PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐƠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Câu (4,0 điểm) x2 2x 2x2 A 1 2x 8 4x 2x x x x2 Cho biểu thức a) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình sau: a ) x x x x 0 x x x 16 x 72 x x 20 x 12 x 42 x2 x 8 x4 x 6 2) Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy 2014 x 2015 y 2016 0 b) Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh A n3 n 1 n 9 với n N * b) Chứng minh với số nguyên x, y : A ( x y )( x y )( x y )( x y ) y số phương Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với điểm M, N BF H BF , AH cắt DC BC hai a) Chứng minh tứ giác AEMD hình bình hành b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC=2EF 1 2 AM AN c) Chứng minh AD Câu (2,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : x 2 y 28 17 x y 14 y 49 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) x2 2x 2x2 A 1 2x 8 x x x x x2 Cho biểu thức c) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A A xác định x 2; x 0 Ta có : x2 x 2x2 A 1 2x 8 4x 2x x x x x x x x x x x x x x x 1 x x2 x2 x2 4 x x 2 x2 4 x x x 1 x x 2 x 1 2x d) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x 1 A x 0; x 2x Với ta có : x 1 A Z Z x 12 x x 2 x 22 x 1x x 1(tm) 2x Vậy x 1 A nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) 3) Giải phương trình sau: a ) x x x x 0 x x x x 0 x x 1 x x 1 0 x x 1 0 x 1 0 x 0 x Vậy phương trình cho có nghiệm x x x x 16 x 72 x x 20 x 12 x 42 x 2; 4; 6; 8 x2 x 8 x4 x 6 b) x 2 2 x2 x 8 8 x 4 4 x 6 6 x 8 x4 x 6 x2 x 8 x x6 x2 x 8 x4 x 6 x x x 48 x 48 x x x x 8 ( x 6)( x 8) x ( x 4) x 0 2x 2x x ( x 4) ( x 6)( x 8) x x x x 8 x 0(tm) x 14 x 48 x 5(tm) Vậy phương trình cho có nghiệm x 0; x 4) Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy 2014 x 2015 y 2016 0 x xy 2014 x 2015 y 2016 0 x xy x 2015 x 2015 y 2015 1 x x y 1 2015 x y 1 1 x 2015 x y 1 1 1.1 x 2015 1 x y 1 x 2016 x 2015 y 2016 x y Vậy phương trình có nghiệm ngun x 2014 y 2016 x; y 2016; 2016 , 2014; 2016 Câu (4,0 điểm) c) Chứng minh Ta có : A n3 n 1 n 9 với n N * A n3 n 3n 3n n 6n 12n 3n3 9n 15n 3 n3 3n 5n 3 2 Đặt B n 3n 5n n n 2n 2n 3n n n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n n n 3 (vì tích số tự nhiên liên tiếp ) Ta có : Suy B 3 A 3B chia hết cho d) Chứng minh với số nguyên x, y : n 1 3 A ( x y )( x y )( x y )( x y ) y số phương Ta có : A x y x y x y x y y x xy y x xy y y Đặt x xy y t t Z A t y t y y t y y t x 5xy y Vì x, y, z Z x xy y Z x xy y 2 số phương Vậy A số phương Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với hai điểm M, N BF H BF , AH cắt DC BC E A F D B H M C N d) Chứng minh tứ giác AEMD hình bình hành Xét ADM BAF có : BAF ADM 90 ; AB AD( gt ); DAM ABF (cùng phụ với BAH ) ADM BAF ( g.c.g ) DM AF Mà AF AE ( gt ) AE DM AE / / DM AB / / DC Suy tứ giác AEMD hình bình hành Lại có Mặt khác DAE 90 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật e) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC=2EF Xét ABH FAH có : AHB AHF 90 ; ABH FAH (cùng phụ với BAH ) AB BH BC BH AB BC , AE AF AF AH hay AE AH BC BH cmt , CBH HAE Xét CBH EAH có : AE AH (cùng phụ với ABH ) ABH ∽ FAH ( g g ) S SCBH BC BC CBH ∽ EAH (c.g c ) CBH 4 gt 2 BC 2 AE , S EAH AE mà S EAH AE Mà BC = AB nên AB=2AE, AD=2AF (do AB AD, AE AF ) Nên E trung điểm AB, F trung điểm AD nên EF đường trung bình tam giác ABD Do EF BD hay BD 2EF AC 2 EF dpcm mà AC=BD nên 1 2 AM AN f) Chứng minh AD Do AD / / CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Talet ta có : AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có MC / / AB ( gt ) / Áp dụng hệ định lý Talet ta có : MN MC AB MC AD MC AD AB AN AB AN MN hay AN MN 2 2 CN CM MN AD AD CN CM 1 MN MN AM AN MN MN (Theo định lý Pytago) 2 1 AD AD dfcm 1 2 AM AN AD AM AN Câu (2,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : x x 2 y 28 17 x y 14 y 49 y 28 17 x y 14 y 49 x2 y 2 17 x y x x y 16 y 17 x 17 y 2 17 x 17 y x x y 16 y 0 16 x x y y 0 4x2 y 0 x y 0 x y (2 x y ) 7 1 Do x, y N x y 2 x y 0 nên 2 x y 1 2 x y 7 1 x 2 y 3 Vậy phương trình có nghiệm tự nhiên x 2; y 3