Bài tập phương trình lượng giác

33 Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Độ: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = 2. Radian: (rad) ra d 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radian 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Đònh nghóa: 2. Đường tròn lượng giác : Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= π α kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O + − x y O C A B D x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) π α 2kAB + = 34 III. Đònh nghóa hàm số lượng giác: 1. Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác: a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox vàø y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta đònh nghóa: cos sin tg cot OP OQ A T gBU α α α α = = = = b. Các tính chất : • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 αα −≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 αα −≤ ≤ ≤ • tg xác đònh 2 k π α απ ∀≠ + • cotg xác đònh k α απ ∀≠ c. Tính tuần hoàn sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot k k tg k tg gk g α πα α πα α πα α πα += += += += )( Zk ∈ + − x y O C A B D 1 1 1 = R 1 − 1 − 'x 'u u t 't 'y y t 'u 't t x u 'y 'xO t 1− Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − 35 IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt -3 -1 -3 / 3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' -3 -1 -3 / 3 1 1 -1 -1 - π / 2 π 5 π /6 3 π / 4 2 π /3 - π / 6 - π / 4 - π / 3 -1/2 -2 / 2 -3 / 2 -1/2-2 / 2-3 / 2 3 / 2 2 / 2 1/2 3 / 2 2 / 2 1/2 A π /3 π / 4 π /6 3 / 3 3 B π / 2 3 / 3 1 3 O 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Góc Hslg 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tg α 0 3 3 1 3 kxđ 3− -1 3 3 − 0 0 cotg α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3− kxđ kxđ + − 36 V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : va ø - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 π π − ,…) 2. Cung bù nhau : va ø - α πα ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 π π ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 π π ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 π π ,…) 5. Cung hơn kém π : và α πα + (Vd: 6 7 & 6 π π ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg α α α α αα α α −= −=− −=− −=− cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg π αα π αα πα α π αα − =− −= −=− −=− 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg gg π α α π α α π α α π α α −= −= −= −= cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg gg π α α π α α π α α π α α +=− += +=− +=− 5. Cung hơn kém π : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg π αα π αα πα α π αα +=− +=− += += Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang 37 Ví dụ 1: Tính ) 4 11 cos( π − , 4 21 π tg Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos() 2 cos( xxxA ++−++= ππ π VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: 22 cos sin 1 sin tg = cos cos cotg = sin αα α α α α α α += 2 2 2 2 1 1 tg = cos 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 α α α α αα + + Ví dụ: Chứng minh rằng: 1. 44 22 cos sin 1 2sin cos x xxx+=− 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ 2. Công thức cộng : cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos tg +tg tg( + ) = 1. tg tg tg( ) = 1. tg tg tg tg α βαβαβ α βαβαβ α βαββα α βαββα αβ αβ αβ αβ αβ αβ += − −= + += + −= − − − − + Ví dụ: Chứng minh rằng: π αα α π αα α += − −= + 1.cos sin 2 cos( ) 4 2.cos sin 2 cos( ) 4 3. Công thức nhân đôi: α αα α α α α α αα α α α =− =− =− =− = = − 22 2 2 44 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin .cos 2 2 1 tg tg tg 2 2cos1 cos 2 α α + = 2 2cos1 sin 2 α α − = ααα 2sin 2 1 cossin = 38 4 Công thức nhân ba: 3 3 cos3 4cos 3cos sin3 3sin 4sin α αα α αα =− =− 5. Công thức hạ bậc: α α α α α α α 2cos1 2cos1 ; 2 2cos1 sin; 2 2cos1 cos 222 + − = − = + = tg 6.Công thức tính sin ,cos ,tg α αα theo 2 ttg α = 2 222 21 2 sin ; cos ; 111 ttt tg ttt ααα − === + +− 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : [] [] [] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α βαβαβ α βαβαβ αβ αβ αβ =++− =−−+ =++− Ví dụ: 1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos = 2. Tính giá trò của biểu thức: 12 7 sin 12 5 cos π π =B 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos 2cos .cos 22 cos cos 2sin .sin 22 sin sin 2sin .cos 22 sin sin 2cos .sin 22 sin( ) cos cos sin( ) cos cos tg tg tg tg α βαβ αβ α βαβ αβ α βαβ αβ α βαβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ + − += + − −=− +− += +− −= + += − −= 4 cos33cos cos 3 α α α + = 4 3sinsin3 sin 3 α α α − = 39 Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin + + = xA 9. Các công thức thường dùng khác: cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 44 cos sin 2 cos( ) 2sin( ) 44 π π αα α α π π αα α α += −= + −= +=− − 8 4cos35 sincos 4 4cos3 sincos 66 44 α αα α αα + =+ + =+ B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) Bước 4: Kết luận I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng ) u = v+k2 sinu=sinv u = -v+k2 u = v+k2 cosu=cosv u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v ) 2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k ) k π ππ π π π π π ππ ⎡ ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ⇔ ⎢ ⎣ ⇔≠+ ⇔≠ ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) Ví dụ : Giải phương trình: 1. sin3 sin( 2 ) 4 x x π =− 2. 4 3 cos) 4 cos( π π =−x 3. xx 2sin3cos = 4. 44 1 sin cos (3 cos6 ) 4 x xx+=− II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm ∈ ∀ ) * Gpt : sinx = m (1) • Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sin α và ta có x = +k2 (1) sinx=sin x = ( - )+k2 απ α π απ ⎡ ⇔⇔ ⎢ ⎣ * Gpt : cosx = m (2) 40 • Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có x = +k2 (2) cosx=cos x = +k2 β π β β π ⎡ ⇔⇔ ⎢ − ⎣ * Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈ ∀ ) • Đặt m = tg γ thì (3) tgx = tg x = +k γ γπ ⇔⇔ * Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈ ∀ ) • Đặt m = cotg δ thì (4) cotgx = cotg x = +k δ δπ ⇔⇔ Các trường hợp đặc biệt: sin 1 x = 2 2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2 2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k 2 cos 1 x = 2 x k xk xk x k π π π π π π π π π π =− ⇔ − + ⇔ =⇔ + =− ⇔ + ⇔ =⇔ Ví dụ: 1) Giải các phương trình : a) = 1 sin2 2 x b) 2 cos( ) 42 x π −=− c) 03) 6 2sin(2 =+− π x d) 03) 3 cos(2 =−+ π x e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+ 2) Giải các phương trình: a) 44 1cos sin 2cos2 x xx+−= c) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx b) 66 sin cos cos4 x xx+= d) 33 1 sin .cos cos .sin 4 xx xx − = e) 4) 2 .1(sincot =++ x tgtgxxgx 41 2. Dạng 2: 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 0 cot cot 0 axbxc axbxc atg x btgx c agxbgxc ++= ++= ++= + += ( 0a ≠ ) Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta được phương trình : 2 0at bt c + += (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : a) 2 2cos 5sin 4 0xx+−= b) 5 cos2 4cos 0 2 xx − += c) 2 2sin 4 5cos x x=+ d) 2cos cos2 1 cos2 cos3 x xxx=+ + e) 44 1 sin cos sin2 2 xxx +=− f) 0)2 2 cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π g) 44 sin cos 1 2sin 22 x x x +=− h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx k) 0 sin22 cos.sin)sin(cos2 66 = − −+ x xxxx l) 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 3. Dạng 3: cos sin (1) ( a;b 0) axbxc+= ≠ Cách giải: • Chia hai vế của phương trình cho 22 ab + thì pt 22 22 22 (1) cos sin abc xx ab ab ab ⇔+= +++ (2) • Đặt 22 22 b cos và sin a a ab b α α == ++ với [ ) 0;2 α π ∈ thì : 22 22 c (2) cosx.cos + sinx.sin = a c cos(x- ) = (3) a b b αα α ⇔ + ⇔ + Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. 42 Chú ý : 222 Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a bc ⇔ +≥ Ví dụ : Giải các phương trình : a) +=−cos 3sin 1xx b) 2sin3cos =+ xx c) 44 4(sin cos ) 3sin4 2xx x++ = d) x tgx cos 1 3 =− e) 3 1sincos2 2sincos 2 = −− − x x xx d. Dạng 4: 22 sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠ (1) Cách giải 1: p dụng công thức hạ bậc : 22 1cos2 1cos2 sin và cos 22 x x xx − + == và công thức nhân đôi : 1 sin .cos sin2 2 x xx= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) Chia hai vế của pt (1) cho 2 cos x ta được pt: 2 0atg x btgx c++= Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem xk 2 π = +π có phải là nghiệm của (1) không? Ví dụ : Giải phương trình: 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx d. Dạng 5: (cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ += (1) Cách giải : • Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2 4 txx x t π =+= − ≤≤ Do 2 2 t1 (cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx= 2 xx xx − +=+ ⇒ • Thay vào (1) ta được phương trình : 2 1 0 2 t at b c − ++= (2)