097 đề HSG toán 8 vĩnh lộc 2014 2015

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS Năm học : 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MƠN: TỐN LỚP Bài (4,0 điểm)   x3   x2 A  x : 1 x  x  x  x3   Cho biểu thức : với x khác 1 1) Rút gọn biểu thức A x  1 2) Tính giá trị biểu thức A 3) Tìm giá trị x để A  Bài (4,0 điểm)   2 a) Giải phương trình sau: x  x  x  x  x  x  b) Cho x số nguyên Chứng minh biểu thức: M   x  1  x    x  3  x    bình phương số nguyên Bài (4,0 điểm) a) Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn x  y  z chia hết cho Chứng minh M   x  y   y  z   x  z   xyz chia hết cho 3 3 3 2 b) Cho a, b, c số khác thỏa mãn: a b  b c  c a  3a b c /  a  b  c  P    1  1    b  c  a  Tính giá trị biểu thức Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  , có đường cao AH cho AH  HC Trên AH lấy điểm I cho HI  BH Gọi P Q trung điểm BI AC Gọi N M hình chiếu H AB IC ; K giao điểm đường thẳng CI với AB; D giao điểm đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC b) Tứ giác HNKM hình vng c) Chứng minh bốn điểm N , P, M , Q thẳng hàng Bài (2,0 điểm) 2015 2015 2015 3 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức : x  y  z ĐÁP ÁN Bài 1.1) Với x khác –  x3  x  x   x   x A : 1 x   x   x  x2   x   x     x    x  x2  x  1 x :   x   x   x   x  x2     x2    x  1 x   5       2 5 A       10         x  1  27         3 1.2) Tại A     x2    x     x   x  1.3) Với x khác – Bài 2   2 a) x  x  x  x  x  x     x2  : Đặt t  x  x    x  1   t   Phương trình cho trở thành:   t 1 t t 1 t  2(TM )  3t  7t    t  ( KTM )  Do đó:  x  1     x  1   x  M   x  1  x    x  3  x      x  x    x  x    b) Ta có: Đặt t  x  x  2 Khi đó: M   t  1  t  1   t    t Vì x số nguyên nên t số nguyên Vậy M lầ bình phương số nguyên Bài a) Ta có: M   x  y   x  z   y  z   xyz Học sinh biến đổi được: M   x  y  z   xy  yz  zx   3xyz Vì x, y, z số nguyên thỏa mãn x  y  z chia hết  x  y  z   xy  yz  xz  chia hết cho 6 Trong số x, y, z tồn số chia hết cho Suy xyzM Do đó,  x  y  z   xy  yz  xz   3xyz chia hết cho Vậy M M6 b) Đặt ab  x; bc  y; ca  z 3 Ta có: x  y  z  3xyz 2 Học sinh chứng minh : x  y  z  x  y  z  xy  yz  xz  TH1: x  y  z  x  y  z  x3  y  z  3 x  y    z   x  z    Sử dụng đẳng thức :   xyz   x  y   y  z   x  z  a 2b 2c   ab  bc   bc  ca   ca  ab  Ta có:  abc   a  b   b  c   c  a   a  b  c   P  1  1  1   1  b  c  a  TH : x  y  z  xy  yz  xz    x  y   y  z   z  x  2  x  y  z  ab  bc  ca  a bc P 8 Bài µ a) Xét tam giác BHI có: BH  HI , H  90 ·  BHI vuông cân H  IBH  450 µ  900  AHC · AHC có AH  HC , H vuông cân H  ACH  45  BCD vuông cân D Tam giác ABC có hai đường cao AH , BD Vậy I l trc tõm ABC ả b) Xét tứ giác HMKN có: M  N  90 , K  90 (CK đường cao) Tứ giác HMNK hình chữ nhật (1) Xét MIH NBH có: · · · · HMI  HNB  900 ; HB  HI ( gt ); HIC  HBN  HMI  HNB  g.c.g   HM  HN   Từ  1   : Tứ giác HMKN hình vng c) Theo câu b: Tứ giác HMKN hình vng nên M , N thuộc trung trực đoạn thẳng KH -Xét tam giác vuông AHC AKC; trung tuyến HQ, KQ Ta có: HQ  1 AC ; KQ  AC  Q  2 trung trực KH Vậy điểm M , N , P, Q thẳng hàng Bài 2015 2015 Áp dụng BĐT Cô si cho 2015 số dương x , x ,1;1;1;1;1;1 1;1 ta được: x 2015  x 2015        20152015 x 2015 x 2015.1.1.1  2015 x  x 2015  2013  2015 x Tương tự ta có: y 2015  2013  2015 y 2 z 2015  2013  2015 z   x 2015  y 2015  z 2015   6039  2015. x  y  z   x  y  z  Dấu "  " xảy  x  y  z  Max x2  y  z   x  y  z    Vậy ... Bài 2015 2015 Áp dụng BĐT Cô si cho 2015 số dương x , x ,1;1;1;1;1;1 1;1 ta được: x 2015  x 2015        20152 015 x 2015 x 2015. 1.1.1  2015 x  x 2015  2013  2015 x Tương tự ta có: y 2015. .. x  x 2015  2013  2015 x Tương tự ta có: y 2015  2013  2015 y 2 z 2015  2013  2015 z   x 2015  y 2015  z 2015   6039  2015.  x  y  z   x  y  z  Dấu "  " xảy  x  y  z .. .2015 2015 2015 3 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức : x