026 đề hsg toán 8 nghi lộc 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn Toán Năm học 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì c[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn Tốn _ Năm học 2022-2023 Bài 1.(4,0 điểm) a) Chứng minh số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A  x  x  26 x  24 Bài (5,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức A 75  42017  42016   42    25 2018 chia hết cho 2 b) Cho x, y, z ba số nguyên khác Chứng minh x  yz a; y  xy b z  xy c tổng  ax  by  cz  chia hết cho tổng  a  b  c  Bài (5,0 điểm) a) Tìm a, b biết a  b ab  a b b khác b) Tìm nghiệm số tự nhiên phương trình: xy  x 35  y 3 5 c) Cho x  y 1; x  y a; x  y b Chứng minh 5a  a  1 9b  Bài (6 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC  K  CD  Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD  I  CD  BI cắt AC F, AK cắt BD ởE a) Chứng minh EF song song với AB b) Chứng minh AB CD.EF c) Cho biết ADC 2ACD Tính AC theo AD CD ĐÁP ÁN Bài 1.(4,0 điểm) c) Chứng minh số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ  Vì M số chẵn phương nên M 4 suy ab64 hay  Mà a004 nên b64 , b chẵn b6 khơng chia hết cho Suy b số lẻ d) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A  x  x  26 x  24 a00  b6 4 A  x  x  26 x  24  x  x  x  14 x  12 x  24  x  x    x  x    12  x    x    x  x  12   x     x  x    x  12    x    x  x  3   x     x    x  3  x   Vậy A  x    x  3  x   Bài (5,0 điểm) A 75  42017  42016   42    25 c) Chứng minh biểu thức 2017 2016 Đặt     1 B Ta có: 2018 chia hết cho 4 B 42018  42017   43    B  B 4 2018 42018   1 B  A 75  42018  1 :  25 25.4 2018 4 2018 Thay B vào A ta có: 2018 Vậy A chia hết cho 2 d) Cho x, y, z ba số nguyên khác Chứng minh x  yz a; y  xy b z  xy c tổng  ax  by  cz  chia hết cho tổng  a  b  c  Ta có : ax  by  cz  x  yz  x   y  xz  y   z  xy  z x  y  z  3xyz  x  y   z  x y  3xy  3xyz  x  y  z    x  y    x  y  z  z   3xy  x  y  z     x  y  z   x  yz  y  xz  z  xy   x  y  z   a  b  c   a  b  c  Vậy  ax  by  cz   a  b  c  Bài (5,0 điểm) d) Tìm a, b biết a  b ab  a b b khác a  b ab  a  * b  a 0 a a ab   a  b ab   ab  a 0  a  b  1 0   b 1 b b  b  Từ Khi a 0, b 1 thay vào (*) không thỏa mãn Khi b  thay vào (*) ta có a    1  a  2a 1  a  a  ; b  Vậy e) Tìm nghiệm số tự nhiên phương trình: xy  x 35  y Ta có : xy  x 35  y   x    y   15  x, y     Vì  x    Khi x  5   x 0   x  5 Để  x    y   15  15 x     x     5;15 y  3  x 0, y 7 Khi x  15  y  1  x 10, y 5 Vậy cặp nghiệm phương trình  0;7  ,  10;5 3 5 f) Cho x  y 1; x  y a; x  y b Chứng minh 5a  a  1 9b  Ta có : 5a  a  1 5  x  y   x  y  1 5  x  y   x  xy  y    x  y   x  xy  y   1 2 5  x  y    x  y   xy    x  y   x  y   3xy  1 5   3xy     3xy   1 (do x  y 1)    5   xy    xy  45  x y  xy   10 Ta có  1 9b  9  x  y   9  x  y   x  x y  x y  xy  y   9   x  y   xy  x  y  xy    1(do x  y 1)   9    xy   xy   xy    9  x y  xy  1  45  x y  xy   10     Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh Bài (6 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC  K  CD  Qua B vẽ đường thẳng BD E BI song song với AD  I  CD  BI cắt AC F, AK cắt B A E D F K I C d) Chứng minh EF song song với AB Ta có DI  AB CK  DK CI EB AB AB BF    DK CI   ED DK CI FI (áp dụng hệ Talet với AB / / CI ) Vì EB BF  Do ED FI hay EF / / DI suy EF / / AB (vì DI//AB) AB / / CD  e) Chứng minh AB CD.EF CI FI CI FI CD BI  1  1     1 FB AB FB Ta có : AB FB (vì AB / /CI ) AB EF FB BI DI BI DI AB DI  AB        2 FB EF Lại có FB EF EF Mà EF / / DI nên DI BI CD AB  BI     AB EF  FB  hay AB CD, EF Từ (1) (2) suy f) Cho biết ADC 2ACD Tính AC theo AD CD A x M c d y y α B α α N a Đăt AM x, MC  y, AC d , AB c, BC a x c x y AM AB     3  Ta có DM tia phân giác B nên MC BC hay y a c a CN a y   4 cos a cos   MNC Tương tự vng N có Thay (4) vào (3) ta có Vậy AC  a c cos  x c c a a c AC d x  y    cos  Lại có : cos  cos  cos  C