TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN MƠN: TỐN Bài (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a) a 7a 12 b) x 2015 x 2014 x 2015 3 c) x y z 3xyz x 2 36 d) Bài (4,0 điểm) Tìm x biết: a) x 12 3 : x b) 4 c) 3x 4 x x x x 1 d) 2011 2012 2013 2014 Bài (2,0 điểm ) a 4a A a a a a) Cho Tìm a để A số nguyên b) Tìm số tự nhiên n để n chia hết cho n Bài (2,0 điểm ) a b 3 c a , b , c a b c 46 a) Tìm biết b) Tìm số hữu tỉ a b biết: a b ab a : b b 0 Bài (2,0 điểm) 1 0 2 a) Cho a b c 1và a b c Tính a b c 1 1 b) Cho a b c 2014 a b a c b c 2014 a b c S b c a c a b Tính Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 90 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ đường thẳng AB vẽ AF vng góc với AB AF AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ đường thẳng AC vẽ AH vng góc với AC AH AC Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI DA Chứng minh rằng: a) AI FH b) DA FH Bài (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự trung điểm AB, CD a) Chứng minh đường thẳng AC , BD, EF cắt trung điểm đường b) Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N.Chứng minh EMFN hình bình hành Bài (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ : A( x ) x 1 x 3 x x 10 ĐÁP ÁN Bài 2 a) a 7a 12 a 3a 4a 12 a a b) x 2015 x 2014 x 2015 x x x 2014 x 2014 x 2014 x x x x 1 2014 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2014 x 1 x x 1 x x 2015 3 3 x y z 3xyz x y 3xy x y 3xyz c) x y z z x y x y z 3xy x y z x y z x y z 3z x y 3xy x y z x y z xy yz zx 3zx 3zy 3xy x y z x y z xy yz xz d) Bài x 2 36 x x 10 x x 10 x 12 x 24 a) 3 1 : x x 15 b) 4 x 4( x ) 3x 4 x x c) x 3(tm) x (tm) x x x x 1 x4 x 3 x2 x 1 1 1 1 1 2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014 x 2015 x 2015 x 2015 x 2015 2011 2012 2013 2014 1 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 x 2015 0 (Vi 0) 2011 2012 2013 2014 Vậy x 2015 d) Bài a) Rút gọn A a Để A nguyên b) 1 a a nguyên a 1 a 3 n5 1n3 n n3 1 n 1 n3 1 n 1 n 1 n3 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n n 1 (Vi n 0) +) Nếu n 1 01 +)Nếu n n 1 n n 1 n n nên xảy n 1n n Vậy n 1 Bài a) Ta có: a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 a b c 5a 3b 4c 20 46 2(Vi5a 3b 4c 46) 10 12 24 26 a a b b 11 c 12 c b) Ta có: a b ab a ab b b a 1 Do đó: a : b b a 1 : b a Nên a b a b a ; b Vậy a 1 a 1 a a a Bài a) Phân tích giả thiết để suy đfcm 1 Phân tích a b c , phần có a b c thay 1 1 b) Ta có: a b a c b c 2011 a b c 2014 a 2014 b c ; b 2014 ( a c); c 2014 (a b) Do đó: 2014 b c 2014 a c 2014 a b S bc a c a b 2014 2014 2014 1 1 1 bc a c a b 1 2014. b c a c a b 2014 1 2014 Vậy S 2 Bài H K F A B C D I a) Xét BDI CDA có DB DC ( gt ), BDI CDA (đối đỉnh), DA DI ( gt ) BDI CDA(c.g c) BI CA (hai cạnh tương ứng) BID CAD (2 góc tương ứng ) mà góc vị trí so le BI / / AC - Xét ABI FAH có: AB AF ( gt ); ABI FAH (cùng bù với BAC ) BI = AH (cùng AC ) ABI EAH c.g c AI FH (2 cạnh tương ứng) b) Gọi K giao điểm DA FH ta có: BAI FAK 900 mà AFH BAI hay AFK BAI nên AFH FAK 90 FKA 900 AK FK AI FH (Vì I , K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài E A M B O N D F C a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, ta có O trung điểm BD Chứng minh BEDF hình bình hành Có O trung điểm BD nên O trung điểm EF Vậy EF , BD, AC đồng quy O OM OA b) Xét ABD có M trọng tâm , nên ON OC Xét BCD có N trọng tâm nên Mà OA OC nên OM ON Tứ giác EMFN có OM ON , OE OF nên hình bình hành Bài A x x x x x 12 10 Đặt x x t A t t t 10 t 6t t 3 1 13 x t x x 13 x Khi đó: 13 x MinA x 1 13 x Vậy