091 đề hsg toán 8 sầm sơn 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023Bài 1 (4,0 điểm)

1) Tìm phần dư của phép chia đa thức P x cho x1 x31

biết P x  chia cho

Bài 5 (2,0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu

3) Tìm phần dư của phép chia đa thức P x cho x1 x31

biết P x  chia cho

x 1thì dư 1, P x chia cho x 31

thì dư x2 x 1

Đặt P x   x1 x31Q x ax3bx2cx d

với mọi xVì ax3bx2cx da x 31bx2cx d a

Từ P x chia cho x 3 1dư x2 x 1

Suy ra bx2 cx d a x   2  x 1 b1;c1;d a 1

Lại có P x chia cho x 1dư 1 P 1 1 hay a b c d    1 a d  1 d0,a1Vậy đa thức dư là x3x2x

177 49

2 :z  x y  2xythay (1) vào ta được :

Mà p nguyên tố và p 3, suy ra p lẻ nên p1,p1là hai số chẵn liên tiếp Suy ra p1 p1 8  2 8a  a4 1 

Lại có p1; ;p p1là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số chia hết cho 3 mà

plà số nguyên tố lớn hơn 3 nên pkhông chia hết cho 3 p1hoặc p 1phải chia hết cho 3  p1  p1 3  2 3a  a3 2 

Từ (1) và (2) kết hợp với UCLN3; 4 1 a12

Vậy với nguyên tố p 3và 2 số nguyên dương a b, sao cho p2a2 b2thì a12

Bài 4 (6,0 điểm) Cho điểm Mdi động trên đoạn thẳng AB M A B,  Trên cùng mộtnửa mặt phẳng bờ ABvẽ các hình vuông AMCD BMEF, và giao điểm hai đường chéo mỗi hình vuông lần lượt là O O, ' Gọi Hlà giao điểm của AEvà BC

Mà BCM MBC90  EAM MBC90  AHB90 Vậy AEBC

5) Gọi Ilà giao của ACvà BE.Chứng minh Ilà trung điểm của đoạn thẳng DF

và ba điểm H D F, , thẳng hàng

Từ gt suy ra DMAIBA45  DM / /IB Tương tự có AC MF/ / Từ đó OMO I' là hình bình hành nên OI O M ' và OI O M/ / '  OI O F ' và OI/ /MFnên OIFO'là hình bình hành Do đó IF OO IF OO/ / ',  ' 1 

Do đó DHM  MHF 180 Vậy ba điểm D H M, , thẳng hàng

6) Chứng minh rằng đường thẳng DFluôn đi qua một điểm cố định khi điểm M

di động trên đoạn thẳng AB

Vì Ilà trung điểm của DF.Kẻ IK AB K AB IKlà đường trung bình của hình

Do A, B cố định nên K cố định, mà IKkhông đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF

luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB

Bài 5 (2,0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của

Dấu bằng xảy ra khi a b