Giải nhanh hình học không gian bằng máy tính casio FIle word có lời giải chi tiết

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN SỬ DỤNG CASIO I Phương pháp giải toán Việc BGD đề thi trắc nghiệm mơn Tốn đa phần học sinh tốc độ để giải tốn hình học khơng gian Để giúp em có cách nhanh giải tốn trắc nghiệm thầy biên soạn chuyên đề sử dụng casio hình học khơng gian, phần casio hỗ trợ phần nhỏ giảm bớt thời gian chọn đáp án, em ý phương pháp tồn nhanh để giải tốn, có sử dụng phương pháp truyền thống giải nhanh nhiều Vì em coi phương pháp để tham khảo học hỏi thêm Phương pháp tọa độ hóa khơng gian ta cần phải thực yêu cầu sau Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp ( ý đến vị trí gốc O), chọn hệ trục cho có đường thẳng đơi vng góc với Bước Xác định tọa độ điểm có liên quan ví dụ đề yêu cầu tính thể tích khối chop SABC cần tìm tọa độ điểm S;A;B;C xác định tọa độ điểm ta dựa vào yếu tố sau: - Ý nghĩa hình học tọa độ điểm điẻm nằm cá trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ ví dụ điểm A nằm truc Ox A( a;0;0) hay điểm A nằm mặt phẳng oxy A( a;b;0) , ý việc xác định tọa độ điểm quan trọng nên cẩn trọng, việc xác định tọa độ điểm để tìm A(x;y;z) từ điểm ta phải kẻ vng góc vào hệ trục tọa độ chọn - Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song, phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ Bước 3: - Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng - Dựa vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng - Độ dài đoạn thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng - Khoảng cách hai đường thẳng - Góc hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word - Thể tích khối đa diện - Diện tích hình - Quan hệ song song, vng góc II Bổ sung kiến thức: Cho khối chop S ABCD Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A, B, C khác với S Ta ln có: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Xác định tọa độ điểm không gian Tọa độ hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng Oxy H(a;b) ta tính AH=c, kho A có tọa độ A(a;b;c) với giả sử thành phần tọa độ A nằm phần dương Phương trình tổng qt mp (α ) có dạng: Ax + By + Cz + D = r Với A2 + B + C ≠ ; n = ( A; B; C ) VTPT mp (α ) Chú ý r r G i ả s m p (α ) c ó c ặ p V T C P l a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) N ê n c ó V T P T l : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word r r r a a aa aa  n =  a, b  =  ; ; ÷  b1b3 b3b1 b1b2  Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oxy): z = 0; (Ozy): x = ; (Oxz): y = r P h n g t r ì n h m ặ t p h ẳ n g c ó V T P T n = ( A; B; C ) v q u a đ i ể m đ i q u a M ( x0 ; y0 ; z0 ) A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z ) = Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm VTPT VTCP qua điểm Khoảng cách a Khoảng cách hai điểm AB ab = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) ( z B − z A ) b Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mp (α ) : Ax + By + Cz + D = d ( M , (α )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C c Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d Lấy M ∈ d r Tìm VTCP đường thẳng d u uuuuuur r  M M1 , u   d (M1, d ) =  r u d Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ v ∆ ' r ur Gọi u u ' VTCP ∆ v ∆ ' / ∆ đ i q u a đ i ể m M0, M0 ∈∆ ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word r ur uuuuuur u , u ' M M 0/   d (∆.∆ ') = r ur u , u '   Chọn hệ trục tọa độ Phần quan trọng phương pháp cách chọn hệ trục tọa độ, khơng có phương pháp tổng qt để lựa chọn hệ trục cần tìm cạnh đơi vng góc với nhau, có tốn lựa chọn nhiều hệ trục tọa độ chọn hệ trục tọa độ cho việc tìm tọa độ điểm dễ dàng nhiều số tốt nhất, có tốn việc tạo hệ trục tọa độ phức tạp dẫn đến việc tính tọa độ chúng gặp khó khăn phải theo hướng giải theo phương pháp truyền thống Tóm lại cần ý • Hệ trục tọa độ nằm đường thẳng đơi vng góc • Gốc tọa độ thường chân đường cao hình chóp, lăng trụ có đáy hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng trung điểm cạch đó, theo • giả thiết tốn… Một số cách chọn hệ trục tọa độ Tứ diện Hình chóp đáy tứ giác lồi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hình lăng trụ xiên, lăng trụ đứng tương tự hình chóp, riêng hình hộp có nhiều cách lựa chọn hệ trục tọa độ Hình lăng trụ ABC,A’B’C’ có đáy ABC tam giác A ' H ⊥ ( ABC ) II Bài tập minh họa Các tập quy ước với a=1 khơng nói thêm Câu Đề minh họa BGD 2017 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC,AD đơi vng góc với AB=6a, AC=7a, AD=4a Gọi M,N,P tương ứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V tứ diện AMNP A a B 14a C 28 a D 7a Do AB;AC; AD đơi vng góc với chọn hệ trục tọa độ Oxyz theo hình vẽ ta cần tính thể tích tứ diện AMNP ta cần tìm tọa độ A;M;N;P, M; N;P trung điểm 7 BC; CD; BD ta có tọa độ đỉnh sau A(0;0;0); M ( ;3;0); N ( ;0; 2); P(0;3; 2) 2 x1 Sử dụng cơng thức tính thể tích chop tam giác V = y1 z1 x2 y2 z2 x3 x1 y3 V = x2 z3 x3 y1 z1 y2 z2 với z3 y3 uuuu r uuur uuu r ( x1 ; y1 ; z1 ), i = 1, 2,3 tọa độ AM ; AN ; AP ta khơng phải tính trực tiếp mà nhập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r vào máy tính ví dụ tính AM nhập − 0;3 − 0;0 − ví dụ điểm tương đối dễ tính nhầm em tính nhẩm ngay, ví dụ khác để tránh nhầm lẫn ta nên nhập Trước tiên ta vào chế độ ma trận MODE Chọn 1;2;3 chế độ lưu ma trận, có ma trận mxn tức m dòng, n cột ta quan tâm đến dòng, cột tức chọn 3x3 hình trên, ô ta nhập phép thực “ ngọn- gốc” vectơ , theo hàng ngang hàng dọc được, sau khỏi hình lệnh AC Tiếp ta nhập lệnh SHIFT Tiếp tục nhập lệnh SHIFT ( ta nhớ vào ma trận A, 4,5 nhớ vào ma trận B, C bước ban đầu) lệnh = kết ( lấy giá trị dương) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy thể tích 42 = đáp án D Câu Đề minh họa BGD 2017 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a 3 D a Do (SAD) vng góc với đáy, tam giác SAD cân S nên gọi O trung điểm AD, SO vng góc với đáy chọn hệ trục tọa độ oxyz hình vẽ ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word V= = SO.2 ⇒ SO = , yêu cầu tính khoảng cách từ B đến (SCD) ta có tạo độ đỉnh 3 sau O(0;0;0); S (0;0; 2); C ( 2; 1 ;0); D(0; ;0); B( 2; − ;0) 2 Ta viết phương trình mặt phẳng (SCD) qua điểm S;C;D có dạng ax +by + cz+ d = ur uu r Trong (a; b; c) = u1; u2  hai vtcp mặt phẳng ta sử dụng lệnh MODE Chọn vec tơ A B, C tùy ý chọn A không gian chiều chọn uuu r uuu r Ta nhập vec tơ phương mặt phẳng vào ta lấy SC ; SD ta nhập “ – gốc” vec tơ ta Tương tự ta nhập vào vecto B lệnh SHIFT Ta http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tiếp theo ta tính tích có hướng hai vecto A B lệnh SHIFT Vậy mp có dạng 2,83 y + z + d = → d = 2,83 y − z nhập hình sử dụng lệnh CALC cho qua điểm, cho qua điểm S(0;0;2) y = 0, z=2 ta d = -2 Khi phương trình mặt phẳng (SCD) 2,83y + z - = Ta tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) từ công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Đáp án B Câu Đề minh họa BGD 2017 Cho hình chop tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Tính thể tích khối chop S.ABCD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 2a B 2a C 2a3 D 2a 3 Ở em để ý sử dụng phương pháp tọa độ hóa sai lầm lâu việc sử dụng phương pháp truyền thống thầy đưa em thấy đừng có thần thánh phương pháp hết phải kết hợp nhuần nhuyễn sử dụng linh hoạt phương pháp cho phù hợp Ta có s =1 nên V = đáp án D Câu Đề minh họa BGD 2017 Tính thể tích V khối lập phương ABCDA’B’C’D’ biết AC ' = a A V = a B V = 6a C 3a 3 D V = a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tương tự câu 3, câu ta gọi hình vng cạnh x ta có A'C = x ⇒ AC '2 =AA'2 + A ' C '2 ⇒ 3a = x + x ⇒ x =1 ⇒V =1 Đáp án A Câu Cho hình chop S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SC tạo với đáy góc 450 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) A a B a C a D a 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do SA vng góc đáy, SC tạo đáy góc nên góc 450 SCA = 600 , AC = ⇒ SA = AC tan 450 = AC = Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, yêu cầu tính khoảng cách từ B đến (SCD) ta cần tọa độ đỉnh S,B,C,D ta có A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), S (0;0; 2) Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (SCD),Mặt phẳng (SCD) có hai uuu r uuu r vtcp SC ; SD , qua điểm S ta nhớ chúng vào vecto A, B, C với vecto C tọa độ điểm S http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hệ số -d phương trình mặt phẳng (SCD) –d=ax+by+cz Chú ý dấu, phép tính tích vơ hướng từ lệnh SHIFT Khi ta có phương trình mặt phẳng ( làm tròn số) 1,41y+z-1,41=0 khoảng cách từ B(1;0;0) đến (SCD) So sánh với đáp án toán ta đáp án A Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng (ABCD) 450.Khoảng cách hai đường thẳng SB AC A 10 B C 10 D 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tương tự SA vng góc với đáy nên góc SC mặt phẳng đáy góc SAC =450 nên SA = Ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, u cầu tính khoảng SB AC ta có tọa độ điểm sau A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), S (0;0; 2) Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng ur uu r uuuuuur u1 , u2  M 1M   d= ur uu r u1 , u2    ur uu r Với u1 , u2 vtcp hai đường thẳng M ; M hai điểm qua hai đường thẳng Hay ta sử dụng cơng thức d= x1 Trước tiên tính y1 z1 x1 y1 z1 x2 x3 y2 y3 z2 z3 ur uu r u1 , u2    x2 y2 z2 x3 uur uuur uuur y3 hướng dẫn với vecto SB; AC ; AB ( vtcp vecto qua z3 hai điểm A B đường thẳng) nhớ vào phím A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uur uuur Tương tự tính  SB, AC  So sánh với đáp án toán đáp án D Câu Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) A a 13 B 13a 13 C 3a 13 D a 13 Ta có A’H vng góc với đáy nên góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy góc A’CH=600 Ta có CH = 3 ⇒ A ' H = Ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3 Khi tọa độ đỉnh H (0;0;0), B( ;0;0); C (0; ;0); A '(0;0; ); A( − ;0;0) 2 2 uuur uuuu r uuur uuuu r Có vtcp (ACC’A’) AA '; AC ' ⇒ vtcp  AA ', AC ' Ta d phương trình mặt phẳng ax+by+cz=-d cho mặt phẳng qua điểm A’ ta nhập điểm A’ vec tơ C tích vơ hướng với véc tơ vừa tính –d Vậy phương trình mặt phẳng kết làm tròn -1,3x+0,75y+0,43z-0,65=0 Ta tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng So sánh với đáp án đáp án C Câu Cho hình chóp S.ABCD cáo đáy ABCD tam giác vng B, AC=2a, ·ACB = 300 Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH = a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) A 66a 11 B 66a 11 C 66a 11 D 66a 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Trong tam giác vng ABC ta có AC = 2a ·ACB = 300 AB = AC sin ·ACB = 2.sin 300 = 1, BC = cos300 AC = Do SH ⊥ ( ABCD) tam giác ABC vuông B nên từ B ta kẻ song song với SH chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, u cầu tính khoảng cách từ điểm đến (SAB) ta có tọa độ điểm B (0;0;0), A(1;0;0), C (0; 3;0); S (1; ; 2) Viết phương trình mặt phẳng (SAB) tương tự câu trước ta véc tơ pháp tuyến hệ số -d mặt phẳng Khi phương trình mặt phẳng (SAB) -1,414y+0,866z=0 khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đối chiếu đáp án ta đáp án B Sử dụng đề chung cho hai câu Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Câu Thể tích khối tứ diện IABC A 4a B 4a 3 C a3 D a3 Do hình lăng trụ đứng tam giác ABC vuông B nên ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, khơng để hệ trục tọa độ đáy ta cần tính thể tích hình chóp IABC nên việc ta chọn hệ trục cho việc tìm tọa độ dễ dàng nhiều tọa độ AB = AA ' = 2, A ' C = ⇒ AC = A2C -AA '2 = ⇒ AC = BC = AC − AB = Khi ta có tọa độ điểm B(0;0;0); C(2;0;0), A(0;1;0), A’(0; 1;-2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tìm tọa độ điểm I, thay tìm trực tiếp ta dễ thấy I trọng tâm tam giác AA’C’ uuuur uuuur uuur A ' C uuuur ta có A ' I = = A ' C ta có A ' C (2; −1; 2) 3 2  x = + =  3    2 −4  ⇒I ; ; ÷ Khi  y1 = − = 3 3 3   −4   z1 = −2 + =  r Tính thể tích theo cơng thức trên, trước tiên tính ma trận cấp 3x3 véc tơ uuur uur uuu BC ; BI ; BA chọn điểm B làm gốc điểm B( 0;0;0) tọa độ véc tơ trùng với tọa độ điểm, sử dụng cơng thức tính thể tích ta tính thể tích IABC So với đáp án đáp án A Câu 10 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) A a B 2a C 3a D a Ta viết phương trình mặt phẳng (IBC) trước hết tính vecto pháp tuyến mặt phẳng có uur uuur hai vecto phương BI ; BC qua điểm B(0;0;0) nên hệ số d = Phương trình mặt phẳng (IBC) 2, 66 y + 1,33 z = khoảng cách từ điểm A đến (IBC) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word So sánh với đáp án đáp án B Giải phương pháp tọa độ việc khó khăn tính tọa độ điểm liên hệ u cầu tốn Đơi việc kết hợp trợ giúp hình học cổ đỉnh ta dẫn đến kết nhanh đỡ phức tạp Một tọa độ tính việc lại sử dụng cơng thức không cần kĩ suy nghĩa khéo léo chọn lọc giải hình khơng gian Tuy nhiên có nhược điểm thầy nhắc lại khơng phải tồn nên đừng coi trọng phương pháp mà bỏ rơi phương pháp kia, qua câu hỏi thầy nhấn mạnh ưu điểm nhược điểm nó.Thầy hi vọng với chun đề em có nhìn bao quát thêm vốn hiểu biết hình học khơng gian, thời gian có hạn nên việc tính tốn, hay trình bày nhiều thiếu sót mong góp ý em thầy cô Chúc em học tập tốt đạt kết cao kì thi tới http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... AP ta tính trực tiếp mà nhập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r vào máy tính ví dụ tính AM nhập − 0;3 − 0;0 − ví dụ điểm tương đối dễ tính nhầm em tính nhẩm... vọng với chuyên đề em có nhìn bao quát thêm vốn hiểu biết hình học khơng gian, thời gian có hạn nên việc tính tốn, hay trình bày nhiều thiếu sót mong góp ý em thầy cô Chúc em học tập tốt đạt kết... điểm không gian Tọa độ hình chi u vng góc A lên mặt phẳng Oxy H(a;b) ta tính AH=c, kho A có tọa độ A(a;b;c) với giả sử thành phần tọa độ A nằm phần dương Phương trình tổng quát mp (α ) có dạng: