118 đề hsg toán 8 yên lạc 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) a) Cho biểu thức Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên b) Cho đôi một khác nhau thỏ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN 2022-2023 Bài (3,0 điểm)  x2  x   x2 A   1    2x  8  x  x  x   x x2   a) Cho biểu thức Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên b) Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn x  y  z 0 Tính giá trị biểu thức :  xy  z   yz  x   zx  y  B  xy  yz  zx  3xyz  2 2 2 Bài (2,5 diểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  2014 x  2015 y  2016 0 b) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a  b, 2b  c, 2c  a số phương Biết số phương chia hết cho 3 Chứng minh P  a  b    b  c    c  a  Bài (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn chia hết cho 81 4 a  ;b  ;c  3 a  b  c 6 a b c    Chứng minh a  b  c  Bài (2,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D AB CD  a) Chứng minh BD AB b) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2;3; chia cách thành nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm)  x2  2x   x2 A   1    2x  8  x  2x  x   x x2   c) Cho biểu thức Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Điều kiện : x 0; x 2 Ta có :  x2  x   2x2 A   1     2x  8  4x  2x  x   x x   x2  x  x2  x  2 x2      x2  4   x   x2   x   x2     x  x  2  4x2  x  2  x2  4 x  x    x  1 2x x  4  x 1  x    x3  x  x  x x  x2   x2  4 x2 x 1 2x x 1 2x  Z   Z  22 x  1x  x 1(tm) 2x 2x d) Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn x  y  z 0 Tính giá trị biểu thức : xy  z   yz  x   zx  y   B  xy  yz  zx2  3xyz  A Z  Ta có x  y  z 0  x  y  z Do : xy  z  xy  z  z  x  y   z  x   z  y  Tương tự : yz  x  x  y   x  z  ; zx  y  y  z   y  x  Nên tử số B   x  y  Chứng minh : 2  y  z   z  x 2 xy  yz  zx  3xyz  x  y   y  z   z  x    x  y   y  z   z  x   Nên mẫu số B :  Bài (2,5 diểm) 2 c) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  2014 x  2015 y  2016 0 x  xy  2014 x  2015 y  2016 0  x  xy  x  2015 x  2015 y  2015 1  x  x  y  1  2015  x  y  1 1   x  y  1  x  2015  1 1.1    x  2015 1 *   x  y  1  x 2016  x  2015   x 2014 *    y  2016  x  y    y  2016  x 2016  x 2014 ;  y  2016   y  2016 Vậy phương trình có nghiệm d) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a  b, 2b  c, 2c  a số phương Biết số phương chia hết cho 3 Chứng minh P  a  b    b  c    c  a  chia hết cho 81 Vì số 2a  b; 2b  c; 2c  a số phương nên số chia dư 3 Chứng minh x  y  z 0 x  y  z 3 xyz Vì số có số chia hết cho suy số chia hết cho Mặt khác : Suy Vì 2a  b 3a   a  b   a  b 3  2a  b    2b  c    2c  a  3  a  b  c  3 nên Tương tự chứng minh b  c, c  a chia hết cho  a  b   b  c   c  a  27  a  b    b  c    c  a  0 nên 3 P  a  b    b  c    c  a  3  a  b   b  c   c  a  27.381 4 a  ;b  ;c  3 a  b  c 6 Bài (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c    Chứng minh a  b  c  a    3a    a   0 Vì  3a  16a  28a  16 0  25a 16a  16  3a  3a  25a  a  1  16  3a   * a2 16  3a  25  a  1 25 Chia vế (*) cho ta a  b 16  3b c 16  3c  ;  25 c 1 25 Tương tự ta có : b  48   a  b  c  30 a b c      25 25 Dấu xảy a b c 2 Do : a  b  c  a b c    Vậy a  b  c  Bài (2,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D y D x I C A M K H B O AB CD  d) Chứng minh BD AB Chứng minh  OAC ∽ DBO  g g   OA AC   OA.OB  AC BD DB OB AB AB AB CD  AC.BD   ( dfcm) 2 BD AB e) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH OC AC OC AC OC OD  OA OB     OD OB mà OD OA AC OA Theo cau a ta có Chứng minh OAC ∽ DOC (c.g.c)  ACO OCM OAC ∽ DBO ( g.g )  Chứng minh OAC OMC (ch  gn)  AC MC Ta có OAC OMC  OA OM ; CA CM  OC trung trực AM  OC  AM Mặt khác OA OM OB  AMB vuông M Suy OC / / BM (vì vng góc với AM) suy OC / / BI Xét ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI  IC  AC MK BK KH   MH / / AI theo hệ định lý Talet ta có : IC BC AC Mà IC  AC  MK HK  BC qua trung điểm MH (dpcm) f) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Tứ giác ABDC hình thang vng nên S ABCD   AC  BD  AB Ta thấy AC , BD  , nên theo BĐT Cơ si ta có : AC  BD 2 AC.BD 2 Dấu xảy AB  AB  S ABCD  AB 4  AB CD  AB OA Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2;3; chia cách thành nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang Ta chia số 1; 2;3; 4;5 thành hai nhóm cho nhóm hiệu hai số khơng trùng với số nhóm Ta có hai số nhóm  2 Số khơng thể nhóm với số  1 Như số phải ở nhóm với số Số 4-1=3 phải nhóm với số Ta có hai số nhóm; hai số nhóm cịn lại Nhưng cịn số 5, số khơng thể nhóm  4,  3 (mâu thuẫn) Từ suy điều phải chứng minh