PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂN KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Câu (4 điểm) Tính giá trị biểu thức sau A 522 222 122 100 522 2022 1 B 1 3 20 20 C 5.46.94 39 4.213.38 2.84 27 Câu (4 điểm) Tìm số nguyên x biết : a )14.7 2021 35.7 2021 3.49 x 1 1 1 b) x 10 2 Câu (4 điểm) a) Tìm số nguyên n để A 2n n chia hết cho 2n b) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p 124 2 c) Tìm số nguyên tố x y biết x y 1 Câu (5 điểm) a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 8m Người ta trồng vườn hoa hình thoi mảnh đất đó, biết diện tích phần cịn lại 75m Tính độ dài đường chéo AC , biết BD 9m b) Cho hai tia Ox, Oy đối nhau, tia Ox lấy hai điểm A M cho OA 5cm, OM 1cm Trên tia Oy lấy điểm B cho OB 3cm Chứng tỏ điểm M trung điểm đoạn thẳng AB c) Cho 30 điểm có điểm thẳng hàng (ngồi khơng có điểm thẳng hàng) Qua điểm ta vẽ đường thẳng Câu (3 điểm) a) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn 3xy x y 6 M b) Tìm số tự nhiên n để phân số 6n 4n đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ĐÁP ÁN Câu (4 điểm) Tính giá trị biểu thức sau A 522 222 122 100 522 2022 522 222 122 100 522 2022 2022 1 3 20 20 1 4.3 21.20 1 20 105 2 20 2 B 1 C 5.46.94 39 4.213.38 2.84 27 12 5.212.38 39.212 3 15 13 13 1 3 Câu (4 điểm) Tìm số nguyên x biết : a )14.7 2021 35.7 2021 3.49 x 2.7 2022 5.7 2022 3.7 x 3.7 x 3.7 2022 x 1011 1 1 1 b) x 10 2 1 1 1 1 2 8 x 1 1 1 10 2 9 8 2 1 1 1 1 1 x 10 x 10 10 10 2 9 Câu (4 điểm) d) Tìm số nguyên n để A 2n n chia hết cho 2n Ta có : Vì A 2n n n 2n 1 A2n 62n 2n 1 U (6) 1; 2; 3; 6 2n 1 n n 2; 1;0;1 1 1 Do 2n + lẻ nên ta có bảng : 3 2 Vậy e) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p 124 Vì p nguyên tố lớn nên p lẻ không chia hết cho p ( p 1)( p 1) 2k (2k 2) 4k ( k 1) 8 p 3k 2 p ( p 1)( p 1)3 vs p 124 p 3k (3,8) 1 2 f) Tìm số nguyên tố x y biết x y 1 x y 1 x x x 6 y x 1 x 1 6 y x 1 x 1 8 y 8 y 2 y 2 x 6.22 1 x 5 Vậy x; y 2;5 Câu (5 điểm) d) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 8m Người ta trồng vườn hoa hình thoi mảnh đất đó, biết diện tích phần cịn lại 75m Tính độ dài đường chéo AC , biết BD 9m 15m B A 8m D Diện tích mảnh đất hình chữ nhật : C 15.8 120 m2 Diện tích phần trồng hoa hình thoi : Độ dài đường chéo AC : 45.2 : 10(m) e) Cho hai tia Ox, Oy đối nhau, tia Ox lấy hai điểm A M cho OA 5cm, OM 1cm Trên tia Oy lấy điểm B cho OB 3cm Chứng tỏ điểm M trung điểm đoạn thẳng AB 120 75 45 m M O A x B y Vì hai điểm A M thuộc tia Ox OM OA nên điểm M nằm O A, suy OM MA OA MA OA OM 5 4(cm) Vì OA OB hai tia đối nhau, M thuộc OA nên OM OB hai tia đối nhau, suy điểm O nằm hai điểm M B Khi OM OB MB MB 1 4(cm ) Vì điểm M nằm hai điểm A B MA MB 4cm nên M trung điểm đoạn thẳng AB f) Cho 30 điểm có điểm thẳng hàng (ngồi khơng có điểm thẳng hàng) Qua điểm ta vẽ đường thẳng Giả sử có 30 điểm khơng có điểm thẳng hàng số đường thẳng : 30.29 : 435 (đường thẳng) Với điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ 5.4 : 10 (đường thẳng) Nhưng điểm thẳng hàng nên vẽ đường thẳng Do số đường thẳng giảm 10 9 (đường thẳng) Vậy vẽ 435 426 (đường thẳng) Câu (3 điểm) c) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn 3xy x y 6 3xy x y 6 x y y 6 x y 15 y 18 x y y 8 x y 8 2.4 1.8 (do y chia du 2) 3y 3x y x Vậy 4 1 2 8 2 1 1 x; y 1; ; 1; 1 ; 3;0 ; 2; d) Tìm số tự nhiên n để phân số Ta có M 6n 3 4n 4n M 6n 4n đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Vì 4n có tử > nên để M đạt giá trị lớn 4n đạt giá trị dương nhỏ với n M 2 số tự nhiên 4n 2 n 2 Khi Vậy Max M 4,5 n 2