TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 Mơn thi : TỐN LỚP Bài (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 26 x 24 3 x x x 1 b) c) x x d) x 2015 x 2014 x 2015 Bài (1,5 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: x x 3 x 1 3x 4 x y P 2 x y 0; y x y b) Tính giá trị biểu thức Biết x y xy c) Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2015 cho đa thức x 10 x 21 A xy y x2 : 2 y xy x y x Bài (1,25 điểm) Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A 2 c) Nếu x, y số thực làm cho A xác định thỏa mãn: 3x y x y 1, tìm tất giá trị nguyên dương A Bài (2 điểm) Giải phương trình sau: a) x x x b) 3x x c) x x x 10 x 24 x x 18 2 d) x y x y 10 với x, y nguyên dương Bài (2,75 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh AQR APS tam giác cân b) QR cắt PS H M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M , B, N , D thẳng hàng Bài (0,5 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 13 x y xy y 16 x 2015 b) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a b Chứng minh : a b3 ab ĐÁP ÁN Bài 2 a) x 26 x 24 x x 20 x 24 x x x x x 3 3 1 1 1 1 x x x x x x .1 x 2 2 2 2 b) x x x x 1 x 1 x x 1 c) 4 3 2 d) x 2015 x 2014 x 2015 x x x x x x 2015 x 2015 x 2015 x x x 1 x x x 1 2015 x x 1 x x 1 x x 2015 Bài x x 3 x 1 3x 7 4 77 4 a) 2 2 b) x y xy x xy y x y x y 2y y A x y x y x y y y Vì nên Khi 12 x 18 x 14 x 21 12 x x 3x P x x x x x 8 2015 x 10 x 16 x 10 x 24 2015 c) Đặt t x 10 x 21 t 3; t 7 , biểu thức P( x) viết lại P ( x ) t t 3 t 2t 2000 Do chia t 2t 2000 cho t ta có số dư 2000 Bài a) x y; y b) A x x y c) Cần giá trị lớn A , từ tìm được tất giá trị nguyên dương A 2 2 Từ (gt): x y x y x xy x xy y x y x x y x y x y A x y 1 2 A x y 1 (do x y 1 0x, y ) A 2 x y x 2 x x y x y; y y +) A x y 1 2 x x y x y; y +) A Từ , cần cặp giá trị x y, chẳng 1 x hạn : y 3 Vậy A có giá trị nguyên dương là: A 1; A Bài x 1 x x x x 1 x x 3 x 2 x a) 5 3x 3x 3x 3x 3x x b) c) ĐKXĐ: x 1; 4; 6;3 x 1 x x x x 3 x 1 1 x 1 x x x x x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 0(tm) x2 8x x x 2 x 2(tm) S 0;2 x y x y 10 x x 1 y y d) 2 x 1 y x y 1 x y 3 x y x x y x y 1 x y x , y y 1 Vì nguyên dương nên Vậy x; y 3;1 Bài a) ADQ ABR chúng hai tam giác vuông DA BD AQ AR AQR vuông cân Chứng minh tương tự ta có: ABP ADS Do AP AS APS tam giác cân A b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ 0 · · · Mặt khác PAN PAM 45 MAN 90 Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng nên hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA RS , RC SQ nên QA RC hai đường cao SQR Vậy P trực tâm SQR AM QR d) Trong tam giác vng cân AQR MA trung điểm nên MA MC , nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP , ta có NA NC , nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC e) Vì ABCD hình vng nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M , N , B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC , nghĩa chúng thẳng hàng Bài 2 a) A 13 x y xy y 16 x 2015 y xy y 13x 16 x 2015 y y x 1 x 1 x 12 x 2015 y x 1 3x 2010 2 x ;y 3 Chứng tỏ A 10 dấu xảy x A 2010 y 1 Vậy 1 a b3 ab 1 a b3 ab 2 b) Ta có: a b a b ab ab a2 b2 (vì a b 1) 2a 2b 2a a (Vì b a) 1 2a 4a 2a a a 0a 4 (2) nên (1) ta có đpcm (2) ... 1 c) 4 3 2 d) x 2015 x 2014 x 2015 x x x x x x 2015 x 2015 x 2015 x x x 1 x x x 1 2015 x x 1 x x 1 x x 2015 Bài x ... x y y y Vì nên Khi 12 x 18 x 14 x 21 12 x x 3x P x x x x x 8? ?? 2015 x 10 x 16 x 10 x 24 2015 c) Đặt t x 10 x 21 t ... chúng thẳng hàng Bài 2 a) A 13 x y xy y 16 x 2015 y xy y 13x 16 x 2015 y y x 1 x 1 x 12 x 2015 y x 1 3x 2010 2 x ;y 3 Chứng