On tap nguyen ham va tich phan

ÔN TẬP CHƯƠNG III I/ MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG 1/ Các kiến thức cần nắm * Khái niệm nguyên hàm * Tính chất nguyên hàm * Bảng nguyên hàm * Định nghĩa tích phân * Tính tích phân phương pháp đổi biến số phương pháp phần * Ý nghĩa thực tiễn số ứng dụng tích phân hình học 2/ Các kĩ cần thành thạo * Tính nguyên hàm số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất bảng nguyên hàm , Đổi biến số nguyên hàm phần ) * Tính tích phân số hàm số đơn giản ( Sữ dụng tính chất bảng nguyên hàm , Đổi biến số tích phân phần phần ) * Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng * Áp dụng tích phân để tính thể tích vật thể II/ Các vấn đề cụ thể 1/ Lý thuyết cần nắm : 1.1/ Khái niệm nguyên hàm : * Định nghĩa : Cho hàm số f xác định tập K Hàm số F gọi nguyên hàm hàm số f K F’(x) = f(x) với x thuộc K * Định lý : Giã sử F nguyên hàm f K a/ Với hàng số C hàm số y = F(x) + C nguyên hàm f K b/ Ngược lại nguyên hàm G f K tồn số C cho G(x) = F(x) +C 1.2/ Tính chất nguyên hàm * Định lý : Nếu f,g hai hàm số liên tục K f(x)dx + � g(x)dx  f ( x)  g ( x)dx = � a/ � kf(x)dx = k � f(x)dx với số thực k khác b/ � 1.3/ Bảng nguyên hàm 0dx = C dx = � 1dx  x  C 1/ � �   1 2/ x dx = x �  +1 3/ dx = ln x  C � x C   �1 4/ Với k số khác ta có k coskxdx = sinkx + C b/ � k e kx dx = e kx + C c/ � k x a x dx = a +C (0  a �1) d/ � lna sinkxdx = - coskx + C a/ � 5/ a/ b/ dx = tanx +C � cos x � sin x dx = -cotx +C 1.4/ Tích phân 1.4.1/ Định nghĩa tích phân : Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm củ f K hiệu số F(b) – F(a) b gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu f ( x)dx � a Chú ý : b * Nếu a < b ta gọi f ( x)dx � tích phân f đoạn [a; b] a b b f ( x)dx = F ( x) a = F(b) – F(a) *� a * Tích phân khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân b b b a a a f ( x)dx = � f (t ) dt = � f (v)dv = � 1.4.2 Tính chất tích phân a f ( x)dx  1/ � a b a f ( x)dx   � f ( x )dx 2/ � a b b c a a b f ( x)dx  � f ( x)dx + � f ( x ) dx 3/ � c b b b a a [f ( x)  g ( x)]dx  � f ( x)dx + � f ( x) dx 4/ � a b b a a kf ( x)dx  k � f ( x ) dx 5/ � 2/ Các dạng tốn chương III 2.1.1 Tính ngun hàm cách sữ dụng tính chất nguyên hàm Ví dụ : Tính nguyên hàm hàm số sau x x3 x3  x  c/ f(x) = x2 a/ f(x) = x3 +  b/ f(x) = ( x  1)( x  x  1) d/ f(x) = x4 + 3x3 -5x + Ví dụ : Tính nguyên hàm hàm số sau a/ f(x) = 2cos2x + 2sin3x + x b/ f(x) = 4sin2x c/ f(x) = ( 1  )( x  x) x x d/ f(x) = 2sin x + 2cosx + x  Ví dụ : Tìm nguyên hàm F(x) hàm số x  a/ f(x) = 2cos2x +2sin3x +x biết F( )= - b/ x3  x  f(x) = biết F((-3) = 10 x2 2.12 Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số Định lý : Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định K Khi F nguyên hàm f , f(u)du =F (u )  C � f[u(x)]dx =F [u ( x)]  C tức � Ví dụ1 : Tính nguyên hàm hàm số sau ecosx sin xdx (5 x  3)5 dx a/ � b/ � c/ tg x dx � cos x esinx cos xdx d/ � Ví dụ : Tính x2 a/ � 1-x x  x dx b/ � dx dx x (1  x ) c/ � d/ dx � e 1 x Bài tập1 : Tính x x sin cos dx a/ � c/ � x 1 x x  x dx b/ � dx d/ Bài tập2 : Tính t anxdx a/ � ln x  dx x � cot xdx b/ � (tan  t anx)dx c/ � (cot x + cot x)dx d/ � dx x  6x  g/ �2 h/ 3x  dx � x  6x  2.1.3 Tính nguyên hàm phương pháp phần u(x)v'(x)dx = u ( x)v( x)  � v( x)u '( x)du Định lý : Nếu u,v hai hàm số liên tục K � Ví dụ : Tính nguyên hàm hàm số sau a/ f(x ) = x2sin2x b/ f(x ) = x2cosx c/ f(x ) = x2ex d/ f(x ) = x3 ln(2x) Ví dụ : Tính x s inxdx ( x  1)e x dx a/ � b/ � c/ e/ (2 x  1)sin xdx � (5 x  3) dx � x ln xdx � h/ Bài tập 1: Tính x s inxdx a/ � c/ x x sin dx � (x) d/ g/ k/ sin x cos xdx � e s inxdx � x ln xdx � x xe-x dx b/ � (x) d/ e sin xdx � x Bài tập 2: Tính e x 1 dx a/ � x tan xdx b/ � cos(lnx)dx (x) ln( x  x )dx c/ � d/ � 2.2.1 Tính tích phân cách sữ dụng tính chất nguyên hàm Ví dụ : Tính e ( x  x  1)dx a/ � (x  b/ � 1   x )dx x x x  dx c/ � d/ �x  1dx 1 Ví dụ : Tính  (e x  x )dx b/ � (2sin x  3cosx  x)dx a/ �  ( x  x x )dx c/ � ( x  1)( x  x  1)dx d/ � Bài tập : Tính  1 (3sin x  2cosx  )dx a/ � x  (e x  x  1)dx b/ � 2 ( x  x x  x )dx c/ � ( x  1)( x  x  1) dx d/ � 1 2.2.2 Tính tích phân phương pháp đổi biến số Công thức dổi biến số b u (b ) a u(a) f [u( x )]u'(x)dx  �f (u )du � Ví dụ1 : Tính  sin xcos xdx a/ � c/   sin x dx �  3cosx  sin xcos xdx b/ �   d/ tgxdx �  cot gxdx g/ �  h/  �1  4sin xcosxdx Ví dụ : Tính a/ x x �  1dx 0 x x  1dx c/ � x  x dx b/ � x2 dx d/ � x 1 x  x dx g/ � h/ � x x 1 dx Ví dụ : Tính 1 a/ � dx 1 x �x c/ 1 1 dx � (1  3x d/ 2 ) dx   esin x cosxdx g/ � e cosx sin xdx h/ �    1 dx � x  2x  b/ e x  xdx f/ � sin xcos xdx k/ �  Bài tập : Tính   esin x cosxdx 1/ �   e x  xdx 3/ � e cosx sin xdx 2/ � Bài tập : Tính   sin xcos xdx 1/ � sin xcos xdx 2/ �  3/  cot gxdx 5/ � 4/ tgxdx � 6/   sin x dx �  3cosx    �1  4sin xcosxdx Bài tập : Tính x x  1dx 1/ � x x  x dx 2/ � x x  1dx 3/ � 4/ � x 1 dx x  x dx 5/ � � x x 6/ 1 dx Bài tập : Tính e  ln x dx 1/ � x e 2ln x 1 dx 4/ � x e e sin(ln x) dx 2/ � x e  3ln x ln x dx 3/ � x e2  ln x dx 5/ � x ln x e e2 6/ � cos e dx (1  ln x) Bài tập : Tính x dx 1/ � x 1 1 x dx 2/ � 2x 1 1 dx 4/ � x 1  x x x  1dx 3/ � 5/ dx � x 1  x 6/ x 1 �x dx 2.2.3 Tính tích phân phương pháp phần b b b u( x)v'(x)dx  u ( x )v ( x ) a  � v ( x )u '( x )dx Cơng thức tích phân phần : � a a Tích phân hàm số dễ phát hiện u dv � sin ax � � � f ( x) � cosax � dx @ Dạng �  � e ax � � � u  f ( x) du  f '( x )dx � � � � � sin ax � sin ax � � � � � � � �� � � dv  � cos ax �dx � v� cosax �dx � � � � � � e ax � e ax � � � � � � �   f ( x) ln(ax)dx � @ Dạng 2:  dx � du  u  ln(ax) � � x �� Đặt � dv  f ( x ) dx � � v� f ( x)dx � Ví dụ1 : Tính e ln x a/ � dx x e � b/ x ln xdx 1 � e c/ x ln( x  1)dx � 2 d/ x ln xdx Ví dụ : Tính e e ln x a/ � dx x � b/ x ln xdx e � c/ x ln( x  1)dx � 2 d/ x ln xdx Tích phân từng phần các hàm sớ cần khéo léo đặt u dv Ví dụ 1: tính tích phân sau � u  x 2e x x xe x8 dx � dx đặt � a/ � b/ �4 đặt dx ( x  1) dv  ( x  1)3 2 � ( x  1) � 1 1 dx  x2  x2 dx x dx  dx    I1  I c/ � 2 � � (1  x ) (1  x )  x2 � (1  x ) 0 0 dx Tính I1  � phương pháp đổi biến số 1 x � u  x5 � � x3 dx dv  � ( x  1)3 � x dx Tính I2 = � 2 phương pháp phần : đặt (1  x ) ux � � x � dv  dx � (1  x ) � t 2e x Ví dụ : Tìm x > cho � dx  (t  1) Bài tập : Tính tích phân sau  e � �  � x b/ ( x  ) ln xdx a/ ( x  cosx) s inxdx � c/ ln( x  x )dx 2 d/ x tan xdx  2.3.1 Áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Cơng thức tính diện tích hình phẳng @ Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b tính theo côcng thức sau S giới hạn y = f(x) , trục b hoành hai đường thẳng x = a, x = b tính theo côcng thức sau S = �f ( x) dx a @ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x=b Bước : Giải phương trình f(x) = tìm nghiệm x1, x2, ,xn thuộc đoạn [a, b] Bước : Gọi S diện tích hình phẳng cầ tính Khi S = b x1 x2 b a a x1 xn �f ( x) dx  �f ( x) dx + �f ( x) dx +  �f ( x) dx xj Bước : Trên đoạn [xi ; xj ] , f(x) mang dấu Tính �f ( x) dx xi Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x =  Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x =  @ Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a ;b] , diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơcng thức sau b S= �f ( x)  g ( x) dx a @ Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) , y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b Bước : Giải phương trình f(x) = g(x) tìm nghiệm x1, x2, ,xn thuộc đoạn [a, b] Bước : Gọi S diện tích hình phẳng cầ tính b x1 x2 b a a x1 xn f ( x)  g ( x) dx  � f ( x)  g ( x) dx + � f ( x)  g ( x) dx +  � f ( x)  g ( x) dx Khi S = � xj Bước : Trên đoạn [xi ; xj ] , f(x) – g(x) mang dấu Tính �f ( x)  g ( x) dx xi 2.3.2 Áp dụng tích phân tính thể tích vật thể