước : Trên đoạn [xi ; xj ] , f(x) mang dấu Tính �f ( x) dx xi Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = @ Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơcng thức sau b S= �f ( x) g ( x) dx a @ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b Bước : Giải phương trình f(x) = g(x) tìm nghiệm x1, x2, ,xn thuộc đoạn [a, b] Bước : Gọi S diện tích hình phẳng cầ tính b x1 x2 b a a x1 xn f ( x) g ( x) dx � f ( x) g ( x) dx + � f ( x) g ( x) dx + � f ( x) g ( x) dx Khi S = � xj Bước : Trên đoạn [xi ; xj ] , f(x) – g(x) mang dấu Tính �f ( x) g ( x) dx xi 2.3.2 Áp dụng tíchphân tính thể tích vật thể