UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS Năm học : 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MƠN: TỐN LỚP Bài (4,0 điểm) x3 x2 A x : 1 x x x x3 Cho biểu thức : với x khác 1 1) Rút gọn biểu thức A x 1 2) Tính giá trị biểu thức A 3) Tìm giá trị x để A Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình sau: x x x x x x b) Cho x số nguyên Chứng minh biểu thức: M x 1 x x 3 x bình phương số nguyên Bài (4,0 điểm) a) Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn x y z chia hết cho Chứng minh M x y y z x z xyz chia hết cho 3 3 3 2 b) Cho a, b, c số khác thỏa mãn: a b b c c a 3a b c / a b c P 1 1 b c a Tính giá trị biểu thức Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC , có đường cao AH cho AH HC Trên AH lấy điểm I cho HI BH Gọi P Q trung điểm BI AC Gọi N M hình chiếu H AB IC ; K giao điểm đường thẳng CI với AB; D giao điểm đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC b) Tứ giác HNKM hình vng c) Chứng minh bốn điểm N , P, M , Q thẳng hàng Bài (2,0 điểm) 2015 2015 2015 3 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x y z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức : x y z ĐÁP ÁN Bài 1.1) Với x khác – x3 x x x x A : 1 x x x x2 x x x x x2 x 1 x : x x x x x2 x2 x 1 x 5 2 5 A 10 x 1 27 3 1.2) Tại A x2 x x x 1.3) Với x khác – Bài 2 2 a) x x x x x x x2 : Đặt t x x x 1 t Phương trình cho trở thành: t 1 t t 1 t 2(TM ) 3t 7t t ( KTM ) Do đó: x 1 x 1 x M x 1 x x 3 x x x x x b) Ta có: Đặt t x x 2 Khi đó: M t 1 t 1 t t Vì x số nguyên nên t số nguyên Vậy M lầ bình phương số nguyên Bài a) Ta có: M x y x z y z xyz Học sinh biến đổi được: M x y z xy yz zx 3xyz Vì x, y, z số nguyên thỏa mãn x y z chia hết x y z xy yz xz chia hết cho 6 Trong số x, y, z tồn số chia hết cho Suy xyzM Do đó, x y z xy yz xz 3xyz chia hết cho Vậy M M6 b) Đặt ab x; bc y; ca z 3 Ta có: x y z 3xyz 2 Học sinh chứng minh : x y z x y z xy yz xz TH1: x y z x y z x3 y z 3 x y z x z Sử dụng đẳng thức : xyz x y y z x z a 2b 2c ab bc bc ca ca ab Ta có: abc a b b c c a a b c P 1 1 1 1 b c a TH : x y z xy yz xz x y y z z x 2 x y z ab bc ca a bc P 8 Bài µ a) Xét tam giác BHI có: BH HI , H 90 · BHI vuông cân H IBH 450 µ 900 AHC · AHC có AH HC , H vuông cân H ACH 45 BCD vuông cân D Tam giác ABC có hai đường cao AH , BD Vậy I l trc tõm ABC ả b) Xét tứ giác HMKN có: M N 90 , K 90 (CK đường cao) Tứ giác HMNK hình chữ nhật (1) Xét MIH NBH có: · · · · HMI HNB 900 ; HB HI ( gt ); HIC HBN HMI HNB g.c.g HM HN Từ 1 : Tứ giác HMKN hình vng c) Theo câu b: Tứ giác HMKN hình vng nên M , N thuộc trung trực đoạn thẳng KH -Xét tam giác vuông AHC AKC; trung tuyến HQ, KQ Ta có: HQ 1 AC ; KQ AC Q 2 trung trực KH Vậy điểm M , N , P, Q thẳng hàng Bài 2015 2015 Áp dụng BĐT Cô si cho 2015 số dương x , x ,1;1;1;1;1;1 1;1 ta được: x 2015 x 2015 20152015 x 2015 x 2015.1.1.1 2015 x x 2015 2013 2015 x Tương tự ta có: y 2015 2013 2015 y 2 z 2015 2013 2015 z x 2015 y 2015 z 2015 6039 2015. x y z x y z Dấu " " xảy x y z Max x2 y z x y z Vậy ... Bài 2015 2015 Áp dụng BĐT Cô si cho 2015 số dương x , x ,1;1;1;1;1;1 1;1 ta được: x 2015 x 2015 20152 015 x 2015 x 2015. 1.1.1 2015 x x 2015 2013 2015 x Tương tự ta có: y 2015. .. x x 2015 2013 2015 x Tương tự ta có: y 2015 2013 2015 y 2 z 2015 2013 2015 z x 2015 y 2015 z 2015 6039 2015. x y z x y z Dấu " " xảy x y z .. .2015 2015 2015 3 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x y z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức : x