Đề thi hsg môn toán học lớp 12 sở gd đt bắc ninh năm học 2015 2016 file word có lời giải chi tiết

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi: Tốn – Lớp 12 Chuyên Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng năm 2016 Câu (4,0 điểm)  x 1 (C) Chứng minh với m đường thẳng y  x  m 2x  cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để k12016  k 22016 đạt giá trị nhỏ Cho hàm số y  Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x  x  (3 x  7) 3 x  x   y  y 9 ) ( x  y )( x  x y  y  2) 6.ln( b) Giải hệ phương trình:  x  x2  3  y   x  xy  Câu (3,0 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: F  2 x  y  2z  2z   ( x  y )3 ( z  2)3 Câu (6,0 điểm) a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : x  y  z -14 0, (Q) : x  y - 3z  16 0 điểm M  6;2;4  Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc mặt phẳng (Q) cho ME  EF  FM 2 30 b) Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm cạnh AB, G trọng tâm tam giác AMC I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh đường thẳng GI vng góc với đường thẳng CM Câu (2,0 điểm) u1 3  Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện:  un2 2014un  un1  2016 2016  a) Chứng minh: (un ) dãy số tăng un b) Với n 1, n   , đặt  Chứng minh với n 1 un 1  v1  v2    2016 - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp 12 Chun Ngày thi: 24 tháng năm 2016 -// - Câu Đáp án PT hoành độ giao điểm (d) (C) x  m  Điểm 4,0 đ  x 1  x  2mx  m  0 (*) (vì 2x  1 không nghiệm) Dễ thấy đường thẳng (d ) : y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt với m x Gọi x1 , x2 nghiệm (*), ta có k1  2,0 1 , k2  , k1k2 1 (2 x1  1) (2 x2  1) 2016 2016 1013 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có k1  k2 2( k1k2 ) 2 Dấu xảy 2,0 k1 k2  2( x1  x2 )  0  m  Vậy Min(k12016  k22016 ) 2 m=-1 2.a (2,5 đ) Phương trình cho  ( x  1)3  x  (3x  7) (3x  7)( x  1)  x  Đặt u  x  1, v  (3 x  7)( x  1)  x  Ta có hệ: 0,5 u  x  (3x  7)v  (u  v )(u  uv  v  3x  7) 0  v  x  (3x  7)u Vì u x  18 x  31 u  uv  v  3x  (  v )2   0, x nên u v 0,5 Do x   x  x   x  x 1 (1) 3 Nếu x    2;2 đặt x 2cos (  [0; ]) , (1) trở thành: 8cos3   6cos  1  5 7 Ta tìm   ; ; 9  5 7 Do pt (1) nhận x 2.cos ; 2.cos ; 2.cos làm nghiệm 9 Mặt khác phương trình bậc có nhiều nghiệm  5 7 Vậy tập nghiệm pt cho S {2cos ;2cos ;2cos } 9 2.b  y  y 9 ) (1) ( x  y )( x  x y  y  2) 6.ln( Giải hệ phương trình:  x  x2  3 (2)  y   x  xy  ĐK: x 0, xy 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1,0 0,5 2,5 đ Ta có (1)  x3  x  6ln( x  x  9) ( y )3  y  ln( y  y  9) (*) Xét hàm f (t ) t  2t  ln(t  t  9), t   Ta có f '(t ) 3t   t 9 t2  1 26 29 26 29    (t  9)  ] 3(1+ - )=0 27 3 t2  t  27 Suy f(t) đồng biến liên tục  3[ 1,0 Mà (*)  f ( x )  f ( y )  x  y  y  x Thay vào (2) ta được: x   x  x   ( x  3)( Ta có (ĐK x  ) x 3 ( x  1)  x   x 3 ( x  1)  x   1  < x  3x  x3   1 x  3x  x3   ) 0 (3) 1,0 Nên pt (3) có nghiệm x = Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) (3;9) 3,0 đ Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có x  y  z  z   x  y  ( z  1)   ( x  y  z  2) x y z 2 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có ( x  y )( z  2)  2 32  Do F  x  y  z  3( x  y  z  2)3 32 Đặt t  x  y  z   F   t 3t 32 Xét hàm g (t )   , t  t 3t Lập BBT suy Max g (t ) g (4)  x 2 12 Vậy MaxF= x  y 1, z 0 12 4.a Tìm hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) (Q) A  3;1;2  , B  5;0;7  Điểm đối xứng M qua (P) (Q) D  0;0;0  , C  4;-2;10  Do với E  ( P ), F  (Q) ME  EF  FM DE  EF  FC DC 2 30 Đẳng thức xảy {E} CD  ( P ),{F}=CD  (Q) 28  14 70 32  16 80 ; ), F ( ; ; ) Tìm E ( ; 15 15 15 15 15 15 4.b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1,5 1,5 3,0 đ 1,0 1,0 1,0 3,0 đ Chọn hệ Oxy cho O trung điểm BC,tia Ox tia OC, tia Oy tia OA Gọi BC=2a, d ( A; BC ) h 1,0 Khi B  -a;0  , C  a;0  , A  0; h  3a h a h h2  a2 ;  ), G ( ; ), I (0; ) 2 2h  a a2  3a h   Ta có GI ( ; ), MC ( ;  )  GI MC 0  GI  MC (đpcm) 2h 2 Tính M ( 1,0 1,0 2,0 đ * Dùng quy nạp chứng minh đc un  2, n   Do un 1  un 1,0 Vậy (un ) dãy tăng (đpcm) Ta có 2016(un 1  un ) un (un  2)  un 1 2016(  ) Do un 1  un  un 1  1 v1  v2   2016(  )  2016 (đpcm) u1  un 1  Hết - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1,0