Bài 5 phương trình lôgarit – bất phương trình lôgarit

BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Mục tiêu  Kiến thức Biết cách giải dạng phương trình lơgarit Biết cách giải dạng bất phương trình lơgarit  Kĩ Giải số phương trình mũ phương trình lơgarit đơn giản phương pháp đưa số, lơgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số Nhận dạng phương trình bất phương trình lơgarit Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình lơgarit  a 1  Dạng 1: log a f  x  log a g  x     f  x  g  x   Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f  x   g  x   tùy thuộc vào độ phức tạp f  x   g  x     a 1 Dạng 2: log a f  x  b   b  f  x  a Bất phương trình lơgarit y log a x   a 1  a 1   0  f  x   g  x  Dạng 1: log a f  x   log a g  x     a 1     f  x   g  x    a 1  b  0  f  x   a Dạng 2: log a f  x   b    a 1     f  x   a b   a 1   b  f  x  a  Dạng 3: log a f  x   b    a 1    0  f  x   a b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Phương trình lơgarit Bài tốn Biến đổi dạng phương trình  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất nghiệm phương trình log x  x   log  x  1   A Hướng dẫn giải Ta có: B C D  x  2 x    log  x  x  1 log  x  1     x 3  x  x  2 x    x 0    x 3 Nên phương trình có nghiệm x 3 Chọn D Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số Ví dụ 2: Số nghiệm phương trình log x  log x  log x log 20 x A B C Hướng dẫn giải Ta có: log x  log3 2.log x  log 2.log x log 20 2.log x  log x   log  log  log 20  0  log x 0  x 1 D Nên phương trình có nghiệm Chọn A Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số log x log 2.log x log 20 x log 20 2.log x Ví dụ 3: Cho phương trình log  x  1  log  x  log8   x  Tổng tất nghiệm phương trình A  Hướng dẫn giải B  x  1   Điều kiện: 4  x      x    x   x    x   C D   x    x  Ta có: log x   log log   x   log   x   x  16  x   x 1   x     x  16  x   (thỏa mãn điều kiện) x 1 x        x  16  x Tổng tất nghiệm phương trình x 2  Chọn A Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số log a2 x log a x Trang Ví dụ 4: Cho phương trình log  log  log x   1 Gọi a nghiệm phương trình, biểu thức sau đúng? A log a 10 B log a 8 C log a 7 D log a 9 Hướng dẫn giải Điều kiện x  0;log x  0;log  log x   suy x  9 Khi log  log  log x   1  x 2  a 2  log a 9 Chọn D Ví dụ 5: Tìm nghiệm phương trình log x  log x A S  1;   B S  0;  C S  1;10 D S  1;   Hướng dẫn giải x 0  x  (*) Điều kiện   x 0 Khi log x  log x  log x  log x  log x 0  x 1  x   1;   Kết hợp với (*) ta x   1;   thỏa mãn Vậy S  1;   Chọn D Bài tốn Phương trình theo hàm số lôgarit  Phương pháp giải Bước Sử dụng công thức lôgarit biến đổi lôgarit số Ví dụ: Phương trình log x  3log x  log x 2 có hai nghiệm x1 , x2 Khi x1  x2 2 A C  1 2 2  1 B D  Hướng dẫn giải Ta có: log 2 x  3log x  log x  0  log 2 x  log x  0 Bước Áp dụng phương pháp giải dạng  Ví dụ mẫu   x 2   x  Khi x1  x2   Chọn A  log x     log x   2 x x1 Ví dụ 1: Phương trình log   1 log    6 có A hai nghiệm dương C phương trình vơ nghiệm Hướng dẫn giải B nghiệm dương D nghiệm kép x x 1 x x Ta có: log   1 log3   3 6  log3   1 log  3.3   6  log  3x  1 log   3x  1  6  log  3x  1 1  log  3x  1  6  log  3x  1 2   log   1   log   1  0    log  3x  1   x x  3x  9  3x 10  x   x 28  3  1 3  27 27   Chọn A  x log 10   x log 28 27  x Chú ý: Biến đổi phương trình có ẩn log   1 Bài toán Phương pháp hàm số  Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu hàm số  Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến)  a; b  số nghiệm phương trình f  x  k  a; b  không nhiều f  u   f  v   u v, u , v   a; b   Tính chất Nếu hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số y  g  x  liên tục nghịch biến (hoặc đồng biến) D số nghiệm D phương trình f  x  g  x  không nhiều  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình log  x    log  3x   2 có nghiệm? A Hướng dẫn giải Điều kiện x   B C D Ta có: log  x    log  x    0 Đặt f  x  log  x    log  x    f  x   1   0, x    x   ln  3x   ln Nên phương trình f  x  0 có tối đa nghiệm Mà f  1 0 nên phương trình có nghiệm x 1 Chọn A 2 Ví dụ 2: Phương trình ln  x  x  1  ln  x  1  x  x có tổng bình phương nghiệm A Hướng dẫn giải B 25 C D 2 Ta có: ln  x  x  1  ln  x 1  x  x Trang  ln  x  x  1   x  x  1 ln  x  1   x  1 Xét hàm số f  t  ln t  t  0;   , ta có f  t     0, t   0;   t  x 0 2 2 Mà f x  x   f x   x  x  2 x   x  x 0    x 1 Vậy tổng bình phương nghiệm phương trình Chọn D Ví dụ 3: Số nghiệm phương trình ln  x  1  x A B C Hướng dẫn giải  x  1, x 2  PT   ln  x  1  x  0 Xét hàm số y ln  x  1  x 1 y    0, x   1;   \  2 x   x  2     D Lập bảng biến thiên hàm số D  1;    2;   Suy phương trình có nghiệm phân biệt Chọn A Ví dụ 4: Số nghiệm phương trình log3 x  A Hướng dẫn giải B  x log x   x  C D Điều kiện: x 0; x  2 Đặt t  x  2x  x2  x  t   log t log  t   Đặt log t log  t   u log t u   log t   u    u  5u  3u  5u  3u 2  t 3 u u        u  u u u u      5 t  5  5u  3u 2 (1)  u    u 1    1 (2)     5  + Xét (1): 5u  3u 2 Ta thấy u 0 nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u 0 Với u 0  t   x  u x  0 , phương trình vô nghiệm u  3  1 + Xét (2):      1  5  5 Ta thấy u 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u 1 Với u 0  t 3  x  Chọn B x  0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x 0; x  1009 Ví dụ 5: Biết phương trình log   x  2018log3 x có nghiệm x0 Khẳng định đúng? 1 A 31008  x  31006 B x  31009 1 C  x  31008 D 31007  x  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1009 Đặt t log   x  2018log x Khi t  1  x1009 2t   2018 3t  x  3    1 3    t t t t  t    t  2       1 (*)    2   t t t    t Ta thấy hàm số f  t       nghịch biến liên tục  0;   f   1 nên phương    2 trình (*) có nghiệm t 2  x1009 3 hay x0 31009 1  nên  x  31008 1009 1008 Chọn C Ví dụ 6: Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x  b ln x  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình 5log x  b log x  a 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2  x3 x4 Tính giá trị nhỏ Smin S 2a  3b Mà  A Smin 30 B Smin 25 C Smin 33 D Smin 17 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Đặt t ln x , u log x Khi ta at  bt  0 (1), 5u  bu  a 0 Phương trình có nghiệm phân biệt     b  20a   b  20a b Với t ln x  x et  x x e t1 et2 et1 t2 e  a b Với u log x  x 10u  x x 10u1.10u2 10u1 u2 10  b b Ta có: x x  x x  e  a  10 Lấy lôgarit số e hai vế ta b b    ln10  ab ln10  5b  a ln10   a  (do a, b nguyên dương) 5 ln10 S  amin , bmin Mà amin 3  b  60  bmin 8 Trang  S 2a  3b 2.3  3.8 30 Chọn A Bài tốn Mũ hóa lấy lơgarit hai vế  Phương pháp giải Các lí thuyết sử dụng 0  a 1, b  f  x b   + a  f  x  log a b f x g x f x g x + a   b    log a a   log a b    f  x   g  x  log a b f x   log b b Hoặc logb a  Ví dụ mẫu g  x  f  x  log b a g  x  log x  Ví dụ 1: Phương trình  A Hướng dẫn giải B   x   có tất nghiệm phân biệt? C D x2 2 Điều kiện xác định: x      x  2 Điều kiện có nghiệm x    x  Nên phương trình có nghiệm nghiệm phương trình thỏa mãn x  2 log x  Ta có:    x    log  x   log  x    x   log  x   log  x    x   x     x 3 So với điều kiện, ta nhận x 3 nghiệm phương trình Chọn C Ví dụ 2: Phương trình x  22.x log5 15  5.3log5 x 0 có tất nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện x  Ta có: x  22.x1log  5.312log x 0  x  22.x1log  5.3.32log x 0 t Vì x log 15  x1loc  x.x loc x.3log x Đặt t log x  x 5 5 5 5 5 2 Phương trình trở thành:  5t   22.5t 3t  15  3t  0   t    2t t  3  5  5     22.   15 0    t  t   3  3          Nên log5 x   x  Chọn C Bài toán Đặt ẩn phụ  Phương pháp giải t Bước 1: Đặt t log a f  x   f  x  a  log na f  x  t n , log f  x  a  , t 0 t Ví dụ: Biết phương trình log x  log x 64 1 có hai nghiệm phân biệt Khi tích hai nghiệm A B 1 C D Hướng dẫn giải x  Điều kiện   x 1 Với điều kiện phương trình cho trở thành log x  log x 1  log x  1 log x   log x   log x  0 Bước 2: Chuyển phương trình phương trình ẩn t Bước 3: Giải phương trình kết hợp điều kiện Có thể đặt ẩn phụ hồn tồn khơng hồn tồn để giải phương trình Đặt t log x , phương trình trở thành t  t  0  t 3   t   log x 3    log x   x 8   x 1  Chọn A  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất nghiệm phương trình log x  log3 x  0 A 35 Hướng dẫn giải x   Điều kiện  log3 x 0 B 84 C 65 D 28 x   x 1   x 1 Phương trình log x  log3 3x  0  log x  log 3  log x  0  log x  log x  0 Đặt t  log x ;  t   Phương trình trở thành:  log x 1  x 3  t 1 t  3t  0       x1  x2 84  t 2  x2 81  log x 4 Chọn B Ví dụ 2: Phương trình log x   x  12  log3 x  11  x 0 có tất nghiệm? Trang A Hướng dẫn giải Điều kiện: x  B C D Phương trình log x   x  12  log x  11  x 0 phương trình bậc hai theo ẩn log x tham số x  log x 1 Giải phương trình tham số x , ta được:   log x 11  x (*) Giải phương trình (*), ta có: log x  x  11 0 Đặt f  x  log x  x  11  0;   , ta có: f  x     nên hàm số f  x  đồng biến x ln  0;   Do đó, phương trình f  x  0 có tối đa nghiệm Mà f   0 nên x 9 nghiệm (*) Tóm lại phương trình có hai nghiệm: x 3 , x 9 Chọn B Bài tốn Phương trình tích  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng nghiệm phương trình 2log x  ln x 2 ln x.log x  log x số có dạng với a, b số nguyên dương Giá trị a  b A 11 B 13 C D Hướng dẫn giải Ta có: log x  log x  ln x  ln x.log x  log x  log x  1  ln x  log x 1 0  log x     log x  1  log x  ln x  0     log x  ln x 0   x  10   log e.ln x  ln x 0 1   x x    10  10    ln x 0  x 1 Nên tổng nghiệm phương trình  a 1 1  10     a  b 11 10 10 b 10 Chọn A Bài tốn Phương trình lơgarit chứa tham số  Phương pháp giải a b b