Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị của Q biết Bài 2 (4,0 điểm) a) Giải phươ[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 MÔN : TOÁN Bài (4,0 điểm) x3 x x 1 Q 1 : 2 x 1 x x x 1 x x x Cho biểu thức 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị Q biết x 4 Bài (4,0 điểm) x2 x x 3x x 1 x 1 a) Giải phương trình : 2 b) Tìm x, y nguyên dương biết : x y xy x y 0 Bài (4,0 điểm) 1) Đa thức f x chia f x chia cho x dư 4, chia cho đa thức x dư x Tìm phần dư cho x 1 x 1 1 1 a , b , c 2) Cho số thực thỏa mãn a b c 2020 a b c 2020 Tính giá trị 1 M 2021 2021 2021 a b c biểu thức Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng có bờ AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, AH cắt DC F a) b) c) d) Chứng minh BM DN Chứng minh : ba điểm D, N , C thẳng hàng Tứ giác EMFN hình ? Vì ? Chứng minh DF BM FN chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC Bài (2,0 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tính giá trị biểu thức : 1 B a b c 3 a 1 b 1 c 1 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) x3 x x 1 Q 1 : 2 x x x x x x x Cho biểu thức 3) Rút gọn P x 1 x3 x x 1 Q 1 x 0 : 2 x 1 x x x 1 x x x x 2 x 1 x x 2 1 : 2 x 1 x x 1 x x x x x x 1 1 x x x x x x x 1 2x2 4x x 2 x x 2 x 1 x ( x 2) x 1 x x 1 1 2x x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 4) Tính giá trị Q biết x 4 x 2(ktm) 4 x (tm) Q 4 x 4 Q Vậy với x x 4 x 1 1 Bài (4,0 điểm) x2 x x 3x x 1 x 1 c) Giải phương trình : x 1; x Với x thỏa ĐKXĐ ta có : ĐKXĐ: x2 4x x 3x x2 4x 2x x 3x x 1 2x 1 x 1 x 1 2 x 6x x 3x x x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 12 x 10 x x x x x x x x x 13 x x 12 0 3x x x 12 x x 12 0 x x 3 x x 3 x 3 0 x 3 3x x 0 x 3 3x x x 0 x 3 3x x 0 x 3(tm) x (tm) x 3(tm) ; 2;3 Vậy tập nghiệm phương trình S= 2 d) Tìm x, y nguyên dương biết : x y xy x y 0 x y xy x y 0 x y xy x y y y x y y y x y 0 y y 0 y 2 Do y 1; 2 Do y nguyên dương nên x 1(ktm) 2 y 1 x x x 0 x x 0 x 3(tm) 2 y 2 x x x 0 x 0 x 0(ktm) x; y 3;1 Vậy Bài (4,0 điểm) 3) Đa thức f x chia cho x dư 4, chia cho đa thức x dư x Tìm phần dư chia Gọi thương đa thức Do bậc đa thức f x f x cho x 1 x 1 A x f x x 1 A x f 1 4 1 chia cho x x 1 x 1 nên đa thức dư có dạng ax bx c f x x 1 x 1 g x ax bx c x 1 x 1 g x ax a a bx c x 1 x 1 g x a x 1 a bx c x 1 g x a x 1 bx c a f x x b 2, c a 3 f 1 a b c Mà chia cho x dư Từ (1) (2) suy a b c 4 b 2, c a 3 a b 2 a c 6 b 2 c a 3 c 2 => đa thức dư phép chia f x cho x 1 x 1 3x x 1 1 4) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c 2020 a b c 2020 Tính giá 1 M 2021 2021 2021 a b c trị biểu thức 1 1 Do a b c 2020 a b c 2020 1 1 1 1 a b ( a b) a b c a b c a b a b c c ab c (a b c ) a b 0 a b ac bc c ab 0 ab c a b c a b; c 2020 M 20202021 a b 0 a b a b b c c a 0 b c 0 b c b c; a 2020 M 20202021 c a 0 c a a c, b 2020 M 20202021 1 1 a b c 2020; M a b c 2020 20202021 Vậy với a, b, c số thực thỏa mãn Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng có bờ AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, AH cắt DC F A B E d M N D I F C H e) Chứng minh BM DN Do AMHN hình vng nên AM MH HN NA BAM MAD 90 BAM NAD Ta có : NAD MAD 90 AB AD(cmt ), BAM NAD(cmt ); AN AM cmt ADN ABM Xét có : ABM ADN (c.g.c) BM DN (hai cạnh tương ứng) f) Chứng minh : ba điểm D, N , C thẳng hàng Do ABM ADN ABM ADN 90 (hai góc tương ứng) Ta có NDC NDA ADC 90 90 180 điểm D, N, C thẳng hàng g) Tứ giác EMFN hình ? Vì ? Do d / / AB EMC 90 AME EMH AMH 90 AME HMC 1 Mà HMC EMH EMC 90 Mặt khác gọi I giao điểm MH NC, ta có : NHI vng H nên INH NIH 90 ; MCI vuông C nên MIC IMC 90 INH IMC HMC Mà MIC NIH (hai góc đối đỉnh) nên Từ (1) (2) suy INH AME Xét NFH MEA có : NH AM ( gt ); EAM FHN 45 ; FNH AME (cmt ) NFH MEA( g.c.g ) EM FN (hai cạnh tương ứng) mà EM / / NF ( gt ) Tứ giác EMFN hình bình hành (*) Xét NAE MAE có : AE chung AN AM ( gt ) ANE AME ( g c.g ) EM EN NAE MAE (hai cạnh tương ứng ) (**) Từ (*) (**) suy tứ giác EMFN hình thoi h) Chứng minh DF BM FN chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC Ta có : FM FN FD DN mà DN MB (câu a) MF DF MB Gọi chu vi MFC b cạnh hình vng ABCD a b MC CF MF MC CF BM DF MC BM CF DF BC DC a a 2a Mà a không đổi nên b không đổi M thay đổi vị trí BC Bài (2,0 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tính giá trị biểu thức : 1 B a b c 3 a 1 b 1 c 1 Đặt x 1 c; y 1 b; z 1 c Do a b c 1 z y x 2 Khi : 1 1 x x y y z z B x y z 3 y z x z x y x y z x y 0 Do z y x 2 nên y z 1 x y x x y x x y z y x z 0 y z z y z z y z y x z x x x y y z z x z 2 y z x z x y z x x x z t 2t 5t 2t 1 t t t 2 t z x t t 2t 2t Đặt z Do t 2 2t 1 t 0 Ta thấy B 10 x z 5 B 3 10 z x 2 t (ktm) 2t 0 MaxB 10 t 0 t 2(tm) x 2 x 2 z c 2 a z Vậy max B 10 a b 0; c 1 a 0 c 1 b 0 ... thẳng hàng Do ABM ADN ABM ADN 90 (hai góc tương ứng) Ta có NDC NDA ADC 90 90 180 điểm D, N, C thẳng hàng g) Tứ giác EMFN hình ? Vì ? Do d / / AB EMC 90 AME EMH AMH