chơng nguyên hàm, tích phân ứng dụng A Kiến thức cần nhớ I nguyên hàm khái niệm nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục khoảng I Hàm số F(x) đợc gọi nguyên hàm hàm số f(x) I F'(x) = f(x) với x thuộc I Định lí 1: Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng I Khi đó: a Với sè C, hµm sè G(x) = F(x) + C còng nguyên hàm f(x) b Ngợc lại, G(x) nguyên hàm f(x) tån t¹i h»ng sè C cho G(x) = F(x) + C víi mäi x thc I f(x)dx ®Ĩ chØ họ tất nguyên hàm hàm số Kí hiÖu � f(x) VËy ta viÕt: f(x)dx = F(x) + C F '(x) = f(x) Định lí 2: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm đoạn nguyên hàm số hàm số thờng gặp dx = C, dx = x + C x1 xdx = + C, 1 1 dx = lnx + C, x x Víi k số khác 0: coskx C a sinkx.dx = k sinkx C b coskx.dx = k ekx C k ax d axdx = + C, < a lna dx a = tanx + C cos2 x dx b = cotx + C sin x c ekx.dx = tÝnh chất nguyên hàm Định lí 3: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) G(x) nguyên hàm hàm số g(x) thì: 201 a [f(x) �g(x)]dx = � f(x)dx � g(x)dx = F(x) G(x) + C � b Víi mäi sè thùc a 0: af(x)dx = a � f(x)dx = a.F(x) + C Tìm nguyên hàm phơng pháp đổi biến số Cơ sở phơng pháp đổi biến số định lí sau: Định lí 1: Giả sử u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục I cho hàm số hợp f[u(x)] xác định I Khi đó, ta có: f[u(x)].u'(x)dx = F[u(x)] + C (1) F(u) nguyên hàm f(u) Nhận xét rằng: u = u(x) du = u'(x)dx vµ f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du đó, công thức (1) đợc viết gọn dới dạng: f(u)du = F(u) + C Để tìm nguyên hàm hàm số f(x) phơng pháp đổi biến ta thực hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Chän u = u(x), u(x) hàm số mà ta chọn cho thích hợp, xác định x = (u) (nếu có thể) Bớc 2: Xác định vi phân dx = (u)du Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo u du Giả sử f(x)dx = g(u)du Bớc 4: Khi đó: f(x)dx = g(u)du Lu ý: C¸c dÊu hiƯu dÉn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thờng lµ: DÊu hiƯu Cã thĨ chän Hµm cã mÉu sè Hàm f(x, 202 u = (x) u = (x) ) Hµm f(x) = Hµm u lµ mÉu sè (x a)(x b) f(x)= Víi x + 0, đặt: u= Với x + 0, đặt: u= (x) a > vµ x + b > x a + x b a < vµ x + b < x a + x b x x u = tan (víi cos 0) 2 a.sinx b.cosx c.sinx d.cosx e T×m nguyên hàm phơng pháp lấy nguyên hàm phần Cơ sở phơng pháp định lí sau: Định lÝ 2: NÕu u(x), v(x) lµ hai hµm sè cã đạo hàm liên tục I thì: u(x).v'(x).dx = u(x)v(x)v(x).u'(x).dx viết u.dv = uvv.du Để tìm nguyên hàm hàm số f(x) phơng pháp lấy nguyên hàm phần ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Biến đổi: f(x)dx = f1(x).f2(x)dx Bớc 2: Đặt: u f1(x) �du � � �v �dv f2 (x)dx Bíc 3: Khi ®ã: f(x)dx = uv vdu Lu ý: Khi sử dụng phơng pháp lấy nguyên hàm phần để tìm nguyên hàm cần tuân thủ nguyên tắc sau: a Lựa chọn phép đặt dv cho v đợc xác định cách dễ dàng b Tích phân bất định vdu đợc xác định cách dễ dàng so với tích phân ban đầu II Tích phân khái niệm tích phân Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục khoảng I a, b hai số thuộc I Nếu F(x) nguyên hàm f(x) hiệu số F(b) F(a) đợc gọi tích phân f(x) từ a đến b b kí hiệu f(x)dx a Ta có công thức Niutơn Laipnit: b f(x)dx � = F(x) b a = F(b)F(a) a 203 b Chó ý: TÝch ph©n f(x)dx � a chØ phơ thc vµo f, a, b mµ không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Vì vậy, ta viết: b F(b)F(a) = f(x)dx � b b a a f(t)dt = � f(u)du = a = Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm khoảng I vµ a, b lµ hai sè thuéc I (a < b) DiƯn tÝch S cđa h×nh thang cong giíi hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hành hai đb ờng thẳng x = a, x = b lµ S = f(x).dx � a tính chất tích phân Định lí 2: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục I a, b, c ba số thuộc I Khi ®ã ta cã: a f(x)dx � TÝnh chÊt 1: = a b a f(x)dx = � f(x)dx � TÝnh chÊt 2: a c f(x)dx = � TÝnh chÊt 3: a b b b f(x)dx + � a c f(x)dx � b b kf(x)dx = k � f(x)dx , víi k � � TÝnh chÊt 4: a b a [f(x) �g(x)]dx = � TÝnh chÊt 5: a b f(x)dx � a b g(x)dx � a b §Ĩ tÝnh f(x)dx � ta sư dơng: a a Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp b Sử dụng máy tính CASIO fx 570MS, b»ng c¸ch thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: ThiÕt lập môi trờng cách ấn: MODE Bớc 2: §Ĩ tÝnh b �f(x)dx , ta khai b¸o theo có pháp: a dx < hàm số f(x) > , a , b ) = 204 tÝnh tÝch ph©n phơng pháp đổi biến số Cơ sở phơng pháp đổi biến số công thức sau: b a f[u(x)]u'(x)dx � f(u)du , víi = u(a) = u(b) Từ đó, thấy có hai phơng pháp đổi biến: Phơng pháp 1: §Ĩ tÝnh tÝch ph©n: b g(x)dx I= � a ta thực bớc: Bớc 1: Chọn: Phân tích g(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx = f[u(x)]d[u(x)] Đặt u = u(x) Bíc 2: Thùc hiƯn phÐp ®ỉi cËn: Víi x = a th× u = u(a) Víi x = b th× u = u(b) Bíc 3: b u(b) a u(a) g(x)dx = Khi f(u)du Phơng pháp 2: Để tính tích phân: b I= f(x)dx , với giả thiết hàm số f(x) liên tục [a; b] � a ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Chọn x = (t), (t) hàm số đợc lựa chọn cách thích hợp (ảnh nằm tập xác định f) Bớc 2: Lấy vi phân dx = (t)dt, giả sử (t) liên tục Bíc 3: Ta lùa chän mét hai híng: Híng 1: Nếu tính đợc cận tơng øng theo a vµ b (víi a = () vµ b = ()) ta đợc: I= f((t)). '(t)dt Hớng 2: Nếu không tính đợc dễ dàng cận tơng ứng theo a b ta lựa chọn việc xác định nguyên hàm, từ suy giá trị tích phân xác định (trong trờng hợp phải đơn ánh để diễn tả kết hàm số t thành hàm số x) 205 Chú ý: Để minh hoạ việc lựa chän mét hai híng trªn, ta cã vÝ dơ: 1/ a Víi I = f(x)dx , viƯc lùa chän Èn phô x = sint, � t cho phÐp ta lùa chän híng 1, bëi ®ã: Víi x = 0, suy t = Víi x = , suy t = 1/3 b Víi I = f(x)dx , viƯc lùa chän Èn phô x = sint, � t ta thêng lùa chän híng 2, bëi ®ã: Víi x = 0, suy t = Víi x = , ta kh«ng chØ đợc số đo góc t tính tích phân phơng pháp tích phân phần Cơ sở phơng pháp tích phân phần công sau: b u(x).v'(x).dx = u(x).v(x) � b a a b v(x).u'(x).dx � (1) a b §Ĩ sư dơng (1) viƯc tÝnh tÝch ph©n I = f(x)dx � ta thùc a bớc: b Bớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng I = f(x)dx = a b f (x).f (x)dx � a Bớc 2: Đặt: u f1(x) du � �v �dv f2 (x)dx Bíc 3: b vdu Khi ®ã I = uv � b a a Chú ý: Khi sử dụng phơng pháp tích phân phần để tính tích phân cần tuân thủ nguyên tắc sau: 206 Lựa chọn phép đặt dv cho v đợc xác định cách dễ dàng Tích phân b vdu đợc xác định cách dễ dàng a so với I Chúng ta cần nhớ dạng sau: Dạng 1: Tích phân I = x.lnxdx, với \{1} đặt u = lnx Dạng 2: Tích phân I = P(x)exdx (hoặc I = x P(x)e dx ) với P đa thức thuộc R[X] * đặt u = P(x) P(x)sinxdx Dạng 3: Tích phân I = (hoặc P(x)cosxdx ) với P đa thức thuộc R[X] * đặt u = P(x) Dạng 4: Tích phân I = eaxcos(bx) (hc eaxsin(bx)) víi a, b đặt u = cos(bx) (hoặc u = sin(bx)) III Một số ứng dụng hình học tích phân Diện tích hình tròn hình elíp a Hình tròn bán kính R có diện tích S = R2 b H×nh elÝp (E): x2 y2 = cã diÖn tÝch S = ab a2 b2 tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) (f(x) liên tục đoạn [a; b]), trục Ox hai đờng thẳng x = a x = b đợc cho công thøc: b S= f(x) dx � a b DiÖn tích hình phẳng giới hạn hai đờng thẳng x = a, x = b, đồ thị hai hµm sè y = f1(x) vµ y = f2(x) (f1(x) f2(x) liên tục đoạn [a; b]) đợc cho bëi c«ng thøc S = b f (x) f (x) dx � a thÓ tÝch vật thể Giả sử vật thể T đợc giới hạn hai mặt phẳng song song (), () Ta chän trôc Ox cho: y 207 O a x b x Ox () vàgiả sử Ox () a Ox () vàgiả sử Ox () b Giả sử mặt phẳng () Ox () Ox = x (a x b) c¾t T theo mét thiÕt diƯn cã diƯn tÝch S(x) (là hàm số liên tục theo biến x) Khi đó, thể tích V vật thể T đợc cho c«ng thøc: b V = S(x)dx a ThĨ tÝch vật thể tròn xoay a Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] ThĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi miỊn (D) giíi h¹n bëi y = f(x), x = a, x = b, y = quay quanh trôc Ox đợc cho công thức: b b a a 2 V = y dx = f (x)dx b Cho hàm số x = f(y) liên tục không âm đoạn [a; b] Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) giới hạn bëi x = f(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trục Oy đợc cho c«ng thøc: b b a a 2 V = x dy = f (y)dy ThÓ tÝch khèi nãn vµ khèi chãp, khèi nãn cơt vµ khèi cÇu a ThĨ tÝch khèi nãn (khèi chãp) cã diƯn tích đáy B chiều cao h đợc cho bëi V = Bh b ThÓ tÝch khèi nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy B1, B2 chiều cao h đợc cho bởi: V = (B1 + B2 + B1.B2 )h c Thể tích khối cầu có bán kính R đợc cho bởi: V = R3 B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 nguyên hàm 208 Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm số hàm số thờng gặp tính chất nguyên hàm Phơng pháp Sử dụng: Bảng nguyên hàm Các tính chất nguyên hàm Các phép biến đổi đại số Thí dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: x x2 a f(x) 1 x 2x3 b f(x) = (2x + 3)3 Gi¶i a Ta cã: f(x)dx = � 2� � 1 x 2x3 � dx = � � x x � � � 12 � 1 x 2x3 2x2 � dx � � x � � 1 x x31 x21 ln x C = x x3 x4 ln x C x b Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có phân tích: f(x)dx = � (2x 3)3 dx = � (8x3 36x2 54x 27)3 dx � = x = 2x4 12x3 27x2 27x C Cách 2: Ta biến đổi: 1 f(x)dx = (2x 3)3 dx = � (2x 3)3 d(2x 3) = (2x 3)4 C � Nhận xét: Nh vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: Câu a) đợc ®Ị xt víi mơc ®Ých gióp c¸c em häc sinh ôn lại công thức 1, 2, bảng nguyên hàm Câu b) đợc trình bày theo hai cách với mục đích yêu cầu em học sinh đa lời đánh giá Và rút nhận định cách đợc u tiên thay (2x + 3) (2x + 3)2009 không thĨ sư dơng c¸ch 209 Víi c¸ch c¸c em häc sinh cã thÓ hiÓu theo nghÜa nÕu thay x b»ng u th× udu = 1 u1 + C, Thí dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: x2 2x 2x2 x x a f(x) b f(x) x1 x2 Gi¶i a Ta cã: b Ta cã: f(x)dx � 2x2 x x dx = � x2 2x2 3x2 � x2 dx = C = x2 3x C = x x x f(x)dx = � � � 12 2x 3x dx � � � � � � � x2 2x dx x x 2ln x C �x 1 x 1� = � x dx = � = Nhận xét: Nh vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: câu a) thực thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ mà xác định đợc nguyên hàm chúng dựa vào bảng nguyên hàm câu b) việc thực động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ, sử dụng công thức: du u ln u C ThÝ dơ T×m nguyên hàm hàm số sau: x a f(x) sin4x cos b � Gi¶i a Ta cã: f(x)dx � b Ta cã: 210 3x x� 2cos 3x 4sin sin � dx � � 2� � x� x � sin4x cos � dx cos4x 2sin C � = � = � � Tõ ®ã: 3 (u 1)du �1 � 1� 1 � 3� du 2� � � � � I = 41 u = �u u � = � u 2u �1 = 18 Cách 2: Sử dụng đồng thức x = (1 + 2x 1), ta đợc: x 1 � � (1 2x) = � (1 2x) (1 2x) � � Khi ®ã: 1 � � � 1 � 1 dx d(1 2x) � � 3� 3� � I = 2� = (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) � � 0� 0� �1 1 � 1 � = � + = 2(1 2x) �0 18 � (1 2x) (1 x )dx TÝnh tÝch ph©n I = � x6 Ví dụ 9: Giải Biến đổi: dx x x 1 x 1 x x � = = + I = x 1 + 14 43 (x2 1)(x4 x2 1) x 1 1 x6 x 1 4 2 I1 x dx � x 43 I2 Tích phân I1 đợc xác định cách đặt x = tant, , suy ra: dx = §ỉi cËn: dt dx (1 tan2 t)dt = (1 + tan t)dt vµ = = dt cos2 t x2 tan2 t Víi x = t = 0, /4 Khi I1 = �dt = t /4 = Víi x = th× t = , suy ra: TÝch ph©n I2 đợc xác định cách đặt x3 = tant, 268 < t < < t < 3x2dx = §ỉi cËn: dt (1 tan2 t)dt x2dx = (1 + tan t)dt & = = dt cos t tan t x 1 Víi x = th× t = 0, Víi x = t = Khi đó: I2 = /4 �dt = t /4 = I= + = 12 12 VÝ dơ 10: (§Ị thi đại học khối D 2003): Tính tích phân I = x x dx � Giải Ta xét dấu hàm số f(x) = x2 x [0, 2], đợc: x f(x 0 + ) Khi ®ã: 1 2 �x x � �x x � (x x)dx + � (x x)dx = � � + � � = I = � �0 �1 �3 �3 2 VÝ dô 11: Tính tích phân sau: a (Đề thi đại häc khèi A 2004): I = � 1 b (Đề thi đại học khối A 2002): I = �x xdx x 1 dx x2 Giải a Đặt t = x , suy t2 = x1 x = t2 + dx = 2tdt §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = th× t = Khi ®ã: 1 (t 1).2tdt 11 (t t )dt = I = � = � 4ln2 t t 0 b Đặt t = x , suy ra: t2 = x2 x2 = t2 xdx = tdt dt = §ỉi cËn: xdx x2 269 Với x = t = Khi đó: 3 dx xdx I= � = �2 = x 4 x x 4 x Víi x = th× t = 4 dt � �1 dt = � � � � t t t 2� 3� 1� t 2 � = ln �ln � = ln 4 � t �3 Ví dụ 12: Tính tích phân sau: 7/3 a I = x1 dx � 3x b I = �x 2/ dx x2 Gi¶i a Ta cã thể lựa chọn hai cách đặt ẩn phụ sau: Cách 1: Đặt t = 3x + suy dt = 3dx §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = t = Khi đó: 8 (t 2)dt 1 3 46 (t2/3 2t1/3)dt = ( t5/3 + .t2/3) 18 = I = �3 = � 91 91 15 t Cách 2: Đặt t = Đổi cận: 3 3x suy t = 3x + 3t dt = 3dx Víi x = th× t = Víi x = t = Khi đó: 2 (t 2)t dt 1 46 (t4 2t)dt = ( t3 + t2) 12 = I = � = � t 31 15 b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt t = x2 , suy ra: xdx dx xdx dt dt = & = 2 = 2 t 1 x 1 x x 1 x x 1 §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = th× t = 3 dt Khi ®ã I = �2 t 1/ 270 Đặt t = tanu, dt = §ỉi cËn: < u < , suy ra: 2 du dt (1 tan u)du = (1 + tan u)du vµ = = du cos u t2 tan u Víi t = th× u = Víi t = th× u = Khi ®ã: /4 �du I= =u /4 /6 = /6 12 , t(0; ), suy ra: cos t sin t dt dx sin tdt tan t.dt cos t dx = vµ = = = dt 2 1 cos t tan t x x 1 1 cos t cos t Cách 2: Đặt x = Đổi cận: Víi x = th× t = Víi x = th× t = Khi ®ã: /4 �dt = t I= /4 /6 = /6 12 VÝ dô 13: (Đề thi đại học khối B 2003): Tính tÝch ph©n I = / (1 2sin x)dx � sin 2x Gi¶i Biến đổi tích phân dạng: cos 2xdx I= = � (sin x cos x) = (cos x sin x)dx = � (sin x cos x) d(cos x sin x) = (lncosx sinx) � sin x cos x (cos x sin x)dx �sin x cos x = ln = ln2 Ví dụ 14: Tính tích phân sau: a I = cos3 x.sin xdx � 2 b I = dx � cos x sin x Giải 271 a Biến đổi I vỊ d¹ng: 2 I= 2 (1 sin x).sin x.cos xdx = � (sin � x sin x).cos xdx Đặt t = sinx, dt = cosxdx Đổi cận: Với x = th× t = Víi x = Khi đó: t = 1 (t2 t4 )dt = ( t3 t5) 10 = I= � 15 x b Đặt t = tan , ta đợc: x 1 1 dt = cos2 x dx = (1 + tan2 )dx = (1 + t2)dx dx = 2 2 2dt , 1 t2 §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = th× t = Khi ®ã: 2dt 1 dt 1 1 t2 I3 = � = � = = 2 t 2t t 2t t 0 1 1 t2 1 t2 VÝ dơ 15: (§Ị thi đại học khối A, B 2005): Tính tích ph©n: / / sin 2x.cos x.dx (sin 2x sin x)dx a I = � b I = � cos x 3cos x 0 Giải a Đặt t = + cosx, suy ra: cosx = t sinxdx = dt Đổi cận: Với x = t = Khi ®ã: / Víi x = th× t = 2cos x.sin x.dx (t 1) dt 1� � dt �t � � � I= � = = cos x t t� 1� 272 �t � 2t ln | t | � = 2� = 2ln2 b Đặt t = 3cos x , suy ra: t2 = + 3cosx cosx = 2tdt t2 1 sinxdx = 3 §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = t = Khi đó: / 2 (2cos x 1).sin x.dx 2 �2 34 � (2t 1)dt = � t t � = I= � = � 9 �3 27 3cos x � 1 Ví dụ 16: Tính tích phân sau: a I = dx / sin2x /3 �1 sinxdx b I = � Giải a Biến đổi I dạng: x x2 I = �(sin cos ) dx = 2 3 / = 2[ x 2 x x |sin cos |dx = � 2 2 x 2 x |sin( ) |dx � �sin(2 4)dx �sin(2 4)dx ] 3 / x 3 /2 x 2 = [2cos( + ) + 2cos( + ) 3 /2 ] = 4 b Ta cã thĨ tr×nh bày theo cách sau: Cách 1: Đặt u = tanx, suy ra: du du du = = (1 + tan2x)dx = (1 + t2)dx dx = cos x 1 u2 §ỉi cËn: Víi x = th× u = 1, Víi x = u = Từ đó: du 3 /3 dx du ln3 1 u2 = � = � = ln u = ln ln1 = � 2u sin2x /4 21 u 1 1 u2 Cách 2: Ta biến đổi: 273 /3 /3 /3 /3 dx dx dx d(tan x) = � = � = � � sin 2x / sin x.cos x / ta n x.cos x / ta n x /4 /3 ln ln ln1 = = ln | ta n x | = / C¸ch 3: Ta biÕn ®ỉi: /3 /3 /3 dx (sin x cos x)dx �sin x co s x � dx = = � � � � � sin 2x /4 sin x.cos x / �cos x sin x � /4 = ln | cos x | ln | sin x | VÝ dô 17: /3 ln = / Tính tích phân sau: 3 4 sin2 x.dx a I = � cos x sin4x.dx � 1 cos x b I = Gi¶i a BiÕn ®ỉi I vỊ d¹ng: 3 3 3 1 dx 2 tan x dx = � tan x dx = � tan2 x(1 tan2 x) I=� cos x cos x cos x cos x 6 Đặt t = tanx suy dt = §ỉi cËn: Víi x dx cos2 x th× t Víi x th× t Khi ®ã: 3 �t (1 t )dt = �(t t )dt I= 2 �1 � 42 = � t t �1/ = � �3 15 b BiÕn ®ỉi I vỊ d¹ng: 4 4 2sin2x.cos2x 4sin2x.cos2x dx dx I= � = cos2x � 1 3 cos2x Đặt t = cos2x, dt = 2sin2x.dx Đổi cận: Với x = t = 1, Víi x = Khi ®ã: I= 274 0 th× t = 2tdt tdt (t 3) 3 dt = 2 � (1 )dt =2 � = 2 � � 3 t t t t 1 1 =2(t3ln|t + 3|) = + 6ln 15 VÝ dô 18: TÝnh tích phân sau: x2 x2 dx a I = � dx 1/2 b I = � 1 x2 Gi¶i � ; a Đặt x = 2sint, t � � 2�suy dx = 2cost.dt §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = th× t = Khi ®ã: /2 /2 /2 4sin2 t 4sin2 t.2cost.dt �sin 2t.dt = �(1 cos4t).dt I = � = /6 /6 /6 /2 � � � � t sin4t � �3 + � � = 2� = � � /6 � b Ta trình bày theo cách sau: ; Cách 1: Đặt x = sint, t � � 2 �suy dx = cost.dt §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = t = Khi đó: /6 cost.dt /6 cost.dt /6 /6 dt � � I = 1 sin2 t = cost = 0� = t = C¸ch 2: Đặt x = cost, t(0; ) suy dx = sint.dt §ỉi cËn: Víi x = th× t = Víi x = t = Khi đó: /3 sint.dt /3 sint.dt /3 /3 dt � � /2 =( I = /2 1 cos2 t = /2 sint = � =t ) = /2 Ví dụ 19: Tính tích phân: a / (e (Đề thi đại học khối D 2005): I = cos x)cos xdx e b (Đề thi đại học khối B 2004): I = sin x 3ln x.ln x.dx x � 275 Giải a Viết lại tích phân dới d¹ng: / / / / (cos 2x 1)dx I= + = +2 � /2 �1 � sin x /2 e sin 2x x � � = + �2 �0 = e + b Đặt t = 3ln x , suy ra: dx t2 = + 3lnx lnx = (t21) = tdt x Đổi cận: Với x = t = Víi x = e th× t = Khi ®ã: esin x cos x.dx � cos xdx � esin x d(sin x) � 2 t(t 1) 2 t5 t3 116 tdt = (t t )dt = ( ) = I = � � 3 9 135 Ví dụ 20: Tính tích phân: a (Đề thi đại học khối D 2004): I = /2 b I = ln(x � 2 x)dx e cosxdx x Giải a Đặt: �u ln(x x) � dv dx � Khi ®ã: 2x � du dx � x x � � �v x 3 (2x 1)dx (2 )dx � I = xln(x x) � = 3ln32ln2 x 1 x 1 2 = 3ln32ln2(2x + ln|x1|) |2 = 3ln32 b Đặt: u cosx du sinxdx � � � � dv exdx �v ex � Khi ®ã: |32 I = excosx /2 /2 + /2 �e sinxdx x x = 1 + 10 4 (1) Xét tích phân J cách đặt: 276 �e sinxdx J u sinx du cosxdx � � � � x dv exdx � �v e Khi ®ã: J = exsinx /2 /2 �e cosxdx x = e/2 I (2) Thay (2) vào (1), ta đợc I = /2 (e 1) VÝ dơ 21: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: /2 /3 a I = x sinx dx � cos2 x b I = �xcos xdx Gi¶i a Biến đổi I dạng: /3 /3 xdx sinx.dx � � I = cos x + cos2 x 14 43 43 I1 (1) I2 ®ã: /3 /3 /3 d(cosx) = = (2) � cos2 x cosx 0 Với tích phân I2 đợc xác định phơng pháp tích phân phần: u x � du dx � � � dx � dv �v tanx � � cos x sinx I1 = � dx = cos x Khi ®ã: I2 = xtanx /3 /3 �tgxdx = ( xtanx + ln|cosx|) /3 0 = + ln (3) + ln + Thay (2), (3) vào (1) ta đợc I = b Biến đổi I dạng: /2 /2 � � xdx xcos2xdx 1 �� � x(1 cos2x)dx = I= + � � 0 � 2 14 43 44 43� /2 I1 (1) I2 277 /2 /2 x �xdx = ®ã I1 = = 2 (2) Víi tÝch ph©n I2 đợc xác định phơng pháp tích phân phÇn: du dx � u x � � � � dv cos2xdx v sin2x � � � Khi ®ã: 1 I2 = xsin2x (3) /2 /2 sin2xdx Thay (2), (3) vào (1) ta đợc I = = 1 (xsin2x + cos2x) 2 /2 = 2 + 16 VÝ dơ 22: TÝnh diƯn tÝch hình phẳng giới hạn đờng: a y = ln(x + 1), trục tung hai đờng thẳng y = 1 vµ y = x2 x2 vµ y = 4 b (Đề thi đại học khèi B 2002): y = Gi¶i a Biến đổi hàm số dạng: y = ln(x + 1) x + = ey x = ey 1 Tõ dã S = �e 1dy y 1 XÐt hµm sè f(y) = ey đoạn [1; 1], ta có: f(y) ey ≥ ey ≥ y ≥ Khi ®ã: S= y �e 1dy + 1 y = y e ey 1dy = � 1 e dy � y 1 + e � y dy = e e b Hoành độ giao ®iĨm cđa hai ®êng cong lµ nghiƯm cđa: x2 x2 = x4 + 8x2128 = x2 = x = 2 4 4 Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm, ta cã: y (P) x 278 O 1 ey y � x2 x2 � dx � �� 4 � � 2 � � 2 S= 2 2 1 16 x dx x dx = � � 2 2 (1) Ta lần lợt có: 2 I1 = �x dx = 2 x3 2 32 = 2 (2) 2 Để xác định I2 = 16 x dx , ta đặt x = 4sint, t[/2; /2] 2 dx = 4cost.dt §ỉi cËn: Víi x = 2 th× t = /4 Khi ®ã: I2 = 16 Víi x = 2 th× t = /4 / / /4 /4 /4 /4 �1 sin t.cos t.dt = 16 �cos t.dt = �(1 cos 2t).dt /4 = (8t 4sin 2t) / = 4 + Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: S = 2 + 4 = 2 + (®vdt) 3 (3) Ví dụ 23: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: a y x x2 , y x hai đờng th¼ng x = 0, 1 x2 x y b x , x 1 y2 vµ hai ®êng th¼ng x = 0, x 1 y2 Gi¶i a Ta cã: S �x 1 x x dx = x(1 x2 ) x � dx = x3 �x dx Tới đây, để tính tích phân ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt u = x2 , suy ra: 1 x2 1 x2 279 u2 = x2 + 2udu = 2xdx udu = xdx §ỉi cËn: Víi x = th× u = Víi x = Tõ ®ã: (u2 1)udu S= � = u th× u = 2 �u3 � (u2 1)du = � u� = � �3 �1 C¸ch 2: Đặt u = x2 + 1, suy du = 2xdx Đổi cận: Với x = u = Víi x = th× u = Tõ ®ã: 4 �u � �1 � (u 1)du du = � u2 u � = � � S= � =� � � 21 u� u �2 �3 �1 b Ta cã: S 2/ � 1 y 1 y dy = S 2/ 1 (1 y2 ) � 1 y2 2/2 y2dy � 1 y dy = Tới đây, để tính tích phân ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt y = sint, Đổi cận: t suy dy = cost.dt 2 Víi y = th× t = Víi y = Khi ®ã: /4 I= sin2 t.cost.dt � = 1 sin2 t /4 /4 = (1 cos2t)dt = � sin2 t.cost.dt = � |cost | /4 sin2 t.cost.dt � cost /4 1� � t sin2t � 2� � �0 th× t = = Cách 2: Đặt y = cost, t[0; ] suy dy = sint.dt §ỉi cËn: Víi y = th× t = , Víi y = th× t = Khi ®ã: /4 /4 /4 cos2 t.sint.dt cos2 t.sint.dt cos2 t.sint.dt I= � = � = � |sint | sint 1 cos2 t /2 /2 /2 = 280 /4 /4 1 � (1 cos2t)dt = � t sin2t � = � � 2/2 2� � /2 Ví dụ 24: (Đề thi đại học khối A 2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x24x + 3 vµ y = x + Giải Hoành độ giao điểm nghiệm của: |x24x + 3| = x + � x 4x x v� i x �1 ho� c x �3 � � x 4x x v� i �x �3 Khi ®ã: x0 � � x 5 � S= (x 3 | x � = 4x |)dx ( x 5x)dx � + (x 3x 6)dx � + ( x � 5x)dx 109 = Ví dụ 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y Giải Tõ hµm sè: y (x 1)2 , đờng thẳng y = đờng thẳng y = (x 1)2 (x 1)2 y x 1 � y x y y Từ đó: x 1 � 2� � 2� S � 1 � 1 � � �dy = � � y� y� � �� � 2 8 dy = 2� dy = 2y = � y 22 y VÝ dô 26: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành đờng thẳng y = x Giải y Ta trình bày theo hai cách sau: C y= Cách 1: Hoành độ giao điểm đồ thị A hàm số y = x đờng thẳng y = x lµ B O 2x nghiệm phơng trình: x x �2 y = x2 �2 x =x2 � �x (x 2) �x 5x x = 281 Khi ®ã, diƯn tÝch S cđa h×nh H b»ng diƯn tÝch h×nh tam giác cong OAC trừ diện tích hình tam giác ABC, tức là: 4 16 10 2 = S = �xdx AB.AC = x2 2.2 = 3 Cách 2: Tung độ giao điểm đồ thị hàm số y = x (suy x = y2) đờng thẳng y = x nghiệm phơng trình: y0 y2 = y + y y = � y Khi ®ã, diƯn tÝch S cđa hình H đợc cho bởi: 2 10 �1 (y y2 )dy = � y2 2y y3 � = S= � �0 �2 282 ... f(x)dx = � (2x 3) 3 dx = � (8x3 36 x2 54x 27 )3 dx � = x = 2x4 12x3 27x2 27x C C¸ch 2: Ta biÕn ®ỉi: 1 f(x)dx = � (2x 3) 3 dx = � (2x 3) 3 d(2x 3) = (2x 3) 4 C � Nhận xét:... l¹i: cos 2x cos 2x vµ cos2x = 2 3sin x sin 3x 3cos x cos3x sin3x = vµ cos3x = 4 sin2x = ThÝ dơ Tìm nguyên hàm hàm số sau: a f(x) = cos3x b f(x) = tan3x Gi¶i a Ta trình bày theo hai cách... f(x) = sin3x.cosx b f(x) = sin3x.sin2x.cosx Gi¶i a Ta cã: 1 (sin4x + sin2x)dx = cos4x cos2x C b Ta cã ph©n tÝch: sin3x(sin3x sinx) = f(x) = sin3x.sin2x.cosx = (sin2 3x sin3x.sinx)