BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BPT LÔGARIT

BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT MỤC TIÊU Kiến thức: Biết cách giải dạng phương trình lơgarit Biết cách giải dạng bất phương trình lơgarit Kỹ năng: Giải số phương trình mũ phương trình lơgarit đơn giản phương pháp đưa số, lơgarit hố, mũ hoá, đặt ân phụ, phương pháp hàm số Nhận dạng phương trình bất phương trình lơgarit I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1.Phương trình lơgarit 0  a  Dạng 1: log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x)  0  a  Dạng 2: log a f ( x)  b   b  f ( x)  a Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f  x   g  x   tuỳ thuộc vào độ phức tạp f  x   g  x   Bất phương trình lơgarit y  loga x(0  a  1)  a   0  f ( x )  g ( x ) Dạng 1: log a f ( x)  log a g ( x)    0  a     f ( x)  g ( x)   a   b 0  f ( x )  a  Dạng 2: log f ( x)  b   0  a   b   f ( x)  a  a   b   f ( x)  a Dạng 3: log a f ( x)  b     a 1   0  f ( x)  a b  Trang II : CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Phương trình lơgarit Bài tốn Biến đổi dạng phương trình →Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất nghiệm phương trình log  x  x  1   log (2 x  1) A Hướng dẫn giải B C D  x  2 x    Ta có log  x  x  1  log (2 x  1)     x 3  x  x   x   x    x  Nên phương trình có nghiệm x  Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số Chọn D Ví dụ 2: Số nghiệm phương trình log2 x  log3 x  log4 x  log 20 x A B C Hướng dẫn giải Ta có: log2 x  log3 2.log2 x  log 2.log x  log 20 2.log x D  log x 1  log  log  log 20    log x   x  Nên phương trình có nghiệm Chú ý: Đưa hai vế lôgarit số log3 x  log3 2.log2 x log20 x  log20 2.log2 x Chọn A Trang Ví dụ 3: Cho phương trình log ( x  1)   log  x  log8 (4  x)3 Tổng tất nghiệm phương trình A  Hướng dẫn giải B C D ( x  1)   x  1 4  x    Điều kiện: 4  x    x     x  1 (4  x)3   x  4   Ta có: log | x  1|  log  log (4  x)  log (4  x)  | x 1| 16  x  x    x  2  4 x   16  x  (thỏa mãn điều kiện)    x  x  2    4 x   16  x Tổng tất nghiệm phương trình là: x   Đưa hai vế lôgarit số Chú ý: log e2 x  log a | x | Chọn A Ví dụ 4: Cho phương trình log  log  log x    Gọi a nghiệm phương trình, biểu thức sau đúng? A log2 a  10 B log2 a  C log2 a  D log2 a  Hướng dẫn giải Điều kiện x  0;log x  0;log  log x   0, suy x  Khi log  log  log x     x  29  a  29  log a  Chọn D Ví dụ 5: Tìm nghiệm phương trình log | x | log x∣ A S  (1; ) C S  1;10 B S  (0; ) D S  [1; ) Hướng dẫn giải  x  Điều kiện   x   *  x  Khi log | x || log x | log x | log x | log x   x   x [1; ) Kết hợp với (*) ta x [1; ) thỏa mãn Vậy S  [1; ) Chọn D Bài tốn Phương trình theo hàm số lôgarit ►Phương pháp giải Bước sử dụng công thức lơgarit biến đổi ví dụ: Phương trình logy x + 3logy x+logy x = lôgarit số Bước Áp dụng phương pháp giải dạng Ví dụ : Phương trình log 2 x  3log x  log x  có hai nghiệm x1 , x2 Khi x1 – x2 Trang B Hướng dẫn giải Ta có: log 22 x  3log x  log x    log 22 x  log x   A  C 1 2 1 D  2 log x  1  x     log x    x  2 Khi x1  x2   Chọn A ► Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình log  3x  1 log  3x1  3  có A hai nghiệm dương C phương trình vô nghiệm Hướng dẫn giải B nghiệm dương D nghiệm kép Ta có: log  3x  1 log  3x 1  3   log  3x  1 log  3.3x     log3  3x  1 log 3  3x  1    log  3x  1 1  log 3x  1  log  3x  1   log   1   log   1     log  3x  1  3  x x 3 x   3x  10  x  log3 10    x  x 28   3   3   x  log3 28  17  27 17  Chú ý: Biến đổi phương trình có ẩn log  3x  1 Chọn A Bài toán Phương pháp hàm số ► Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu hàm số +) Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến (a;b) số nghiệm phương trình f  x   k (a;b) không nhiều f (u)  f (v)  u  v, u, v  (a; b) +) Tính chất Nếu hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số y  g  x  liên tục nghịch biến (hoặc đồng biến) D số nghiệm D phương trình f  x   g  x  không nhiều ► Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình log3 ( x  2)  log7 (3x  4)  có nghiệm? A B C Hướng dẫn giải Điều kiện x   Ta có: log3 ( x  2)  log7 (3x  4)   D Trang Đặt f ( x)  log3 ( x  2)  log7 (3x  4)  2, f '( x)  1   0, x   ( x  2).ln (3x  4) ln Nên phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f 1  nên phương trình có nghiệm x  Chọn A Ví dụ 2: Phương trình: ln  x  x  1  ln  x  1  x  x có tổng bình phương nghiệm A Hướng dẫn giải Ta có: B 25 C.9 D ln  x  x  1  ln  x  1  x  x  ln  x  x  1   x  x  1  ln  x  1   x  1 Xét hàm số f (t )  ln t  t (0; ), ta có f  (t )    0, t  (0; ) t x  Mà f  x  x  1  f  x  1  x  x   x   x  x    x  Vậy tổng bình phương nghiệm phương trình Chọn D Ví dụ 3: Số nghiệm phương trình ln( x  1)  x2 A B C Hướng dẫn giải  x  x   PT   ln( x  1)  x   x2 1 y'    0x  (1; ) \{2} x  ( x  2)2 Lập bảng biến thiên hàm số D  (1;2)  (2; ) Suy phương trình có nghiệm phân biệt Chọn A D Xét hàm số y  ln( x  1)    Ví dụ 4: Số nghiệm phương trình log3 x  x  log x  x  A Hướng dẫn giải B C D Điều kiện: x  0; x  Đặt t  x  x  x  x   t   log | t | log (t  2) Đặt log3 | t | log6 (t  2)  u  | t | 3u  2  3u 5u  3u  log3 | t | u  u u  ∣  2∣    u  u  u u u t   5   3 3   log5 (t  2)  u   Trang 5u  3u  1  u   u 1           5  Ta thấy u  nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u  Với u   t  1  x  x   0, phương trình vơ nghiệm  3 1 +) Xét (2) :       5 5 Ta thấy u  nghiệm, dùng phương pháp hàm số dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u  Với u   t   x  x   , phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x  0; x  Chọn B Ví dụ 5: Biết phương trình log 1  x1009   2018log x có nghiệm x0 Khẳng định đúng? 1 A 31008  x0  31006 B x0  31009 C  x0  31008 D 31007  x0  Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Đặt t  log 1  x1009   2018log x Khi t  1  x1009  2t   2018  3t x t    t    1     ( 3)  ( 3)          1*   2 t t t t t t t    t Ta thấy hàm số f (t )   nghịch biến liên tục (0; ) f    nên phương        trình (*) có nghiệm t  x 1009 1009  hay x0  1  nên  x0  31006 1009 1008 Chọn C Ví dụ 6: Xét số nguyên dương a,b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 x2 phương trình 5log2 x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn Mà  x1 x2  x3 x4 Tính giá trị nhỏ Smin S  2a  3b A Smin  30 B Smin  25 C Smin  33 D Smin  17 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Đặt t  In x, u  log x Khi ta at  bt   0(1),5u  bu  a  Phương trình có nghiệm phân biệt     b2  20a   b2  20a Trang Với t  ln x  x  e  x1 x2  e e  e t1 t t b 1 t2 b  ea  b Với u  log x  x  10u  x3 x4  104/1.1042  104/4  10 b a b Ta có x1 x2  x3 x4  e  10 Lấy loogarit số e hai vế ta b b    ln10  ab ln10  5b  a ln10   a  (do a,b nguyên dương ) a ln10 Smin  amin , bmin Mà amin   b  60  bmin   S  2a  3b  2.3  3.8  30 Bài toán Mũ hóa lấy lơgarit hai vế ►Phương pháp giải Các lí thuyết sử dụng 0  a  1, b  +) a f ( x )  b    f ( x)  log a b  ) a f ( x )  b g ( x )  log a a f ( x )  log a b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b Hoặc logb a f ( x )  logb b g ( x )  f ( x).log a  g ( x) ►Ví dụ mẫu  log x2 8 Ví dụ 1: Phương trình A Hướng dẫn giải   ( x  2)3 có tất nghiệm phân biệt? B C D  x  2 Điều kiện xác định: x     x  2  Điều kiện có nghiệm x    x  Nên phương trình có nghiệm nghiệm phương trình thỏa mãn x  2  log x 8 Ta có:   ( x  2)3  log  x  8  log8 ( x  2)3  x  2  log  x    log ( x  2)  x   x    x  So với điều kiện, ta nhận x  nghiệm phương trình Chọn C Ví dụ 2: Phương trình 5x2  22.xlog5 15  5.3log5 x  có tất nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện x  Ta có: 5x2  22.x1log5  5.312log5 x   5x2  22.x1log5  5.3.32log5 x  Vì xlog15  x1log5  x.xlog3  x.3log5 x Đặt t  log5 x  x  5t Phương trình trở thành:  5t   22.5t.3t  15  3t   2 Trang  t    2t t 3 5 5     22    15     t  1 t  3 3      5   Nên log5 x  1  x  Chọn C Bài toán Đặt ẩn phụ → Phương pháp giải Bước 1: Đặt t  log a f ( x)  f ( x)  a t  log na f ( x)  t n , log f ( x ) a  , t  t Bước 2: Chuyển phương trình phương trình ẩn t Bước 3: Giải phương trình kết hợp điều kiện Có thể đặt ẩn phụ hồn tồn khơng tồn tồn để giải phương trình Ví dụ: Biết phương trình log2 x  log x 64  có hai nghiệm phân biệt Khi tích hai nghiệm A B.1 C D Hướng dẫn giải x  Điều kiện:  x  Với điều kiện phương trình cho trở thành log x  6log x   log x  1 log x   log x   log x   Đặt t  log2 x , phương trình trở thành t2  t   t   t  2 log x   log x  2 x   x   Chọn A ►Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất nghiệm phương trình log3 x  log3 3x   A 35 B 84 Hướng dẫn giải x  x    x  Điều kiện:  log x  x    C 65 D 28 Phương trình log3 x  log3 3x    log3 x  log3  log3 x   Trang  log3 x  log3 x   Đặt t  log3 x ;(t  0) Phương trình trở thành: t  log x  x  t  3t        x1  x2  84  x2  81 log3 x  t  Chọn B Ví dụ 2: Phương trình log 22 x  ( x  12) log3 x  11  x  có tất nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Phương trình log32 x  ( x  12) log3 x  11  x  phương trình bậc hai theo ẩn log3 x tham số x log x  Giải phương trình theo tham số x, ta được:  log x  11  x(*) Giải phương trình (*), ta có: log3 x  x 11  Đặt f ( x)  log3 x  x 11 (0; ) ,ta có: f '( x)    nên hàm số f  x  đồng biến x ln  0;   Do đó, phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f    nên x  nghiệm (*) Tóm lại phương trình có hai nghiệm: x  3, x  Chọn B Bài tốn Phương trình tích ►Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng nghiệm phương trình 2log2 x  ln x  2ln x.log x  log x số có dạng với a,b số nguyên dương Giá trị a  b A 11 B 13 C D Hướng dẫn giải Ta có: 2log2 x  log x  ln x  2ln x  log x  log x(2log x  1)  ln x(2log x  1)    x log x      (2log x  1)(log x  ln x)    10   log e.ln x  ln x  log x  ln x   1  x x    10  10    x  ln x  Nên tổng nghiệm phương trình a  1  10    a  b  11 10 10 b  10 Chọn A Bài tốn Phương trình lơgarit chứa tham số 1 Trang a b b ►Phương pháp giải Bước Đặt t  log2 x; x  (0; )  t  Bước Sử dụng định lý Vi-ét, cô lập m Xét hàm f  t  , lập bảng biến thiên để tìm m Ví dụ: Có giá trị nguyên tham số m (10;10) để phương trình log32 x  log3 x  m  có nghiệm? A 11 B 10 Hướng dẫn giải Tập xác định D  (0; ) Đặt log3 x  t C 12 D Khi phương trình trở thành t  t  m  (*) Phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm:    4m   m  Vậy để phương trình có nghiệm thực m  Chọn B ►Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Có giá trị nguyên tham số m (10;10) để phương trình log  5x  1 log  2.5x    m có nghiệm x  ? A B Hướng dẫn giải Điều kiện: 5x 1   x  C  D  log  5x  1 log  2.5x    m  log  5x  1 log 2  5x  1  m    log  5x  1  log  5x  1  2m  log 22  5x  1  log  5x  1  2m Đặt log  x  1  t Khi phương trình cho trở thành t  t  2m  (*) Phương trình cho CĨ nghiệm x  phương trình (*) có nghiệm t  t  t  2(**) 1 t1   t2 (***) 1   8m  2, m (Loại **    8m  (*) có nghiệm 1   8m t2  Ta có (***)  af (2)    2m   m  t1  Vậy phương trình có nghiệm thực x  m  Chọn D Ví dụ 2: Có giá trị nguyên tham số m (10;10) để phương trình nghiệm thực nhất? A 11 B 16 Hướng dẫn giải  x  1 Điều kiện xác định:  x  C 12 log(mx)  có log( x  1) D 15 Trang 10 Câu 59 : Nghiệm phương trình log6 (3x  4)  log x  A x  2  x  1 C  x  B x  D Vô nghiệm   x2 Câu 60 : Biết phương trình log (9 x)   log   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính 81   P  x1 , x2 B P  36 C P  93 93 Câu 61 : Tìm tập nghiệm S phương trình log ( x  1)  log ( x  1)  A P  D P  33   13  A S      C S  {2  5;  5} B S  {3} D S  {2  5} Câu 62 : Biết phương trình log  3x 1  1  x  log có hai nghiệm x1 x2 Hãy tính tổng S  27  27 A S=180 x1 x2 B S  45 C S  D S  252 x  5x  x  ln( x  1) A B C D Câu 64 : Biết phương trình log x  log (1  x )  log ( x  x  2) có nghiệm dạng 2 Câu 63 : Số nghiệm phương trình với a  b Tính tổng S  a  b A S  B S  Câu 65 : Phương trình log3 D S  6 x2  2x   x   3x có tổng nghiệm bằng: x A C S  2 B C D Câu 66 : Gọi S tổng tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình log  22 x  x   22   log | m  | vô nghiệm Giá trị s A S  B S  C S  10 D S  12 log(mx)   có nghiệm log( x  1) C m  D Khơng tồn m Câu 67 : Tìm giá trị thực tham số m để phương trình A 0