Bài tập phương trình lượng giác

CHƯƠNG VII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN Cách giải : Áp dụng các công thức A 0B AB 0 A BA ≥≥ ⎧⎧ =⇔ ⇔ ⎨⎨ B = = ⎩⎩ 2 B0 AB A B ≥ ⎧ =⇔ ⎨ = ⎩ Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng giác nên ta xử lý điều kiện B bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ 0≥ các bài toán quá phức tạp. Bài 138 : Giải phương trình ( ) 5cos x cos2x 2sin x 0 *−+= () * 5cos x cos2x 2sin x⇔−=− 2 sin x 0 5cos x cos 2x 4sin x ≤ ⎧ ⇔ ⎨ −= ⎩ ()( 22 sin x 0 5cosx 2cos x 1 4 1 cos x ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −−=− ⎪ ⎩ ) = 2 sin x 0 2cos x 5cosx 3 0 ≤ ⎧ ⇔ ⎨ +− ⎩ () sin x 0 1 cosx cosx 3 loại 2 ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =∨ =− ⎪ ⎩ ≤ ⎧ ⎪ ⇔ π ⎨ =± + π ∈ ⎪ ⎩ π ⇔=−+ π∈   sin x 0 xk2,k 3 xk2,k 3 Bài 139 : Giải phương trình 333 3 sinx cosx sinxcotgx cosxtgx 2sin2x++ + = Điều kiện : cos x 0 sin 2x 0 sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 ≠ ⎧ ≠ ⎧ ⎪ ≠⇔ ⇔ > ⎨⎨ ≥ ⎩ ⎪ ≥ ⎩ Lúc đó : () 332 2 * sinxcosxsinxcosxcosxsinx 2sin2x⇔++ + = () ( ) 22 sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin 2x⇔+++= ( ) () 22 sin x cos x sin x cos x 2sin 2x⇔+ + = () 2 sin x cos x 0 sin x cos x 2sin 2x +≥ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ += ⎪ ⎩ () sin x 0 2sin x 0 4 4 sin2x 1 nhận do sin2x 0 1 sin 2x 2sin 2x ⎧π ⎛⎞ ⎧π ⎛⎞ +≥ +≥ ⎪⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⇔⇔ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎨⎨ ⎪⎪ = > += ⎩ ⎩ () ⎧π ⎧π ⎛⎞ ⎛⎞ +≥ +≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⇔⇔ ⎨⎨ πππ ⎪⎪ =+π∈ =+ π∨= + π ∈ ⎪⎪ ⎩⎩  sin x 0 sin x 0 44 5 xk,k xm2x m2loại,m 444 π ⇔=+ π ∈xm2,m 4 Bài 140 : Giải phương trình () π ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ 2 1 8 sin 2x.cos 2x 2 sin 3x * 4 + Ta có : (*) 22 sin 3x 0 4 1 8sin 2x cos 2x 4 sin 3x 4 ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⇔ ⎨ π ⎛⎞ ⎪ += ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ + () ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⇔ ⎨ π ⎡ ⎤ ⎪ ++=−+ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ sin 3x 0 4 14sin2x1cos4x 21cos(6x ) 2 ()( sin 3x 0 4 1 4sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2 1 sin 6x ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎪ ⎜⎟ ⇔ ⎝⎠ ⎨ ⎪ ++ −=+ ⎩ ) ⎧π⎧π ⎛⎞ ⎛⎞ +≥ +≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⇔⇔ ⎨⎨ ππ ⎪⎪ = = +π∨ = +π ∈ ⎪⎪ ⎩⎩  sin 3x 0 sin 3x 0 44 15 sin 2x x k x k , k 21212 So lại với điều kiện sin 3x 0 4 π ⎛⎞ + ≥ ⎜⎟ ⎝⎠ Khi x k thì 12 π •=+π sin 3x sin 3k cos k 42 ππ ⎛⎞⎛ ⎞ += +π= ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ π () ( ) () () ⎡ = ⎢ − ⎢ ⎣ 1 , nếu k chẵn nhận 1, nếu k lẻ loại π •=+π 5 Khi x k thì 12 ππ π ⎛⎞⎛ ⎞⎛ += +π= −+π ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ 3 sin 3x sin 3k sin k 42 2 ⎞ ⎟ ⎠ ( ) () − ⎡ = ⎢ ⎢ ⎣ 1, nếu k chẵn loại 1, nếu k lẻ nhận Do đó () () ππ ⇔ =+π∨=+ +π∈  5 *x m2x 2m1,m 12 12 Bài 141 : Giải phương trình () 1sin2x 1sin2x 4cosx * sin x −++ = Lúc đó : () * 1 sin2x 1 sin 2x 2sin 2x⇔− ++ = ( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 ) 22 2 2 1 sin 2x 4 sin 2x sin 2x 0 ⎧ ⎪ +− = ⇔ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ 22 1 sin 2x 2sin 2x 1 sin 2x 0 ⎧ ⎪ −= ⇔ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ − 242 2 1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1 1 sin 2x 2 sin 2x 0 ⎧ −= − ⎪ ⎪ ⇔≥ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ ⎩ + () 22 sin 2x 4 sin 2x 3 0 1 sin 2x 2 ⎧ −= ⎪ ⇔ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ ⎧ − =∨ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ ⎩ 33 sin 2x sin 2x 22 2 sin 2x 2 3 sin 2x 2 ⇔= ππ ⇔ =+π∨ = +π∈  2 2x k2 2x k2 , k 33 ππ ⇔ = +π∨ = +π ∈  xkxk,k 63 Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trò tuyệt đối () ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −++= ⎪ ⎩ ⇔−++= sin x 0 * cosx sinx cosx sinx 2sin2x cos x sin x cos x sin x 2sin 2x Bài 142 : Giải phương trình () +++=sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 * Đặt sin 3 tsinx 3cosxsinx cosx cos 3 π =+ =+ π 1 tsinx2sinx 33 cos 3 ππ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔= + = + ⎜⎟ ⎜⎟ π ⎝⎠ ⎝⎠ () +=*thành t t 2 ⇔=− −≥ ≤ ⎧⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ =− + − += ⎩⎩ ≤ ⎧ ⇔⇔= ⎨ =∨= ⎩ 22 t2t 2t 0 t 2 t44tt t 5t40 t2 t1 t1t4 Do đó () * πππ ππ ⎛⎞ ⇔ + =⇔+=+π += +π∈ ⎜⎟ ⎝⎠  15 sin x x k2 hay x k2 , k 32 36 36 ππ ⇔=−+ π∨=+ π∈  xk2xk2,k 62 Bài 143 : Giải phương trình () ( ) ( ) ++=+3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3 cos x * Chia hai vế của (*) cho cos x 0 ≠ ta được () () ( ) * 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔++=+ Đặt utgx1vớiu=+ ≥0 x Thì 2 u1tg−= (*) thành () ( ) 22 3u u 1 5 u 2+= + 32 3u 5u 3u 10 0⇔ − +−= () ( ) 2 u23u u5 0⇔− ++= ( ) 2 u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔=∨ ++= Do ủoự () * tgx 1 2+= tgx 1 4+= tgx 3 tg vụựi 22 == << ,xkk =+ Baứi 144 : Giaỷi phửụng trỡnh () () 1 1 cos x cos x cos2x sin 4x * 2 + = () () * 1 cosx cosx cos2x sin2xcos2x + = + = cos x 0 hay 1 cos x cos x sin 2x cos 2x 0 = =+ + = 2 cos x 0 cos x 0 hay sin 2x 0 2x k , k 2 12(1cosx)cosxsin2x =+ + = 2 cos x 0 cos x 0 hay sin 2x 0 xk,k 42 12(1cosx)cosxsin2x(VT1VP) = + = + = = 2 cos x 0 cos x 0 sin 2x 0 hay 5 xhhayx h,h sin 2x 1 44 (1 cosx)cosx 0 =+ == = = === xh,h 4 sin 2x 1 sin 2x 1 hay hay cosx0( sin2x0) cosx1( sinx0 sin2x0) =+ xh,h 4 Baứi 145 : Giaỷi phửụng trỡnh ( ) ( ) ( ) 33 sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *++ += () 33 sinx cosx cosx sinx *sinx cosx 2sinxcos sin x cos x ++ += x () () 22 sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x+ + = sin x cos x 0 1 sin 2x 2sin 2x + += + + = = + sin x 0 sin x cos x 0 4 sin 2x 1 xk,k 4 ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⇔ ⎨ ππ ⎪ +=+π∈ ⎪ ⎩  sin x 0 4 xk,k 42 ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⇔ ⎨ ππ π π ⎪ +=+ π += + π∈ ⎪ ⎩  sin x 0 4 3 xh2hayx h2,h 42 4 2 π ⇔=+ π∈xh2,h 4 Bài 146 : Giải phương trình () cos 2x 1 sin 2x 2 sin x cos x *++ = + Điều kiện cos 2x 0 và sin x 0 4 π ⎛⎞ ≥+ ⎜⎟ ⎝⎠ ≥ Lúc đó : () () 2 22 * cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔−++=+ () () 22 22 cos x sin x cos x sin x 2 cos 2x cos x sin x⇔−++ + + () 4sinx cosx=+ () ( ) ( ) cosx cosx sinx sinx cosx cos2x 2 sinx cosx⇔+++ =+ sin x cos x 0 cos x cos 2x 2 += ⎡ ⇔ ⎢ += ⎣ () tgx 1 cos2x 2 cos x * * =− ⎡ ⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ 2 tgx 1 cos2x 4 4 cos x cos x =− ⎡ ⇔ ⎢ =− + ⎣ 2 tgx 1 cos x 4 cos x 5 0⇔=−∨ + −= ( ) tgx1cosx1cosx5loại⇔=−∨ =∨ =− π ⇔=−+π∨= π∈  xkxk2,k 4 Thử lại : () ππ ⎛⎞ •=−+π = − = ⎜⎟ ⎝⎠ x k thì cos 2x cos 0 nhận 42 Và () sin x sin k 0 nhận 4 π ⎛⎞ += π= ⎜⎟ ⎝⎠ ( ) •=π =x k2 thì cos 2x 1 nhận và () cos x cos 0 nhận 44 ππ ⎛⎞ += > ⎜⎟ ⎝⎠ Do đó (*) π ⇔ =− + π∨ = π ∈  xkxk2,k 4 Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực () cos x cos 2x 2 ** sin x cos x 0 ⎧ += ⎪ ⇔ ⎨ +≥ ⎪ ⎩ 2 cos x 1 cos 2x 2cos x 1 1 sin x cos x 0 = ⎧ ⎪ ⇔=− ⎨ ⎪ +≥ ⎩ = π∈ = ⎧ ⇔⇔= ⎨ +≥ ⎩  cos x 1 x2k,k sin x cos x 0 Cách khác () () 2 22 * cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔−++=+ () ⇔+ −+ += + 2 (cos x sin x).(cos x sin x ) cos x sin x 2 cos x sin x () +> ⎧ ⎪ ⇔+= ⎨ − ++= ⎪ ⎩ cos x sin x 0 cos x sin x 0 hay cos x sin x cos x sin x 2 +> ⎧ ⎪ ⇔=− ⎨ + = ⎪ ⎩ cos x sin x 0 tgx 1 hay 2cosx2cos2x4 +> ⎧ ⎪ ⇔=− ⎨ + = ⎪ ⎩ cos x sin x 0 tgx 1 hay cos x cos 2x 2 = ⎧ π ⇔=−+π∈ ⎨ = ⎩  cos x 1 xk,khay cos 2x 1 4 π ⇔=−+πxkhay =π∈ 4  x2k,k ( nhận xét: khi cosx =1 thì sinx = 0 và sinx + cosx = 1 > 0 ) BÀI TẬP 1. Giải phương trình : a/ 1sinx cosx 0++= b/ 2 2 4x cos cos x 3 0 1tgx − = − c/ sin x 3 cos x 2 cos 2x 3 sin 2x+=++ d/ 2 sin x 2sinx 2 2sinx 1 − += − e/ =− − 3tgx 23sinx 3 2sinx 1 f/ 24 sin 2x cos 2x 1 0 sin cos x +− = g/ +− += 2 8cos4xcos 2x 1 cos3x 1 0 h/ 2 sin x sin x sin x cos x 1++ += k/ 2 5 3sin x 4 cos x 1 2 cos x−−=− l/ 2 cos2x cos x 1 tgx=+ 2. Cho phương trình : ( ) 1sinx 1sinx mcosx1++−= a/ Giải phương trình khi m = 2 b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1) 3. Cho f(x) = 3cos 6 2x + sin 4 2x + cos4x – m a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0 b/ Cho () 22 gx 2cos2x3cos2x 1=+. Tìm tất cả các giá trò m để phương trình f(x) = g(x) có nghiệm. () ĐS : 1 m 0≤≤ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 12cosx 12sinx m+++= ( ) ĐS : 1 3 m 2 1 2+≤≤ + B) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách giải : 1/ Mở giá trò tuyệt đối bằng đònh nghóa 2/ Áp dụng A BA•=⇔=±B ≥ ≥≥ ⎧ ⎧⎧ •=⇔ ⇔ ⇔ ∨ ⎨⎨ ⎨⎨ < ⎧ = ±= = ⎩⎩ ⎩ 22 B0 B0 A0 A0 AB =− ⎩ A BAB AB AB Bài 147 : Giải phương trình ( ) cos 3x 1 3 sin 3x *=− () 22 13sin3x0 * cos 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x ⎧ −≥ ⎪ ⇔ ⎨ =− + ⎪ ⎩ ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −=− + ⎩ 22 1 sin 3x 3 1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= ⎩ 2 1 sin 3x 3 4sin 3x 2 3sin3x 0 ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =∨ = ⎪ ⎩ 1 sin 3x 3 3 sin 3x 0 sin 3x 2 ⇔= π ⇔= ∈  sin 3x 0 k x,k 3 Bài 148 : Giải phương trình ( ) 3sinx 2 cosx 2 0 *+−= () *2cosx23sin⇔=−x 22 23sinx 0 4cos x 4 12sinx 9sin x −≥ ⎧ ⇔ ⎨ =− + ⎩ () ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −=− + ⎩ 22 2 sin x 3 41 sin x 4 12sinx 9sin x ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= ⎩ 2 2 sin x 3 13sin x 12sin x 0 ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =∨ = ⎪ ⎩ 2 sin x 3 12 sin x 0 sin x 13 ⇔= ⇔=π∈  sin x 0 xk,k Bài 149 : Giải phương trình ( ) sin x cos x sin x cos x 1 *++= Đặt tsinxcosx 2sinx 4 π ⎛⎞ =+= + ⎜⎟ ⎝⎠ Với điều kiện : 0t 2≤≤ Thì 2 t12sinxcos=+ x Do đó (*) thành : 2 t1 t1 2 − + = () 2 t2t30 t1t 3loại ⇔+−= ⇔=∨=− Vậy () ⇔* 2 112sinxcos=+ x ⇔= π ⇔= ∈ sin 2x 0 k x,k 2 Bài 150 : Giải phương trình ( ) sin x cos x 2sin 2x 1 *−+ = Đặt () t sin x cos x điều kiện 0 t 2=− ≤≤ Thì 2 t1sin2=− x () () 2 *thành:t 21 t 1+−= () 2 2t t 1 0 1 t 1 t loại diều kiện 2 ⇔−−= ⇔=∨=− khi t = 1 thì 2 11sin2=− x ⇔= π ⇔= ∈ sin 2x 0 k x,k 2 Baøi 151 : Giaûi phuông trình ( ) 44 sin x cos x sin x cos x *−=+ () ()() 2222 * sin x cos x sin x cos x sin x cos x⇔+ −=+ cos 2x sin x cos x⇔− = + 2 cos 2x 0 cos 2x 1 2 sin x cos x −≥ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =+ ⎪ ⎩ 2 cos 2x 0 1 sin 2x 1 sin 2x ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −=+ ⎪ ⎩ 2 cos2x 0 sin 2x sin 2x ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =− ⎪ ⎩ cos2x 0 sin 2x 0 ≤ ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ 2 cos 2x 0 cos 2x 1 cos 2x 1 ≤ ⎧ ⇔⇔ ⎨ = ⎩ =− π ⇔=+π∈xk,k 2 Baøi 152 : Giaûi phöông trình () 2 3sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *−=+ Ta coù : () ( ) 22 * 23sinxcosx 2cosx 22 22cosx 1 ⇔ −=+ − 31 cosx sinx cosx cosx 22 ⎛⎞ ⇔− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ = cos x.sin x cos x 6 π ⎛⎞ ⇔−= ⎜⎟ ⎝⎠ cos x 0 cos x 0 cos x 0 sin x 1 sin x 1 66 >< ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔=∨ ∨ ππ ⎨⎨ ⎛⎞ ⎛⎞ − =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩⎩ =− >< ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔=∨ ∨ ππ π π ⎨⎨ −=+ π∈ −=−+ π∈ ⎪⎪ ⎩⎩   cos x 0 cos x 0 cos x 0 xk2,kx k2,k 62 6 2 >< ⎧⎧ π ⎪⎪ ⇔=+π∈∨ ∨ ππ ⎨⎨ = +π∈ =−+π∈ ⎪⎪ ⎩⎩    cos x 0 cos x 0 xk,k 2 2 xk2,kx k2,k 33 π ⇔=+π∈ xk,k 2 . ( ) ( ) () 2 1t1t 1t m1 1t 1t −+ − ⇔= = =− + ++ t1t Xét () y1t1ttrên0,3 ⎡ ⎤ =− + ⎣ ⎦ Ta có () ( ) ( ) −−++− =− + + = ++ −− ⎡⎤ ⇔= <∀∈ ⎣⎦ + 1t 21t 1t y' 1 t 21 t 21 t 3t 1 y'. 3 1 c/ tgx cot gx cos x 11 1 13cos d/ 2 2 sin x 1 cos x 1 cos x sin x 1 e/ cot gx tgx sin x f/ 2cos x sin x 1 1cosx 1cosx g/ 4sin x cos x 1cos2x 1 h/ 2 cos x sin x 2 m/ cos 2x 1 −=− += =+ ⎛⎞ + +−=− ⎜⎟ −+ ⎝⎠ =+ −= ++− = − ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ++ x 33 2 sin. 3 21 t Do đó : (*) có nghiệm trên 0, 3 π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) 13 13m1 ⇔ −+≤≤• BÀI TẬP 1. Giải các phương trình 2 2 a/ sin x cox 1 4sin 2x b/ 4 sin x 3 cos x 3 1 c/ tgx cot gx cos x 11