PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài (2,0 điểm) 43 127 a) So sánh hai số sau : 81 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn Bài (2,0 điểm) Cho phân số 3 3 2015 10 x x 1 : 336 A 6n 4n (với n nguyên) a) Tìm giá trị n nguyên âm để A có giá trị số nguyên b) Tìm giá trị n để A phân số không rút gọn Bài (2,5 điểm) x a) Tìm cặp giá trị x, y nguyên thỏa mãn y 12 b) Cho phép toán * thỏa mãn , với hai số tự nhiên a b ta có a * b 3a b Tìm số nguyên tố x, y cho 2* x y * số nguyên tố a Bài (2,5 điểm) Cho điểm B, C , D nằm đường thẳng xy (C nằm B D) điểm A nằm xy cho BAC 50 , CAD 65 Kẻ tia Az tia phân giác góc BAC cắt xy điểm E a) Tính số đo góc EAD cho biết góc EAD góc b) Từ điểm A vẽ thêm 50 tia phân biệt không qua B, C , D, E Hỏi có góc đỉnh A tạo thành c) Trên tia BA lấy thêm điểm phân biệt M, N, P không trùng với B A Hỏi có tam giác mà đỉnh đỉnh A,B,C,D,E,M, N, P Bài (1,0 điểm) Một bóng đá khâu từ 32 miếng da Mỗi miếng ngũ giác màu đen khâu với miếng màu trắng, miếng màu trắng khâu với miếng màu đen Hỏi có miếng màu trắng ĐÁP ÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài (2,0 điểm) 43 127 c) So sánh hai số sau : 81 85 4127 2254 2255 23 885 Ta có : 85 85 127 43 Do nên 81 d) Tìm số nguyên x thỏa mãn 43 172 170 85 , mà 81 3 9 3 3 2015 10 x x 1 : 336 3 3 2015 6 6 2015 10 x x 1 : 336 12 x x 1 336 1 2015 2015 1 1 x 2015 x x 336 x 2016 2 Bài (2,0 điểm) Cho phân số A 6n 4n (với n nguyên) c) Tìm giá trị n nguyên âm để A có giá trị số nguyên Với n nguyên giả sử A nguyên Mặt khác ta có 6n 14n 12n 24n 1 4n 34n 12n 94n n 1(tm) A 4n 3 4n U (7) 1; 7 n ; n 1; n (ktm) 2 Từ (1) (2) ta có Vậy với = - A nguyên d) Tìm giá trị n để A phân số không rút gọn Gọi d ước nguyên tố 6n+1 4n+3 6n 1d 4n 3d 12n 2d d 12n 9d Ta thấy A phân số rút gọn d-7 Xét 6n 17 6n 7 n 1 7 n 17 n 7 k Với n 7k 4n 28k chia hết cho Vậy với n 7k 1 k Z A phân số khơng rút gọn Bài (2,5 điểm) x c) Tìm cặp giá trị x, y nguyên thỏa mãn y 12 x 3x 14 y 12 2y 3 24 y 3 x 14 1.48 48 3.16 16( y le ~) 2y 3 3x 14 48 y 1 x ktm x; y 10;0 1 48 2 ktm 16 10 3 16 3 ktm Vậy a d) Cho phép toán * thỏa mãn , với hai số tự nhiên a b ta có a * b 3a b Tìm số nguyên tố x, y cho 2* x y * số nguyên tố Theo ta có: 2* x y * 6 x y y x y y số nguyên tố y Do x, y số nguyên tố nên x≥ 2; y ≥ suy A x y 3 y Nếu x y tính chẵn lẻ x + 3y số chẵn nên A= x y số chẵn , mà A > nên A hợp số (vơ lý) Do x chẵn y chẵn, mà x, y số nguyên tố nên x = y=2 y Nếu x = ta có: A 3 y y y Do chia dư nên 3y + +2 chia hết cho mà 3y + +2 > nên A hợp số (vơ lý) Nếu y= A = x +20 2 Nếu x không chia hết cho x chia dư nên x + 20 chia hết A hợp số (vơ lý) Do x chia hết cho mà x số nguyên tố nên x = y Thử lại với x = 3; y= A= x y = 29 (là số nguyên tố) Vậy x = y = Bài (2,5 điểm) Cho điểm B, C , D nằm đường thẳng xy (C nằm B D) điểm A nằm xy cho BAC 50 , CAD 65 Kẻ tia Az tia phân giác góc BAC cắt xy điểm E D A C B E d) Tính số đo góc EAD cho biết góc EAD góc 1 BAE EAC BAC 50 25 BAC 2 Theo AE tia phân giác nên Vì điểm C nằm B D nên tia AC nằm hai tia AB AD Lại có AE tia phân giác góc BAC nên tia AB tia AE nằm nửa mặt phẳng bờ AC Từ suy tia AC nằm tia AE , AD DAE EAC DAC 25 65 90 DAE Vậy góc vng e) Từ điểm A vẽ thêm 50 tia phân biệt không qua B, C , D, E Hỏi có góc đỉnh A tạo thành Từ điểm Avẽ thêm 50 tia phân biệt khơng qua B,C,D,E ta có số tia gốc A : 50 54 (tia) Từ tia tạo với 53 tia lại 53 góc đỉnh A Làm tương tự với 54 tia ta số góc 53.54 2862 (góc ) Nhưng góc tính lần nên số góc thực tế đỉnh A : 2862 : 1431 (góc) f) Trên tia BA lấy thêm điểm phân biệt M, N, P không trùng với B A Hỏi có tam giác mà đỉnh đỉnh A,B,C,D,E,M, N, P Trên tia BA có điểm nên có 10 đoạn thẳng, Từ điểm E, C, D nối với hai đầu mút đoạn thẳng ta tam giác nên có 30 tam giác Trên tia BE có điểm nên có đoạn thẳng, Từ điểm A, M, N, P nối với hai đầu mút đoạn thẳng ta tam giác nên có 24 tam giác Bài (1,0 điểm) Một bóng đá khâu từ 32 miếng da Mỗi miếng ngũ giác màu đen khâu với miếng màu trắng, miếng màu trắng khâu với miếng màu đen Hỏi có miếng màu trắng Ta gọi số miếng trắng x ( x số tự nhiên, x < 32) gọi số miếng đen y ( y số tự nhiên, y < 32) Vì tổng có 32 miếng nên ta có x +y=32 Ta xét đoạn thẳng cạnh ngũ giác lục giác Ta tính tổng số đoạn thẳng theo hai cách: Có x miếng trắng miếng có đoạn thẳng, miếng có đoạn thẳng mà lặp hai lần nên số đoạn thẳng có là: 6x - 3x:2 = 9x: Có y miếng đen miếng có đoạn thẳng, đoạn thẳng mà nối hai đỉnh gần hai ngũ giác lặp hai lần nên số đoạn thẳng có là: 5y + 5y: = 15y:2 Từ ta có 3x =5y = 20 Mà 5x + 5y = 160 nên 8x = 160 nên x =20 Vậy có 20 miếng da màu trắng